理论力学电子教程 第十一章 动量定理
§ 11－ 2 质点系动量定理
§ 11－ 3 质心运动定理
§ 11－ 1 质点动量定理
第十一章 动量定理
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
在前面一章讨论的是质点动力学基本方程，而从本章起
将讨论的是动力学普遍定理。它包括质点与质点系的动量定
理、质心运动定理、质点与质点系的动量矩定理、质点与质
点系的动能定理等。
本章主要讨论,质点系的动量定理、质心运动定理 。
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
⒈ 质点动量定理的微分形式
由质点动力学基本方程，有
Fdtdvm ?
因 c o n stm ? 则
Fmvdtd ?)(
（ 11－ 1）
表明质点动量的变化率等于作用在质点上的
合力，此即为质点的动量定理。
§ 11－ 1 质点动量定理
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
⒉ 质点动量定理的积分形式
??? 2112 tt F d tmvmv
在 t1与 t2时刻,（ 11－ 3）
写成微分形式 F d tmvd ?)( （ 11－ 2）
这是微分形式的质点动量定理 Fdt 称之为冲量。
式中 —— 质点动量；矢量，其大小等于质点的
质量 m与它在某瞬时速度 v的乘积，其单位
mv
smkg /?
或 sN? 。
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
上式表明，在任一段时间内，质点动量的增量等
于作用在质点上的力在同一段时间的冲量。这就
是质点动量定理的积分形式，又称为质点的冲量
定理。
?? 21tt F d tS
（ 11－ 4）
称为力 （时间的函数）在时间间隔（ ）内的
冲量。冲量是矢量，它的运算按矢量运算法则进
行，亦即，在任一段时间内，合力的冲量等于各
个分力的冲量的矢量和，单位 。
F 12 tt ?
sN?
（ 11－ 3）在直角坐标轴上的投影形式为
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
? ??? 2112 tt xxxx SdtFmvmv
? ??? 2112 tt yyyy SdtFmvmv
? ??? 2112 tt zzzz SdtFmvmv
（ 11－ 5）
⒊ 质点动量守恒
若 作 用 于 质 点 上 的 力 为 零,, 则
有, 则质点动量保持不变 。
若, 则有 。
0?F
012 ?? mvmv
0?xF 012 ?? xx mvmv
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
有几个质点组成的质点系,内力,外力。对 i质点 iiF ieF
iieii FFvmdt
d ??)(有
将质点系中每个质点的动量定理相加有
?? ? ?? ie FFmvdtd )(
因内力, 0??
iF
故 ? ??
eFmvdt
d
§ 11－ 2 质点系动量定理
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
各质点动量的矢量和，质点系的动量用 K表示。
?? mvK （ 11－ 6）
于是有,? ?
?? eFmvdtddtdK （ 11－ 7）
上式称为质点系动量定理的微分形式，即质点系的
动量（主矢） 对时间的导数，等于作用于该
质点上所有力的主矢 。 ?mv ?
eF
投影在直角坐标轴上,
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ez
z
ey
y
ex
x
F
dt
dk
F
dt
dk
F
dt
dk
（ 11－ 8）
将（ 11－ 7）改成 ?? dtFdk
e
质点系动量的微分等于质点系所受外力系的动量的矢量和。
积分后有,
? ??? dtFKK tt e2112
改写为,???
eSKK 12 （ 11－ 9）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
上述即为质点系动量定理的积分形式，又称冲量定理。
即，质点系动量在某时间间隔内的改变量，等于各质
点系所受全部外力在同一时间间隔内动量的矢量和。
在坐标轴上投影有,
?
?
?
??
?
?
??
??
??
?
?
?
ezzz
eyyy
exxx
SKK
SKK
SKK
12
12
12
（ 11－ 10）
上式表明：在某一时间间隔内，质点系动量在任一固定
轴上投影的改变量，等于作用于质点系的外力动量在同
轴上投影的代数和。
易用动量定理解决的问题有：流体流过弯曲管道、射
流对障碍物表面的压力及碰撞问题等。
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
【 解 】
考虑小球，取坐标轴 xoy
根据投影的质点动量定理
?? S i nmvS i nmvS x 12 ???
)( 12 ?? C o svmC o smvS y ???
代入数值得,smkgS
x /27.0 ?? smkgS y /46.4 ??
Sx,Sy正值，方向与所做一致
例 11-1 质量为 1kg的小球，以 的速度与一固
定水平面相碰，其方向与铅垂线成 角。设小球弹跳
的速度为,其方向与铅垂线成 角，如图
所示，试求作用于小球上的动量的大小和方向。
smv /41 ?
smv /22 ?
??30?
??60?
? ?
1v
2v
?
?
1v
2v
?
yS
xS
S
x
y
(a)
(b)
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
smkgSSS yx /47.446.427.0 2222 ??????
其方向,0 6 0 5.0
46.4
27.0 ???
y
x
S
Stg ? '283???
例 11-2 机车的质量为,车辆的质量为,它们系
通过相互撞击而挂钩的。若挂钩前，机车的速度为,
车辆处于静止，如图（ a）所示。求（ 1）挂钩后的共同
速度 ；（ 2）在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击
力。设挂钩时间为 秒，轨道是光滑和水平的。
1m 2m
1v
u
t
1v 02 ?v
（ a）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
【 解 】
以机车和车辆为研究对象。它们在撞击过程中相互作
用力是内力，作用在系统上的外力除了铅垂方向的重
力和轨道给车轮的法向反力外，无其它外力，故在挂
钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的动量在水
平轴 x方向是守恒的。
（ 1）
0)( 1121 ??? vmumm
1
21
1 v
mm
mu
?
?
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
（ 2） 以机车为研究对象，如图（ b）所示。
Svmum ??? 111
由此的动量 S的大小为,
1
21
21
11 )( vmm
mmuvmS
????
从而求得平均撞击力为,
1
21
21
)( vtmm
mm
t
sF
???
u
S
（ b）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
⒈ 质量中心
组成质点系各质点的质量及其在空间位置是不同的，表
征质点系的各质点的质量及其位置分布情况的一个几何
点称为质量中心，简称质心。
确定质心位置的方法与重
心类似（同第四章）
M
rmr ii
c
?? （ 11－ 11）
c im
ir
cr
cy
cx
cz
y
x
z
o
§ 11－ 3 质心运动定理
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
而其坐标公式,
M
xMx ii
c
??
M
yMy ii
c
??
M
zMz ii
c
?? （ 11－ 12）
质心和重心是两个不同的概念，质心是质点系质量中心，
质心只取决于质量的分布情况，与质点系所受力无关。
质心和重心只有在重力场中才重合为一个点。
质点系的动量是各质点动量矢量和 ?? mvMv
c
（ 11－ 13）
投影在直角坐标轴上,
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
czz
cyy
cxx
Mvmv
Mvmv
Mvmv
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-1 图示质点系的动量。
c cv
（ a）
o
?
c ?
?
（ b）
?
R
（ c）
?
R
c
（ d）
（ a）
cMvmvK ?? ?
iLMmvK ?2??? ?
0?K
?MRMvK c ??
（ b）
（ c）
（ d）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
⒉ 质心运动定理
对式（ 11－ 13）求导数,?
? mvMv c
?? maMa c
（ 11－ 13）
（ 11－ 14）
又由质点系动量定理，式（ 11－ 7）,
? ??? eFmvdtddtdK
则, ?? ?
eFma
（ 11－ 15）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
或 ??
ec FMa （ 11－ 16）
上式称为质心运动定理。即，质点系的总质量与质
心加速度的乘积等于质点所受外力的矢量和。
对于刚体或刚体系统，由于刚体的质心位置难以确定，
故用 比较方便。 ??
ec FMa
投影形式,
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
??
cz
cy
cx
Fzm
Fym
Fxm
??
??
??
（ 11－ 17）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
或
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
czc
cyc
cxc
FzM
FyM
FxM
??
??
??
（ 11－ 18）
质心运动定理表明：质心的运动只取决于外力，而与内力
无关，也与外力是否作用在质心无关。
⒊ 质心运动守恒定理
由,若,则, 常矢量。 ??
ec FMa 0?? eF 0?ca ?cv
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
即，若作用于质点系的外力系主矢恒等于零，则质心作
惯性运动，若质心的初始速度也等于零，,则
常矢量。即质心位置静止。
0?cv
?cr
若,则, 常数，即质心在 x轴上守
恒，又若 v0在 x轴上投影也为零，则 常数，质心在 x轴
方向静止。
0?? cxF 0?cxa ?cxv
?cx
上述的质心运动守恒和质心位置守恒，通常称为：质心
运动守恒定理。
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-2 在静止的小船中间站着两个人, 其中 m1＝ 50kg，
面向船首方向走动 1.5m。 另一个人 m2＝ 60kg,面向船尾方
向走动 0.5m。 若船重 M＝ 150kg,求船的位移 。 水的阻力
不计 。
【 解 】
因无水平力
水平方向质心守恒,
又初始静止
00 ?? cv c
gm1
gm2
Mg
y
Mg
尾 首 甲 乙
gm2
甲 乙
x
x
x
gm1
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
? 常数?
cx cc xx ?0
把坐标原点放在船的质心的初始位置
00 ?cx
设当经过 t时刻后，船向右移动 x，则,
0)5.1()5.0(
21
12 ?
??
?????
Mmm
mxmxMxx
ct
即 0)5.1()5.0(
12 ????? mxmxMx
)(1 7 3.0
2 6 0
75305.15.0
21
12
应向左位移m
Mmm
mm
x
??
?
?
??
?
?
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-3 质量为 M的物块 A放在光滑的水平面上，如图。
若摆长为,质量不计，摆锤 B质量为,且摆动
,为常数。设运动开始时质心速度为零，求物块 A的
运动方程。
l m t??? s in0?
0??、
【 解 】 以物块 A与摆锤 B所组成
的质点系为研究对象。
，故质心在水平方向守恒（即
质心的 x左边不变）,。
0?? cxF
00 ?xv
取 oxy：并令 y轴通过质心，
则 0?
cx
0???? Mm Mxmxx ABc （ 1）
Mg
N
?
mg
A
B
o
Bx
Ax
x
y
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
或 （ 2） 0??
AB Mxmx
因有 ?s i nlxx
AB ?? （ 3）
将（ 3）代入（ 2）有,
)s i ns i n (s i n 0 tMm mlMm mlx A ??? ????
（ 4）
（ 4）式即为物块 A的运动方程
本题也可用质点系动量在 x轴方向守恒
0)c o s( ???? ???lvmMvK AAx
（ 5）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
?? c o s?Mm mlv A ?? （ 6）
将（ 6）式积分有,
CMm mldMm mlx A ????? ? ??? s i nc o s （ 7）
又,代入（ 7）式得,
由此存在
000 ??? Axt,,? 0?C
)s i ns i n (s i n 0 tMm mlMm mlx A ??? ????
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-4 如图所示系统中，均质杆 OA,AB与均质轮的质量
均为, OA杆的长度为, AB杆的长度为,轮的半径为
R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时,OA的角速度为
，则整个系统的动量为多少？
m 1l 2l
?
【 解 】,方向水平向左
。因为按图示机构，系统可分成 3
个刚块,OA,AB、和轮 B。首先需
找出每个刚块的质心速度,
?125 mlp ?
OA作定轴转动，其质心速度在图示
瞬时只有水平分量, f
方向水平向左。
?11 21 lv x ?
?
A
B
O
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速度也只有水平分量
?12 lvv Ax ??,方向水平向左。
轮 B作平面运动，其质心 B的运动轨迹为水平直线，所以 B
点的速度方向恒为水平，在图示瞬时,方
向水平向左。 ?1lvv AB ??
所以
0?yp 0?zp
)(25 1321 ????? ?mlmvmvmvp xxxx
所以
?125 mlpp x ??
方向水平向左
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-5 如图所示，均质杆 OA，长,重为,绕 O 轴在铅
垂面内转动。杆与水平线成 角时，其角速度和角加速度
分别为 和,求该瞬时轴 O 的约束反力。
l2 P
?
? ?
【 解 】 取杆 OA为研究对象
，受力如（ b）图所示。取
坐标系 oxy，杆 OA质心加速
度为,
2?la n
c ? ?
? la c ?
方向如图（ b）所示。则,
? C
l l
?
?
A
oy
ox
P
nca
?ca
(b)
x
y
o
?
P
C
l l
?
?
A
O
(a)
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
?????? ? s i nc o ss i nc o s 2 llaaa onccx ??????
?????? ? c o ss i nc o ss i n 2 llaaa onccy ????
由质心运动定理得,?? XMa
cx ?? YMa cy
得,
oXllg
P ??? )s inc o s( 2 ???? PXll
g
P
o ??? )c o ss in(
2 ????
解得,
)s inc o s( 2 ???? ??? gPlX o )c o ss in( 2 ???? ??? gPlPY o
本题约束反力也可表示为切向力和法向反力，读者可自己
进行求解。
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-6 如图所示，均质杆 AB长为,铅垂地立
在光滑得水平面上，求它从铅垂位置无初速度地
倒下时，端点 A得轨迹。
l
【 解 】 AB杆初始静止，且有
0?? X
即沿 x轴方向质心位置应守
恒，质心 C始终在 y轴上,A
点的坐标可表示为,
?c o s2lx A ? ?s inly A ?
消去,得,?
2224 lyx AA ??
即 A点的轨迹为椭圆。
?
?
C?
C
?
A
B
B?
A?
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
1.选择题
D
（ 1）设刚体的动量为,其质心的速度为,质量为 M，则
式 。（ ）
P
cv
cMvP ?
A.只有在刚体作平动时才成立
B.只有在刚体作直线运动时才成立
C.只有在刚体作圆周运动时才成立
D.刚体作任意运动时均成立
C （ 2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ ）
A.无变化 B.动量大小有变化，但方向不变
C.动量大小无变化，但方向有变化
D.动量大小、方向都有变化
【 思考题 】
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
C
（ 3）一均质杆长为,重为 P，以角速度 绕 O 轴转动。试
确定在图示位置时杆的动量。（ ）
l ?
A.杆的动量大小,方向朝左
?gPlK 2?
B.杆的动量大小,方向朝右
?gPlK 3?
C.杆的动量大小,方向朝左
?gPlK 6?
D.杆的动量等于零
?
A
B
O
3
l
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
C
A.质点动量没有改变
B.质点动量的改变量大小为,方向铅垂向上 mv2
C.质点动量的改变量大小为,方向铅垂向下 mv2
D.质点动量的改变量大小为,方向铅垂向下 mv
m v（ 4）将质量为 的质点，以速度 铅直上抛，试计算质点
从开始上抛至再回到原处的过程中质点动量的改变量。
（ ）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
2.如图所示，均质轮质量为,半径为 R,偏心距
，轮的角速度和角加速度在图示位置时为 和,轮在垂
直面内运动，求铰支座 O 的约束反力。
m lOC ?
? ?
?O
C
? ?
????? s i n,c o s 2 mgmlFmgmlF ono ????
答案,
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
3.重为 的小车停在光滑的轨道上，重为
的人站在车上。某瞬时人在车上以相对速度 行
走，求此时小车的速度 的大小。
NP 1 0 0 01 ? NP 6002 ?
smu /5.0?
v?
xv
u
§ 11－ 2 质点系动量定理
§ 11－ 3 质心运动定理
§ 11－ 1 质点动量定理
第十一章 动量定理
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
在前面一章讨论的是质点动力学基本方程，而从本章起
将讨论的是动力学普遍定理。它包括质点与质点系的动量定
理、质心运动定理、质点与质点系的动量矩定理、质点与质
点系的动能定理等。
本章主要讨论,质点系的动量定理、质心运动定理 。
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
⒈ 质点动量定理的微分形式
由质点动力学基本方程，有
Fdtdvm ?
因 c o n stm ? 则
Fmvdtd ?)(
（ 11－ 1）
表明质点动量的变化率等于作用在质点上的
合力，此即为质点的动量定理。
§ 11－ 1 质点动量定理
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
⒉ 质点动量定理的积分形式
??? 2112 tt F d tmvmv
在 t1与 t2时刻,（ 11－ 3）
写成微分形式 F d tmvd ?)( （ 11－ 2）
这是微分形式的质点动量定理 Fdt 称之为冲量。
式中 —— 质点动量；矢量，其大小等于质点的
质量 m与它在某瞬时速度 v的乘积，其单位
mv
smkg /?
或 sN? 。
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
上式表明，在任一段时间内，质点动量的增量等
于作用在质点上的力在同一段时间的冲量。这就
是质点动量定理的积分形式，又称为质点的冲量
定理。
?? 21tt F d tS
（ 11－ 4）
称为力 （时间的函数）在时间间隔（ ）内的
冲量。冲量是矢量，它的运算按矢量运算法则进
行，亦即，在任一段时间内，合力的冲量等于各
个分力的冲量的矢量和，单位 。
F 12 tt ?
sN?
（ 11－ 3）在直角坐标轴上的投影形式为
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
? ??? 2112 tt xxxx SdtFmvmv
? ??? 2112 tt yyyy SdtFmvmv
? ??? 2112 tt zzzz SdtFmvmv
（ 11－ 5）
⒊ 质点动量守恒
若 作 用 于 质 点 上 的 力 为 零,, 则
有, 则质点动量保持不变 。
若, 则有 。
0?F
012 ?? mvmv
0?xF 012 ?? xx mvmv
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
有几个质点组成的质点系,内力,外力。对 i质点 iiF ieF
iieii FFvmdt
d ??)(有
将质点系中每个质点的动量定理相加有
?? ? ?? ie FFmvdtd )(
因内力, 0??
iF
故 ? ??
eFmvdt
d
§ 11－ 2 质点系动量定理
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
各质点动量的矢量和，质点系的动量用 K表示。
?? mvK （ 11－ 6）
于是有,? ?
?? eFmvdtddtdK （ 11－ 7）
上式称为质点系动量定理的微分形式，即质点系的
动量（主矢） 对时间的导数，等于作用于该
质点上所有力的主矢 。 ?mv ?
eF
投影在直角坐标轴上,
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ez
z
ey
y
ex
x
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F
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F
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（ 11－ 8）
将（ 11－ 7）改成 ?? dtFdk
e
质点系动量的微分等于质点系所受外力系的动量的矢量和。
积分后有,
? ??? dtFKK tt e2112
改写为,???
eSKK 12 （ 11－ 9）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
上述即为质点系动量定理的积分形式，又称冲量定理。
即，质点系动量在某时间间隔内的改变量，等于各质
点系所受全部外力在同一时间间隔内动量的矢量和。
在坐标轴上投影有,
?
?
?
??
?
?
??
??
??
?
?
?
ezzz
eyyy
exxx
SKK
SKK
SKK
12
12
12
（ 11－ 10）
上式表明：在某一时间间隔内，质点系动量在任一固定
轴上投影的改变量，等于作用于质点系的外力动量在同
轴上投影的代数和。
易用动量定理解决的问题有：流体流过弯曲管道、射
流对障碍物表面的压力及碰撞问题等。
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
【 解 】
考虑小球，取坐标轴 xoy
根据投影的质点动量定理
?? S i nmvS i nmvS x 12 ???
)( 12 ?? C o svmC o smvS y ???
代入数值得,smkgS
x /27.0 ?? smkgS y /46.4 ??
Sx,Sy正值，方向与所做一致
例 11-1 质量为 1kg的小球，以 的速度与一固
定水平面相碰，其方向与铅垂线成 角。设小球弹跳
的速度为,其方向与铅垂线成 角，如图
所示，试求作用于小球上的动量的大小和方向。
smv /41 ?
smv /22 ?
??30?
??60?
? ?
1v
2v
?
?
1v
2v
?
yS
xS
S
x
y
(a)
(b)
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
smkgSSS yx /47.446.427.0 2222 ??????
其方向,0 6 0 5.0
46.4
27.0 ???
y
x
S
Stg ? '283???
例 11-2 机车的质量为,车辆的质量为,它们系
通过相互撞击而挂钩的。若挂钩前，机车的速度为,
车辆处于静止，如图（ a）所示。求（ 1）挂钩后的共同
速度 ；（ 2）在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击
力。设挂钩时间为 秒，轨道是光滑和水平的。
1m 2m
1v
u
t
1v 02 ?v
（ a）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
【 解 】
以机车和车辆为研究对象。它们在撞击过程中相互作
用力是内力，作用在系统上的外力除了铅垂方向的重
力和轨道给车轮的法向反力外，无其它外力，故在挂
钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的动量在水
平轴 x方向是守恒的。
（ 1）
0)( 1121 ??? vmumm
1
21
1 v
mm
mu
?
?
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
（ 2） 以机车为研究对象，如图（ b）所示。
Svmum ??? 111
由此的动量 S的大小为,
1
21
21
11 )( vmm
mmuvmS
????
从而求得平均撞击力为,
1
21
21
)( vtmm
mm
t
sF
???
u
S
（ b）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
⒈ 质量中心
组成质点系各质点的质量及其在空间位置是不同的，表
征质点系的各质点的质量及其位置分布情况的一个几何
点称为质量中心，简称质心。
确定质心位置的方法与重
心类似（同第四章）
M
rmr ii
c
?? （ 11－ 11）
c im
ir
cr
cy
cx
cz
y
x
z
o
§ 11－ 3 质心运动定理
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
而其坐标公式,
M
xMx ii
c
??
M
yMy ii
c
??
M
zMz ii
c
?? （ 11－ 12）
质心和重心是两个不同的概念，质心是质点系质量中心，
质心只取决于质量的分布情况，与质点系所受力无关。
质心和重心只有在重力场中才重合为一个点。
质点系的动量是各质点动量矢量和 ?? mvMv
c
（ 11－ 13）
投影在直角坐标轴上,
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
czz
cyy
cxx
Mvmv
Mvmv
Mvmv
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-1 图示质点系的动量。
c cv
（ a）
o
?
c ?
?
（ b）
?
R
（ c）
?
R
c
（ d）
（ a）
cMvmvK ?? ?
iLMmvK ?2??? ?
0?K
?MRMvK c ??
（ b）
（ c）
（ d）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
⒉ 质心运动定理
对式（ 11－ 13）求导数,?
? mvMv c
?? maMa c
（ 11－ 13）
（ 11－ 14）
又由质点系动量定理，式（ 11－ 7）,
? ??? eFmvdtddtdK
则, ?? ?
eFma
（ 11－ 15）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
或 ??
ec FMa （ 11－ 16）
上式称为质心运动定理。即，质点系的总质量与质
心加速度的乘积等于质点所受外力的矢量和。
对于刚体或刚体系统，由于刚体的质心位置难以确定，
故用 比较方便。 ??
ec FMa
投影形式,
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
??
cz
cy
cx
Fzm
Fym
Fxm
??
??
??
（ 11－ 17）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
或
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
czc
cyc
cxc
FzM
FyM
FxM
??
??
??
（ 11－ 18）
质心运动定理表明：质心的运动只取决于外力，而与内力
无关，也与外力是否作用在质心无关。
⒊ 质心运动守恒定理
由,若,则, 常矢量。 ??
ec FMa 0?? eF 0?ca ?cv
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
即，若作用于质点系的外力系主矢恒等于零，则质心作
惯性运动，若质心的初始速度也等于零，,则
常矢量。即质心位置静止。
0?cv
?cr
若,则, 常数，即质心在 x轴上守
恒，又若 v0在 x轴上投影也为零，则 常数，质心在 x轴
方向静止。
0?? cxF 0?cxa ?cxv
?cx
上述的质心运动守恒和质心位置守恒，通常称为：质心
运动守恒定理。
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-2 在静止的小船中间站着两个人, 其中 m1＝ 50kg，
面向船首方向走动 1.5m。 另一个人 m2＝ 60kg,面向船尾方
向走动 0.5m。 若船重 M＝ 150kg,求船的位移 。 水的阻力
不计 。
【 解 】
因无水平力
水平方向质心守恒,
又初始静止
00 ?? cv c
gm1
gm2
Mg
y
Mg
尾 首 甲 乙
gm2
甲 乙
x
x
x
gm1
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
? 常数?
cx cc xx ?0
把坐标原点放在船的质心的初始位置
00 ?cx
设当经过 t时刻后，船向右移动 x，则,
0)5.1()5.0(
21
12 ?
??
?????
Mmm
mxmxMxx
ct
即 0)5.1()5.0(
12 ????? mxmxMx
)(1 7 3.0
2 6 0
75305.15.0
21
12
应向左位移m
Mmm
mm
x
??
?
?
??
?
?
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-3 质量为 M的物块 A放在光滑的水平面上，如图。
若摆长为,质量不计，摆锤 B质量为,且摆动
,为常数。设运动开始时质心速度为零，求物块 A的
运动方程。
l m t??? s in0?
0??、
【 解 】 以物块 A与摆锤 B所组成
的质点系为研究对象。
，故质心在水平方向守恒（即
质心的 x左边不变）,。
0?? cxF
00 ?xv
取 oxy：并令 y轴通过质心，
则 0?
cx
0???? Mm Mxmxx ABc （ 1）
Mg
N
?
mg
A
B
o
Bx
Ax
x
y
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
或 （ 2） 0??
AB Mxmx
因有 ?s i nlxx
AB ?? （ 3）
将（ 3）代入（ 2）有,
)s i ns i n (s i n 0 tMm mlMm mlx A ??? ????
（ 4）
（ 4）式即为物块 A的运动方程
本题也可用质点系动量在 x轴方向守恒
0)c o s( ???? ???lvmMvK AAx
（ 5）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
?? c o s?Mm mlv A ?? （ 6）
将（ 6）式积分有,
CMm mldMm mlx A ????? ? ??? s i nc o s （ 7）
又,代入（ 7）式得,
由此存在
000 ??? Axt,,? 0?C
)s i ns i n (s i n 0 tMm mlMm mlx A ??? ????
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-4 如图所示系统中，均质杆 OA,AB与均质轮的质量
均为, OA杆的长度为, AB杆的长度为,轮的半径为
R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时,OA的角速度为
，则整个系统的动量为多少？
m 1l 2l
?
【 解 】,方向水平向左
。因为按图示机构，系统可分成 3
个刚块,OA,AB、和轮 B。首先需
找出每个刚块的质心速度,
?125 mlp ?
OA作定轴转动，其质心速度在图示
瞬时只有水平分量, f
方向水平向左。
?11 21 lv x ?
?
A
B
O
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速度也只有水平分量
?12 lvv Ax ??,方向水平向左。
轮 B作平面运动，其质心 B的运动轨迹为水平直线，所以 B
点的速度方向恒为水平，在图示瞬时,方
向水平向左。 ?1lvv AB ??
所以
0?yp 0?zp
)(25 1321 ????? ?mlmvmvmvp xxxx
所以
?125 mlpp x ??
方向水平向左
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-5 如图所示，均质杆 OA，长,重为,绕 O 轴在铅
垂面内转动。杆与水平线成 角时，其角速度和角加速度
分别为 和,求该瞬时轴 O 的约束反力。
l2 P
?
? ?
【 解 】 取杆 OA为研究对象
，受力如（ b）图所示。取
坐标系 oxy，杆 OA质心加速
度为,
2?la n
c ? ?
? la c ?
方向如图（ b）所示。则,
? C
l l
?
?
A
oy
ox
P
nca
?ca
(b)
x
y
o
?
P
C
l l
?
?
A
O
(a)
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
?????? ? s i nc o ss i nc o s 2 llaaa onccx ??????
?????? ? c o ss i nc o ss i n 2 llaaa onccy ????
由质心运动定理得,?? XMa
cx ?? YMa cy
得,
oXllg
P ??? )s inc o s( 2 ???? PXll
g
P
o ??? )c o ss in(
2 ????
解得,
)s inc o s( 2 ???? ??? gPlX o )c o ss in( 2 ???? ??? gPlPY o
本题约束反力也可表示为切向力和法向反力，读者可自己
进行求解。
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
例 11-6 如图所示，均质杆 AB长为,铅垂地立
在光滑得水平面上，求它从铅垂位置无初速度地
倒下时，端点 A得轨迹。
l
【 解 】 AB杆初始静止，且有
0?? X
即沿 x轴方向质心位置应守
恒，质心 C始终在 y轴上,A
点的坐标可表示为,
?c o s2lx A ? ?s inly A ?
消去,得,?
2224 lyx AA ??
即 A点的轨迹为椭圆。
?
?
C?
C
?
A
B
B?
A?
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
1.选择题
D
（ 1）设刚体的动量为,其质心的速度为,质量为 M，则
式 。（ ）
P
cv
cMvP ?
A.只有在刚体作平动时才成立
B.只有在刚体作直线运动时才成立
C.只有在刚体作圆周运动时才成立
D.刚体作任意运动时均成立
C （ 2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ ）
A.无变化 B.动量大小有变化，但方向不变
C.动量大小无变化，但方向有变化
D.动量大小、方向都有变化
【 思考题 】
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
C
（ 3）一均质杆长为,重为 P，以角速度 绕 O 轴转动。试
确定在图示位置时杆的动量。（ ）
l ?
A.杆的动量大小,方向朝左
?gPlK 2?
B.杆的动量大小,方向朝右
?gPlK 3?
C.杆的动量大小,方向朝左
?gPlK 6?
D.杆的动量等于零
?
A
B
O
3
l
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
C
A.质点动量没有改变
B.质点动量的改变量大小为,方向铅垂向上 mv2
C.质点动量的改变量大小为,方向铅垂向下 mv2
D.质点动量的改变量大小为,方向铅垂向下 mv
m v（ 4）将质量为 的质点，以速度 铅直上抛，试计算质点
从开始上抛至再回到原处的过程中质点动量的改变量。
（ ）
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
2.如图所示，均质轮质量为,半径为 R,偏心距
，轮的角速度和角加速度在图示位置时为 和,轮在垂
直面内运动，求铰支座 O 的约束反力。
m lOC ?
? ?
?O
C
? ?
????? s i n,c o s 2 mgmlFmgmlF ono ????
答案,
理论力学电子教程 第十一章 动量定理
3.重为 的小车停在光滑的轨道上，重为
的人站在车上。某瞬时人在车上以相对速度 行
走，求此时小车的速度 的大小。
NP 1 0 0 01 ? NP 6002 ?
smu /5.0?
v?
xv
u
