理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
第十五章 虚位移原理
§ 15－ 1 约束 ?虚位移 ?虚功
§ 15－ 2 虚位移原理
§ 15－ 3 应用举例
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问
题，是研究静力学平衡问题的另一途径。
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
1,约束及分类
约束,限制质点或质点系运动的条件称为约束。表示这
些限制条件的数学方程称为约束方程。
（ 1） 几何约束和运动约束
几何约束,限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。
如图 1所示的平面单摆，其约束方程可表示为
§ 15－ 1 约束 ?虚位移 ?虚功
o
y
x
),( yxA
图 1
222 lyx ??
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
又如图 2所示的曲柄连杆机构，其约束方程则为
222 ayx AA ??
222 )()( byyxx ABAB ????
0?By
运动约束：约束对质点或质点系的运动进行限制的条件。
如车轮沿直线轨道作纯滚动，如图 3所示。
O
y
x
b
a
),( AA yxA
),( BB yxB图 2
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
?
r
0vo
y
x
图 3
ry ?0
00 ?? ?rv )0( 0 ?? ??? rx
其几何约束为
运动约束为
（ 2）定常约束和非定常约束
定常约束,约束条件不随时间改变的约束。如图 1,2、
3中各例的约束条件皆不随时间变化，它们均是定常约
束 。
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
非定常约束,约束条件随时间而改变的约束。如图 4所示，
重物 由一条穿过固定圆环的细绳系住。设初始摆长为,
匀速 拉动绳子。其约束方程为
M 0l
v
o
y
x
),( yxM
l
v
?
图 4
2
0
22 )( vtlyx ???
方程中显含时间,此约束为
非定常约束。
t
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
（ 3）完整约束和非完整约束
完整约束,这类约束的约束方程中不包含坐标对时
间的导数，或者方程中的微分项可以积分为有限形
式。如图 3中，运动约束方程 虽是微分形
式，但可以积分为有限形式，故为完整约束。 00 ?? ??? rx
非完整约束,这类约束的约束方程中包含坐标对时
间的导数（如运动约束），且方程不可积分为有限
形式。
（ 4）单侧约束和双侧的约束
单侧约束,只能限制质点或质点系单一方向运动的约
束。如图 5所示
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
其约束方程为
222 lyx ??
双侧约束,在两个相对的方向上同时对质点和质点系进
行运动限制的约束。如图 6所示，其约束方程为
222 lyx ??
o
y
x
?
绳
图 5
o
y
x
?
刚杆
图 6
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
2．虚位移
虚位移,在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发
生的为约束允许的任意的无限小位移。如图 7所示，可设想
质点在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移 。 r?
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号 来表示。如图 8中的, 和 。 ? ??
Ar? Br?
Ar?
Br?
A
B??
x
z
y
r?
M r?
图 7 图 8
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
虚位移与实位移是不同的概念。实位移是质点系在一定时
间内真实发生的，它除了与约束条件有关外，还与时间、
主动力及运动初始条件有关，且有确定的方向。而虚位移
是在约束容许的条件下可能发生的微小位移，并视约束情
况可能有几种不同的方向，它与时间无关，是一个纯几何
的概念。
3．虚功
力在虚位移中作的功。一般将力 在虚位移 上作的虚功
表示为
F? r??
rFW ?? ??
力偶 所做的虚功则表示为 M ??? ?? MW
应注意,因虚位移只是假想的，不是真实发生的，故虚功
也是假想的，是虚的。
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
4．理想约束
理想约束,这类约束的所有约束反力所做的虚功之和等
于零。用数学公式可以表示为
0???? ?? iNiNiN rFWW ???
式中 表示某质点 上的约束力,表示该质点的虚位
移,表示约束反力在虚位移中所做的功。光滑固定
面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定
端等约束均为理想约束的典型例子。
NiF i ir?
NiW?
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
设有一质点系处于静止平衡状态，取质点系中任一质点,
如图 9所示。质点上作用有主动力合力,约束反力合力,
则有
im
iF NiF
0?? Nii FF
若给质点系以某种虚位移，其
中质点 的虚位移为,则有
im ir?
0???? rFrF Nii ??
对于质点系则有
0???? ?? iNii rFrF ??
im
iF
NiF
ir?
图 9
§ 15－ 2 虚位移原理
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
因为理想约束，存在,故上式变为 0???
iNi rF ?
0??? ii rF ?
0?? FiW?或
上述两式称为虚功方程，即对于具有理想约束的质点系，
其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力
在任何虚位移中所做虚功的和等于零。这个结论称为虚
位移方程，又称为叙功原理。
可以证明,不仅是质点系平衡的必要条件，
也是充分条件。
0??? ii rF ?
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
应用虚位移原理，通常可以求解以下几类问题,
1．系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；
2．求系统在已知主动力作用下的平衡位置；
3．求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；
4．求平衡构架内二力杆的内力。
§ 15－ 3 应用举例
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
例 15-1 求图 10所示椭圆规机构平衡时，主动力 和 之间的
关系。已知杆 长为,铰链是光滑的，杆重和滑定摩擦
不计。
P Q
AB l
【 解 】 （ 1）用几何法求解。
使 发生虚位移为, 发
生虚位移,则由虚位移原
理有
A
Ar? B
Br?
0)( ??? BA rQrP ?? （ 1）
???? co ss i n BA rr ?又有
【 典型题精解 】
B
x
y
P
Q
o
?
Ar?
Br?
A
图 10
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
??? t a nAB rr ?即
?t a nQP ?代入（ 1）式得,
（ 2）用解析法求解。
设 为变量，则有 ?
?sinly A ? ???? ?? c o sly A
?c o slx B ? ???? ??? s i nlx
B
又由虚位移方程
0??? BA xQyP ??
?t a nQP ?
0)s i nc o s( ??? ???? lQP代入 和,则有 Ay? Bx?
因 是任意的，得 ??
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
例 15-2 如图 11所示，多跨静定梁，求支座约束反力。
【 解 】 将
支座 除
去，代入
相应的约
束反力 。
B
BR
?
m
m4 m4 m3 m6 m3 m6 m4
A B
C
D E F
G
1P 2P
图 11
m
A
B C
D E F
G
1P
2P
1r?
Br?
BR
Cr?
Er?
??
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
0211 ????? ????? mrPrRrP CBB
BB
C
B
B rmr
rP
r
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2
1
1
2
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Br
r
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8
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B
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96
11
8
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12
11
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6
1
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r
r
r
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r
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?
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mPPR B 961181121 21 ???
而
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m
A
B C
D E F
G
1P
2P
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Br?
BR
Cr?
Er?
??
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
例 15-3 机构如图 12所示，已知：,,
力偶矩为 。试用虚位移原理求图示位置（ ）平衡
时,力大小。
lBOOA ?? 1 11 OOBO ?
M ??30?
P
B
?
【 解 】 如图 12（ a）
可知,点的位置
坐标与广义坐标
的关系并不直接，
因此用解析法求
解不方便，故采
用几何法建立系
统虚位移如图 12（ b）所示：取 为动
点,为动系,为 点的牵连位移,
为 点的相对位移，则 点的虚位移
为,
A
BO1 er? rr?
Ar?
A
A A
O 1O
M
B
A
P
O 1O
M
B
A
P
?
Br? r
?
Ar?
er?
（ a） （ b）
图 12
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
reA rrr ??? ??将上式往水平方向投影,
eA rr ??? ?sin
则
又因为 作定轴转动 BO
1
eB rr ?? 2? ??? lrA ?
则
? ? ???? s i n2s i n2 lrr AB ??所以
根据所建立的虚位移状态，系统的虚功方程为,
0??? BrPM ???
l
M
l
MM
rP B ??? ??
??
s in2
故
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
例 15-4 均质杆 和 长均为,重均为 P，它们在 端
光滑铰接,处为光滑固定铰之座。系统在图 13所示铅直平
面内平衡时，杆 和 与铅垂线的夹角分别为 和 。试求
保持该系统平衡时作用在 点的水平力 和 杆上力偶矩
的大小。
l
? ?
F
AB
m
OA A
O
OA AB
B AB
【 解 】 可用解析法求解，如图所示建立 坐标系，由虚位
移原理列方程，有
oxy
0?????? ?????? mxPyGyGW BDC
（ 1）
?co s2ly C ? ?? c o s2c o s lly D ??
?? s i ns i n llx B ??
由于
o x
y
?
?
A
C
D m
F
P
P
B
图 13
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
求变分得,
???? s i n2ly C ?? ? ??? ??? s i n2s i n lly D ??? ? ? ?? ? ?? c o sc o s llx B ??
将这些结果代入（ 1）式，整理可得,
0)s in21c o s()s in23c o s( ????? ???????? mGlPllGP
由于,且 是彼此独立的，故系统是两
个自由度系统，由上式可得两个独立方程,
00 ?? ????, ??、
0s i n23c o s ?? ?? GP
0s i n21c o s ??? mGlPl ??
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
联立上两式，可解得,
?G tgP 23?
)s i nc o s3(21 ??? ?? tgGlm
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
1．是非题
（ 1）虚位移原理只适用于具有理想约束的系统。（ ）
（ 2）虚位移可以有多种不同的方向，而实位移只能有
唯一确定的方向。（ ）
（ 3）虚位移是假想的、极微小的位移，它与时间、主
动力以及运动的初始条件无关。（ ）
【 思考题 】
对
错
错
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2．选择题
CA rr ?? 2
3?
CA rr ?? 3?
CA rr ?? 2
3?
CA rr ?? 2
1?
A
,
B
,
C
,
D
,
C
如图 14所示平面机构,连线铅垂，杆,在图示瞬
时，角,杆 水平，则该瞬时 点和 点的虚位移
大小关系为（ ）。
CD BDCB ?
?? 30? AB A C
C
A
O
D
B
?
图 14
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
3,在图 15所示机构重，已知：力,,
弹簧原长为,弹簧系数为 。试用虚位移原理求机构平衡
时，力 与角 的关系。
P LECEFDFDCBCAC ??????
L k
?P
)1s i n2(32 ?? ?kLP
答案,
x
y
P
?
A
D
C
B
E
F
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
4,在图 16所示水压机中，已知两活塞面积分别为 和,
并在两活塞上各作用力 和,试用虚位移原理求水压机平
衡时 之间的关系。
1A 2A
P Q
QP、
2
1
A
AQP ?答案,P Q
1A 2A
图 16
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
5,试用虚位移原理求图 17所示桁架中杆 1,2的内力。
2221
2
bh
PbS
b
PhS
????,
答案,
h
h
h
b
P
图 17
第十五章 虚位移原理
§ 15－ 1 约束 ?虚位移 ?虚功
§ 15－ 2 虚位移原理
§ 15－ 3 应用举例
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问
题，是研究静力学平衡问题的另一途径。
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
1,约束及分类
约束,限制质点或质点系运动的条件称为约束。表示这
些限制条件的数学方程称为约束方程。
（ 1） 几何约束和运动约束
几何约束,限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。
如图 1所示的平面单摆，其约束方程可表示为
§ 15－ 1 约束 ?虚位移 ?虚功
o
y
x
),( yxA
图 1
222 lyx ??
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
又如图 2所示的曲柄连杆机构，其约束方程则为
222 ayx AA ??
222 )()( byyxx ABAB ????
0?By
运动约束：约束对质点或质点系的运动进行限制的条件。
如车轮沿直线轨道作纯滚动，如图 3所示。
O
y
x
b
a
),( AA yxA
),( BB yxB图 2
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
?
r
0vo
y
x
图 3
ry ?0
00 ?? ?rv )0( 0 ?? ??? rx
其几何约束为
运动约束为
（ 2）定常约束和非定常约束
定常约束,约束条件不随时间改变的约束。如图 1,2、
3中各例的约束条件皆不随时间变化，它们均是定常约
束 。
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
非定常约束,约束条件随时间而改变的约束。如图 4所示，
重物 由一条穿过固定圆环的细绳系住。设初始摆长为,
匀速 拉动绳子。其约束方程为
M 0l
v
o
y
x
),( yxM
l
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图 4
2
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22 )( vtlyx ???
方程中显含时间,此约束为
非定常约束。
t
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
（ 3）完整约束和非完整约束
完整约束,这类约束的约束方程中不包含坐标对时
间的导数，或者方程中的微分项可以积分为有限形
式。如图 3中，运动约束方程 虽是微分形
式，但可以积分为有限形式，故为完整约束。 00 ?? ??? rx
非完整约束,这类约束的约束方程中包含坐标对时
间的导数（如运动约束），且方程不可积分为有限
形式。
（ 4）单侧约束和双侧的约束
单侧约束,只能限制质点或质点系单一方向运动的约
束。如图 5所示
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
其约束方程为
222 lyx ??
双侧约束,在两个相对的方向上同时对质点和质点系进
行运动限制的约束。如图 6所示，其约束方程为
222 lyx ??
o
y
x
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绳
图 5
o
y
x
?
刚杆
图 6
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
2．虚位移
虚位移,在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发
生的为约束允许的任意的无限小位移。如图 7所示，可设想
质点在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移 。 r?
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符
号 来表示。如图 8中的, 和 。 ? ??
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A
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y
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M r?
图 7 图 8
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
虚位移与实位移是不同的概念。实位移是质点系在一定时
间内真实发生的，它除了与约束条件有关外，还与时间、
主动力及运动初始条件有关，且有确定的方向。而虚位移
是在约束容许的条件下可能发生的微小位移，并视约束情
况可能有几种不同的方向，它与时间无关，是一个纯几何
的概念。
3．虚功
力在虚位移中作的功。一般将力 在虚位移 上作的虚功
表示为
F? r??
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力偶 所做的虚功则表示为 M ??? ?? MW
应注意,因虚位移只是假想的，不是真实发生的，故虚功
也是假想的，是虚的。
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
4．理想约束
理想约束,这类约束的所有约束反力所做的虚功之和等
于零。用数学公式可以表示为
0???? ?? iNiNiN rFWW ???
式中 表示某质点 上的约束力,表示该质点的虚位
移,表示约束反力在虚位移中所做的功。光滑固定
面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定
端等约束均为理想约束的典型例子。
NiF i ir?
NiW?
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
设有一质点系处于静止平衡状态，取质点系中任一质点,
如图 9所示。质点上作用有主动力合力,约束反力合力,
则有
im
iF NiF
0?? Nii FF
若给质点系以某种虚位移，其
中质点 的虚位移为,则有
im ir?
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对于质点系则有
0???? ?? iNii rFrF ??
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图 9
§ 15－ 2 虚位移原理
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
因为理想约束，存在,故上式变为 0???
iNi rF ?
0??? ii rF ?
0?? FiW?或
上述两式称为虚功方程，即对于具有理想约束的质点系，
其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力
在任何虚位移中所做虚功的和等于零。这个结论称为虚
位移方程，又称为叙功原理。
可以证明,不仅是质点系平衡的必要条件，
也是充分条件。
0??? ii rF ?
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
应用虚位移原理，通常可以求解以下几类问题,
1．系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；
2．求系统在已知主动力作用下的平衡位置；
3．求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；
4．求平衡构架内二力杆的内力。
§ 15－ 3 应用举例
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
例 15-1 求图 10所示椭圆规机构平衡时，主动力 和 之间的
关系。已知杆 长为,铰链是光滑的，杆重和滑定摩擦
不计。
P Q
AB l
【 解 】 （ 1）用几何法求解。
使 发生虚位移为, 发
生虚位移,则由虚位移原
理有
A
Ar? B
Br?
0)( ??? BA rQrP ?? （ 1）
???? co ss i n BA rr ?又有
【 典型题精解 】
B
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y
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o
?
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Br?
A
图 10
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
??? t a nAB rr ?即
?t a nQP ?代入（ 1）式得,
（ 2）用解析法求解。
设 为变量，则有 ?
?sinly A ? ???? ?? c o sly A
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B
又由虚位移方程
0??? BA xQyP ??
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0)s i nc o s( ??? ???? lQP代入 和,则有 Ay? Bx?
因 是任意的，得 ??
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
例 15-2 如图 11所示，多跨静定梁，求支座约束反力。
【 解 】 将
支座 除
去，代入
相应的约
束反力 。
B
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图 11
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理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
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理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
例 15-3 机构如图 12所示，已知：,,
力偶矩为 。试用虚位移原理求图示位置（ ）平衡
时,力大小。
lBOOA ?? 1 11 OOBO ?
M ??30?
P
B
?
【 解 】 如图 12（ a）
可知,点的位置
坐标与广义坐标
的关系并不直接，
因此用解析法求
解不方便，故采
用几何法建立系
统虚位移如图 12（ b）所示：取 为动
点,为动系,为 点的牵连位移,
为 点的相对位移，则 点的虚位移
为,
A
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（ a） （ b）
图 12
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
reA rrr ??? ??将上式往水平方向投影,
eA rr ??? ?sin
则
又因为 作定轴转动 BO
1
eB rr ?? 2? ??? lrA ?
则
? ? ???? s i n2s i n2 lrr AB ??所以
根据所建立的虚位移状态，系统的虚功方程为,
0??? BrPM ???
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s in2
故
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
例 15-4 均质杆 和 长均为,重均为 P，它们在 端
光滑铰接,处为光滑固定铰之座。系统在图 13所示铅直平
面内平衡时，杆 和 与铅垂线的夹角分别为 和 。试求
保持该系统平衡时作用在 点的水平力 和 杆上力偶矩
的大小。
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【 解 】 可用解析法求解，如图所示建立 坐标系，由虚位
移原理列方程，有
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图 13
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
求变分得,
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将这些结果代入（ 1）式，整理可得,
0)s in21c o s()s in23c o s( ????? ???????? mGlPllGP
由于,且 是彼此独立的，故系统是两
个自由度系统，由上式可得两个独立方程,
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理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
联立上两式，可解得,
?G tgP 23?
)s i nc o s3(21 ??? ?? tgGlm
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
1．是非题
（ 1）虚位移原理只适用于具有理想约束的系统。（ ）
（ 2）虚位移可以有多种不同的方向，而实位移只能有
唯一确定的方向。（ ）
（ 3）虚位移是假想的、极微小的位移，它与时间、主
动力以及运动的初始条件无关。（ ）
【 思考题 】
对
错
错
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
2．选择题
CA rr ?? 2
3?
CA rr ?? 3?
CA rr ?? 2
3?
CA rr ?? 2
1?
A
,
B
,
C
,
D
,
C
如图 14所示平面机构,连线铅垂，杆,在图示瞬
时，角,杆 水平，则该瞬时 点和 点的虚位移
大小关系为（ ）。
CD BDCB ?
?? 30? AB A C
C
A
O
D
B
?
图 14
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
3,在图 15所示机构重，已知：力,,
弹簧原长为,弹簧系数为 。试用虚位移原理求机构平衡
时，力 与角 的关系。
P LECEFDFDCBCAC ??????
L k
?P
)1s i n2(32 ?? ?kLP
答案,
x
y
P
?
A
D
C
B
E
F
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
4,在图 16所示水压机中，已知两活塞面积分别为 和,
并在两活塞上各作用力 和,试用虚位移原理求水压机平
衡时 之间的关系。
1A 2A
P Q
QP、
2
1
A
AQP ?答案,P Q
1A 2A
图 16
理论力学电子教程 第十五章 虚位移原理
5,试用虚位移原理求图 17所示桁架中杆 1,2的内力。
2221
2
bh
PbS
b
PhS
????,
答案,
h
h
h
b
P
图 17
