理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
第十三章 动能定理
§ 13－ 1 力的功
§ 13－ 2 质点的动能定理
§ 13－ 5 质点系的动能定理
§ 13－ 4 质点系和刚体的动能
§ 13－ 3 作用于质点系与刚体上
的力系的功
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现先介绍三种力所做的功。
质点 M,常力 F,路程 S,
如 图所示。则有 ? M1 M M2
S
F
常力 F 在位移方向的投影 Fcos? 与其路程 S之
积，称为力 F在路程 S中所做的 功 。
1,常力的功
?c o s.,SFW ?
§ 13-1 力的功
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?< 时,W>0,力作正功；
?> 时,W<0,力作负功；
?= 时,W=0,力不作功。
? ?
2 ?
? 2
? ?
2
2,变力作功
? M1 M M2
S
F
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如图所示，元功为
所作的功
这样元功
dSFdSFdW,.c o s ?? ??
?? 21,c o sMM dSFW ?
又
（标积）drFdSF,.c o s ??
ZkYjXiF ???
再
d z kd y jd x idr ???
Z d zY d yX d xdrFdW ????,
M2
x
y
z
M1
0
v
F
r
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若有 N个力作用，其合力为 R,则合力在有限曲线
M1M2上 所作的功为
3.合力的功
全功为
?? ???? 2121 )(,MMMM Z d zY d yX d xdrFW
n
M
M
n
M
M
M
M
M
M
n
M
M
WWW
drFdrFdrF
drFFFdrRW
????
????
?????
???
??
?
?
?
21
21
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
...
).(.
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上式表明作用于质点的合力在任一路程中所作
的功，等于各合力在同一路程中所作的功的代
数和 (可先求分力功，而非先求合力 )
功单位为焦耳 (J),N · m。
n
M
M
n
M
M
M
M
M
M
n
M
M
WWW
drFdrFdrF
drFFFdrRW
????
????
?????
???
??
?
?
?
21
21
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
...
).(.
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X ? Y ?0
Z ?- G
几种常见的功
如图所示。有
即重力的功等于质点的质量与起止位置间的高度差
的乘积，而与质点运动路径无关。当位置向下时,
作正功；反之，作负功。
（ 1） 重力功
PhzzPP d zW z
z
?-?-? ? )( 212
1
y
z
x
G
1z
2z
2M
1M
M
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(2) 弹性力的功
如图所示,
弹力为
F=c?
则功为
)(
2
2
2
2
1
2
1
2
1
??
?
?
?
?
-?
-?-? ??
c
c x d xF d xW
l0 F
M1 M2
?1 x dx
?2
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弹性力的功也是与质点的路径无关，而只取决
于起止位置时弹簧的变形。 (伸长或压缩 )
上式中 ?1为质点在 M1处弹簧的变形,?2为质点
在 M2 处弹簧的变形。 ?1<?2 时,弹簧力作负功；
?1>?2时,弹性力作正功。
)(
2
2
2
2
1
2
1
2
1
??
?
?
?
?
-?
-?-? ??
c
c x d xF d xW
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N f F ' ' ?
如图摩擦力为
（ 3） 摩擦力的功
?? ?-?? 2121,,MMMM dSNfdSFW ?
M2
M1
M v
F?
由此可见，动摩擦力的功恒为负值，它不仅取决于质
点的起止位置，切与质点的运动路径有关。
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S为特殊运动所经路径 M1M2的曲线长 度 。
特殊情况下，若 N=常量时，则
NSfW ?-?
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?,Rd ds ? ds,dr ?
? ? cos FF=
??? dMRdFdrF z???
元功
F?
则
由上式可见，作用于定轴转动刚体上的功，可以通
过对转轴之矩的功来计算。
(4) 作用在绕定轴转动刚体上的功
?? 21?? ?dMW z
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设有质量为 m的质点 M 受合力 F在曲线上运动，如
图所示。
由动力学第二定理
1.质点的动能
m a ? F
或
将上式在切线方向投影得
?Fdt
dvm ?
M2
?
M1
M
v
F?
?? Fma ?
§ 13-2 质点的动能定理
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dsFm v d v ??
或
Wdmvd ')
2
1( 2 ?
由 ds = vdt 这样上式变换为
dw =F?ds 是力 F的元功； mv2/2是质点的运动而具
有的能量，称为 质点的动能 。
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Wdmvd ')
2
1( 2 ?
上式为微分形式质点的动能定理，将其沿路径 M1M2进行积分，
则有
dsFmvd
MM
v
v
?? ?
21
2
1
)
2
1
( 2 ?
2,质点的动能定理
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上式为有限形式的质点动能定理, 即 在任一路径中质点
动能的变化，等于作用在质点上的力的全功。
得
Wmvmv ?- 2122
2
1
2
1
动能定理提供了速度 V,力 F与路径 S之间的数量关系，
可用来求解这三个量中的一个未知量。
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例 13-1 质量为 m的质点，自高处自由下落，落到下面有弹
簧支持的板上，如图示。设板和弹簧的质量都可忽略不
计，弹簧的刚性系数为 k。 求弹簧的最大压缩量。
h
?max
m
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【 解 】 设弹簧的最大压缩量 ?max 。
phmv ?- 0
2
1 2
1
ghv 21 ?
质点继续向下运动，弹簧被压缩，质点速度逐渐减小，当
v=0 时，到最大 ?max。 重力作功 p?max,摩擦力作功 k(0－
?2max) 。 由动能定理,
h
?max
m
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2
m a xm a x
2
1 2
1
2
10 ?? kpmv -?-
得
h
k
p
k
p
k
p )(2)( 2
m a x ????
由于压缩量是正值，故
h
k
p
k
p
k
p )(2)( 2
m a x ????
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上述两个过程也可和在一起考虑，有
2
m a xm a x 2)(00 ??
khp -??-
结果相同。
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1.质点系内力的功
2.作用于质点系的重力的功
3.作用于刚体上得力的功
4.约束反力的功
本节主要包括以下内容,
§ 13-3 作用于质点系与刚体上的力系的功
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1.质点系的动能
设 质点系由 n个质点组成，任一质点 Mi的动能为 mivi2/2，
则系统动能为
即所有质点动能的算术和。
2
2
1 mvT ??
§ 13-4 质点系和刚体的动能
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222
2
1
2
1
2
1 MvmvmvT ??? ??
)( ?? mM
平动刚体的动能等于其质心的动能。
2.平动刚体的动能
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3,定轴转动刚体的动能
所有各点转动 ω都相同，则
222222
2
1
2
1
2
1
2
1 ??? J
zmrmrmvT ???? ???
4,平面运动刚体的动能
22
2
1
2
1 ?
cc JMVT ??
平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能与绕通
过质心的转轴转动的动能之和。
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由 n 个质点组成的质点系，每一质点
则
i
i
e
iii WdWdvmd ????)2
1( 2
??? ???? ie WdWdmvd 221
§ 13-5 质点系的动能定理
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其积分形式为
?? ?? ie dWdWdT
或
上式为微分形式的质点系的动能定理，即质点系动
能的微分变化，等于作用在质点系上的所有外力和
内力的元功。
?? ?? ie dWdWdT
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另一种表达形式 (主动力和约束反力 )
?? ?? NF WdWddT ''
若为理想约束，则
?? FWddT '
?? FWddT '
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积分形式
??- FWTT 12
在任一路程中，具有理想约束的质点系动能的变
化，等于作用在质点系上的所有主动力的功之和。
动能定理 可以求解作用于物体的主动力或物体所
行的 距离,而且可以求解物体运动的 速度 和 加速度 。
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例 13-2 长为 l 质量为 M 的均质杆 OA 用光滑铰 O 固定。
初始时于水平位置无初速释放，求当杆转过任意角 ? 时角速
度和角加速度。
l
? o
【 典型题精解 】
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用动能定理有
?? s in
2
10
2
1 2
0 LmgJ ?-
【 解 】 设 ? 时为 ?,? 。
铰链 O的约束反力
不作功，只有重力功。
2
0 3
1
MLJ ?
l
? o
(1)
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对 (1)式求时间的一次导数，有
dt
dLMg
dt
dJ ???? c o s
20
?
故
L
g ?
?
s in3
?
(2)
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因
?
?
?
dt
d
?
?
?
dt
d
故
?? c o s
2
3
L
g
?
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例 13-3 物体 A,B,质量分别为 mA,mB,用弹簧相连，放在光滑
水平面上。弹簧原长为 l0,刚度系数为 c。 现将弹簧拉长到
l 后无初速释放，求当弹簧恢复原长时物体 A,B 的速度，弹簧
质量不计。
B A
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作受力图。质点系包含两个质点 A,B由于质点位移在
水平方向，外力不作功；但两质点间的距离是可变的，故
内力 F,F’所做的功不为零。设当弹簧恢复原长时物体 A、
B的速度分别为 VA,VB,方向如图示。由动能定理,
A B
y
z
mAg
F
mBg
vA vB
F?
NAF NBF
【 解 】
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?? ??- ie WWTT 12
? ?20020 )()(
2
00)
2
1
2
1( llllcvmvm
BBAA ---??-?
2
0
22 )( llcvmvm
BBAA -??
?
即
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由质点系动量定理得
?? ? exz Fmvdtd )(
0)( ?? BxBAxA vmvm
dt
d
0Cvmvm BxBAxA ??
(常量 )
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由于 A,B初速为零，故 C0=0,弹簧恢复原长时应有
0)( ?-? BBAA vmvm ?
由 ??式得,
)(
)( 0
ll
mmm
cmv
BAA
B
A -??
)(
)( 0
ll
mmm
cmv
BAB
A
B -??
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例 13-4 如图所示的四连杆机构，该杆 AB为均质，质量为 m,杆
OA的角速度为 ω, AC=CB=l/2,OA=l/2,则杆 AB的动能是多少？
【 解 】 方法一,
?
?
AB?
?
Av
Cv
1O
O
A
B
C
P
?
?
?
?
?
2
2
22
222
2
c o s
)s i n31(
24
1
)]()s i n
2
(
12
1
[
2
1
2
1
??
??
?
ml
PA
vl
mml
JT
A
AB
P
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方法二,
?
?
?
??
?
?
?
2
2
22
2
2
2
2
22
c o s
)s i n31(
24
1
)
2
(
2
1
c o s12
1
2
1
2
1
2
1
??
????
??
ml
tg
l
mml
JMvT AB
Pc
例 13-5 如图所示均质杆 OA的质量为 30kg,杆在铅垂位置时弹
簧处于自然状态。设弹簧常数 k=3KN/m,为使杆能由铅直位置转
到水平位置 OA’,在铅直位置时的角速度至少应为多大？
A
O
B
C
A?
?
m2.1
m2.1
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【 解 】 以 OA杆为研究对象
sr a d
WTT
T
T
J
kGW
67.3
4.3888.280
0
8.284.230
3
1
2
1
)(4.388
])22.14.2(0[3000
2
1
2.18.930
)(
2
1
2.1
0
2
0
12
2
2
0
2
0
2
1
22
2
2
2
1
＝
，得＝－－
，得＝－由
?
?
??
??
?
?
?
?????
-?
--??????
-???
A
O
B
C
A?
?
m2.1
m2.1
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例 13-6 如图所示, 质量为 m,半径为 r的均质圆盘, 可绕通过 O
点且垂直于盘平面的水平轴转动 。 设盘从最高位置无初速度地
开始绕 O轴转动 。 求当圆盘中心 C和轴 O点地连线经过水平位置时
圆盘的角速度, 角加速度及 O处的反力 。
O
C
C?
r
x
y
(a)
【 解 】 （ 1）用动能定理求角速度
r
g
m g rmr
WTT
m g rW
mrmrmrJT
T
3
4
0
4
3
4
3
)
2
1
(
2
1
2
1
0
22
1212
12
222222
02
1
?
?
????
?
?
?
???
即
＝－
，得＝－由
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?
?
mg
?Ca
0X
nCa
0Y
C
(b)
当 OC在同一水平位置时，用动能定理有
m g rdtdJ ??0
代入 J0,有
r
g
3
2??
（ 2）求 O处约束反力
作圆盘的受力分析和运动分析，如图
（ b） 所示。有
gra
g
r
g
rra
C
n
C
3
2
3
4
3
42
??
????
?
?
?
由质心运动定理，得
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mgYYmgma
mgXXma
C
n
C
3
1
,
3
4
,
00
00
?-?
??
?
例 13-7 如图所示均质细长杆，质量为 M,长为 l,放置在
光滑水平面上。若在 A端作用一垂直于杆的水平力 F,试求
B端的加速度。
A
C B
x
y
F
(a)
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【 解 】 细长杆作平面运动，欲求 aB,则必先求 ac,如图（ b）
所示。
由结点法
?
BcCB aaa ??
①
?? 2La Bc ?
列出平面运动公式
M
FaFMa
Cc ??,
②
2
LFJ
C ???
x
A
C B
y
F
?
Ca
?BCa
nBCa
a
ML
F
J
FL
C
6
2 ???
③
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将②③代入①中得
)(226 ??-?? M FMFLML Fa B
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【 思考与讨论 】
1．选择题
（ 1）如图所示，半径为 R,质量为 m的均质圆轮，在水平地面
上只滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为 f。 试求轮心向前移
动距离 S的过程中摩擦力的功 WF。 （ ）
A,WF=fmgS
B,WF<fmgS
C,WF=F.S
D,WF=0
M
C
W?
v?
NF
?
F?
S
D
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(2)如图所示，楔块 A向右移动速度为 v1,质量为 m的物块 B沿斜面
下滑，它相对于楔块的速度为 v2,求物块 B的动能 TB。（ ）
2
2
2
1 22 v
mvmT
B ??
A,
]s i n)c o s[(2 222221 ?? vvvmT B ?-?
D,
2
21 )(2 vv
mT
B ??
C,
2
22 v
mT
B ?
B,
D
A
B
1v
2v
?
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（ 3）如图所示，质量可以忽略的弹簧原长为 2L,刚度系数为
k,两端固定并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物
下降 x路程中弹性力所作的功 。（ ）
A,
}])[(0{2 22
1
2 LxLkW -?-?
B,
}])[(0{ 22122 LxLkW -?-?
C,
}])[(0{2 22
1
22 LxLkW -?-?
D,
}])[(0{2 22
1
222 LxLkW -?-?
A B
C
x
L
K
L
C
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（ 4）如图所示，平板 A以匀速 v沿水平直线向右运动，质量为
m,半径为 r的均质圆轮 B在平板上以匀角速度 ω朝顺时针方向
滚动而不滑动，则轮的动能为（ ）
A,
222
2
3
2
1
2
1 ?mrmvT ???
B,
222
2
1
2
1)(
2
1 ?? mrrvmT ????
C,
222
2
1
2
1
2
1 ?mrmvT ???
D,
222
2
1
2
1)(
2
1 ?? mrrmT ???
B
O
r
v
?
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2.图示平面机构中,O1A// O2B，且在铅垂位置。设 O1A为 r1,
O2B为 r2，已知 O1A杆的角速度为 ?,AB杆质量为 m，则此瞬
时 B点的速度,AB杆的角 速度及 AB 杆的动能各为多少？
30
A
B
O1 O2
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3,质量为 m,半径为 r 的均质圆盘，可绕通过 O点且垂直
于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速地开始绕 O轴
转动，求当圆盘中心 C和轴 O点的连线经过水平位置时圆盘的
角速度、角加速度。 y
o
co
c x
r
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4,在图示机构中,已知,匀质杆 AB与 BC质量分别为 m1与 m2,不
计摩擦，轮 A质量不计，在水平轨道上运动，若系统在水平位
置，由静止释放。试求 BC杆到达铅垂位置时的角速度。
3L L
A B
C
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5,如图所示，半径为 R的两圆柱体 Ⅰ, Ⅱ 用绳相联，绳的一端
与圆柱 Ⅰ 的中心 O相连，另一端系在圆柱体 Ⅱ 上,Ⅰ 为实心均
质圆柱，质量为 m1,可沿水平面只滚不滑； Ⅱ 为空心均质薄壁
圆柱，质量为 m2.不计滚动摩擦和定滑轮 A及绳的质量，系统从
静止释放。试求当圆心 O向右移动距离 S时点 O的速度。
O
R
A
C
R
Ⅰ
Ⅱ
)23(
4
21
2
mm
gsmv
?
?
答案,
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答案,（ 1） δ m=5cm；（ 2） ω=15.5rad/s
6,如图所示系统中，已知：匀质杆 AB重 100N,长为 20cm,弹
簧的刚性系数 k=20N/cm,杆与水平线的夹角为 β, β =0时弹
簧的长度为原长，滑块的重量及摩擦不计。试求：（ 1）杆在
β =0处无初速度地释放，弹簧伸长的最大距离；（ 2）将杆由
β =60° 时无初速度地至 β =30° 时，杆的角速度。
A
B
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
7,如图所示机构中，已知：匀质圆盘的质量为 m,半径为 r,可
沿水平面作纯滚动，刚性系数为 k的弹簧一端固定于 B,另一端与
圆盘中心 O相连，运动喀什时弹簧处于原长，此时圆盘角速度为
ω 。 试求：（ 1）圆盘向右运动能到达的最右位置；（ 2）圆盘到
达最右位置时的角加速度 ε 及圆盘与水平面间的摩擦力。
答案,
6,3
2,
2
3 mkrF
m
k
k
mrS ???? ???
O
r
?
A
B
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
8,如图所示机构中，已知：匀质圆盘 A,AC长为 L,圆盘、杆
及滑块 C质量均为 m。 试求杆 AC自水平位置无初速度地滑到与铅
垂线成 β =45° 时，圆盘中心 A的速度。
答案,
19
29 Lgv
A ?
?
A
C
第十三章 动能定理
§ 13－ 1 力的功
§ 13－ 2 质点的动能定理
§ 13－ 5 质点系的动能定理
§ 13－ 4 质点系和刚体的动能
§ 13－ 3 作用于质点系与刚体上
的力系的功
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
现先介绍三种力所做的功。
质点 M,常力 F,路程 S,
如 图所示。则有 ? M1 M M2
S
F
常力 F 在位移方向的投影 Fcos? 与其路程 S之
积，称为力 F在路程 S中所做的 功 。
1,常力的功
?c o s.,SFW ?
§ 13-1 力的功
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
?< 时,W>0,力作正功；
?> 时,W<0,力作负功；
?= 时,W=0,力不作功。
? ?
2 ?
? 2
? ?
2
2,变力作功
? M1 M M2
S
F
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
如图所示，元功为
所作的功
这样元功
dSFdSFdW,.c o s ?? ??
?? 21,c o sMM dSFW ?
又
（标积）drFdSF,.c o s ??
ZkYjXiF ???
再
d z kd y jd x idr ???
Z d zY d yX d xdrFdW ????,
M2
x
y
z
M1
0
v
F
r
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
若有 N个力作用，其合力为 R,则合力在有限曲线
M1M2上 所作的功为
3.合力的功
全功为
?? ???? 2121 )(,MMMM Z d zY d yX d xdrFW
n
M
M
n
M
M
M
M
M
M
n
M
M
WWW
drFdrFdrF
drFFFdrRW
????
????
?????
???
??
?
?
?
21
21
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
...
).(.
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
上式表明作用于质点的合力在任一路程中所作
的功，等于各合力在同一路程中所作的功的代
数和 (可先求分力功，而非先求合力 )
功单位为焦耳 (J),N · m。
n
M
M
n
M
M
M
M
M
M
n
M
M
WWW
drFdrFdrF
drFFFdrRW
????
????
?????
???
??
?
?
?
21
21
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
...
).(.
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
X ? Y ?0
Z ?- G
几种常见的功
如图所示。有
即重力的功等于质点的质量与起止位置间的高度差
的乘积，而与质点运动路径无关。当位置向下时,
作正功；反之，作负功。
（ 1） 重力功
PhzzPP d zW z
z
?-?-? ? )( 212
1
y
z
x
G
1z
2z
2M
1M
M
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
(2) 弹性力的功
如图所示,
弹力为
F=c?
则功为
)(
2
2
2
2
1
2
1
2
1
??
?
?
?
?
-?
-?-? ??
c
c x d xF d xW
l0 F
M1 M2
?1 x dx
?2
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
弹性力的功也是与质点的路径无关，而只取决
于起止位置时弹簧的变形。 (伸长或压缩 )
上式中 ?1为质点在 M1处弹簧的变形,?2为质点
在 M2 处弹簧的变形。 ?1<?2 时,弹簧力作负功；
?1>?2时,弹性力作正功。
)(
2
2
2
2
1
2
1
2
1
??
?
?
?
?
-?
-?-? ??
c
c x d xF d xW
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
N f F ' ' ?
如图摩擦力为
（ 3） 摩擦力的功
?? ?-?? 2121,,MMMM dSNfdSFW ?
M2
M1
M v
F?
由此可见，动摩擦力的功恒为负值，它不仅取决于质
点的起止位置，切与质点的运动路径有关。
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
S为特殊运动所经路径 M1M2的曲线长 度 。
特殊情况下，若 N=常量时，则
NSfW ?-?
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
?,Rd ds ? ds,dr ?
? ? cos FF=
??? dMRdFdrF z???
元功
F?
则
由上式可见，作用于定轴转动刚体上的功，可以通
过对转轴之矩的功来计算。
(4) 作用在绕定轴转动刚体上的功
?? 21?? ?dMW z
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
设有质量为 m的质点 M 受合力 F在曲线上运动，如
图所示。
由动力学第二定理
1.质点的动能
m a ? F
或
将上式在切线方向投影得
?Fdt
dvm ?
M2
?
M1
M
v
F?
?? Fma ?
§ 13-2 质点的动能定理
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
dsFm v d v ??
或
Wdmvd ')
2
1( 2 ?
由 ds = vdt 这样上式变换为
dw =F?ds 是力 F的元功； mv2/2是质点的运动而具
有的能量，称为 质点的动能 。
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
Wdmvd ')
2
1( 2 ?
上式为微分形式质点的动能定理，将其沿路径 M1M2进行积分，
则有
dsFmvd
MM
v
v
?? ?
21
2
1
)
2
1
( 2 ?
2,质点的动能定理
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
上式为有限形式的质点动能定理, 即 在任一路径中质点
动能的变化，等于作用在质点上的力的全功。
得
Wmvmv ?- 2122
2
1
2
1
动能定理提供了速度 V,力 F与路径 S之间的数量关系，
可用来求解这三个量中的一个未知量。
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
例 13-1 质量为 m的质点，自高处自由下落，落到下面有弹
簧支持的板上，如图示。设板和弹簧的质量都可忽略不
计，弹簧的刚性系数为 k。 求弹簧的最大压缩量。
h
?max
m
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
【 解 】 设弹簧的最大压缩量 ?max 。
phmv ?- 0
2
1 2
1
ghv 21 ?
质点继续向下运动，弹簧被压缩，质点速度逐渐减小，当
v=0 时，到最大 ?max。 重力作功 p?max,摩擦力作功 k(0－
?2max) 。 由动能定理,
h
?max
m
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
2
m a xm a x
2
1 2
1
2
10 ?? kpmv -?-
得
h
k
p
k
p
k
p )(2)( 2
m a x ????
由于压缩量是正值，故
h
k
p
k
p
k
p )(2)( 2
m a x ????
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
上述两个过程也可和在一起考虑，有
2
m a xm a x 2)(00 ??
khp -??-
结果相同。
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
1.质点系内力的功
2.作用于质点系的重力的功
3.作用于刚体上得力的功
4.约束反力的功
本节主要包括以下内容,
§ 13-3 作用于质点系与刚体上的力系的功
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
1.质点系的动能
设 质点系由 n个质点组成，任一质点 Mi的动能为 mivi2/2，
则系统动能为
即所有质点动能的算术和。
2
2
1 mvT ??
§ 13-4 质点系和刚体的动能
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
222
2
1
2
1
2
1 MvmvmvT ??? ??
)( ?? mM
平动刚体的动能等于其质心的动能。
2.平动刚体的动能
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
3,定轴转动刚体的动能
所有各点转动 ω都相同，则
222222
2
1
2
1
2
1
2
1 ??? J
zmrmrmvT ???? ???
4,平面运动刚体的动能
22
2
1
2
1 ?
cc JMVT ??
平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能与绕通
过质心的转轴转动的动能之和。
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
由 n 个质点组成的质点系，每一质点
则
i
i
e
iii WdWdvmd ????)2
1( 2
??? ???? ie WdWdmvd 221
§ 13-5 质点系的动能定理
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
其积分形式为
?? ?? ie dWdWdT
或
上式为微分形式的质点系的动能定理，即质点系动
能的微分变化，等于作用在质点系上的所有外力和
内力的元功。
?? ?? ie dWdWdT
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
另一种表达形式 (主动力和约束反力 )
?? ?? NF WdWddT ''
若为理想约束，则
?? FWddT '
?? FWddT '
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
积分形式
??- FWTT 12
在任一路程中，具有理想约束的质点系动能的变
化，等于作用在质点系上的所有主动力的功之和。
动能定理 可以求解作用于物体的主动力或物体所
行的 距离,而且可以求解物体运动的 速度 和 加速度 。
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
例 13-2 长为 l 质量为 M 的均质杆 OA 用光滑铰 O 固定。
初始时于水平位置无初速释放，求当杆转过任意角 ? 时角速
度和角加速度。
l
? o
【 典型题精解 】
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
用动能定理有
?? s in
2
10
2
1 2
0 LmgJ ?-
【 解 】 设 ? 时为 ?,? 。
铰链 O的约束反力
不作功，只有重力功。
2
0 3
1
MLJ ?
l
? o
(1)
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
对 (1)式求时间的一次导数，有
dt
dLMg
dt
dJ ???? c o s
20
?
故
L
g ?
?
s in3
?
(2)
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
因
?
?
?
dt
d
?
?
?
dt
d
故
?? c o s
2
3
L
g
?
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
例 13-3 物体 A,B,质量分别为 mA,mB,用弹簧相连，放在光滑
水平面上。弹簧原长为 l0,刚度系数为 c。 现将弹簧拉长到
l 后无初速释放，求当弹簧恢复原长时物体 A,B 的速度，弹簧
质量不计。
B A
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
作受力图。质点系包含两个质点 A,B由于质点位移在
水平方向，外力不作功；但两质点间的距离是可变的，故
内力 F,F’所做的功不为零。设当弹簧恢复原长时物体 A、
B的速度分别为 VA,VB,方向如图示。由动能定理,
A B
y
z
mAg
F
mBg
vA vB
F?
NAF NBF
【 解 】
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
?? ??- ie WWTT 12
? ?20020 )()(
2
00)
2
1
2
1( llllcvmvm
BBAA ---??-?
2
0
22 )( llcvmvm
BBAA -??
?
即
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
由质点系动量定理得
?? ? exz Fmvdtd )(
0)( ?? BxBAxA vmvm
dt
d
0Cvmvm BxBAxA ??
(常量 )
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
由于 A,B初速为零，故 C0=0,弹簧恢复原长时应有
0)( ?-? BBAA vmvm ?
由 ??式得,
)(
)( 0
ll
mmm
cmv
BAA
B
A -??
)(
)( 0
ll
mmm
cmv
BAB
A
B -??
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
例 13-4 如图所示的四连杆机构，该杆 AB为均质，质量为 m,杆
OA的角速度为 ω, AC=CB=l/2,OA=l/2,则杆 AB的动能是多少？
【 解 】 方法一,
?
?
AB?
?
Av
Cv
1O
O
A
B
C
P
?
?
?
?
?
2
2
22
222
2
c o s
)s i n31(
24
1
)]()s i n
2
(
12
1
[
2
1
2
1
??
??
?
ml
PA
vl
mml
JT
A
AB
P
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
方法二,
?
?
?
??
?
?
?
2
2
22
2
2
2
2
22
c o s
)s i n31(
24
1
)
2
(
2
1
c o s12
1
2
1
2
1
2
1
??
????
??
ml
tg
l
mml
JMvT AB
Pc
例 13-5 如图所示均质杆 OA的质量为 30kg,杆在铅垂位置时弹
簧处于自然状态。设弹簧常数 k=3KN/m,为使杆能由铅直位置转
到水平位置 OA’,在铅直位置时的角速度至少应为多大？
A
O
B
C
A?
?
m2.1
m2.1
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
【 解 】 以 OA杆为研究对象
sr a d
WTT
T
T
J
kGW
67.3
4.3888.280
0
8.284.230
3
1
2
1
)(4.388
])22.14.2(0[3000
2
1
2.18.930
)(
2
1
2.1
0
2
0
12
2
2
0
2
0
2
1
22
2
2
2
1
＝
，得＝－－
，得＝－由
?
?
??
??
?
?
?
?????
-?
--??????
-???
A
O
B
C
A?
?
m2.1
m2.1
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
例 13-6 如图所示, 质量为 m,半径为 r的均质圆盘, 可绕通过 O
点且垂直于盘平面的水平轴转动 。 设盘从最高位置无初速度地
开始绕 O轴转动 。 求当圆盘中心 C和轴 O点地连线经过水平位置时
圆盘的角速度, 角加速度及 O处的反力 。
O
C
C?
r
x
y
(a)
【 解 】 （ 1）用动能定理求角速度
r
g
m g rmr
WTT
m g rW
mrmrmrJT
T
3
4
0
4
3
4
3
)
2
1
(
2
1
2
1
0
22
1212
12
222222
02
1
?
?
????
?
?
?
???
即
＝－
，得＝－由
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
?
?
mg
?Ca
0X
nCa
0Y
C
(b)
当 OC在同一水平位置时，用动能定理有
m g rdtdJ ??0
代入 J0,有
r
g
3
2??
（ 2）求 O处约束反力
作圆盘的受力分析和运动分析，如图
（ b） 所示。有
gra
g
r
g
rra
C
n
C
3
2
3
4
3
42
??
????
?
?
?
由质心运动定理，得
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
mgYYmgma
mgXXma
C
n
C
3
1
,
3
4
,
00
00
?-?
??
?
例 13-7 如图所示均质细长杆，质量为 M,长为 l,放置在
光滑水平面上。若在 A端作用一垂直于杆的水平力 F,试求
B端的加速度。
A
C B
x
y
F
(a)
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
【 解 】 细长杆作平面运动，欲求 aB,则必先求 ac,如图（ b）
所示。
由结点法
?
BcCB aaa ??
①
?? 2La Bc ?
列出平面运动公式
M
FaFMa
Cc ??,
②
2
LFJ
C ???
x
A
C B
y
F
?
Ca
?BCa
nBCa
a
ML
F
J
FL
C
6
2 ???
③
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
将②③代入①中得
)(226 ??-?? M FMFLML Fa B
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
【 思考与讨论 】
1．选择题
（ 1）如图所示，半径为 R,质量为 m的均质圆轮，在水平地面
上只滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为 f。 试求轮心向前移
动距离 S的过程中摩擦力的功 WF。 （ ）
A,WF=fmgS
B,WF<fmgS
C,WF=F.S
D,WF=0
M
C
W?
v?
NF
?
F?
S
D
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
(2)如图所示，楔块 A向右移动速度为 v1,质量为 m的物块 B沿斜面
下滑，它相对于楔块的速度为 v2,求物块 B的动能 TB。（ ）
2
2
2
1 22 v
mvmT
B ??
A,
]s i n)c o s[(2 222221 ?? vvvmT B ?-?
D,
2
21 )(2 vv
mT
B ??
C,
2
22 v
mT
B ?
B,
D
A
B
1v
2v
?
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
（ 3）如图所示，质量可以忽略的弹簧原长为 2L,刚度系数为
k,两端固定并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物
下降 x路程中弹性力所作的功 。（ ）
A,
}])[(0{2 22
1
2 LxLkW -?-?
B,
}])[(0{ 22122 LxLkW -?-?
C,
}])[(0{2 22
1
22 LxLkW -?-?
D,
}])[(0{2 22
1
222 LxLkW -?-?
A B
C
x
L
K
L
C
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
（ 4）如图所示，平板 A以匀速 v沿水平直线向右运动，质量为
m,半径为 r的均质圆轮 B在平板上以匀角速度 ω朝顺时针方向
滚动而不滑动，则轮的动能为（ ）
A,
222
2
3
2
1
2
1 ?mrmvT ???
B,
222
2
1
2
1)(
2
1 ?? mrrvmT ????
C,
222
2
1
2
1
2
1 ?mrmvT ???
D,
222
2
1
2
1)(
2
1 ?? mrrmT ???
B
O
r
v
?
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
2.图示平面机构中,O1A// O2B，且在铅垂位置。设 O1A为 r1,
O2B为 r2，已知 O1A杆的角速度为 ?,AB杆质量为 m，则此瞬
时 B点的速度,AB杆的角 速度及 AB 杆的动能各为多少？
30
A
B
O1 O2
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
3,质量为 m,半径为 r 的均质圆盘，可绕通过 O点且垂直
于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速地开始绕 O轴
转动，求当圆盘中心 C和轴 O点的连线经过水平位置时圆盘的
角速度、角加速度。 y
o
co
c x
r
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
4,在图示机构中,已知,匀质杆 AB与 BC质量分别为 m1与 m2,不
计摩擦，轮 A质量不计，在水平轨道上运动，若系统在水平位
置，由静止释放。试求 BC杆到达铅垂位置时的角速度。
3L L
A B
C
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
5,如图所示，半径为 R的两圆柱体 Ⅰ, Ⅱ 用绳相联，绳的一端
与圆柱 Ⅰ 的中心 O相连，另一端系在圆柱体 Ⅱ 上,Ⅰ 为实心均
质圆柱，质量为 m1,可沿水平面只滚不滑； Ⅱ 为空心均质薄壁
圆柱，质量为 m2.不计滚动摩擦和定滑轮 A及绳的质量，系统从
静止释放。试求当圆心 O向右移动距离 S时点 O的速度。
O
R
A
C
R
Ⅰ
Ⅱ
)23(
4
21
2
mm
gsmv
?
?
答案,
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
答案,（ 1） δ m=5cm；（ 2） ω=15.5rad/s
6,如图所示系统中，已知：匀质杆 AB重 100N,长为 20cm,弹
簧的刚性系数 k=20N/cm,杆与水平线的夹角为 β, β =0时弹
簧的长度为原长，滑块的重量及摩擦不计。试求：（ 1）杆在
β =0处无初速度地释放，弹簧伸长的最大距离；（ 2）将杆由
β =60° 时无初速度地至 β =30° 时，杆的角速度。
A
B
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
7,如图所示机构中，已知：匀质圆盘的质量为 m,半径为 r,可
沿水平面作纯滚动，刚性系数为 k的弹簧一端固定于 B,另一端与
圆盘中心 O相连，运动喀什时弹簧处于原长，此时圆盘角速度为
ω 。 试求：（ 1）圆盘向右运动能到达的最右位置；（ 2）圆盘到
达最右位置时的角加速度 ε 及圆盘与水平面间的摩擦力。
答案,
6,3
2,
2
3 mkrF
m
k
k
mrS ???? ???
O
r
?
A
B
理 论 力 学 电 子 教 程 理论力学电子教程 第十三章 动能定理
8,如图所示机构中，已知：匀质圆盘 A,AC长为 L,圆盘、杆
及滑块 C质量均为 m。 试求杆 AC自水平位置无初速度地滑到与铅
垂线成 β =45° 时，圆盘中心 A的速度。
答案,
19
29 Lgv
A ?
?
A
C
