6.2 直线和平面相交、两平面相交 直线与平面相交，会产生一个交点，其交点是直线与平面的共有点，它既属于直线，又属于平面。 两平面相交，会产生一条交线，其交线是两平面的公有线，它既属于参与相交的甲平面，又属于参与相交的乙平面。 下面我们将讨论直线与平面的交点和两平面的交线的作图问题。 6.2.1、直线与平面相交的特殊情况 直线与平面相交的特殊情况，是指参与相交的直线和平面中，有一个对投影面处于垂直位置，因而它在该投影面的投影具有积聚性。这样利用积聚投影可直接确定交点的该面投影。再根据属于直线的点投影以及属于平面的点和直线的作图规律，即可确定交点的其余投影。交点求出以后，还须判别可见性。 图6-10所示为求直线AB与铅垂面P的交点K的投影作图。 （tp6-10） 图6-10求直线AB与铅垂面P的交点 如6-10（a）直观图所示，因平面P为铅垂面，其H面投影p应积聚为直线，由于交点K是直线AB与平面P的共有点，故p与ab的交点k即为所求交点K的H面投影。而点K又属于直线AB，所以由k向上作铅垂联系线与相交，即可求出，点K的投影k和即为所求。 因P为铅垂面，其H面投影积聚为直线，故不需判别可见性。对于V面投影的可见性判别，应在V面投影中任找一个直线与平面边线的重影点，如与平面右边线的交点、，并求出它们的H面投影1、2，因点1前于点2，故V面投影中属于平面的点Ⅰ可见，而属于直线的点Ⅱ不可见。由于交点K为直线AB可见与不可见的分界点，且直线是连续的，故为不可见，应画为虚线。 图6-11（a）所示为求正垂线MN与ΔABC的交点K的作图。 （tp6-11） 图6-11求正垂线MN与ΔABC的交点 由于直线AB为正垂线，其V面投影积聚为一点，它与ΔABC的交点K的V面投影也积聚于该点。根据交点K又属于ΔABC，按照平面内取点的方法，即可求出其H面投影k。 作图，见6-11（b），图中是过点K引一条属于ΔABC的辅助线CD。为此，应在V面投影中先连，并延长交于，即得CD的V面投影。由即可求出cd，cd和mn的交点即为交点K的H面投影k，k和即是所求交点。 由于直线MN的V面投影积聚为一点，不需判别可见性。对于H面的可见性，应在H面投影中取一重影点，如mn和ac的交点1、2。设点Ⅰ属于AC，点Ⅱ属于MN。因点Ⅰ高于点Ⅱ，所以H面投影中属于AC的点Ⅰ可见，属于MN的点Ⅱ不可见，故H面投影中的k2一段为不可见，应画为虚线。 6.2.2、投影面垂直面和一般位置平面相交 欲求两平面的交线，只要求得属于交线的任意两点并相连即可。 图6-12所示为求一般位置的ΔABC和铅垂面P的交线的作图。 （tp6-12） 图6-12垂直面和一般面相交 分析图6-12（a）不难看出：欲求ΔABC与平面P的交线，只要分别求出ΔABC的AB、AC边与平面P的交点K和L，然后连接K、L两点即得交线。因平面P为铅垂面，其AB、AC与它的交点的求法，前面已经讲过，这里只是前一问题的应用。 图6-12（b）所示为其投影作图： （1）求AB与平面P的交点K。 在H面投影中，ab与p的交点k即为交点K的H面投影。过点k作OX轴的垂线与交于，即得交点K的V面投影。 （2）求AC与平面P的交点L（作图方法同点K）。 （3）分别连接kl、，即为所求两平面交线KL的投影。 （4）判别可见性。 平面P的H面投影有积聚性，不需判别可见性。对于V面投影的可见性判别，应从V面投影中，任取两平面边线的四个交点之一作为重影点，如与右边线的交点、。设点Ⅰ属于P，点Ⅱ属于AB，由、求出1、2.因1点前于2点，故在V面投影中，属于P的Ⅰ点可见，属于AB的Ⅱ点不可见，故KⅡ的V面投影为不可见。因平面是连续的，故V面投影中这一方两个图形重合的部分，属于ΔABC的图线都不可见，应画为虚线，属于平面P的图线则画为实线。而另一方面，在两个图形重合的部分，其虚、实线的画法与上述情况相反。 6.2.3、一般位置直线与一般位置平面相交 1. 作图方法——辅助平面法： 如图6-13所示，欲求一般直线DE和一般面ΔABC的交点K，可包含DE作一辅助平面P，并求出辅助面P和ΔABC的交线MN。MN与直线DE的交点K即为直线DE和ΔABC的交点。 （tp6-13） 图6-13求一般直线一般面的交点的方法 2. 作图步骤 （1）包含已知直线DE作一辅助平面P。为使作图简便，一般以特殊位置平面为辅助平面； （2）求出辅助平面P和已知ΔABC的交线MN； （3）已知直线DE和交线MN的交点K即为所求； （4）判别可见性。 图6-14所示为求直线DE和ΔABC的交点的投影作图。 （tp6-14） 图6-14求直线DE和ΔABC的交点 其投影作图步骤为： （1）过已知直线DE作铅垂面P。则PH与de重合（图6-14（a））； （2）求出平面P和已知ΔABC的交线MN。因平面P⊥H，mn与PH重合，故mn可直接定出，再由mn求出（图6-14（b））； （3）已知直线DE与交线MN的交点K即为所求。与的交点，即为交点K的V面投影。由即可求出交点K的H面投影k。 （4）判别可见性。 由于已知直线和平面都处于一般位置，故H、V面投影均应分别判别可见性。判别V面投影的可见性时，应先在V面投影中任取和边线的交点，比如与的交点、为重影点。设点Ⅰ属于AC，点Ⅱ属于DE，并由、求出其H面投影1、2.因2点前于1点，故在V面投影中，属于直线DE的Ⅱ点可见，所以一段应画为实线。用同样的方法可判别H面投影中mk这一段为可见，应画为实线。 6.2.4、两个一般位置平面相交 两个平面图形相交，当不扩大平面图形的边界线时，会产生全交和互交两种情况。如图6-15（a），当ΔDEF全部穿过ΔABC时,称为全交。图6-15（b）为ΔABC与ΔDEF的棱边互相穿过, 称为互交。 （tp6-15） 图6-15两个平面图形全交和互交 欲求两平面的交线,只要求得属于交线的任意两点并相连即可。因此,我们可取其中一平面的两条边线,并分别求出它们与另一平面的交点,然后相连即可求出交线。其作图方法同求直线和平面的交点,只是多求一个交点而已。 图6-16所示为求ΔABC 和ΔDEF的交线的作图。 tp6-16） 图6-16求两个一般面ΔABC 和ΔDEF的交线 根据上述，现以求ΔDEF的DE、DF边与ΔABC的交点K、L为例来作图。 （1）求ΔDEF的DE边与ΔABC的交点K（作图同图6-14的作图步骤）； （2）求DF边与ΔABC的交点L（作图方法同上）；图中是包含DF作正垂面Q为辅助面，其Qv与重合，故可直接定出Q与ΔABC的交线的V面投影，由求出，则与df的交点l即DF边与ΔABC的交点L的H面投影，再由l即可求（图6-16（b））； （3）连接kl、，即为两平面交线KL的投影（图6-16（c））； （4）判别可见性。 判别H面投影的可见性时，可在ac、bc和de、df四边的四个交点中任取一个为重影点来判别。图中是取bc与de的交点3、4。设点Ⅲ属于BC，点Ⅳ属于DE，并求出它们的V面投影、。因高于，故从上向下观察时，属于BC的点Ⅲ可见，在H面投影中bc应画为实线。因平面是连续的，故以可见和不可见的交线为分界线，在KLFE一方两平面投影相重合的部分属于ΔDEF的图线为不可见，应画为虚线。而KLD一方则与KLFE一方的情况相反。 判别V面投影的可见性时，则可在、和、四边的四个交点中任选一个作为重影点。图中是以与的交点、为重影点来判别V面的可见性（图6-16（c））。 注释： tp6-10：插入图片jzztyst-tp-0610 tp6-11：插入图片jzztyst-tp-0611 tp6-12：插入图片jzztyst-tp-0612 tp6-13：插入图片jzztyst-tp-0613 tp6-14：插入图片jzztyst-tp-0614 tp6-15：插入图片jzztyst-tp-0615 tp6-16：插入图片jzztyst-tp-0616