第8章 立体 各种形体,无论其形状多么复杂,总可以将其分解成简单的几何形体。常见的几何形体按其形状、类型不同可分为平面立体和曲面立体。表面全部由平面组成的立体称为平面立体,常见的有棱柱、棱锥等;表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体称为曲面立体,常见的有圆柱、圆锥、球等。 本章主要讲解各种立体的形成及投影;立体各表面的可见性;立体表面上取点及其可见性;平面与立体表面的交线——截交线的投影;直线与立体表面的交点——贯穿点的投影。 8.1 平面立体 8.1.1、棱柱体 (一)形成 由上下两个平行的多边形平面(底面)和其余相邻两个面(棱面)的交线(棱线)都互相平行的平面所组成的立体称为棱柱体。 棱柱体的特点:上、下底面平行且相等;各棱线平行且相等;底面的边数=侧棱面数=侧棱线数;表面总数=底面边数+2。图8-1(a)是直三棱柱,其上、下底面为三角形,侧棱线垂直于底面,三个侧棱面均为矩形,共五个表面。 (tp8-1) 图8-1三棱柱的投影 (二)投影 1. 安放位置 同一形体因安放位置不同其投影也有不同。为作图简便,应将形体的表面尽量平行或垂直于投影面。如图8-1(a)放置的三棱柱,上、下底面平行于H面,后棱面平行于V面,则左、右棱面垂直于H面。这样安放的三棱柱投影就较简单。 2. 投影分析(图8-1(a)) H面投影:是一个三角形。它是上、下底面实形投影的重合(上底面可见,下底面不可见)。由于三个侧棱面都垂直于H面,所以三角形的三条边即为三个侧棱面的积聚投影;三角形的三个顶点为三条棱线的积聚投影。 V面投影:是两个小矩形合成的一个大矩形。左、右矩形分别为左、右棱面的投影(可见);大矩形是后棱面的实形投影(不可见);大矩形的上、下边线是上、下底面的积聚投影。 W面投影:是一个矩形。它是左、右棱面投影的重合(左侧棱面可见、右侧棱面不可见)。矩形的上、下、左边线分别是上、下底面和后棱面的积聚投影;矩形的右边线是前棱线BB1的投影。 3. 作图步骤(8-1(b)) (1)画上、下底面的各投影。先画H面上的实形投影,即△abc,后画V、W面上的积聚投影,即、、、。 (2)画各棱线的投影,即完成三棱柱的投影。三个投影应保持“三等”关系。 (三)棱柱体表面上取点 立体表面上取点的步骤:根据已知点的投影位置及其可见性,分析、判断该点所属的表面;若该表面有积聚性,则可利用积聚投影直线作出点的另一投影,最后作出第三投影;若该表面无积聚性,则可采用平面上取点的方法,过该点在所属表面上作一条辅助线,利用此线作出点的另二投影。 【例8-1】已知三棱柱表面上M点的H面投影m(可见)及N点的V面投影(可见),求M、N点的另外二投影(图8-2(a))。 (tp8-2) 图8-2棱柱体表面上取点 解:1. 分析:由于m可见,则可判断M点属三棱柱上底面△ABC;点可见,则可判断N点属右棱面。由于上底面、右棱面都有积聚投影,则M点、N点的另一投影可直接求出。 2. 作图(图8-2(b)) (1)由m向上作OX轴垂线(以下简称垂线)与上底面在V面的积聚投影相当于;由m、及Y1,求得。 (2)由向下作垂线与右棱面H面的积聚投影bc相交于n;由、n及Y2求得。 3. 判别可见性:点的可见性与点所在的表面的可见性是一致的。如右棱面的W面投影不可见,则不可见。当点的投影在平面的积聚投影上时,一般不判别其可见性,如、和n。 8.1.2、棱锥体 (一)形成 由一个多边形平面(底面)和其余相邻两个面(侧棱面)的交线(棱线)都相交于一点(顶点)的平面所围成的立体称为棱锥体。 棱锥体的特点:底面为多边形;各侧棱线相交于一点;底面的边数=侧棱面数=侧棱线数;表面总数=底面边数+1。图8-3(a)是三棱锥,由底面(△ABC)和三个侧棱面(△SAB、△SBC、△SAC)围成,共4个表面。 (tp8-3) 图8-3三棱锥的投影 (二)投影 1.安放位置 如图8-3(a)所示,将三棱锥底面平行于H面,后棱面垂直于W面。 2.投影分析(图8-3(a)) H面投影:是三个小三角形合成的一个大三角形。三个小三角形分别是三个侧棱面的投影(可见);大三角形是底面的投影(不可见)。 V面投影:是两个小三角形合成的一个大三角形。两个小三角形是左、右侧棱面的投影(可见);大三角形是后棱面的投影(不可见);大三角形的下边线是底面的积聚投影。 W面投影:是一个三角形。它是左右侧棱面投影的重合,左侧棱面可见,右侧棱面不可见;三角形的左边线、下边线分别是后棱面和底面的积聚投影。 3.作图步骤(图8-3(b)) (1)画底面的各投影。先画H面上的实形投影,即△abc,后画V面、W面上的积聚投影,即、。 (2)画顶点S的三面投影,即s、、。 (3)画各棱线的三面投影,即完成三棱锥的投影。 (三)棱锥体表面上取点 【例8-2】已知三棱锥表面上的M点的H面投影m(可见)和N点的V面投影(不可见),求M、N点的另外二投影(图8-4(a))。 (tp8-4) 图8-4棱锥体表面上取点 解:1.分析:由于m可见,则M点属△SBC;不可见,则N点属于△SAC,利用平面上取点的方法即可求得所缺投影。 2.作图(8-4(b)) (1)连接sm并延长交bc于1;由1向上引垂线交于;连接与过m向上的垂线相交于;由1及y1求得,从而求得。 (2)连接并延长交于;由向下引垂线交ac于2;连接s2与过向下的垂线相交于n;由向右作OZ轴的垂线(即OX轴的平行线,以下简称平线)交即得。 3. 判断可见性:M点属△SBC,因△可见,则点可见;△不可见,则不可见。N点属△SAC,因△sac可见,则n可见;△有积聚性,故不判别可见性。 8.1.3、平面截割立体 平面截割立体,即平面与立体相交(图8-5)。截割立体的平面称为截平面。截平面与立体表面的交线称为截交线。截交线围成的封闭的平面图形称为断面。 (tp8-5) 图8-5平面立体的截交线 截平面截割立体的位置不同,所得截交线的形状也有所不同,但任何截交线都具有以下共同性质: 1.由于立体有一定的范围,所以截交线通常是封闭的平面图形。 2.截交线是截平面和立体表面的共有线,截交上的每个点都是截平面与立体表面的共有点。 因此,求截交线的问题,实质为求截平面与立体表面共有点的问题。 由于平面立体的各表面都是平面,所以平面立体的截交线是封闭的平面多边形。如图8-5所示,截平面P截割三棱锥S-ABC,其截交线为△ⅠⅡⅢ。三角形的各顶点(如Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)分别是截平面与三棱锥所截棱线(SA、SB、SC)的交点;三角形的三条边(ⅠⅡ、ⅠⅢ、ⅡⅢ)分别是截平面与三棱锥所截棱面(△SAB、△SAC、△SBC)的交线。由此可以看出,求平面立体的截交线可采用以下两种方法: 1.交点法:求出截平面与立体各棱线的交点,再按照一定的连点原则将交点相连,即得截交线。 2.交线法:求出截平面与立体各棱面的交线,即得截交线。 在实际作图时,常采用交点法。交点连成截交线的原则是:位于立体同一表面上的两点才能相连。可见表面上的连线画实线,不可见表面上的连线画虚线。 【例8-3】求正垂面P与四棱锥S-ABCD的截效线及断面实形(图8-6(a))。 (tp8-6) 图8-6四棱锥的截交线 解:1. 分析:截平面P与四棱锥的四条棱线(SA、SB、SC、SD)都相交,截交线为一四边形。截平面P为正垂面,其V面投影有积聚性,可以判断,截交线的V面投影积聚在PV上,故只需求出截交线的H面投影。 2. 作图(图8-6(b)) (1)截平面P的V面投影PV与、、、的交点、、、即为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的V面投影。 (2)由、向下引垂线,在sa和sc上得Ⅰ、Ⅲ点的H面投影1、3。 (3)点Ⅱ、Ⅳ的H面投影不能直接求得,需过()在棱面SAB和SAD上作一辅助线。即过()作OX轴的平行线,交于,由得5,过5点分别作ab和ad的平行线,交sb和sd于2、4. (4)将属于同一棱面上的两交点的H面投影依次相连,得到截交线的H面投影1—2—3—4—1。截交线的V面投影为PV在四棱锥V面投影范围内的一线段。 3. 判别可见性:由于四棱锥的四个侧棱面的H面投影均可见,故截交线的H面投影全部可见。 4. 作断面实形:断面实形如图8-6(c)所示,其中实形的对角线ⅠⅢ等于,ⅡⅣ等于2、4。 【例8-4】求四棱锥S-ABCD被平面P、Q截割后的投影(图8-7(a))。 (tp8-7) 图8-7平面截割四棱锥 解:1.分析:四棱锥被水平面P和正垂面Q所截,先分别求出P、Q二平面与四棱锥的截交线,再画出P、Q二截平面的交线即可。 2. 作图(图8-7(b)) (1)截平面P为水平面,如果完全截断四棱锥,其截交线为与四棱锥底面四边形ABCD相似的四边形ⅠⅡⅢⅣ,由、、、得1、2、3、4,但实际上P平面未完全截四棱锥,故根据“长对正”关系,截交线实际只存在一部分,即ⅠⅡ和ⅠⅣ,由1、2、4点得、、。 (2)截平面Q为正垂面,它与四棱锥的三条棱线SB、SC、SD相交于Ⅱ、Ⅴ、Ⅳ点,由、、得2、5、4和、、。 (3)按连点原则连接ⅠⅡ、ⅡⅤ、ⅤⅣ、ⅣⅠ,同时画出P、Q二平面的交线ⅡⅣ,并加深图线。 3.判别可见性:本题求四棱锥被截割后的投影(双点划线为假想轮廓线),截交线的H面投影全部可见;W面投影中Δ可见,Δ有积聚性。注意,棱线SC被截割后的剩余部分ⅤC的W面投影为不可见。 8.1.4、直线与平面立体相交 直线与立体表面的交战称为贯穿点。贯穿点即直线与立体表面的共有点。因此求贯穿点的实质就是求直线与平面的交点。当直线与有积聚性投影的表面相交时,应利用积聚投影求解;当直线与无积聚性投影的表面相交时,其作图步骤如下(图8-8): (tp8-8) 图8-8直线与立体贯穿点的作图分析 1.包含已知直线(MN)作一辅助平面(为使作图简便,一般作投影面垂直面)。 2.求辅助平面(P)与立体的截交线(ΔⅠⅡⅢ)。 3.截交线(ΔⅠⅡⅢ)与已知直线(MN)的交点(K、L)即为贯穿点。 【例8-5】求直线MN与三棱柱的贯穿点(图8-9(a))。 (tp8-9) 图8-9求直线与三棱柱的贯穿点 解:1. 分析:直线MN与三棱柱有积聚投影的左、右侧棱面相交,故交点的H面投影可直接求得,然后求出交点的V面投影即可。 2.作图(图8-9(b)) (1)mn与三棱柱左、右侧棱面的H面积聚投影的交点1、2即为贯穿点的H面投影。 (2)由1、2分别向上引垂线,交于、,即为贯穿点的V面投影。 (3)连接m1、2n和、。 3.判别可见性:Ⅰ、Ⅱ点所属棱面的V面投影可见,故、均可见。必须注意,我们将直线和立体视为一整体,故直线MN在立体内部中的一段ⅠⅡ并不存在,不能连线。 【例8-6】求直线MN与三棱锥s-ABC的贯穿点(图8-10(a))。 (tp8-10) 图8-10求直线与三棱锥的贯穿点 解:1. 分析:直线MN与三棱锥相交的平面的H面、V面投影都无积聚性,应采用上述的作辅助面的方法求解。 2. 作图(图8-10(b)) (1)包含MN作正垂面P,与、、分别相交于、、。 (2)由、、分别向下引垂线,交sa、sb、sc于1、2、3,连接1—2—3—1,即得辅助面P与三棱锥的截交线ΔⅠⅡⅢ的H面投影Δ123。 (3)直线MN的H面投影mn与Δ123的交点k、l即为贯穿点的H面投影。 (4)由k、l分别向上作垂线,交于、,即为贯穿点的V面投影。 3.判别可见性:ΔSAC和ΔSBC的H面投影都可见,故k、l可见mk、ln画实线;ΔSBC的V面投影可见,故可见,画实线;ΔSAC的V面投影不可见,故不可见,画虚线。 注释: tp8-1:插入图片jzztyst-tp-0801 tp8-2:插入图片jzztyst-tp-0802 tp8-3:插入图片jzztyst-tp-0803 tp8-4:插入图片jzztyst-tp-0804 tp8-5:插入图片jzztyst-tp-0805 tp8-6:插入图片jzztyst-tp-0806 tp8-7:插入图片jzztyst-tp-0807 tp8-8: 插入图片jzztyst-tp-0808 tp8-9: 插入图片jzztyst-tp-0809 tp8-10:插入图片jzztyst-tp-0810