4.2 一般位置直线 4.2.1、一般位置直线的投影特性 与H、V、W三个投影面均倾斜的直线叫做一般位置直线，简称一般直线。图4-3（a）表示一般位置直线AB的直观图，直线AB与H、V、W面的倾角分别用、、表示。图4-3（b）表示一般位置直线AB的三面投影图。其投影特性如下： 1．由于直线AB倾斜于三个投影面，故直线在三个投影面上的投影均倾斜于投影轴。 2．各投影与投影轴的夹角不反映直线AB对投影面的倾角。 3．各投影的长度均小于直线AB的实长，分别为：    （、、在0o～90o范围内） （tp4-3） 图4-3 一般位置直线的投影 4.2.2、线段的实长和倾角 由于一般位置线段的三个投影均不反映该线段的实长及其对投影面的倾角。那么，怎样根据一般位置线段的投影来求线段的实长和倾角呢？下面用直角三角形法来解决一般位置线段的实长及倾角的求法。 图4-4（a）所示，空间线段AB和它的H面投影ab、V面投影以及线段AB对H面的倾角。现在，过点A引，交Bb于B0点。故∠BA B0=a。由于Bb⊥H面，所以ΔA B0B是一直角三角形，斜边AB是实长（常用SC来表示实长）。 在直角ΔA B0B中： A B0=ab=线段的H面投影 B0B=Bb－Aa=ZB－ZA 式中，ZB－ZA为点B和点A到H面的距离差。 （tp4-4） 图4-4求一般位置线段AB的实长及倾角 在图4-4（b）中，ab、均为已知，因此就知道了它们各投影的坐标值，故只需利用一个投影及线段两端点对该投影面的距离差为两条直角边作直角三角形，其斜边就是线段AB的实长，斜边与投影的夹角（即距离差所对的角）便是直线对该投影面的倾角。 如果我们要求线段AB的实长以及对H面的倾角，则以水平投影ab为一条直角边，然后过b（或a）引ab的垂线，并在该垂线上量取b B0=ZB－ZA，连a B0，即为线段AB的实长，a B0与ab的夹角（即b B0边所对的角）便是AB对H面的倾角。 同理，也可以利用AB的V面投影来求线段AB的实长及其对V面的倾角。 在图4-4（a）中，过点B引BA0平行于，则ΔA A0B是一个直角三角形，其斜边仍是空间线段AB，AB与B A0之间的夹角便是线段AB对V面的倾角。 在直角ΔA A0B中： B A0= A A0=YA－YB 所以在图4-4(b)的投影作图中，以为一条直角边，过(或)作的垂线，在该垂线上量取A0=YA－YB，连A0，即为线段AB的实长，A0与的夹角便是线段AB对V面的倾角。 由此可知，若求线段的实长和角时，就以H面投影ab为一条直角边，以线段两端点对H面的距离差为另一条直角边作直角三角形。若求线段的实长和角时，则以V面投影为一条直角边，以线段两端点对V面的距离差为另一条直角边作直角三角形。若只需求线段的实长，则利用H或V面投影作直角三角形均可。 综上所述，在投影图上求线段的实长和倾角的方法是：以线段在某个投影面上的投影为一条直角边，以线段的两端点到该投影面的距离差为另一条直角边作直角三角形，该直角三角形的斜边就是所求线段的实长，而此斜边与投影的夹角，就是该线段对该投影面的倾角。 以上求一般位置线段的实长和倾角的方法，称为直角三角形法。此直角三角形中，包含了实长、距离差、投影和倾角四个参数。四者任知其中二者，即可作出一个直角三角形，从而便可求出其余两个。需要注意的是：距离差、投影、倾角三者是对同一投影而言。 【例4-1】 已知直线AB的H面投影ab和点A的V面投影，并知AB对H面的倾角，试求。(如图4-5) （tp4-5） 图4-5求作直线AB的正面投影 解：（1）分析：根据线段的实长、投影、倾角及距离差四者，任知其二，即可求得其余两者。现已知H面投影ab和直线对H面的倾角，利用直角三角形法，即可求得A、B两点对H面的距离差，从而求出。 （2）作图以H面投影ab为一条直角边，对a对ab作30o的斜线，此斜线与过点b的垂线相交于B0点，b B0即为A、B两点的Z坐标差。利用b B0即可确定图4-5（b）中的，从而求得。本题有两解，另一解读者不难作出。 3.3.3、属于直线的点 1、属于直线的点的投影特性 属于直线的点的投影必属于该直线的同面投影，且符合点的投影规律。 （tp4-6） 图4-6属于直线的点的投影 如图4-6(a)所示，直线AB的H面投影为ab，若点K属于直线AB，则过点K的投影线Kk必属于包含AB向H面所作的投射平面ABba，因而Kk与H面的交点k必属于该投射平面与H面的交线ab。同理可知必属于。 反之，如果点的各个投影均属于直线的各同面投影，且各投影符合点的投影规律，即投影连线垂直于相应的投影轴，则该点属于该直线。如图4-6(b)中，点K属于直线AB，而点L则不属于直线AB。 2、点分线段成定比 点分线段成某一比例，则该点的投影也分该线段的投影成相同的比例。 在图4-6(a)中，点K分空间直线AB为AK和KB两段，其水平投影k也分ab为ak和kb两段。设AK：KB=m：n，在投射平面ABba中，直线AB与ab被一组互相平行的投射线Aa、Kk、Bb所截割，则ak：kb=AK：KB=m：n。同理可得：和。所以，点分直线段成定比，投影后比例不变，即：  【例4-2】如图4-7所示，已知线段AB的投影图，点K将其分成AK：KB=2：3两段，求点K的投影。 （tp4-7） 图4-7求直线AB的分点K的投影 解：过线段的任一投影的任一端点，图中过a任意作一直线aB0，与ab成任意夹角，以任意长度为单位，在aB0上由点a起连续量取5个单位，连接5b，过点2引5b的平行线交ab于点k，k即为点K的水平投影。过k点向上作OX轴的垂线交于，即为点K的正面投影，则k和即为空间点K的二投影。 【例4-3】已知直线AB的二投影以及属于AB的点K的V面投影，求其H面投影k。(图4-8(a)) （tp4-8） 图4-8补全属于直线AB的点K的投影 解1：利用定比关系求解，如图4-8(b)。 由于，所以可以在H面投影中过a引任意直线aB0，在该直线上定出K0和B0两点，并使，。然后由K0点引直线平行于B0b交ab于k，k即为所求。 解2：利用W面投影求解，如图4-8(c)。 因为点K属于直线AB，所以它的各同面投影均属于该直线相应的各同面投影。因此，补画出直线的W面投影，由定出，再由求出H面投影k。 注释： tp4-3：插入图片jzztyst-tp-0403 tp4-4：插入图片jzztyst-tp-0404 tp4-5：插入图片jzztyst-tp-0405 tp4-6：插入图片jzztyst-tp-0406 tp4-7：插入图片jzztyst-tp-0407 tp4-8：插入图片jzztyst-tp-0408