理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
第十四章 达朗贝尔原理
§ 14－ 3 刚体惯性力系的简化
§ 14－ 2 质点和质点系的达朗贝尔原理
§ 14－ 1 惯性力的概念
§ 14－ 4 刚体是轴转动时轴承的动反力
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普
遍的方法，即用动力学中研究平衡问题的方法来研究动
力学问题，故又称为动静法。它借助于的质点和质点系
虚加惯性力，动静法在形式上将动力学问题化为静力平
衡问题，以静力平衡方程的形式列出动力学方程。
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
受非零力系作用的物体将改变运动状态。
由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它
同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力
。例如，一质量为 m的小球 M，用细绳系住，绳的另一端
用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度
为 v，半径为 r，如图 14－ 1所示。
§ 14-1 惯性力的基本概念
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O
M
IF
mgO
M
?
n
TF
(b)
O
M
r
v
(a)
与上述例子实质相同的力学现象不胜枚举。可将质点惯
性力的概念归结如下：一质量为 m的质点受到力 F的作用，具
有加速度 a。则由动力学第二定律有
maF ?
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质点对施力体的反作用力 maF ???
并记作,则有
IF
,称为质点的惯性力,
maF ??
可见，质点惯性力的大小等于质点质量与其加速度的乘
积，方向与加速度方向相反，而作用在迫使质点改变运动状态
的施力物体上。
将（ 14－ 1）式可向固定直角坐标系投影有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
2
2
2
2
2
2
dt
zd
mmaF
dt
yd
mmaF
dt
xd
mmaF
zIz
yIy
xIx
（ 14－ 2）
（ 14－ 1）
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若在自然轴系上投影则有
?
?
?
??
?
?
????
????
?
?
?
2v
mmaF
dt
dv
mmaF
n
n
I
I
（ 14－ 3）
上式表明，质点的惯性力也可分解为沿轨迹的切线和法线
的两个分力：切向惯性力 和法向惯性力,他们的方向分别
与切向加速度 和法向加速度 相反。 ?IF
nIF
?a na
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一、质点的达朗贝尔原理
设质量 m为的质点，在主动力,约束反力 的作用下运
动，其加速度为 a，如图（ a）所示。
F
NF
aNF
F
M
(a)
NF
F
M
IF
(b)
§ 14－ 2 质点和质点系的达朗贝尔原理
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对质点 M应有
maFF I ??
上式可改写为
0)( ???? maFF I
由于,则上式记作,maF ??
0??? IN FFF
（ 14－ 4）
这说明，在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、
约束反力与质点的惯性力的矢量和为零。也可理解为：在质
点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与虚加的
质点的惯性力构成一零力系，这即为质点的达朗贝尔原理。
应该明确：式（ 14－ 3）只具有静力平衡方程的形式，而
没有平衡的实质。
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【 解 】 以摆锤为研究对象，设它的质量为。摆锤与车厢一样，
有向右的加速度。则摆锤上作用的力有,
?M
a
(a)
?F
IF
P(b)
?
P
F
IF(c)
, 和,其中 。 F
IF maFI ??P
例 14-1 如图所示，一沿水平直线向右作匀加速运动的车厢内
悬挂一单摆，在正常状态下摆的悬线向左偏斜，与铅垂线成角
，相对于车厢静止。试求车厢的加速度 a。
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由静力平衡方程
0c o ss i n,0 ???? ?? Ixi FPF
g
a
mg
ma
P
F I ????ta n则
即
?ta nga ?
二、质点系的达朗贝尔原理
对质点系中每一个质点应用质点的达朗贝尔原理，然后加
以综合，就得到质点系的达朗贝尔原理。
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设质点系由 n个质点组成，其中第个质点的 质量为 。
它在主动力 和约束反力 作用下运动，其加速度为 。则
点虚加的惯性力,相应地有
iM im
iF NiF ia
iiIi amF ??
0??? IiNii FFF ),,2,1( ni ?? （ 14－ 5）
对整个质点系而言，这样的零力系共有个，它们综合在
一起仍构成一零力系。因此，在质点系运动的任一瞬时，作
用于质点系的主动力、约束反力与虚加的质点系的惯性力构
成一零力系。这即为质点系的达朗贝尔原理。
在应用质点系的动静法时，应当分析并画出质点系所受
的外力，再虚加上质点系的惯性力，两者共同构成一个虚拟
的零力系。可按静力学方法列出该力系的平衡方程。
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若研究整个刚体的运动，可以用静力学中所描述的方法
将刚体的惯性力系向一点简化，用简化结果等效地代替原来
的惯性力系。
设将刚体的惯性力系向任选一点 O的简化，则惯性力系的
主矢为
)()( ??? ????? iiiiIiIR amamFF
又有,故有
cii maam ??
cIR maF ??
（ 14－ 6）
§ 14－ 3 刚体惯性力系的简化
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即惯性力系主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘
积，方向与质心加速度相反。不论刚体作任何运动，这个结论
均成立。
至于刚体惯性力系的主矩，则与简化中心的位置和刚体的
运动形式有关。
现讨论刚体作平行移动、定轴转动和平面运动三种情况下
刚体惯性力系的简化结果。
一、刚体作平行移动
在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度 。
任一质点 的惯性力为
a?
iM
amamF iiiIi ????
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可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都
与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向
平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。
IRF
C
2M
3M
1M
1IF
3IF
2IF
a
＝
由平行力系中心的概念，可知此力系合成为通过质心 c之
合力。
amamFF iiIiIR )()( ??? ?????
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maF IR ??
即 （ 14－ 7）
此式表明：刚体平动时，其惯性力系向质心 c简化为一
力，这个力的大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与
加速度相反。
二、刚体作定轴转动
这里限于研究刚体具有垂直于转轴系的质量对成平面 N的
情况，如图所示。
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C
nia ＝
O cma?
ca
?zJ
?ia
nIiF
?IiF
IiF
?
?
CN
IiFN
C
O
iA
iA?
z
iM
(a) (b)
IOM
通过上图可将整个刚体的惯性力系从空间力系转化为对称
平面内的平面力系。再将该平面力系向对成平面的转动中心 o
（即为转轴与对称平面的交点 o ）简化，可得到一个力 和
一个矩为的力偶 。 IRF
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力矢 可由（ 14－ 5）式求得，即
IRF
cIR maF ??
（ 14－ 8）
而 应等于惯性力系对 o点的主矩。设刚体转动的角速度为
ω，角加速度为 α。记 的转动半径为,则 IO
M
iM ir
?? ii ra ? 2?iin ra ?
相应地
?? iiIi rmF ? 2?
iinIi rmF ?
方向如图（ b）。
于是
??
?
)()(
)()()(
2??
???
????
???
iiiii
n
IiOIiOIiOIO
rmrrm
FMFMFMM
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即
?zIO JM ??
（ 14－ 9）
上式的负号表示惯性力主矩的转向与角加速度相反。
式（ 14－ 7）和式（ 14－ 8）表明：刚体定轴转动时，其
惯性力系向转动中心简化为一个力和一个力偶。其中这个力
的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加
速度方向相反，作用线通过转化中心。这个力偶的矩等于刚
体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，作用在垂直于转轴
的对称平面内，转角与角加速度的转向相反。
得出上述的结论有两个限制条件,
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（ 1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；
（ 2）以转动中心（转轴系与质量对称平面的交点）为简化中
心。
特殊情况,
（ 1）转轴通过刚体的质心 o，如图（ a）所示。此时
0?ca 0?IRF
0?? 0?IOM
（ 2）刚体作匀速转动，如图（ b）所示。此时
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C
(a)
C
O
(b)
?（ α=0）
e
2?me
?cJ
? ?
三,刚体作平面运动
（ 1）平面运动刚体惯性力系的简化
设刚体的角速度为 ω,角加速度为 α,质心加速度为 。选
质心 c为基点，则刚体对称平面内任意代表点 的加速度 可
以分解为牵连加速度 和相对加速度,相应地惯性力也有
此关系，如图（ a）所示。
Ca
iM ia
Ca ica
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这样，刚体的惯性力系可设想为分成两组：一组是牵连惯
性力，它的分布情况与刚体以加速度 作平动时相同；另一组
是相对惯性力，它的分布情况与刚体绕质心轴转动时相同。则
由刚体作平行移动和刚体作定轴转动（转轴通过刚体质心）的
结果可知：前一组惯性力合成为作用在质心的一个力，后一组
惯性力合成为一个力偶。
Ca
?
?
Ca
Ca
2?iirm
?iirmciam niCa
?Aa
C
(a)
?
Ca
cma
?cJ
(b)
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即
cIR maF ??
?CIC JM ??
（ 14－ 10）
（ 14－ 11）
式（ 14－ 9）和（ 14－ 10）即为平面运动刚体的惯性力系
的简化结果。
例 14-2 重量为 P，半径为 R的均质圆盘可绕垂直于盘面的水平
轴 O转动,O轴正好通过圆盘的边缘，如图所示。圆盘从半径
CO处于铅垂位置 1无初速度释放转下，求当圆盘转到 OC成为
水平位置 2时轴的动反力。
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【 解 】 （ 1）应用动能定理求在位置 2时的瞬时角速度 ω,有
PRJ o ?? 021 2?
222
2
3
2
1 R
g
PR
g
PR
g
PJ
o ???
R
g
3
42 ??代入（ 1）式得
又
（ 1）
（ 2）
（ 2）设圆盘得角加速度为 α,则有
2,??? RaRa cnc ??
R
g
3
2??得 （ 3）
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0,0 ????? PFFF IRoyyi ?
代入（ 3）式有
3
PR
g
PPF
oy ??? ?
0?? xiF 0?? nIRox FF
（ 4）
将（ 2）式代入有
PRgPF ox 342 ???? ?
（ 5）
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【 解 】
例 14-3 滚子半径为 R，质量为 m，质心在其对称中心 C点，如
图 (a)所示。在滚子得鼓轮上缠绕细绳，已知水平力沿着细绳
作用，使滚子在粗糙水平面上作无滑动得滚动。鼓轮得半径
为 r，滚子对质心轴得回转半径为 ρ。试求滚子质心的加速度
和滚子所受的摩擦力 。 Ca1F
以滚子为研究对象。作用于滚子上的外力有重力,
水平拉力,地面法向反力 和滑动摩擦力,如图
所示。
P
F NF 1F
设滚子的质心加速度为,则由纯滚动条件有,相
应地有 Ca Rac??
?cIccIR JMmaF ??,
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对图（ b），由平衡方程得
0)(,0 ??????? rRFJRmaM ccAi ?
将 代入上式有
2?mJ c ?
)(
)(
22 ?? ?
??
Rm
rRF
)(
)(
22 ?? ?
???
Rm
rRFRRa
c
则
0,0 1 ????? cxi maFFF
代入,有
Ca
22
2
1 ?
?
?
????
R
RrFmaFF
c
讨论,静摩擦因数满足什么条件，滚子才能发生纯滚动？
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作定轴转动的刚体，若重心不在转轴上，将引起轴承的
附加动反力。如刚体转速较高，附加动反力将十分巨大，会
造成各种严重的后果。
下面结合例题进行说明。
【 解 】 应用达朗贝尔原理求解。以整个转子为研究对象，转
子受到的外力有重力,轴承反力, 。转动中心 O虚加
离心惯性力, 。 则在形式上组成一平
衡力系。
P NAF NBF
2?meF IR ? NAF
NFP IRFNB
F
§ 14－ 4 刚体定轴转动时轴承的动反力
例 14-4 转子的质量 m=20kg，水平的转轴垂直于转子的对称面
，转子的重心偏离转轴，偏心距 e=0.1mm，如图所示。若转子
作匀速转动，转速 n=12000r/min，试求轴承 A,B的动反力。
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将反力分成两部分来讨论。
（ 1）静反力
NPFF NBNA 07.982 8 0 6 7.9202 ???????
NBNA FF ???
静反力 的方向始终铅垂向上。
（ 2）附加动反力
NmeFFF IRNBNA 1 5 7 9301 2 0 0 01 0 0 01.020212121 2 ????????????? ??
与静反力不同，附加动反力 和 的方向随着惯性力
的方向而变化。
将静反力与附加动反力合成，就得到动动反力。一般情
况下，不一定共线，应采用矢量合成。当它们同向或反向的
瞬时，动反力取最大值或最小值有
NAF? NBF? IRF
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NFF NBNA 1677981579m a xm a x ????
NFF NBNA 1 4 8 1981 5 7 9m i nm i n ????
从以上分析可知，在高速转动时，由于离心惯性力与角速
度的平方成正比，即使转子的偏心距很小，也会引起相当巨
大的轴承附加动反力。为清除附加动反力，首先应消除转动
刚体的偏心现象。
无偏心的刚体，仅受重力作用，则无论刚体转到什么位置
，它都能静止，这种情形称为静平衡。
讨论：静平衡的刚体在转动时是否不再引起附加动反力？
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【 典型题精解 】
例 14-5 半径为 r的均质圆柱形滚子重,被绳子拉住沿水平
面作纯滚动，此绳跨过滑轮 B（不计重量）后悬挂重 为的物
体 A。如重物 A下降的加速度 大小为 2a，试求各物体的惯性
力并将他们分别画于图中各相应物体上。 A
a
1P
2P
A
C
1P
Aa
2P
B【 解 】 因绳长不可伸长，故
aaa AH 2??
因滚子作纯滚动，故
aaa HC ?? 21 rara C ???
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将滚子的惯性力系向质心 C简化，主矢为
??? agPagPR CJC 11
主矩为
?? 2121 rgPJM CJC ??
重物 A的惯性力为
?? agPR JA 22
如图（ b）所示。
例 14-6 均质细杆支承如图（ a）所示。已知杆长为 l，重为 G
，斜面倾角 。若杆与水平面交角 瞬时,A端的加
速度为,杆的角速度为零，角加速度为 。试求此瞬时杆
上惯性力系的简化结果。
?? 60? ?? 30?
Aa ?
A
C
1P
Aa
2P
B
Ca
agPRJC 1?
?CJC JM ? aaa
AH 2??
agP22
H
D
?
(b)
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【 解 】
??
C
Aa
?
gCM
?gF
geF
B
(a)
A
B
Aa
C
)(?CAa
(b)
杆 AB作平面运动，可将惯性力系向质心 C简化，故需
求得质心 C的加速度,以杆端点 A为基点，则
Ca
)()( ?CAnCAAC aaaa ???
上式中 方向如图（ b）所示，故
?? ? 2021 )(2)( laa CAnCA ???,
)(?
CAAC aaa ??
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因此得此杆惯性力系得主矢为
?
?
ggeCAACgR FFaag
Pa
g
PF ???????? )( )(
)( ?
? CAgAge ag
PFa
g
PF ????,
式中
惯性力系向质心简化得主矩为
?? 2121 lgPJM CgC ??
方向如图（ a）所示。
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例 14-7 均质棒 AB得质量为 m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳
上，棒处在水平位置，如图（ a）所示。其中一绳 BD突然断了
，求此瞬时 AC绳得张力 F。
A B
C D
(a)
gCM
)(?CAa?
mg
?Aa
F
?Aa C
gRxF
gRyF
(b)
?
【 解 】 当 BD绳断了以后，棒开始作平面运动，则惯性力系得
简化中心在质心 C上。因瞬时系统得速度特征量均为
零，则点加速度为 。以 A为基点，有 ?Aa
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?? CAAnCAnCAAC aaaaaa ?????
其中,l为棒长。 ??
2
la
CA ?
虚加惯性力系，如图（ b）所示，有
?? ? 2mlFmaFJM g R yAg R xCgC ???,，
02220)( ?????? ?? CA JlmllmgFm,?
则
因,得
2
12
1 mlJ
C ? l
g
2
3??
020 ????? mgmlFF y ?，
又
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NmgF 8.941 ??
得
【 思考题 】
1、是非题
（ 1）不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化得主矢都
等于刚体得质量与其质心加速度的乘积，而取相反方向。
（ ）
对
（ 2）质点有运动就有惯性力。（ ） 错
（ 3）质点的惯性力不是它本身所受的作用力，其施力体
事质点本身。 （ ）
对
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1．选择题
（ 1）设质点在空中，只受到重力作用，试问在下列两种情
况下，质点惯性力的大小和方向如何？（ a）质点作自由落
体运动；（ b）质点被铅垂上抛 （ ）
A．（ a）与（ b）的惯性力大小相等，方向都铅直向下
B．（ a）与（ b）的惯性力大小相等，方向都铅直向上
C．（ a）与（ b）的惯性力大小相等，（ a）向上、（ b）向下
D．（ a）与（ b）的惯性力大小相等，（ a）向下、（ b）向上
B
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（ 2）如图所示，半径为 R，质量为 m的均质细圆环沿水平直
线轨道作匀速纯滚动，试问应如何虚加惯性力系？ ( )
A.虚加惯性力 且 过速度瞬心 O，铅直向下
R
VmR J 2? JR
B.虚加惯性力 且 过速度瞬心 O，铅直向上
R
VmR J 2? JR
C.虚加惯性力偶矩,且为反时针转向 m R VmRM J
O ?? ?2
D.惯性力系组成平衡力系
D
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（ 3）如图所示，车顶悬挂一质量为 m的单摆，当车加速度 a
沿直线加速行驶时，摆向后偏移。用达朗贝尔原理求的小车
的加速度 a为 ( )
?g ctga ?
?s i nga ?
?c o sga ?
?gtga ?
A,
B,
C,
D,
?
a
D
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3,如图所示，均质杆 AB的质量为 4kg,B端置于光滑的水平面
上。在杆的端作用一水平推力 P=60N，使杆 AB沿 P力方向作直
线平移。试用动静法求 AB杆的加速度和角 θ 之值。
A
B
?
CP?
G?
答案,
6 5 3.0/15 2 ?? ?tgsma c,
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4.如图所示，板的质量为 m，受水平力 F作用，沿水平面运动，
板与平面间的摩擦系数为 f。在板上放一质量为 的均质实心
圆柱，此圆柱对板只滚动而不滑动。求板的加速度。 2
m
O F
答案,
3
)(
2
1
21
m
m
gmmfF
a
?
??
?
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5,匀质细杆弯成图示形状，位于铅垂面内，如图所示。已
知：杆单位长度的质量为 q=0.6kg/m，半径 r=0.2m。试用动
静法求杆在图示位置由静止释放瞬时轴承处的约束力。（提
示：半圆环质心与轴的距离）
答案,
NYNX OO 79.4338.0 ??,
Or
第十四章 达朗贝尔原理
§ 14－ 3 刚体惯性力系的简化
§ 14－ 2 质点和质点系的达朗贝尔原理
§ 14－ 1 惯性力的概念
§ 14－ 4 刚体是轴转动时轴承的动反力
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达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普
遍的方法，即用动力学中研究平衡问题的方法来研究动
力学问题，故又称为动静法。它借助于的质点和质点系
虚加惯性力，动静法在形式上将动力学问题化为静力平
衡问题，以静力平衡方程的形式列出动力学方程。
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
受非零力系作用的物体将改变运动状态。
由于物体具有惯性，力图保持其惯性运动，所以它
同时给予施力体以反作用力，这种反作用力称为惯性力
。例如，一质量为 m的小球 M，用细绳系住，绳的另一端
用手握住，使小球在水平面内作匀速圆周运动，其速度
为 v，半径为 r，如图 14－ 1所示。
§ 14-1 惯性力的基本概念
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
O
M
IF
mgO
M
?
n
TF
(b)
O
M
r
v
(a)
与上述例子实质相同的力学现象不胜枚举。可将质点惯
性力的概念归结如下：一质量为 m的质点受到力 F的作用，具
有加速度 a。则由动力学第二定律有
maF ?
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质点对施力体的反作用力 maF ???
并记作,则有
IF
,称为质点的惯性力,
maF ??
可见，质点惯性力的大小等于质点质量与其加速度的乘
积，方向与加速度方向相反，而作用在迫使质点改变运动状态
的施力物体上。
将（ 14－ 1）式可向固定直角坐标系投影有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
2
2
2
2
2
2
dt
zd
mmaF
dt
yd
mmaF
dt
xd
mmaF
zIz
yIy
xIx
（ 14－ 2）
（ 14－ 1）
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
若在自然轴系上投影则有
?
?
?
??
?
?
????
????
?
?
?
2v
mmaF
dt
dv
mmaF
n
n
I
I
（ 14－ 3）
上式表明，质点的惯性力也可分解为沿轨迹的切线和法线
的两个分力：切向惯性力 和法向惯性力,他们的方向分别
与切向加速度 和法向加速度 相反。 ?IF
nIF
?a na
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
一、质点的达朗贝尔原理
设质量 m为的质点，在主动力,约束反力 的作用下运
动，其加速度为 a，如图（ a）所示。
F
NF
aNF
F
M
(a)
NF
F
M
IF
(b)
§ 14－ 2 质点和质点系的达朗贝尔原理
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
对质点 M应有
maFF I ??
上式可改写为
0)( ???? maFF I
由于,则上式记作,maF ??
0??? IN FFF
（ 14－ 4）
这说明，在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、
约束反力与质点的惯性力的矢量和为零。也可理解为：在质
点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与虚加的
质点的惯性力构成一零力系，这即为质点的达朗贝尔原理。
应该明确：式（ 14－ 3）只具有静力平衡方程的形式，而
没有平衡的实质。
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
【 解 】 以摆锤为研究对象，设它的质量为。摆锤与车厢一样，
有向右的加速度。则摆锤上作用的力有,
?M
a
(a)
?F
IF
P(b)
?
P
F
IF(c)
, 和,其中 。 F
IF maFI ??P
例 14-1 如图所示，一沿水平直线向右作匀加速运动的车厢内
悬挂一单摆，在正常状态下摆的悬线向左偏斜，与铅垂线成角
，相对于车厢静止。试求车厢的加速度 a。
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
由静力平衡方程
0c o ss i n,0 ???? ?? Ixi FPF
g
a
mg
ma
P
F I ????ta n则
即
?ta nga ?
二、质点系的达朗贝尔原理
对质点系中每一个质点应用质点的达朗贝尔原理，然后加
以综合，就得到质点系的达朗贝尔原理。
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
设质点系由 n个质点组成，其中第个质点的 质量为 。
它在主动力 和约束反力 作用下运动，其加速度为 。则
点虚加的惯性力,相应地有
iM im
iF NiF ia
iiIi amF ??
0??? IiNii FFF ),,2,1( ni ?? （ 14－ 5）
对整个质点系而言，这样的零力系共有个，它们综合在
一起仍构成一零力系。因此，在质点系运动的任一瞬时，作
用于质点系的主动力、约束反力与虚加的质点系的惯性力构
成一零力系。这即为质点系的达朗贝尔原理。
在应用质点系的动静法时，应当分析并画出质点系所受
的外力，再虚加上质点系的惯性力，两者共同构成一个虚拟
的零力系。可按静力学方法列出该力系的平衡方程。
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
若研究整个刚体的运动，可以用静力学中所描述的方法
将刚体的惯性力系向一点简化，用简化结果等效地代替原来
的惯性力系。
设将刚体的惯性力系向任选一点 O的简化，则惯性力系的
主矢为
)()( ??? ????? iiiiIiIR amamFF
又有,故有
cii maam ??
cIR maF ??
（ 14－ 6）
§ 14－ 3 刚体惯性力系的简化
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
即惯性力系主矢的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘
积，方向与质心加速度相反。不论刚体作任何运动，这个结论
均成立。
至于刚体惯性力系的主矩，则与简化中心的位置和刚体的
运动形式有关。
现讨论刚体作平行移动、定轴转动和平面运动三种情况下
刚体惯性力系的简化结果。
一、刚体作平行移动
在同一瞬时，平动刚体上各质点具有相同的加速度 。
任一质点 的惯性力为
a?
iM
amamF iiiIi ????
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可见各质点的惯性力的大小与各自的质量成正比，方向都
与共同的加速度相反。即此时平动刚体的惯性力系是一个同向
平行力系，各力大小与各点质点质量成正比，如图所示。
IRF
C
2M
3M
1M
1IF
3IF
2IF
a
＝
由平行力系中心的概念，可知此力系合成为通过质心 c之
合力。
amamFF iiIiIR )()( ??? ?????
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
maF IR ??
即 （ 14－ 7）
此式表明：刚体平动时，其惯性力系向质心 c简化为一
力，这个力的大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与
加速度相反。
二、刚体作定轴转动
这里限于研究刚体具有垂直于转轴系的质量对成平面 N的
情况，如图所示。
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
C
nia ＝
O cma?
ca
?zJ
?ia
nIiF
?IiF
IiF
?
?
CN
IiFN
C
O
iA
iA?
z
iM
(a) (b)
IOM
通过上图可将整个刚体的惯性力系从空间力系转化为对称
平面内的平面力系。再将该平面力系向对成平面的转动中心 o
（即为转轴与对称平面的交点 o ）简化，可得到一个力 和
一个矩为的力偶 。 IRF
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力矢 可由（ 14－ 5）式求得，即
IRF
cIR maF ??
（ 14－ 8）
而 应等于惯性力系对 o点的主矩。设刚体转动的角速度为
ω，角加速度为 α。记 的转动半径为,则 IO
M
iM ir
?? ii ra ? 2?iin ra ?
相应地
?? iiIi rmF ? 2?
iinIi rmF ?
方向如图（ b）。
于是
??
?
)()(
)()()(
2??
???
????
???
iiiii
n
IiOIiOIiOIO
rmrrm
FMFMFMM
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
即
?zIO JM ??
（ 14－ 9）
上式的负号表示惯性力主矩的转向与角加速度相反。
式（ 14－ 7）和式（ 14－ 8）表明：刚体定轴转动时，其
惯性力系向转动中心简化为一个力和一个力偶。其中这个力
的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加
速度方向相反，作用线通过转化中心。这个力偶的矩等于刚
体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，作用在垂直于转轴
的对称平面内，转角与角加速度的转向相反。
得出上述的结论有两个限制条件,
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
（ 1）刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；
（ 2）以转动中心（转轴系与质量对称平面的交点）为简化中
心。
特殊情况,
（ 1）转轴通过刚体的质心 o，如图（ a）所示。此时
0?ca 0?IRF
0?? 0?IOM
（ 2）刚体作匀速转动，如图（ b）所示。此时
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C
(a)
C
O
(b)
?（ α=0）
e
2?me
?cJ
? ?
三,刚体作平面运动
（ 1）平面运动刚体惯性力系的简化
设刚体的角速度为 ω,角加速度为 α,质心加速度为 。选
质心 c为基点，则刚体对称平面内任意代表点 的加速度 可
以分解为牵连加速度 和相对加速度,相应地惯性力也有
此关系，如图（ a）所示。
Ca
iM ia
Ca ica
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
这样，刚体的惯性力系可设想为分成两组：一组是牵连惯
性力，它的分布情况与刚体以加速度 作平动时相同；另一组
是相对惯性力，它的分布情况与刚体绕质心轴转动时相同。则
由刚体作平行移动和刚体作定轴转动（转轴通过刚体质心）的
结果可知：前一组惯性力合成为作用在质心的一个力，后一组
惯性力合成为一个力偶。
Ca
?
?
Ca
Ca
2?iirm
?iirmciam niCa
?Aa
C
(a)
?
Ca
cma
?cJ
(b)
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
即
cIR maF ??
?CIC JM ??
（ 14－ 10）
（ 14－ 11）
式（ 14－ 9）和（ 14－ 10）即为平面运动刚体的惯性力系
的简化结果。
例 14-2 重量为 P，半径为 R的均质圆盘可绕垂直于盘面的水平
轴 O转动,O轴正好通过圆盘的边缘，如图所示。圆盘从半径
CO处于铅垂位置 1无初速度释放转下，求当圆盘转到 OC成为
水平位置 2时轴的动反力。
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
【 解 】 （ 1）应用动能定理求在位置 2时的瞬时角速度 ω,有
PRJ o ?? 021 2?
222
2
3
2
1 R
g
PR
g
PR
g
PJ
o ???
R
g
3
42 ??代入（ 1）式得
又
（ 1）
（ 2）
（ 2）设圆盘得角加速度为 α,则有
2,??? RaRa cnc ??
R
g
3
2??得 （ 3）
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
0,0 ????? PFFF IRoyyi ?
代入（ 3）式有
3
PR
g
PPF
oy ??? ?
0?? xiF 0?? nIRox FF
（ 4）
将（ 2）式代入有
PRgPF ox 342 ???? ?
（ 5）
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【 解 】
例 14-3 滚子半径为 R，质量为 m，质心在其对称中心 C点，如
图 (a)所示。在滚子得鼓轮上缠绕细绳，已知水平力沿着细绳
作用，使滚子在粗糙水平面上作无滑动得滚动。鼓轮得半径
为 r，滚子对质心轴得回转半径为 ρ。试求滚子质心的加速度
和滚子所受的摩擦力 。 Ca1F
以滚子为研究对象。作用于滚子上的外力有重力,
水平拉力,地面法向反力 和滑动摩擦力,如图
所示。
P
F NF 1F
设滚子的质心加速度为,则由纯滚动条件有,相
应地有 Ca Rac??
?cIccIR JMmaF ??,
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
对图（ b），由平衡方程得
0)(,0 ??????? rRFJRmaM ccAi ?
将 代入上式有
2?mJ c ?
)(
)(
22 ?? ?
??
Rm
rRF
)(
)(
22 ?? ?
???
Rm
rRFRRa
c
则
0,0 1 ????? cxi maFFF
代入,有
Ca
22
2
1 ?
?
?
????
R
RrFmaFF
c
讨论,静摩擦因数满足什么条件，滚子才能发生纯滚动？
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
作定轴转动的刚体，若重心不在转轴上，将引起轴承的
附加动反力。如刚体转速较高，附加动反力将十分巨大，会
造成各种严重的后果。
下面结合例题进行说明。
【 解 】 应用达朗贝尔原理求解。以整个转子为研究对象，转
子受到的外力有重力,轴承反力, 。转动中心 O虚加
离心惯性力, 。 则在形式上组成一平
衡力系。
P NAF NBF
2?meF IR ? NAF
NFP IRFNB
F
§ 14－ 4 刚体定轴转动时轴承的动反力
例 14-4 转子的质量 m=20kg，水平的转轴垂直于转子的对称面
，转子的重心偏离转轴，偏心距 e=0.1mm，如图所示。若转子
作匀速转动，转速 n=12000r/min，试求轴承 A,B的动反力。
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
将反力分成两部分来讨论。
（ 1）静反力
NPFF NBNA 07.982 8 0 6 7.9202 ???????
NBNA FF ???
静反力 的方向始终铅垂向上。
（ 2）附加动反力
NmeFFF IRNBNA 1 5 7 9301 2 0 0 01 0 0 01.020212121 2 ????????????? ??
与静反力不同，附加动反力 和 的方向随着惯性力
的方向而变化。
将静反力与附加动反力合成，就得到动动反力。一般情
况下，不一定共线，应采用矢量合成。当它们同向或反向的
瞬时，动反力取最大值或最小值有
NAF? NBF? IRF
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
NFF NBNA 1677981579m a xm a x ????
NFF NBNA 1 4 8 1981 5 7 9m i nm i n ????
从以上分析可知，在高速转动时，由于离心惯性力与角速
度的平方成正比，即使转子的偏心距很小，也会引起相当巨
大的轴承附加动反力。为清除附加动反力，首先应消除转动
刚体的偏心现象。
无偏心的刚体，仅受重力作用，则无论刚体转到什么位置
，它都能静止，这种情形称为静平衡。
讨论：静平衡的刚体在转动时是否不再引起附加动反力？
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
【 典型题精解 】
例 14-5 半径为 r的均质圆柱形滚子重,被绳子拉住沿水平
面作纯滚动，此绳跨过滑轮 B（不计重量）后悬挂重 为的物
体 A。如重物 A下降的加速度 大小为 2a，试求各物体的惯性
力并将他们分别画于图中各相应物体上。 A
a
1P
2P
A
C
1P
Aa
2P
B【 解 】 因绳长不可伸长，故
aaa AH 2??
因滚子作纯滚动，故
aaa HC ?? 21 rara C ???
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
将滚子的惯性力系向质心 C简化，主矢为
??? agPagPR CJC 11
主矩为
?? 2121 rgPJM CJC ??
重物 A的惯性力为
?? agPR JA 22
如图（ b）所示。
例 14-6 均质细杆支承如图（ a）所示。已知杆长为 l，重为 G
，斜面倾角 。若杆与水平面交角 瞬时,A端的加
速度为,杆的角速度为零，角加速度为 。试求此瞬时杆
上惯性力系的简化结果。
?? 60? ?? 30?
Aa ?
A
C
1P
Aa
2P
B
Ca
agPRJC 1?
?CJC JM ? aaa
AH 2??
agP22
H
D
?
(b)
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【 解 】
??
C
Aa
?
gCM
?gF
geF
B
(a)
A
B
Aa
C
)(?CAa
(b)
杆 AB作平面运动，可将惯性力系向质心 C简化，故需
求得质心 C的加速度,以杆端点 A为基点，则
Ca
)()( ?CAnCAAC aaaa ???
上式中 方向如图（ b）所示，故
?? ? 2021 )(2)( laa CAnCA ???,
)(?
CAAC aaa ??
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
因此得此杆惯性力系得主矢为
?
?
ggeCAACgR FFaag
Pa
g
PF ???????? )( )(
)( ?
? CAgAge ag
PFa
g
PF ????,
式中
惯性力系向质心简化得主矩为
?? 2121 lgPJM CgC ??
方向如图（ a）所示。
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
例 14-7 均质棒 AB得质量为 m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳
上，棒处在水平位置，如图（ a）所示。其中一绳 BD突然断了
，求此瞬时 AC绳得张力 F。
A B
C D
(a)
gCM
)(?CAa?
mg
?Aa
F
?Aa C
gRxF
gRyF
(b)
?
【 解 】 当 BD绳断了以后，棒开始作平面运动，则惯性力系得
简化中心在质心 C上。因瞬时系统得速度特征量均为
零，则点加速度为 。以 A为基点，有 ?Aa
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
?? CAAnCAnCAAC aaaaaa ?????
其中,l为棒长。 ??
2
la
CA ?
虚加惯性力系，如图（ b）所示，有
?? ? 2mlFmaFJM g R yAg R xCgC ???,，
02220)( ?????? ?? CA JlmllmgFm,?
则
因,得
2
12
1 mlJ
C ? l
g
2
3??
020 ????? mgmlFF y ?，
又
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NmgF 8.941 ??
得
【 思考题 】
1、是非题
（ 1）不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化得主矢都
等于刚体得质量与其质心加速度的乘积，而取相反方向。
（ ）
对
（ 2）质点有运动就有惯性力。（ ） 错
（ 3）质点的惯性力不是它本身所受的作用力，其施力体
事质点本身。 （ ）
对
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
1．选择题
（ 1）设质点在空中，只受到重力作用，试问在下列两种情
况下，质点惯性力的大小和方向如何？（ a）质点作自由落
体运动；（ b）质点被铅垂上抛 （ ）
A．（ a）与（ b）的惯性力大小相等，方向都铅直向下
B．（ a）与（ b）的惯性力大小相等，方向都铅直向上
C．（ a）与（ b）的惯性力大小相等，（ a）向上、（ b）向下
D．（ a）与（ b）的惯性力大小相等，（ a）向下、（ b）向上
B
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
（ 2）如图所示，半径为 R，质量为 m的均质细圆环沿水平直
线轨道作匀速纯滚动，试问应如何虚加惯性力系？ ( )
A.虚加惯性力 且 过速度瞬心 O，铅直向下
R
VmR J 2? JR
B.虚加惯性力 且 过速度瞬心 O，铅直向上
R
VmR J 2? JR
C.虚加惯性力偶矩,且为反时针转向 m R VmRM J
O ?? ?2
D.惯性力系组成平衡力系
D
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
（ 3）如图所示，车顶悬挂一质量为 m的单摆，当车加速度 a
沿直线加速行驶时，摆向后偏移。用达朗贝尔原理求的小车
的加速度 a为 ( )
?g ctga ?
?s i nga ?
?c o sga ?
?gtga ?
A,
B,
C,
D,
?
a
D
理论力学电子教程 第十四章 达朗伯原理
3,如图所示，均质杆 AB的质量为 4kg,B端置于光滑的水平面
上。在杆的端作用一水平推力 P=60N，使杆 AB沿 P力方向作直
线平移。试用动静法求 AB杆的加速度和角 θ 之值。
A
B
?
CP?
G?
答案,
6 5 3.0/15 2 ?? ?tgsma c,
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4.如图所示，板的质量为 m，受水平力 F作用，沿水平面运动，
板与平面间的摩擦系数为 f。在板上放一质量为 的均质实心
圆柱，此圆柱对板只滚动而不滑动。求板的加速度。 2
m
O F
答案,
3
)(
2
1
21
m
m
gmmfF
a
?
??
?
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5,匀质细杆弯成图示形状，位于铅垂面内，如图所示。已
知：杆单位长度的质量为 q=0.6kg/m，半径 r=0.2m。试用动
静法求杆在图示位置由静止释放瞬时轴承处的约束力。（提
示：半圆环质心与轴的距离）
答案,
NYNX OO 79.4338.0 ??,
Or
