8.2 曲面立体 常见的曲面立体有圆柱体、圆锥体、圆球体等，它们都是旋转体。 8.2.1圆柱体 （一）形成 由矩形（AA1O1O）绕其边（OO1）为轴旋转运动的轨迹称为圆柱体（图8-11（a））。与轴垂直的两边（OA和O1A1）的运动轨迹是上、下底圆，与轴平行的一边（A A1）运动的轨迹是圆柱面。A A1称为母线，母线在圆柱面上任一位置称为素线。圆柱面是无数多条素线的集合。圆柱体由上、下底圆和圆柱面围成。上、下底圆之间的距离称为圆柱体的高。 （tp8-11） 图8-11圆柱体的形成与投影 （二）投影 1. 安放位置 为简便作图，一般将圆柱体的轴线垂直于某一投影面。如图8-11（b），将圆柱体的轴线（OO1）垂直于H面，则圆柱面垂直于H面，上、下底圆平行于H面。 2. 投影分析（图8-11（b）） H面投影：为一个圆。它是可见的上底圆和不可见的下底圆实形投影的重合，其圆周是圆柱面的积聚投影，圆周上任一点都是一条素线的积聚投影。 V面投影：为一矩形。它是可见的前半圆柱的不可见的后半圆柱投影的重合，其对应的H面投影是前、后半圆，对应的W面投影是右和左半个矩形。矩形的上、下边线（和）是上、下底圆的积聚投影；左、右边线（和）是圆柱最左、最右素线（AA1和BB1）的投影，也是前半、后半圆柱投影的分界线。 W面投影：为一矩形。它是可见的左半圆柱和不可见的右半圆柱投影的重合，其对应的H面投影是左、右半圆；对应的V面投影是左右半个矩形。矩形的上、下边线（和）是上、下底圆的积聚投影；左、右边线（和）是圆柱最后，最前素线（DD1和CC1）的投影，也是左半、右半圆柱投影的分界线。 3.作图步骤（图8-11（c）） （1）画轴线的三面投影（O、、），过O作中心线，轴和中心线都画单点长划线。 （2）在H面上画上、下底圆的实形投影（以O为圆心，OA为半径）；在V、W面上画上、下底圆的积聚投影（其间距为圆柱的高）。 （3）画出向轮廓线，即画出最左、最右素线的V面投影（和）；画出最前、最后素线的W面投影（和）。 （三）圆柱体表面上取点 【例8-7】已知圆柱体上M点的V面投影（可见）及N点的H面投影n（不可见），求M、N点的另二投影（图8-12（a））。 （tp8-12） 图8-12圆柱体表面上取点 解：1. 分析：由于可见，且在轴左侧，可知M点在圆柱面的前、左部分；n不可见，则N点在圆柱的下底圆上。圆柱面的H面投影和下底圆的V面、W面投影有积聚性，可从积聚投影入手求解。 2. 作图（图8-12（b）） （1）由向下作垂线，交H面投影中的前半圆周于m由、m及Y1可求得。 （2）由n向上引垂线，交下底圆的V面积聚投影于，由n、及Y2可求得。 3. 判别可见性：M点位于左半圆柱，故可见；m、在圆柱的积聚投影上，不判别其可见性。 8.2.2、圆锥体 （一）形成 由直角三角形（SAO）绕其一角边（SO）为轴旋转运动的轨迹称为圆锥体（图8-13（a））。另一直角边（AO）旋转运动的轨迹是垂直于轴的底圆；斜边（SA）旋转运动的轨迹是圆锥面。SA称为母线，母线在圆锥面上任一位置称为素线。圆锥面是无数多条素线的集合。圆锥由圆锥面和底圆围成。锥顶（S）与底圆之间的距离称为圆锥的高。 （tp8-13） 图8-13圆锥体的形成与投影 （二）投影 1. 安放位置 如图8-13（b）所示，将圆锥体的轴线垂直于H面，则底圆平行于H面。 2. 投影分析（图8-13（b）） H面投影：为一个圆。它是可见的圆锥面和不可见的底圆投影的重合。 V面投影：为一等腰三角形。它是可见的前半圆锥和不可见的后半圆锥投影的重合，其对应的H面投影是前、后半圆，对应的W面投影是右、左半个三角形。等腰三角形的底边是圆锥底面的积聚投影；两腰（和）是圆锥最左、最右素线（SA和SB）的投影，也是前、后半圆锥的分界线。 W面投影：为一等腰三角形。它是可见的左半圆锥和不可见的右半圆锥投影的重合，其对应的H面投影是左、右半圆；对应的V面投影是左、右半个三角形。等腰三角形的底边是圆锥底圆的积聚投影；两腰（和）是圆锥最前、最后素成（SC和SD）的投影，也是左、右半圆锥的分界线。 3. 作图步骤（图8-13（c）） （1）画轴线的三面投影（o，，）过o作中心线，轴和中心线都画点划线。 （2）在H面上画底圆的实形投影（以O为圆心，OA为半径）；在V、W面上画底圆的积聚投影。 （3）画锥顶（S）的三面投影（s、、，由圆锥的高定、）。 （4）画出转向轮廓线，即画出最左、最右素线的V面投影（和）；画出最前、最后素线的W面投影（和）。 （三）圆锥表面取点 【例8-8】已知圆锥上一点M的V面投影（可见），求m及（图8-14（a））。 （tp8-14） 图8-14圆锥体表面上取点 解：1. 分析：由于可见，且在轴左侧，可知M点在圆锥面的前、左部分。由于圆锥面的三个投影都无积聚性，所缺投影不能直接求出，可利用素线法和纬圆法求解。利用素线法，即过锥顶S和已知点M在圆锥面上作一素线S1，交底圆于1点，求得S1的三面投影，则M点的H、W面投影必然在S1的H、W面投影上。利用纬圆法，即过M点作垂直于圆锥轴线的水平圆（其圆心在轴上），该圆与圆锥的最左、最右素线（SA和SB）相交于Ⅱ、Ⅲ点，以ⅡⅢ为直径在圆锥面上画圆，则M点的H、W面投影必然在该圆H、W面投影上（图8-14（b））. 2. 作图（图8-14（c）） （1）素线法：连接并延长交底圆的积聚投影于；由向下作垂线交H面投影中圆周于1，连接s1；由向上作垂线交s1于m，由Y1求得，利用“高平齐”关系求得。 （2）纬圆法：过作水平方向线，交三角形两腰于、，线段就是所作纬圆的V面积聚投影，也是纬圆的直径；以为直径在H面投影上画纬圆的实形投影；由向下作垂线，与纬圆前半部分相交于m，由、m及Y1得。 3. 判别可见性：由于M点位于圆锥面前、左部分，故m、均可见。 8.2.3、圆球体 （一）形成 半圆面绕其直经（OO1）为轴旋转运动的轨迹称为圆球体（图8-15（a））。半圆线旋转运动的轨迹是球面，即圆球的表面。 （tp8-15） 图8-15圆球体的形成与投影 （二）投影 1.安放位置 由于圆球形状的特殊性（上下、左右、前后均对称），无论怎样放置，其三面投影都是相同大小的圆。 2.投影分析（图8-15（b）） 圆球的三面投影均为圆。 H面投影的圆是可见的上半球面和不可见的下半球面投影的重合。圆周a是圆球面上平行于H面的最大圆A（也是上、下半球面的分界线）的投影。 V面投影的圆是可见的前半球面和不可见的后半球面投影的重合。圆周b′是圆球面上平行于V面的最大圆B（也是前、后半球面的分界线）的投影。 W面投影的圆是可见的左半球面和不可见的右半球面投影的重合。圆周C″是圆球面上平行于W面的最大圆C（也是左、右半球面的分界线）的投影。 三个投影面上的三个圆对应的其余投影均积聚成直线段，并重合于相应的中心线上，不必画出。 3. 作图步骤（图8-15（c）） （1）画球心的三面投影（o、o′、o″）过球心的投影分别作横、竖向中心线（单点长划线）。 （2）分别以o、o′、o″为圆心，以球的半径（即半球面的半径）在H、V、W面投影上画出等大的三个圆，即为球的三面投影。 （三）圆球面上取点 【例8-9】已知球面上一点M的V面投影（可见），求m及m″（图8-16（a））。 （tp8-16） 图8-16圆球体表面上取点 解：1.分析：球的三面投影都没有积聚性，且球面上也不存在直线，故只有采用纬圆法求解。可设想过M点在圆球面上作水平圆（纬圆），该点的各投影必然在该纬圆的相应投影上。作出纬圆的各投影，即可求出M点的所缺投影。 2. 作图（图8-16（b）） （1）过作纬圆的V面投影，该投影积聚为一线段1″2″。 （2）以1′2′为直径在H面上作纬圆的实形投影。 （3）由向下作垂线交纬圆的H面投影于m（因可见，M点必然在圆球面的前半部分）；由m、及Y1求得m″。 3. 判别可见性：因M点位于圆球面的上、右、前半部分，故m可见，m″不可见。 8.2.4、平面截割曲面立体 平面截割曲面立体的截交线一般为封闭的平面曲线（图8-17）。截交线是截平面与曲面立体表面共有点的集合，因此，求截交线的实质就是求这些共有点的投影。 为了准确地求出截交线的投影，应先求出特殊点，即控制截交线形状的点，如最高、最低、最左、最右、最前、最后、可见与不可见的分界点等，然后再求一般点，最后将这些点依次光滑地连成线即可。 （tp8-17） 图8-17曲面立体的截交线 （一）平面截割圆柱体 根据截平面与圆柱体轴线的相对位置，圆柱体的截交线可分三种情况，详见表8-1。 从表8-1中可以看出： （tpb8-1） 表8-1平面截割圆柱体 截平面平行于圆柱轴线，其截交线为一矩形（表8-1（a））。 截平面垂直于圆柱轴线，其截交线为一个圆（表8-1（b））。 截平面倾斜于圆柱轴线，其截交线为一椭圆（表8-1（c））。 【例8-10】求圆柱截割体的投影（图8-18（a））。 （tp8-18） 图8-18平面截割圆柱体 解：1.分析：该圆柱补正垂面P截割，由于截平面倾斜于圆柱轴线，其截交线为一椭圆。该椭圆的V面投影积聚在PV上，H面投影与圆柱面的积聚投影重合，W面投影为一椭圆。由于截交线的H、V面投影实际为已知，故可以通过面上取点的方法求其W面投影。 2. 作图（图8-18（b）） （1）求特殊点：即求椭圆长、矩轴的端点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点，它们又分别是椭圆的最高、最低、最前、最后点。Pυ与圆柱最左、最右素线的V面投影的交点1′、2′是椭圆长轴端点Ⅰ、Ⅱ的V面投影；PV与圆柱最前、最后素线V面投影的交点3′、4′是椭圆短轴端点Ⅲ、Ⅳ点的V面投影，由1′、2′、3′、4′求得1″、2″、3″、4″。 （2）求一般点：为控制椭圆的形状，使作图准确，还应求出随圆上若干一般点。如在截交线V面投影上任取5′（6′），即可求得5（6）、5″（6″）。利用椭圆的对称性，可作出与Ⅴ、Ⅳ点对称的Ⅶ、Ⅷ点的各投影。 （3）连线：在W面投影上将各依次光滑地连成曲线，即得到截交线的W面投影。 3. 判别可见性：当被P截去的上部圆柱不存在时，截交线的W面投影均为可见。 从此例可以看出，由于截交线椭圆的短轴垂直于V面，其W面投影的长度总等于圆柱主的直径；其长轴的长度随截平面与圆柱轴线的倾角不同而变化。当截平面与圆柱轴线的倾角α等于45o时，椭圆长、短轴的W面投影长度相等，即椭圆的W面投影成为一个与圆柱直径相等的圆。 【8-11】求带梯形槽口的圆柱的投影（图8-19（a））。 （tp8-19） 图8-19求带缺口的圆柱的投影 解：1. 分析：该圆柱轴线垂直于W面。槽口的左边被一垂直于圆柱轴线的侧平面P所截，其截交线为圆的一部分；槽口的下边被一平行于圆柱轴线的水平面Q所截，其截交线为一矩形；槽口的右边被一倾斜于圆柱轴线、且α=45o的正垂面R所截，其截交线在空间为椭圆的一部分。由于α=45o，该截交线的H面投影则投影成圆的一部分。由于截交线的V、W面投影都有积聚性，故只需求出其H面投影。 2.作图（图8-19（b）） （1）根据“高平齐”关系，截交线的W面投影只能是截平面Q以上部分。先求截交线右边一段的投影。延长RV与圆柱轴线的V面投影相交于O′，由O′向下作垂线，交圆柱轴线的H面投影于O；以O为圆心，以圆柱的半径在H面投影上画圆，根据“长对正”关系，得圆弧，即平面R截割圆柱的截交线的H面投影。 （2）再求截交线中间一段的投影。在H面投影中，线段12为矩形的短边，根据“长对正”关系，可以求得矩形长边的H面投影。线段13、24即为平面Q截割圆柱面的截交线的H面投影。 （3）截交线左边一段的H面投影积聚成一线段，长度等于矩形的短边，即34. （4）画出P、Q二截平面的交线Ⅲ Ⅳ和Q、R二截平面的交线ⅠⅡ的各投影。 3. 判别可见性：从图中可知截交线的H面投影都可见，V面投影有积聚性，W面投影中1″2″为不可见，画虚线。 （二）平面截割圆锥 根据截平面与圆锥的相对位置不同，圆锥的截交线可分五种情况，详见表8-2。 （tpb8-2） 表8-2平面截割圆锥体 从表8-2中可以看出： 截平面通过锥顶，其截交线为一三角形（表8-2（a））。 截平面垂直于圆锥轴线，其截交线为一圆（表8-2（b））。 截平面与圆锥所有素线都相交，其截交线为一椭圆（表8-2（c））。 截平面平行于圆锥的一条素线，其截交线为抛物线（表8-2（d））。 截平面平行于圆锥的两条素线，其截交线为双曲线（表8-2（e））。 【例8-12】求正垂面P与圆锥的截交线及断面实形（图8-20（a））。 （tp8-20） 图8-20用纬圆法求圆锥的截交线 解：1. 分析：截平面P与圆锥的所有素线都相交，其截交线为一椭圆。该椭圆的V面投影积聚在PV上，H面投影为一椭圆，其长轴为正平线；矩轴为正垂线，且垂直平分长轴。 2. 作图（图8-20（b）） （1）求特殊点：PV与圆锥V面投影轮廓线的交点1′、2′是椭圆长轴端点Ⅰ、Ⅱ的V面投影，它们们于圆锥最右、最左素线上。由1′、2′向下引垂线得1、2；线段1′2′的中点3′（4′）是椭圆短轴端点Ⅲ、Ⅳ的V面投影，过3′（4′）作纬圆，即可求得Ⅲ、Ⅳ的H面投影3、4；5′（6′）是截平面P与圆锥最前、最后素线交点的V面投影，过5′（6′）作纬圆，即可求得5、6。 （2）求一般点：在V面投影中取7′（8′），利用纬圆法即可求得7、8. （3）在H面投影中，依次光滑连接1—5—3—7—2—8—4—6—1，即得到截交线椭圆的H面投影。 3.判别可见性：由于截交线位于圆锥面上，其H面投影全部可见。 4．作断面实形：如图8-20（b）所示。其中1121为椭圆实形的长轴，长度等于1′2′；3141为椭圆实形的短轴，长度等于34；5161和7181分别等于56和78。 （三）平面截割圆球 平面截割圆球，不论截平面的位置如何，截交线的空间形状都是圆。截平面与球心的距离决定截交线圆的大小，截平面通过球心，则截得最大的圆。截交线圆的位置与其截平面的位置一致。截交圆的直径是截平面的积聚投影与球的同面投影圆相交的弦。当截平面为水平面、正平面、侧平面时，其H面投影、V面投影、W面投影反映截面圆的实形，其余二投影分别积聚成直线段，并分别平行于相应的投影轴。直线段的长度等于截面圆实形的直线；当截平面倾斜于投影面时，其投影为椭圆。 【8-13】求带截口的半球的投影（图8-21（a））。 （tp8-21） 图8-21求带缺口的半球的投影 解：1.分析：半球被水平面Q所截，其截交线的H面投影为圆的一部分，W面投影积聚成直线段；侧平面P截割半球的截交线的W面投影为圆的一部分，H面投影为一直线段。 2. 作图（图8-21（b）） （1）先求平面Q与半球的截交线的投影。设想将Qv延长，全部截断半球。在H面上画一个以 m′n′为半径的圆，利用“长对正”关系，得到截交线的H面投影，ab，其W面投影为a″b″。 （2）用同样的方法求平面P与半球的截交线的投影。在W面投影上画一个以O″为圆心，e′f′为半径的半圆，根据“高平齐”关系，得到截交线的W面投影，其H面投影为ab。线段AB为P、Q二平面的交线。 8.2.5、直线与曲面立体相交 【8-14】求直线AB与圆柱的贯穿点（图8-22（a））。 （tp8-22） 图8-22求直线与圆柱的贯穿点 解：1. 分析：直线AB与圆柱面相交，圆柱面的H面投影有积聚性，贯穿点的H面投影必然在圆柱面的H积聚投影上。 2. 作图（图8-22（b）） （1）在H面投影上，ab与圆周的交点1、2就是直线AB与圆柱贯穿点的H面投影。 （2）由1、2分别向上作垂线，交a′b′于1′、2′，即贯穿点的V面投影。 （3）由1′、2′分别向右引水平线，交a″b″于1″2″，即贯穿点的W面投影。 3.判别可见性：贯穿点I位于圆柱面的左、后部分，故1′不可见，1″可。a′1′在圆柱V面投影轮廓线内一段不可见，画虚线，a″1″画实线。贯穿点Ⅱ位于圆柱面的右、前部分，故2′可见，2″ 不可见。2′b′画实线，2″b″在圆柱W面投影轮廓线内一段不可见，画虚线。 【例8-15】求水平线AB与圆锥的贯穿点（图8-23（a））。 （tp8-23） 图8-23求直线与圆锥的贯穿点 解：1. 分析：直线AB与圆锥面相交，因锥面的投影无积聚性，无法直接求得贯穿 点，故采用作辅助面的方法求解。包含水平线AB作水平辅助面P（PV），它与圆锥的截交线为平行于H面的圆（若包含AB作铅垂面，则截交线为双曲线，作图麻烦）。求得AB与截交线圆的交点即为贯穿点。 2. 作图（图8-23（b）） （1）包含AB作水平面，利用a′b′在圆锥V面投影轮廓线内一线段c′d′为直径在H面上画圆，该圆与ab的交点1、2即为贯穿点的H面投影。 （2）过1、2分别向上引垂线，交a′b′于1′、2′，即为贯穿点的V面投影。 3. 判别可见性：Ⅰ点们于圆锥面的左、前部分，故1、1′均可见。连接a1、a′1′，画实线；Ⅱ点们于圆锥面右、后部分，故2可见，连接2b，画实线；2′不可见，2′d′画虚线。 【例8-16】求正平线与圆球的贯穿点(图 8-24(a)) （tp8-24） 图8-24求直线与圆球的贯穿点 解：1. 分析：包含AB作辅助面（正平面）P，则P与圆球的截交线为正平圆，求得AB与截交线圆的交点即为贯穿点。 2. 作图（图8-24（b）） （1）包含AB作正平面，利用H面投影中ab在圆球投影轮廓线内一线段cd为直径在V面上画圆，该圆与a′b′的交点1′、2′即为贯穿点的V面投影。 （2）过1′、2′分别向下作垂线，交ab于1、2，即为贯穿点的H面投影。 3.判别可见性：由于Ⅰ点位于圆球的前、左、下部分，故1不可见，1c画虚线；1′可见，a′1′画实线。Ⅱ点位于圆球的前、右、上部分，故2、2′均可见，2b、2′b′画实线。 注释： tp8-11： 插入图片jzztyst-tp-0811 tp8-12： 插入图片jzztyst-tp-0812 tp8-13： 插入图片jzztyst-tp-0813 tp8-14： 插入图片jzztyst-tp-0814 tp8-15： 插入图片jzztyst-tp-0815 tp8-16： 插入图片jzztyst-tp-0816 tp8-17： 插入图片jzztyst-tp-0817 tpb8-1： 插入图片jzztyst-tp08b8-1 tp8-18： 插入图片jzztyst-tp-0818 tp8-19： 插入图片jzztyst-tp-0819 tpb8-2： 插入图片jzztyst-tp08b8-2 tp8-20： 插入图片jzztyst-tp-0820 tp8-21： 插入图片jzztyst-tp-0821 tp8-22： 插入图片jzztyst-tp-0822 tp8-23： 插入图片jzztyst-tp-0823 tp8-24： 插入图片jzztyst-tp-0824