4.4 直角的投影 相交二直线之间的夹角，可以是锐角、钝角和直角。一般来说，要使其在某投影面上的投影反映出该夹角的大小，必须使此夹角的两边都平行于该投影面，如图4-16所示。 （tp4-16） 图4-16夹角的两边平行于投影面时的投影 但是，对于夹角为直角时，有如下定理。 直角投影定理：若直角有一条边平行于某一投影面时，则该直角在该投影面上的投影仍反映为直角。 如图4-17所示，两直线AB和BC的夹角∠ABC=90o，其中一条边AB平行于H面，则∠ABC在H面上的投影∠abc=90o。 （tp4-17） 图4-17直角的投影 现在，我们来证明这一定理。 已知：AB⊥BC，AB∥H面(见图4-17) 求证：∠abc=90o 证明：∵AB∥H 而Bb⊥H ∴AB⊥Bb 又∵AB⊥BC ∴AB⊥CBbc平面 又∵ab∥AB ∴AB⊥CBbc平面 故ab⊥bc ∴∠abc=90o （证毕） 图4-17(b)是其投影图，图中∥OX，故AB为水平线。因空间∠ABC为90o，所以∠abc=90o。（注意：∠ABC的V面投影∠） 在图4-17中，若直线DE属于平面ABba，且DE∥AB，则直线DE∥H并与BC相叉垂直，其水平投影de⊥bc。由此可见，直角投影定理对互相垂直的相叉二直线仍然适用。 反之，若两直线在某投影面上的投影互相垂直的直线，如果其中有一条是水平线，那么，它们的H面投影必互相垂直。同理，两条互相垂直的直线，如果其中有一条是正平线，那么，它们的V面投影必互相垂直。 直角投影的这种特性，常用来在投影图中解决作垂线有关距离方面的问题。 【例4-4】如图4-18，已知AB∥V面，试过点A作一直线AC与AB垂直相交。 （tp4-18） 图4-18过点A作AC与AB垂直 解：(1)分析：因AB为正平线，根据直角投影定理可知：AB与AC的V面投影必然垂直。 (2)作图：见图4-18(b)，首先过作⊥(的长度可任取)，再过向下引投影联系线，并在其上任取一个点c，连ac即为所求。 本题因点c可任取，故有无穷多解。 【例4-5】求点K到正平线AB的距离。(图4-19) （tp4-19） 图4-19求点K到正平线AB的距离 解：(1)分析：点K到直线AB的距离，就是过点K向直线AB作垂线，设垂足点为L，则KL即为所求距离。因为直线AB平行于V面，故AB与KL的V面投影应垂直。 (2)作图：过作⊥，垂足为；由向下作连系线交ab于l，连kl，则和kl即为所求距离KL的两个投影。然后再利用直角三角形法，即可作出KL的实长，即点K到直线AB的距离。 注释： tp4-16：插入图片jzztyst-tp-0416 tp4-17：插入图片jzztyst-tp-0417 tp4-18：插入图片jzztyst-tp-0418 tp4-19：插入图片jzztyst-tp-0419