第8章 立体 各种形体，无论其形状多么复杂，总可以将其分解成简单的几何形体。常见的几何形体按其形状、类型不同可分为平面立体和曲面立体。表面全部由平面组成的立体称为平面立体，常见的有棱柱、棱锥等；表面全是曲面或既有曲面又有平面的立体称为曲面立体，常见的有圆柱、圆锥、球等。 本章主要讲解各种立体的形成及投影；立体各表面的可见性；立体表面上取点及其可见性；平面与立体表面的交线——截交线的投影；直线与立体表面的交点——贯穿点的投影。 8.1 平面立体 8.1.1、棱柱体 （一）形成 由上下两个平行的多边形平面（底面）和其余相邻两个面（棱面）的交线（棱线）都互相平行的平面所组成的立体称为棱柱体。 棱柱体的特点：上、下底面平行且相等；各棱线平行且相等；底面的边数=侧棱面数=侧棱线数；表面总数=底面边数+2。图8-1（a）是直三棱柱，其上、下底面为三角形，侧棱线垂直于底面，三个侧棱面均为矩形，共五个表面。 （tp8-1） 图8-1三棱柱的投影 （二）投影 1. 安放位置 同一形体因安放位置不同其投影也有不同。为作图简便，应将形体的表面尽量平行或垂直于投影面。如图8-1（a）放置的三棱柱，上、下底面平行于H面，后棱面平行于V面，则左、右棱面垂直于H面。这样安放的三棱柱投影就较简单。 2. 投影分析（图8-1（a）） H面投影：是一个三角形。它是上、下底面实形投影的重合（上底面可见，下底面不可见）。由于三个侧棱面都垂直于H面，所以三角形的三条边即为三个侧棱面的积聚投影；三角形的三个顶点为三条棱线的积聚投影。 V面投影：是两个小矩形合成的一个大矩形。左、右矩形分别为左、右棱面的投影（可见）；大矩形是后棱面的实形投影（不可见）；大矩形的上、下边线是上、下底面的积聚投影。 W面投影：是一个矩形。它是左、右棱面投影的重合（左侧棱面可见、右侧棱面不可见）。矩形的上、下、左边线分别是上、下底面和后棱面的积聚投影；矩形的右边线是前棱线BB1的投影。 3. 作图步骤（8-1（b）） （1）画上、下底面的各投影。先画H面上的实形投影，即△abc，后画V、W面上的积聚投影，即、、、。 （2）画各棱线的投影，即完成三棱柱的投影。三个投影应保持“三等”关系。 （三）棱柱体表面上取点 立体表面上取点的步骤：根据已知点的投影位置及其可见性，分析、判断该点所属的表面；若该表面有积聚性，则可利用积聚投影直线作出点的另一投影，最后作出第三投影；若该表面无积聚性，则可采用平面上取点的方法，过该点在所属表面上作一条辅助线，利用此线作出点的另二投影。 【例8-1】已知三棱柱表面上M点的H面投影m（可见）及N点的V面投影（可见），求M、N点的另外二投影（图8-2（a））。 （tp8-2） 图8-2棱柱体表面上取点 解：1. 分析：由于m可见，则可判断M点属三棱柱上底面△ABC；点可见，则可判断N点属右棱面。由于上底面、右棱面都有积聚投影，则M点、N点的另一投影可直接求出。 2. 作图（图8-2（b）） （1）由m向上作OX轴垂线（以下简称垂线）与上底面在V面的积聚投影相当于；由m、及Y1，求得。 （2）由向下作垂线与右棱面H面的积聚投影bc相交于n；由、n及Y2求得。 3. 判别可见性：点的可见性与点所在的表面的可见性是一致的。如右棱面的W面投影不可见，则不可见。当点的投影在平面的积聚投影上时，一般不判别其可见性，如、和n。 8.1.2、棱锥体 （一）形成 由一个多边形平面（底面）和其余相邻两个面（侧棱面）的交线（棱线）都相交于一点（顶点）的平面所围成的立体称为棱锥体。 棱锥体的特点：底面为多边形；各侧棱线相交于一点；底面的边数=侧棱面数=侧棱线数；表面总数=底面边数+1。图8-3（a）是三棱锥，由底面（△ABC）和三个侧棱面（△SAB、△SBC、△SAC）围成，共4个表面。 （tp8-3） 图8-3三棱锥的投影 （二）投影 1.安放位置 如图8-3（a）所示，将三棱锥底面平行于H面，后棱面垂直于W面。 2.投影分析（图8-3（a）） H面投影：是三个小三角形合成的一个大三角形。三个小三角形分别是三个侧棱面的投影（可见）；大三角形是底面的投影（不可见）。 V面投影：是两个小三角形合成的一个大三角形。两个小三角形是左、右侧棱面的投影（可见）；大三角形是后棱面的投影（不可见）；大三角形的下边线是底面的积聚投影。 W面投影：是一个三角形。它是左右侧棱面投影的重合，左侧棱面可见，右侧棱面不可见；三角形的左边线、下边线分别是后棱面和底面的积聚投影。 3.作图步骤（图8-3（b）） （1）画底面的各投影。先画H面上的实形投影，即△abc，后画V面、W面上的积聚投影，即、。 （2）画顶点S的三面投影，即s、、。 （3）画各棱线的三面投影，即完成三棱锥的投影。 （三）棱锥体表面上取点 【例8-2】已知三棱锥表面上的M点的H面投影m（可见）和N点的V面投影（不可见），求M、N点的另外二投影（图8-4（a））。 （tp8-4） 图8-4棱锥体表面上取点 解：1.分析：由于m可见，则M点属△SBC；不可见，则N点属于△SAC，利用平面上取点的方法即可求得所缺投影。 2.作图（8-4（b）） （1）连接sm并延长交bc于1；由1向上引垂线交于；连接与过m向上的垂线相交于；由1及y1求得，从而求得。 （2）连接并延长交于；由向下引垂线交ac于2；连接s2与过向下的垂线相交于n；由向右作OZ轴的垂线（即OX轴的平行线，以下简称平线）交即得。 3. 判断可见性：M点属△SBC，因△可见，则点可见；△不可见，则不可见。N点属△SAC，因△sac可见，则n可见；△有积聚性，故不判别可见性。 8.1.3、平面截割立体 平面截割立体，即平面与立体相交（图8-5）。截割立体的平面称为截平面。截平面与立体表面的交线称为截交线。截交线围成的封闭的平面图形称为断面。 （tp8-5） 图8-5平面立体的截交线 截平面截割立体的位置不同，所得截交线的形状也有所不同，但任何截交线都具有以下共同性质： 1.由于立体有一定的范围，所以截交线通常是封闭的平面图形。 2.截交线是截平面和立体表面的共有线，截交上的每个点都是截平面与立体表面的共有点。 因此，求截交线的问题，实质为求截平面与立体表面共有点的问题。 由于平面立体的各表面都是平面，所以平面立体的截交线是封闭的平面多边形。如图8-5所示，截平面P截割三棱锥S-ABC，其截交线为△ⅠⅡⅢ。三角形的各顶点（如Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）分别是截平面与三棱锥所截棱线（SA、SB、SC）的交点；三角形的三条边（ⅠⅡ、ⅠⅢ、ⅡⅢ）分别是截平面与三棱锥所截棱面（△SAB、△SAC、△SBC）的交线。由此可以看出，求平面立体的截交线可采用以下两种方法： 1.交点法：求出截平面与立体各棱线的交点，再按照一定的连点原则将交点相连，即得截交线。 2.交线法：求出截平面与立体各棱面的交线，即得截交线。 在实际作图时，常采用交点法。交点连成截交线的原则是：位于立体同一表面上的两点才能相连。可见表面上的连线画实线，不可见表面上的连线画虚线。 【例8-3】求正垂面P与四棱锥S-ABCD的截效线及断面实形（图8-6（a））。 （tp8-6） 图8-6四棱锥的截交线 解：1. 分析：截平面P与四棱锥的四条棱线（SA、SB、SC、SD）都相交，截交线为一四边形。截平面P为正垂面，其V面投影有积聚性，可以判断，截交线的V面投影积聚在PV上，故只需求出截交线的H面投影。 2. 作图（图8-6（b）） （1）截平面P的V面投影PV与、、、的交点、、、即为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的V面投影。 （2）由、向下引垂线，在sa和sc上得Ⅰ、Ⅲ点的H面投影1、3。 （3）点Ⅱ、Ⅳ的H面投影不能直接求得，需过（）在棱面SAB和SAD上作一辅助线。即过（）作OX轴的平行线，交于，由得5，过5点分别作ab和ad的平行线，交sb和sd于2、4. （4）将属于同一棱面上的两交点的H面投影依次相连，得到截交线的H面投影1—2—3—4—1。截交线的V面投影为PV在四棱锥V面投影范围内的一线段。 3. 判别可见性：由于四棱锥的四个侧棱面的H面投影均可见，故截交线的H面投影全部可见。 4. 作断面实形：断面实形如图8-6（c）所示，其中实形的对角线ⅠⅢ等于，ⅡⅣ等于2、4。 【例8-4】求四棱锥S-ABCD被平面P、Q截割后的投影（图8-7（a））。 （tp8-7） 图8-7平面截割四棱锥 解：1.分析：四棱锥被水平面P和正垂面Q所截，先分别求出P、Q二平面与四棱锥的截交线，再画出P、Q二截平面的交线即可。 2. 作图（图8-7（b）） （1）截平面P为水平面，如果完全截断四棱锥，其截交线为与四棱锥底面四边形ABCD相似的四边形ⅠⅡⅢⅣ，由、、、得1、2、3、4，但实际上P平面未完全截四棱锥，故根据“长对正”关系，截交线实际只存在一部分，即ⅠⅡ和ⅠⅣ，由1、2、4点得、、。 （2）截平面Q为正垂面，它与四棱锥的三条棱线SB、SC、SD相交于Ⅱ、Ⅴ、Ⅳ点，由、、得2、5、4和、、。 （3）按连点原则连接ⅠⅡ、ⅡⅤ、ⅤⅣ、ⅣⅠ，同时画出P、Q二平面的交线ⅡⅣ，并加深图线。 3.判别可见性：本题求四棱锥被截割后的投影（双点划线为假想轮廓线），截交线的H面投影全部可见；W面投影中Δ可见，Δ有积聚性。注意，棱线SC被截割后的剩余部分ⅤC的W面投影为不可见。 8.1.4、直线与平面立体相交 直线与立体表面的交战称为贯穿点。贯穿点即直线与立体表面的共有点。因此求贯穿点的实质就是求直线与平面的交点。当直线与有积聚性投影的表面相交时，应利用积聚投影求解；当直线与无积聚性投影的表面相交时，其作图步骤如下（图8-8）： （tp8-8） 图8-8直线与立体贯穿点的作图分析 1.包含已知直线（MN）作一辅助平面（为使作图简便，一般作投影面垂直面）。 2.求辅助平面（P）与立体的截交线（ΔⅠⅡⅢ）。 3.截交线（ΔⅠⅡⅢ）与已知直线（MN）的交点（K、L）即为贯穿点。 【例8-5】求直线MN与三棱柱的贯穿点（图8-9（a））。 （tp8-9） 图8-9求直线与三棱柱的贯穿点 解：1. 分析：直线MN与三棱柱有积聚投影的左、右侧棱面相交，故交点的H面投影可直接求得，然后求出交点的V面投影即可。 2.作图（图8-9（b）） （1）mn与三棱柱左、右侧棱面的H面积聚投影的交点1、2即为贯穿点的H面投影。 （2）由1、2分别向上引垂线，交于、，即为贯穿点的V面投影。 （3）连接m1、2n和、。 3.判别可见性：Ⅰ、Ⅱ点所属棱面的V面投影可见，故、均可见。必须注意，我们将直线和立体视为一整体，故直线MN在立体内部中的一段ⅠⅡ并不存在，不能连线。 【例8-6】求直线MN与三棱锥s-ABC的贯穿点（图8-10（a））。 （tp8-10） 图8-10求直线与三棱锥的贯穿点 解：1. 分析：直线MN与三棱锥相交的平面的H面、V面投影都无积聚性，应采用上述的作辅助面的方法求解。 2. 作图（图8-10（b）） （1）包含MN作正垂面P，与、、分别相交于、、。 （2）由、、分别向下引垂线，交sa、sb、sc于1、2、3，连接1—2—3—1，即得辅助面P与三棱锥的截交线ΔⅠⅡⅢ的H面投影Δ123。 （3）直线MN的H面投影mn与Δ123的交点k、l即为贯穿点的H面投影。 （4）由k、l分别向上作垂线，交于、，即为贯穿点的V面投影。 3．判别可见性：ΔSAC和ΔSBC的H面投影都可见，故k、l可见mk、ln画实线；ΔSBC的V面投影可见，故可见，画实线；ΔSAC的V面投影不可见，故不可见，画虚线。 注释： tp8-1：插入图片jzztyst-tp-0801 tp8-2：插入图片jzztyst-tp-0802 tp8-3：插入图片jzztyst-tp-0803 tp8-4：插入图片jzztyst-tp-0804 tp8-5：插入图片jzztyst-tp-0805 tp8-6：插入图片jzztyst-tp-0806 tp8-7：插入图片jzztyst-tp-0807 tp8-8： 插入图片jzztyst-tp-0808 tp8-9： 插入图片jzztyst-tp-0809 tp8-10：插入图片jzztyst-tp-0810