理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
第九章 刚体的平面运动
§ 9－ 1 刚体平面运动的分解
§ 9－ 2 平面运动刚体上点的速度
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
1、引言
实例 内燃机 车 轮
轮作平面运动
M
A
BO
??
（ a ）
0?
? a
A
B
? a
O
??
（ b ）
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
（ 1 ） 平面运动的物体本身的运动规律
a 空间的位置
b 空间位置的变化快慢（速率）
c 速率的变化快慢（加速度）
( 2 ) 平面运动的物体上的任一点与本身运动
规律之间的关系。
2,要解决的问题
（ 1）应用第一章知识可以求解；
（ 2）本章的知识把复杂运动分解为两个简单运
动的合成；
（ 3）速度合成定理加速度合成定理。
3,解决问题的方法
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
一 特点,
1.刚体始终平行 P平面运动。
2.作一平面 P1与刚体相截，且
与固定平面 P平行，得到刚
体上所截面 P1。在运动过
程中,P1平面上的点将始终
保持在该平面内运动
P
1A
2A
A1P
§ 9－ 1 刚体平面运动的分解
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
? 在 S平面上的任一点 A皆
代表着刚体上一条直线
A1A2，又此直线在整个
运动过程中作平面运动。
? 刚体的平面运动平面图
S1的运动。
二、平面运动 的刚体的运动分解为移动和转动
1、确定其位置的坐标：只需确定平面图形上任意
一线段 O1A的位置。即确定 O1点和 O1A线段与
定坐标轴 X之间的夹角。
2、自由平面运动的刚体有几个自由度？
3、如果 确定，位置是否确定？
4、首先要指出的是 是相互独立的。
? ??,,00 yx ? ?
00,yx
?
x
y
1O
A
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
我们可以复杂的运动分解成两
个简单运动。
在学习的过程中我们应仔细体
会这种由复杂到简单的分解思
想。
现在让我们来分析一下,
从数学上看：确定刚体平面运动方程为
? ?tFX
O 11 ? ? ?tFY O 21 ? )(3 tFa n g le ?
x
y
O
1x1
O
A
s
1y
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
实质上：动坐标系只是原点与刚体固结，为简便起见，
在名称 上不再采用动坐标系的术语，改称 O1点为基点，
则平面运动的刚体随基点的平动 绕基点的转动。
讨论：基点的选择与角度有什么关系
A
B
O
??
1B
1A
2B
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
现在让我们继续来讨论 1.选 A为基点，杆 AB随基点
平动至 A1B1，再绕基（ A1）
转动 B1 B2。
2.选 B为基点，杆 AB随基点
平动至 A2B2，再绕红基点
（ B2）转动,
A2 A1。
基于以上讨论，我们得到如下结论,转角与基点的选择
无关；基点选择不同则运动方程不同 。
下面让我们来看一下刚体作平面运动的速度和加速度
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
1,基点法速度合成定理。
为了与点的复合运动区别起见，符号的规定法则,
基点的速度,VA
B点绕基点转动的线速度为,VBA,
§ 9－ 2 平面运动刚体上点的速度
BAAB vvv ??
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
例 9-1 图示平面机构中,OA=0.2米,AB=1米，角速度为
10rad/s.试求滑块 B的速度和边杆 AB的角加速度。
?
O
A
B
?45
?45
Av
0v
Bvh
【 解 】 （ 1）运动的分析
A点 B点
杆 OA 杆 AB 滑块
(定轴转动 ) (平面运动 ) (平动 )
（ 2）根据杆 AB作平面运动，
取 A为基点，画 B点的速度图，
见左图。
??? OAv A BA? Bv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
变化题,
若 h=0.2m,其他条件不变。试求曲柄 OA与水平夹
角成 0,30,60,90度时，滑块 B的速度和连
杆 AB的角速度。（可用计算机求解 ）
由速度矢量图知,
AB vv ?? ?45co s
smvv AB 83.245c o s ?? ?
smOAv A 2??? ?
smvv ABA 2??
??? ABv BA
sr a dABv BA 2???
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
例 9-2 已知 no=40rad/min,尺寸如图，求 ωAB,ve。
120
50
AB?
0?
C
A
B
100
50
【 解 】 运动的分析,
C点 B点
轮 1 板 BCE 杆 AB
(定轴 ) (平面运动 ) (定轴 )
根据板 BCE作平面运动,
取 C点为基点画出 B点的速
度分析图（基点法）
0??? rvC eBC v,? AB?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
120
50
C
A
B
100
50
Cv eCv
Bv
BCv
13
5
)s i n (
13
12
501 2 0
1 2 0
)c o s (
1 2 050)(
80304060
22
00
?
?
?
?
?
????
????
a n g
a n g
a n gtg
nOCOCv
C
??
??
sr a d
AB
v
mma n gvv
va n gv
B
AB
BB
CB
09.2
1 3 0
2 7 2
2 7 2121380)c o s (
)c o s (
???
????
??
?
?
画速度三角形图，如图所示
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
smmvvv
smmCEv
sr a d
ang
B
v
CB
BC
v
BC
BC
CE
BC
v
C
v
e
v
eCCe
BCeC
19925.5280
25.52045.150
045.1
0
13
5
272
100
)s in (
80
?????
????
?
?????
?????
?
?
?
?
??
＝
求,画 E点的速度分析图（用基点法）
现 和 共线，故
BCCe vvv ??
BCvcv
ev
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
本题有三个变化题,
1,当 AB杆铅直时求：,。
2、当 OC在水平位置时，求：,。
3,应用计算机求解，当 OC在水平位置开始，每增加班 10
度，求出一个,,将其运动一周过程中所有间隔
10度的, 列出表格，并画出, 的转角之间
的关系曲线 。
AB?
ev
AB?
ev
AB?
AB? AB?ev ev
Bv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
2.瞬心法
平面图形（刚体平面运动）作平面运动时皆存着一速度为零
的点，且只有一点（存在性和唯一性）。
若已知平面运动的刚体 A点的速度 Va和刚体转动的角速度 W，
求证：必存在一速度为零的点，且只有一点。
Av
MAv
M
A
【证 】 由 知，欲找,
即
又 的方向垂直于 AM
故过 A点作一直线垂直于 Va必 定
在此直线上
MAAM vvv ?? 0?Mv
MAA vv ??
MAv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
结论,（ 1）在一般的情况下，每一瞬时，平面图形内都有一
个速度为零的点，且是唯一的。
（ 2）在某一瞬时，平面图形内速度等于零的点称为瞬
时速度中心，简称为速度瞬心。
Av
MAv
M
A
0?Mv
与 方向相反，大小相等，只能
在 A点的一侧，由 W来决定在那一侧。
即平面运动的刚体上可找到一点 M,
在 M点处,且只有一点。
证毕。
注意在不同的瞬时速度为零
的点是不同的。
MAv
AMA vv ?
Av
AvAM ??? ?AvAM ?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
确定速度瞬心位置的方法
A
Av
MAv
M
A
B
C
Av
MAv
A
Bv
已知,。瞬心必在垂直于
的直线上，必在垂直于 的直线
上，则此两直线的交点 C即为瞬
心。
AvAv
Bv
Bv
已知,。
,AM与 垂直。
,则 AM存在。
,,瞬心即为 A点。
,,瞬时平动。
?Av
v?AvAM ?
0??
0??
0??
0?Av
0?Av
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
? 已知 平行于,且作
用在同一垂直此两速度
的直上且 不
? 等于,瞬心为 C。
? 已知 平行于 且反向，
瞬心为 C点 。
Av Bv
Av
Bv
Av Bv
C
A
B
Av
Bv
A
C
B
Av
Bv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
特别指出,
沿一固定面滚而不滑
接触点即为瞬心 。
已知 平行于,且不作用在同
一垂直此两速度的直线上，瞬心
在无穷远处，,此时,
称为瞬时平动。
Av Bv
Av Bv= 0??
A
B
Av
Bv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
特别注意,
? 平面图形的瞬心位置是具有
瞬时性的，即不同时刻的瞬
心是不同的。
? 静瞬心轨迹 在固定
平面形成的轨迹。
? 动瞬心轨迹 各瞬时
的速度瞬心在平面图形上形
成的轨迹。
0A
0?
C
Cv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
?
A
B
O
D
B点 D点
O
O
DOv
Ov
Ov
BOv
对 B点：（ 与 共线）
对 D点：（ 与 共线）
结论：（ 1）此时轮子相当于绕 D
作瞬时转动。
（ 2）
提出问题：能否每一刚体作平面
运动时，皆能找到一点速度为零
的点？
RWba 200 ??? ???
000 ??? dd ???
,0???? ddada ????
?? ?? DAa
Ov BOv
Ov DOv
所以平面图形在固定平面内的
运动可看作为动瞬心轨迹在静
瞬心轨迹上作列滑动的滚动的
结果 。
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
例 9-4 已 OA=r,AB=l,,R,ang1,ang2.求曲柄 ang1=0,30,90
度时,AB连杆的瞬心。
?
O A B
?
?O
A
B
?
?O
A
B
?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
例 9-5 如图 9-1所示滚压机构中，曲柄 OA= r,以匀角速度 w0绕
垂直于图面的 O轴转动，半径为 R的轮子沿水平面作纯滚动，轮
子中心 B与 O轴位于同一水平上。求当 时轮子的角速度
及轮缘最高点 M的速度。
OBOA ?
【 典型题精解 】
M
A
B
C
O
??
（ a）
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
【 解 】 滚子作平面运动,C为它的速度瞬心，故
水平。又,水平，故 AB 杆作瞬时平动。由速度
投影定理,
,BB RV ??
,0?RV A ?
,co sco s ?? AB VV ?有
所以, BA VV ?? ?
滚子 B的角速度为
,RrRV oBB ?? ??
轮缘最高点 M的速度为
022 ?rVV BM ??
MV M
A
B
C
O
??
（ b）
RBV
AV
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
【 解 】 ( 1 )先分析同一机构中有多少个刚体，每个刚体作什
么运动。
机构由 AB,BC,DE和 CD四个
刚体组成,AB杆与 DE杆作定轴
转动,BC杆与 CD杆作平面运动。
（ 2）确定解题思路
例 9-6 如图 9-2所示平面机构，由四根杆依次铰接而成。已
知,, AB杆与 ED杆分别以匀角速
度 和 绕 A,E轴转动（转向如图）。在图示瞬时 AB与
CD铅直,BC与 DE水平，试求该瞬时 BC杆转动的角速度。
rBCAB 2?? rDECD ??
1? 2?
A
B C
D E
1?
2?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
要求 BC杆该瞬时的角速度可通过 BC杆上两点的速度即 B点的
速度和 C点的速度去求解。 B点既是平面运动刚体上的点，又是定
轴转动刚体上的点，其速度的大小和方向根据已知条件直接得到。
C点的速度大小和方向是未知的。为求得 需分别以 B点和 D点为
基点，对 C点进行速度分析，然后才能得到 BC杆的角速度，注意
到 D点速度的大小和方向根据给出的条件是很容易得到。
C?
（ 3）求 C点的速度，进而求出 BC?
分别以 B点和 D点为基点分析 C点的
速度，其速度矢量如图（ b）所示，
并有
A
B C
D E
1?
2?
B?
B?
CD?
CB?
D?
D?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
CBBC ??? ??
CDDC ??? ??
由式（ 1）、（ 2）可得
CDDCBB ???? ???
沿 DC方向投影式（ 3）得,
，DCB ?? ? 且 2?? rD ?
所以 BC杆的加速度
2
2 2122 ????? ???? rrrBC DCB
BC
A
B C
D E
1?
2?
B?
B?
CD?
CB?
D?
D?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
（ 1）求 B点的速度
因 P1为圆轮的速度瞬心，则,
000 22 ??? ???? rwAPA
例 9-7 如图 9-3所示，圆盘无滑动的沿直线滚动。长度为
的 AB杆由铰链连接在圆盘上，圆盘半径为 r 。已知当机构
处于图示位置时，圆盘中心 O的速度为,加速度为 。求
此瞬时杆端 B的速度和加速度。
l
0a0?
r00
?? ?
r
a0
0 ??
【 解 】 研究圆盘 O，其作平面运动。则
圆盘的角速度,角加速度 分别为 ?? 0?
0a?0?
B?
A?
O
0?
0?
1P
B
A
045
2P
图 9-3（ a ）
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
（ 2）求 B点的加速度
轮和圆盘 O作平面运动。以为基点求,
有
Aa?
nAOAOA aaaa ??? ?0
则 raAaaaa nAAx 020002000 ?? ???????
000 aAaa AOAy ???? ??
AB杆作平面运动,P2为 AB的
速度瞬心，则
llBP
B
BA
00
2
2
2
2 ???? ???
即,0245c o s ??? ? ?? AB
研究 AB杆，该杆作平面运动,沿水平方向，由速度投影
定理可得,?? ?? 45c o s0c o s ??? BA
B?
0a
O
0?
0?
1P
B
A
045 x
y
?AOa
nAOa
?BAa
nBAa
AYa
AXaBa （ b ）
0a
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
lllBAa BABA
2
0
2
2
02 22 ??? ?????
现以 A为基点，求,有
Ba
nBABAAB aaaa ??? ?
将上式投影于 BA方向，则,
nBAAyAxB aaaa ??? ??? 45c o s45c o s45c o s
即,n
BAAyAxB aaaa 2???
将,, 代入有
Aya Axa nBAa
lraa B
0202
0
222 ?? ???
0a
O
0?
0?
1P
B
A
045 x
y
?AOa
nAOa
?BAa
nBAa
AYa
AXaBa （ b ）
0a
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
例 9-8 如图 9-4所示，已知 OA=20 cm,O1B=25cm,曲柄 OA的
转速 n=70 r / min,当筛子 CD运动到与 OO1同一水平线上时,
试求此瞬时筛子 CD 的速度。
??? ???? 906030 ????,，
【 解 】 滑块 A在滑槽内运动，则取滑块 A为动点，动作标系固
接在 BO1E上，则 A点之绝对速度、牵连速度和相对速度如图
（ b） 所示。
sr a dnOA /33.7307030 ??? ??? AB
CD
E
? ?
?
O
1O
??
图 9-4（ a)
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
scmOAOAae /25.732120307030s i n30s i n ???????? ???? ??
cmOAAO 405.02030s i n1 ??? ?
由此可得到 BO1E的角加速度为,
sr adAON eO /83.140 25.73
1
1 ????
scmBOOB /78.452583.111 ????? ??
筛子 CD 作平动，则 CCD ?? ?? ?
求得 VC的速度，即求得筛子 CD的速度。 BC杆作
平面运动，如图（ c)所示，由速度投影定理,
r?
a?
e?
A
（ b)
CN B
N B
?60
（ b）
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
?? ?? 0c o s60c o s Bc ?
scmc /56.91278.45 ????
即筛子 CD的速度大小为 91.56 cm / s,方向如图（ c )中的 。 C??
例 9-9 如图 9-5所示，杆 O1A按照 （ t的 单位为 s)绕 O1
轴转动，并带动半径为 r的圆管运动，圆管与水平杆 AB固结,
O1A,AB,O2B杆均在同一平面内，如图 5-17所示。已知
O1A=O2B=48cm,r =24cm,AB=O1O2.。在圆管内小球 M按方程
运动（ O为弧坐标原点，弧坐标 S按逆时针方向量取）。求当
t=2s时，小球 M的绝对加速度的大小。
cmts 23 ??
r a dt6?? ?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
【 解 】 本题为点的运动学与点的合成运动综合应用的题目。
取小球 M为动点，动坐标系固结在圆管上，圆管做曲线
平动，则有,cms
st ?? 1223 22 ????
小球转过的角度数为
224
12 ??? ???
r
s
即小球此时在圆管的 最高处。
分析小球 M的运动情况，如图 9-11所示。
动点的牵连运动为曲线平动
A B
1O 2O
x
y
O
?
Aa
ea r
na
ra?M
图 9-5
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
动点的相对运动为圆周运动
2
2
2 /6 scm
dt
sda
r ?
? ??
? ? 222
2
/6
24
26 scm
r
dt
ds
a nr ?
? ?????
??
?
?
?
根据点的加速度合成定理
nrre aaaa ???? ??? ?
将上式投影到 x,y轴上
2
2 /43.256
2
1
3
460c o s scmaaa
rex ?????? ?
???
22
2 /61.706
2
3
3
460s in scmaaa n
rey ?????? ?
??
故小球 M绝对加速度的大小为
222 /05.75 scmaaa yx ???
A B
1O 2O
x
y
O
?
Aa
ea r
na
ra?M
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
1.选择题
(1)平面图形上任意两点 A,B的速度在其连线上的投 影分别
用 和 表示,A,B两点的加速度在其连线上的投
影分别用 和 来表示，则（ ）
? ?ABAa? ? ?ABBa?
? ?ABA?? ? ?ABB??
A.可能有, ? ? ? ? ABBABA aa ?? ? ? ? ? ? ABBABA ?? ?? ?
B.必有,? ? ? ? ABBABA ?? ?? ? ? ? ? ? ABBABA aa ?? ?
C.必有,? ? ? ? ABBABA ?? ?? ?? ? ? ? ABBABA aa ?? ?
D.可能有, ? ? ? ? ABBABA aa ?? ?? ? ? ? ABBABA ?? ?? ?
A
【 思考题 】
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
D
（ 2）如图 9-6的平面机构中，半径为 R的圆轮在水平粗糙面上滚
动而不滑动，滑块 B在水平槽内滑动。已知曲柄 OA在图示铅直
位置时的角速度,角加速度为零,OA=AD=DB=1/2DC=2R，
此时圆轮的角速度用 表示，则（ ）
A,02 ??
B,12 ?? ?
C,12 ?? 小于
D,12 ?? 大于
1?
2?
A
B
C
D
R
O
1?
?30
?30
图 9-6
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
C
R
M
O
C r
图 9-7
（ 3）一半径为 r 的圆盘以匀角速度 在半径为 R的圆形曲面上作
纯滚动（如图 9-7），则圆盘边缘上图示 M点的加速度大小 为
（ ）
Ma
A,22 ?ra M ?
B,2)2( ?rAa M ??
C,2)2( ?rR Rrra M ???
D,2)2( ?rR RrRa M ???
?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
2,试画出图 11-8各图中作平面运动刚体的速度瞬心,并在图
上画出 A,B,C,D各点速度的方向。
A B C
D
?
（ a）
A
B
C
D
?
（ b）
A B
C
D
?
1O 2O
（ c）
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
AB?
3.滚压用的机构,如图 9-9所示,已知长为 r 的曲柄以匀角速度 w0
转动,某瞬时曲柄转角是 60度,且曲柄与连杆垂直,试求此瞬时
AB杆的角速度 和圆轮上的最高点 D的速度,圆轮的半径为 R,
且作无滑动的滚动。
A
B
C
D
R
O
0?
?60
图 9-9
3/343/ 00 ???? rDAB ??,答案,
第九章 刚体的平面运动
§ 9－ 1 刚体平面运动的分解
§ 9－ 2 平面运动刚体上点的速度
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
1、引言
实例 内燃机 车 轮
轮作平面运动
M
A
BO
??
（ a ）
0?
? a
A
B
? a
O
??
（ b ）
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
（ 1 ） 平面运动的物体本身的运动规律
a 空间的位置
b 空间位置的变化快慢（速率）
c 速率的变化快慢（加速度）
( 2 ) 平面运动的物体上的任一点与本身运动
规律之间的关系。
2,要解决的问题
（ 1）应用第一章知识可以求解；
（ 2）本章的知识把复杂运动分解为两个简单运
动的合成；
（ 3）速度合成定理加速度合成定理。
3,解决问题的方法
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
一 特点,
1.刚体始终平行 P平面运动。
2.作一平面 P1与刚体相截，且
与固定平面 P平行，得到刚
体上所截面 P1。在运动过
程中,P1平面上的点将始终
保持在该平面内运动
P
1A
2A
A1P
§ 9－ 1 刚体平面运动的分解
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
? 在 S平面上的任一点 A皆
代表着刚体上一条直线
A1A2，又此直线在整个
运动过程中作平面运动。
? 刚体的平面运动平面图
S1的运动。
二、平面运动 的刚体的运动分解为移动和转动
1、确定其位置的坐标：只需确定平面图形上任意
一线段 O1A的位置。即确定 O1点和 O1A线段与
定坐标轴 X之间的夹角。
2、自由平面运动的刚体有几个自由度？
3、如果 确定，位置是否确定？
4、首先要指出的是 是相互独立的。
? ??,,00 yx ? ?
00,yx
?
x
y
1O
A
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
我们可以复杂的运动分解成两
个简单运动。
在学习的过程中我们应仔细体
会这种由复杂到简单的分解思
想。
现在让我们来分析一下,
从数学上看：确定刚体平面运动方程为
? ?tFX
O 11 ? ? ?tFY O 21 ? )(3 tFa n g le ?
x
y
O
1x1
O
A
s
1y
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
实质上：动坐标系只是原点与刚体固结，为简便起见，
在名称 上不再采用动坐标系的术语，改称 O1点为基点，
则平面运动的刚体随基点的平动 绕基点的转动。
讨论：基点的选择与角度有什么关系
A
B
O
??
1B
1A
2B
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
现在让我们继续来讨论 1.选 A为基点，杆 AB随基点
平动至 A1B1，再绕基（ A1）
转动 B1 B2。
2.选 B为基点，杆 AB随基点
平动至 A2B2，再绕红基点
（ B2）转动,
A2 A1。
基于以上讨论，我们得到如下结论,转角与基点的选择
无关；基点选择不同则运动方程不同 。
下面让我们来看一下刚体作平面运动的速度和加速度
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
1,基点法速度合成定理。
为了与点的复合运动区别起见，符号的规定法则,
基点的速度,VA
B点绕基点转动的线速度为,VBA,
§ 9－ 2 平面运动刚体上点的速度
BAAB vvv ??
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
例 9-1 图示平面机构中,OA=0.2米,AB=1米，角速度为
10rad/s.试求滑块 B的速度和边杆 AB的角加速度。
?
O
A
B
?45
?45
Av
0v
Bvh
【 解 】 （ 1）运动的分析
A点 B点
杆 OA 杆 AB 滑块
(定轴转动 ) (平面运动 ) (平动 )
（ 2）根据杆 AB作平面运动，
取 A为基点，画 B点的速度图，
见左图。
??? OAv A BA? Bv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
变化题,
若 h=0.2m,其他条件不变。试求曲柄 OA与水平夹
角成 0,30,60,90度时，滑块 B的速度和连
杆 AB的角速度。（可用计算机求解 ）
由速度矢量图知,
AB vv ?? ?45co s
smvv AB 83.245c o s ?? ?
smOAv A 2??? ?
smvv ABA 2??
??? ABv BA
sr a dABv BA 2???
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
例 9-2 已知 no=40rad/min,尺寸如图，求 ωAB,ve。
120
50
AB?
0?
C
A
B
100
50
【 解 】 运动的分析,
C点 B点
轮 1 板 BCE 杆 AB
(定轴 ) (平面运动 ) (定轴 )
根据板 BCE作平面运动,
取 C点为基点画出 B点的速
度分析图（基点法）
0??? rvC eBC v,? AB?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
120
50
C
A
B
100
50
Cv eCv
Bv
BCv
13
5
)s i n (
13
12
501 2 0
1 2 0
)c o s (
1 2 050)(
80304060
22
00
?
?
?
?
?
????
????
a n g
a n g
a n gtg
nOCOCv
C
??
??
sr a d
AB
v
mma n gvv
va n gv
B
AB
BB
CB
09.2
1 3 0
2 7 2
2 7 2121380)c o s (
)c o s (
???
????
??
?
?
画速度三角形图，如图所示
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
smmvvv
smmCEv
sr a d
ang
B
v
CB
BC
v
BC
BC
CE
BC
v
C
v
e
v
eCCe
BCeC
19925.5280
25.52045.150
045.1
0
13
5
272
100
)s in (
80
?????
????
?
?????
?????
?
?
?
?
??
＝
求,画 E点的速度分析图（用基点法）
现 和 共线，故
BCCe vvv ??
BCvcv
ev
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
本题有三个变化题,
1,当 AB杆铅直时求：,。
2、当 OC在水平位置时，求：,。
3,应用计算机求解，当 OC在水平位置开始，每增加班 10
度，求出一个,,将其运动一周过程中所有间隔
10度的, 列出表格，并画出, 的转角之间
的关系曲线 。
AB?
ev
AB?
ev
AB?
AB? AB?ev ev
Bv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
2.瞬心法
平面图形（刚体平面运动）作平面运动时皆存着一速度为零
的点，且只有一点（存在性和唯一性）。
若已知平面运动的刚体 A点的速度 Va和刚体转动的角速度 W，
求证：必存在一速度为零的点，且只有一点。
Av
MAv
M
A
【证 】 由 知，欲找,
即
又 的方向垂直于 AM
故过 A点作一直线垂直于 Va必 定
在此直线上
MAAM vvv ?? 0?Mv
MAA vv ??
MAv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
结论,（ 1）在一般的情况下，每一瞬时，平面图形内都有一
个速度为零的点，且是唯一的。
（ 2）在某一瞬时，平面图形内速度等于零的点称为瞬
时速度中心，简称为速度瞬心。
Av
MAv
M
A
0?Mv
与 方向相反，大小相等，只能
在 A点的一侧，由 W来决定在那一侧。
即平面运动的刚体上可找到一点 M,
在 M点处,且只有一点。
证毕。
注意在不同的瞬时速度为零
的点是不同的。
MAv
AMA vv ?
Av
AvAM ??? ?AvAM ?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
确定速度瞬心位置的方法
A
Av
MAv
M
A
B
C
Av
MAv
A
Bv
已知,。瞬心必在垂直于
的直线上，必在垂直于 的直线
上，则此两直线的交点 C即为瞬
心。
AvAv
Bv
Bv
已知,。
,AM与 垂直。
,则 AM存在。
,,瞬心即为 A点。
,,瞬时平动。
?Av
v?AvAM ?
0??
0??
0??
0?Av
0?Av
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
? 已知 平行于,且作
用在同一垂直此两速度
的直上且 不
? 等于,瞬心为 C。
? 已知 平行于 且反向，
瞬心为 C点 。
Av Bv
Av
Bv
Av Bv
C
A
B
Av
Bv
A
C
B
Av
Bv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
特别指出,
沿一固定面滚而不滑
接触点即为瞬心 。
已知 平行于,且不作用在同
一垂直此两速度的直线上，瞬心
在无穷远处，,此时,
称为瞬时平动。
Av Bv
Av Bv= 0??
A
B
Av
Bv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
特别注意,
? 平面图形的瞬心位置是具有
瞬时性的，即不同时刻的瞬
心是不同的。
? 静瞬心轨迹 在固定
平面形成的轨迹。
? 动瞬心轨迹 各瞬时
的速度瞬心在平面图形上形
成的轨迹。
0A
0?
C
Cv
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
?
A
B
O
D
B点 D点
O
O
DOv
Ov
Ov
BOv
对 B点：（ 与 共线）
对 D点：（ 与 共线）
结论：（ 1）此时轮子相当于绕 D
作瞬时转动。
（ 2）
提出问题：能否每一刚体作平面
运动时，皆能找到一点速度为零
的点？
RWba 200 ??? ???
000 ??? dd ???
,0???? ddada ????
?? ?? DAa
Ov BOv
Ov DOv
所以平面图形在固定平面内的
运动可看作为动瞬心轨迹在静
瞬心轨迹上作列滑动的滚动的
结果 。
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
例 9-4 已 OA=r,AB=l,,R,ang1,ang2.求曲柄 ang1=0,30,90
度时,AB连杆的瞬心。
?
O A B
?
?O
A
B
?
?O
A
B
?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
例 9-5 如图 9-1所示滚压机构中，曲柄 OA= r,以匀角速度 w0绕
垂直于图面的 O轴转动，半径为 R的轮子沿水平面作纯滚动，轮
子中心 B与 O轴位于同一水平上。求当 时轮子的角速度
及轮缘最高点 M的速度。
OBOA ?
【 典型题精解 】
M
A
B
C
O
??
（ a）
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
【 解 】 滚子作平面运动,C为它的速度瞬心，故
水平。又,水平，故 AB 杆作瞬时平动。由速度
投影定理,
,BB RV ??
,0?RV A ?
,co sco s ?? AB VV ?有
所以, BA VV ?? ?
滚子 B的角速度为
,RrRV oBB ?? ??
轮缘最高点 M的速度为
022 ?rVV BM ??
MV M
A
B
C
O
??
（ b）
RBV
AV
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
【 解 】 ( 1 )先分析同一机构中有多少个刚体，每个刚体作什
么运动。
机构由 AB,BC,DE和 CD四个
刚体组成,AB杆与 DE杆作定轴
转动,BC杆与 CD杆作平面运动。
（ 2）确定解题思路
例 9-6 如图 9-2所示平面机构，由四根杆依次铰接而成。已
知,, AB杆与 ED杆分别以匀角速
度 和 绕 A,E轴转动（转向如图）。在图示瞬时 AB与
CD铅直,BC与 DE水平，试求该瞬时 BC杆转动的角速度。
rBCAB 2?? rDECD ??
1? 2?
A
B C
D E
1?
2?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
要求 BC杆该瞬时的角速度可通过 BC杆上两点的速度即 B点的
速度和 C点的速度去求解。 B点既是平面运动刚体上的点，又是定
轴转动刚体上的点，其速度的大小和方向根据已知条件直接得到。
C点的速度大小和方向是未知的。为求得 需分别以 B点和 D点为
基点，对 C点进行速度分析，然后才能得到 BC杆的角速度，注意
到 D点速度的大小和方向根据给出的条件是很容易得到。
C?
（ 3）求 C点的速度，进而求出 BC?
分别以 B点和 D点为基点分析 C点的
速度，其速度矢量如图（ b）所示，
并有
A
B C
D E
1?
2?
B?
B?
CD?
CB?
D?
D?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
CBBC ??? ??
CDDC ??? ??
由式（ 1）、（ 2）可得
CDDCBB ???? ???
沿 DC方向投影式（ 3）得,
，DCB ?? ? 且 2?? rD ?
所以 BC杆的加速度
2
2 2122 ????? ???? rrrBC DCB
BC
A
B C
D E
1?
2?
B?
B?
CD?
CB?
D?
D?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
（ 1）求 B点的速度
因 P1为圆轮的速度瞬心，则,
000 22 ??? ???? rwAPA
例 9-7 如图 9-3所示，圆盘无滑动的沿直线滚动。长度为
的 AB杆由铰链连接在圆盘上，圆盘半径为 r 。已知当机构
处于图示位置时，圆盘中心 O的速度为,加速度为 。求
此瞬时杆端 B的速度和加速度。
l
0a0?
r00
?? ?
r
a0
0 ??
【 解 】 研究圆盘 O，其作平面运动。则
圆盘的角速度,角加速度 分别为 ?? 0?
0a?0?
B?
A?
O
0?
0?
1P
B
A
045
2P
图 9-3（ a ）
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
（ 2）求 B点的加速度
轮和圆盘 O作平面运动。以为基点求,
有
Aa?
nAOAOA aaaa ??? ?0
则 raAaaaa nAAx 020002000 ?? ???????
000 aAaa AOAy ???? ??
AB杆作平面运动,P2为 AB的
速度瞬心，则
llBP
B
BA
00
2
2
2
2 ???? ???
即,0245c o s ??? ? ?? AB
研究 AB杆，该杆作平面运动,沿水平方向，由速度投影
定理可得,?? ?? 45c o s0c o s ??? BA
B?
0a
O
0?
0?
1P
B
A
045 x
y
?AOa
nAOa
?BAa
nBAa
AYa
AXaBa （ b ）
0a
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
lllBAa BABA
2
0
2
2
02 22 ??? ?????
现以 A为基点，求,有
Ba
nBABAAB aaaa ??? ?
将上式投影于 BA方向，则,
nBAAyAxB aaaa ??? ??? 45c o s45c o s45c o s
即,n
BAAyAxB aaaa 2???
将,, 代入有
Aya Axa nBAa
lraa B
0202
0
222 ?? ???
0a
O
0?
0?
1P
B
A
045 x
y
?AOa
nAOa
?BAa
nBAa
AYa
AXaBa （ b ）
0a
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
例 9-8 如图 9-4所示，已知 OA=20 cm,O1B=25cm,曲柄 OA的
转速 n=70 r / min,当筛子 CD运动到与 OO1同一水平线上时,
试求此瞬时筛子 CD 的速度。
??? ???? 906030 ????,，
【 解 】 滑块 A在滑槽内运动，则取滑块 A为动点，动作标系固
接在 BO1E上，则 A点之绝对速度、牵连速度和相对速度如图
（ b） 所示。
sr a dnOA /33.7307030 ??? ??? AB
CD
E
? ?
?
O
1O
??
图 9-4（ a)
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
scmOAOAae /25.732120307030s i n30s i n ???????? ???? ??
cmOAAO 405.02030s i n1 ??? ?
由此可得到 BO1E的角加速度为,
sr adAON eO /83.140 25.73
1
1 ????
scmBOOB /78.452583.111 ????? ??
筛子 CD 作平动，则 CCD ?? ?? ?
求得 VC的速度，即求得筛子 CD的速度。 BC杆作
平面运动，如图（ c)所示，由速度投影定理,
r?
a?
e?
A
（ b)
CN B
N B
?60
（ b）
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
?? ?? 0c o s60c o s Bc ?
scmc /56.91278.45 ????
即筛子 CD的速度大小为 91.56 cm / s,方向如图（ c )中的 。 C??
例 9-9 如图 9-5所示，杆 O1A按照 （ t的 单位为 s)绕 O1
轴转动，并带动半径为 r的圆管运动，圆管与水平杆 AB固结,
O1A,AB,O2B杆均在同一平面内，如图 5-17所示。已知
O1A=O2B=48cm,r =24cm,AB=O1O2.。在圆管内小球 M按方程
运动（ O为弧坐标原点，弧坐标 S按逆时针方向量取）。求当
t=2s时，小球 M的绝对加速度的大小。
cmts 23 ??
r a dt6?? ?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
【 解 】 本题为点的运动学与点的合成运动综合应用的题目。
取小球 M为动点，动坐标系固结在圆管上，圆管做曲线
平动，则有,cms
st ?? 1223 22 ????
小球转过的角度数为
224
12 ??? ???
r
s
即小球此时在圆管的 最高处。
分析小球 M的运动情况，如图 9-11所示。
动点的牵连运动为曲线平动
A B
1O 2O
x
y
O
?
Aa
ea r
na
ra?M
图 9-5
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
动点的相对运动为圆周运动
2
2
2 /6 scm
dt
sda
r ?
? ??
? ? 222
2
/6
24
26 scm
r
dt
ds
a nr ?
? ?????
??
?
?
?
根据点的加速度合成定理
nrre aaaa ???? ??? ?
将上式投影到 x,y轴上
2
2 /43.256
2
1
3
460c o s scmaaa
rex ?????? ?
???
22
2 /61.706
2
3
3
460s in scmaaa n
rey ?????? ?
??
故小球 M绝对加速度的大小为
222 /05.75 scmaaa yx ???
A B
1O 2O
x
y
O
?
Aa
ea r
na
ra?M
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
1.选择题
(1)平面图形上任意两点 A,B的速度在其连线上的投 影分别
用 和 表示,A,B两点的加速度在其连线上的投
影分别用 和 来表示，则（ ）
? ?ABAa? ? ?ABBa?
? ?ABA?? ? ?ABB??
A.可能有, ? ? ? ? ABBABA aa ?? ? ? ? ? ? ABBABA ?? ?? ?
B.必有,? ? ? ? ABBABA ?? ?? ? ? ? ? ? ABBABA aa ?? ?
C.必有,? ? ? ? ABBABA ?? ?? ?? ? ? ? ABBABA aa ?? ?
D.可能有, ? ? ? ? ABBABA aa ?? ?? ? ? ? ABBABA ?? ?? ?
A
【 思考题 】
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
D
（ 2）如图 9-6的平面机构中，半径为 R的圆轮在水平粗糙面上滚
动而不滑动，滑块 B在水平槽内滑动。已知曲柄 OA在图示铅直
位置时的角速度,角加速度为零,OA=AD=DB=1/2DC=2R，
此时圆轮的角速度用 表示，则（ ）
A,02 ??
B,12 ?? ?
C,12 ?? 小于
D,12 ?? 大于
1?
2?
A
B
C
D
R
O
1?
?30
?30
图 9-6
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
C
R
M
O
C r
图 9-7
（ 3）一半径为 r 的圆盘以匀角速度 在半径为 R的圆形曲面上作
纯滚动（如图 9-7），则圆盘边缘上图示 M点的加速度大小 为
（ ）
Ma
A,22 ?ra M ?
B,2)2( ?rAa M ??
C,2)2( ?rR Rrra M ???
D,2)2( ?rR RrRa M ???
?
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
2,试画出图 11-8各图中作平面运动刚体的速度瞬心,并在图
上画出 A,B,C,D各点速度的方向。
A B C
D
?
（ a）
A
B
C
D
?
（ b）
A B
C
D
?
1O 2O
（ c）
理论力学电子教程 第九章 刚体的平面运动
AB?
3.滚压用的机构,如图 9-9所示,已知长为 r 的曲柄以匀角速度 w0
转动,某瞬时曲柄转角是 60度,且曲柄与连杆垂直,试求此瞬时
AB杆的角速度 和圆轮上的最高点 D的速度,圆轮的半径为 R,
且作无滑动的滚动。
A
B
C
D
R
O
0?
?60
图 9-9
3/343/ 00 ???? rDAB ??,答案,
