理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
第七章 刚体的基本运动
§ 7－ 1 刚体的平动
§ 7－ 2 刚体的定轴转动
§ 7－ 3 绕定轴转动刚体的问题
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
点的运动 刚体的运动
按运动形式
平动
定轴转动
平面运动
定点运动
一般运动
刚体运动
最基本形式
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
在刚体运动过程中,若 体内任一直线始终保持与初始位置
平行,则此种运动称为 刚体的平动 (或称平行移动或移动 ),
如, 气缸内活塞的运动,车床上刀架的运动,振动式送料
机构的送料槽的运动,
轨迹为曲线 曲线运动
轨迹为直线 直线运动
平动时
§ 7 -1 刚体的平动
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
刚体平动时具有如下特征,
体内各点轨迹形状都相同,且在同一瞬时,所有各点具
有相同的速度和加速度,
(平动刚体上任意一点的振动都可以代表整个刚体的运动 )
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
定轴转动, 刚体运动时,体内某一直线始终保持不动,
例如,机床的主轴,电动机转子,变速箱中的齿轮,门,
O
Z
§ 7－ 2刚体的定轴转动
1.位置确定
用转角确定,正负号由右手法则确定逆时针为正
2.角速度
任一瞬时刚体转动的快慢和转向可用 ?来表示
角位移 ??
t?
??? ?? ???? ??
??
????? dtdt
tl i m 0
?? ????,tt?:t
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
即刚体的转动角速度等于转角对时间的一次导数。
)(30602 sr a dnn ??? ???,rad/s n,转 /分
3.角加速度
?:t
t?
??? ??
?? ????,tt
???
?? ????
?? ?????
dt
d
tt 0lim
角加速度等于角速度对时间的一次导数，或转角对时间的
二阶导数。
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??? 逆时针为正。
同时存在 匀速转动
匀加速转动
t??? ?? 0
t??? ?? 0
2
00 2
1 tt ???? ???
)(2 0202 ????? ???
例 7-1 电动机的转子由静止开始转动，在 20S米的转
速 n=360min-1,设转子在此过程中作匀速转动，求 ?及
20S内转数。
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
M点沿轨迹的运动方程为, 式中 ?的单位为弧度。
?? RdtdRdtdsv ???
222
2
?? RRRRva n ?????? RdtdRdtdva ???
4222 ??? ???? Raaa n
A与 OM的夹角用 来表示。
2
1
?
?? ? ?? ?
na
atg
?rs ?
?
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转轴上各点的速度和加速度为零，离转轴愈远的点，其
速度和加速度愈大。
矢量表示法
?
o
A
R
M
? ? r
v o
A
R
M
? r
?a
?
?
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
设刚体上一点 M相对于角速度矢量 的起点 A的位置用矢径
表示,与 之间的夹角为,
?
r ?
则 M点,???? s i nrOMRv ?????
由此，据线性代数知
（转动刚体上点的速度矢积表示法）
又 代入,
由于角速度矢量与角加速度矢量共线，故
r?? ??
dt
dr?? rdtdr ?? ?
dt
d?? ?
? ? ?????? ??????????? rdtdrrdtdrdtddt rda 22
?
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Rr ??? ?? s i n
故 ra ???
即
用矢量表示法
如图中 ????? s i ns i n rrRv ?????
同理
2????? R???
?? ??na
naaa ?? ?
dt
d?? ?
r?? ?? r
dt
dr ?? ?
? ? ?????? ?????????? rdtdrrdtdrdtda
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例 7-2飞轮由静止开始作匀加速转动。轮上 M点距轴心 O的距离
为 r=0.4m,在某瞬时，其加速度 与转动半径的夹角
为,若 t=0时，位置角,求飞轮的运动方程，
以及 t=2s时 M点的速度和加速度大小。
21 40 sma ?
?30??00 ??
【解】 211 20s i n smaa ?? ??
211 504.020 sr a dra ??? ??
据题意, 0,0 00 ?? ??
飞轮运动方程, 200 21 tt ???? ???
22 2550
2
100 tt ?????
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当 t=2s时
sr a dt 100250002 ?????? ???
此时
smrv 401004.02 ???? ?
2222 4 0 0 01 0 04.0 smra n ???? ?
21 20 smaa ?? ??
2
22 1.4000 smaaa
n ??? ?
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
机器的运转要求一定的转速,而电动机的转速则是一定的,
这就需要变速,把电动机的转速提高或传递,使它符合要求,
变速常通过一系列相互啮合的齿轮或皮带传动,摩擦轮传
动来完成,几个轮子的组合称为轮系,
以一对啮合轮为例,
I轮, II轮,,,,111 ??R,,,
222 ??R
?? BABA aavv ??,
又
,
,,2211 ???? RR BA ??
2211,?? ?? RaRa BA ??
2211 ?? RR ? 2211 ?? RR ?
§ 7－ 3绕定轴转动刚体的问题
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传动比
1
2
2
1
2
1
12 R
Ri ???
?
?
?
?
传动比 12i
第一主动轮的转速 (输入角速度 )与最末从动轮转速 (输出
角速度 )的比,
由于相互啮合的两齿轮,其齿距必须相等,故半径与齿轮
的齿数 Z必成正比,
故,
1
2
1
2
2
1
2
1
12 z
z
R
Ri ????
?
?
?
?
式中 分别为 I,II轮的齿数, 21,zz
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理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
例 7-4 高炉料车的铰筒要经过两级变速。设铰筒的半径 r=1m，
I轴的转速是 700rad/min,各为 。
求料车上升的速度。
.148,25,132,42 4321 ???? zzzz
【解】 要求 v,则先求 ?4。
sr a drv 94.394.314 ????? ?
1
2
2
1
z
z
n
n ?
3
4
4
3
z
z
n
n ?
3
4
1
2
4
1
z
z
z
z
n
n ??
故
,1
4
3
2
1
4 nz
z
z
zn ??? sr a dn /94.37 0 0
1 4 8
25
1 3 2
42
60
2
60
2 4
4 ??????
???
1Z 2Z
3Z
4Z
v?
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例 7-5 如图 7－ 1所示，在连续印刷机的生产过程中，纸张需
以匀速 v代入印刷机，设 r表示纸筒在任一瞬时的半径,b表
示纸的厚度，试导出纸筒角加速度的表达式。
dt
dr
rdt
dr
rdt
d
2
???? ????? 故角加速度, (1)
【解】 注意到纸的速度不变，因此,
常数?? ?? r
两边求导得,0??? dtdrdtdrdtd ???
【 典型题精解 】
??
图 7-1
r?
?
b
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由于每转一周, 半径减小 b,而当角速度时, 半径变化
?? dbdr 2??
???? 22 bdtdbdtdr ????故,(2)
将 (2)式代入 (1)式得, 322 rb??? ?
例 7-6 如图 7-2所示,半径为 R的半圆盘在 A,B处与 曲柄 O1A
和 O2B铰接。已知 O1A= O2B= = 4cm,O1O2=AB,曲柄 O1A的
转动律,其中 t为时间，单位以 s计。试求当 t=0和
t=2s时，半圆盘上 M点的速度和加速度，以及半圆盘的角速
度 。
t4s in4 ??＝
l
ab?
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O
图 7-2
?
O2 O1
B
M
R Aa?
A?
A n a
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【解】 因为半圆盘做平动，故其上各点的运动轨迹相
同，且速度，加速度相等。则存在,
tlAM 4c o s4 ????? ??? ?（ 1）
tlaa AnMn 4c o s4 222 ??? ??? ? （ 2）
tlaa AM 4s in2 ????? －＝＝ ???（ 3）
,方向水平向 右
将 代入以上三式，得,0?t
scmM /4 ?? ?
，, 方向铅直向上 同样 0?Ma? 22 /4 scmaa MnM ???
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例 7-7 转子启动时的角加速度与时间成正比增大,经过 5分钟
转子的转速达到 18000r/min,试问转子在这段时间内转了多少
转？
代入式（ 1）、（ 2）、（ 3），得此瞬时 将 st 2?
0?M? 0?Mna 2?? ??? Mm aa
方向垂直于 AO1斜向右上方
因为半圆盘作平动，所以其角速度 。 0?ab?
【解】 设比例系数为 k，则
即 kt
dt
d ??kt??
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积分 ??? ttd tkd 00? ?
得 221 kt??
当 st 300605 ??? 时,sr a d /600
60
21 8 0 0 0 ??? ???
故,sr a dtk /753 0 06 0 022
22
??? ????
代入（ 1）式，得 2150 t?? ?
积分,dttd t? ??? ??
0 0
2
1 5 0
得,5450 t?? ?
转数,? ? sr a dtN /103300
900
1
900
1
2
433 ??????
?
?
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1,是非题
?（ ）
(2)平动刚体上任一点的运动轨迹不可能是空间曲线
(3)如果刚体上任一点的轨迹都是圆曲线,则刚体一定作
定轴转动。 （ ）
2.选择题
）
(1)某瞬时,刚质上有两点的轨迹相同,则刚体做平动。
（ ?
?
【 思考题 】
(1).某瞬时，刚体上任意两点 A,B的速度分别用 Bv
Av
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表示，则 ( )
A、当刚体平动时，必有 。 BA ?? ?? ?
B、当 时，刚体必作平动。 BA ?? ?? ?
D、当物体作平动时,与 的方向必然相同，但有可
能 BA
?? ??
BA ?? ?? ?
C、当物体作平动时，必有,但 与 的方向
可能不同 。 BA
?? ?? BA? ?? ?
A
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(2),如图 7-3所示平面机构中,O1A=O2B= r,O1O2 =AB,O1A以
匀角速度 绕垂直于图面的 O1轴转动，图示瞬时,C点的速度
为,( )
B,水平向右 22 arV c ??
C,铅直向上 0?rVc ?
D,水平向右 0?rVc ?
A,0?cV
O1
A B
O2
C
图 7-3
a
D
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(3).如图 8-5所示机构中,M为 AB上的点。且
。 。若 O1A按 的规律绕 轴转动,
则 M点的轨迹是（ ）
,21 rBOAO ??
lABOO ??21 t?? ?BMAM ? 1O
A.半径为 圆 r
B.半径为 圆 l
C.半径为 圆 l21
D.与 平行的直线 AB
M
图 7-4
O1
A
O2
?
B
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（ 4）,如图 8-6所示,半径为 R 的飞轮,绕垂直与图面的 O轴转动。
图示瞬时，轮缘上 A点加速度 的大小、方向均为已知，则
此时 点速度大小为（ ） A
Aa
A,ARa
B,?sinARa
C,?c o sARa
D,?c o sARa
A
图 7-5
O a?
C
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3,平板 放置在两个半径为 的圆筒上,如图 8-7所示。
在某瞬时,平板具有向右的匀加速度,在同一瞬
时的圆筒周边上一点的加速度,假设平板 与圆
筒之间无滑动,试求该瞬时平板 的速度 。
25.0 scma A ?
cmr 25?
23 sma ?
A?
A
A
A
图 7-6
A
r r
答案,＝ 0.86m/s Av
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已知 与 成 角时,铰接在摆
4,如图 8-8,摆式运输机构中,摆杆,1021 cmrBOAO ???
,21 ABOO ? ?? 60?
杆上的平板 的端点 的加速度大小。
BO2AO1
CD D
sr a dsr a d /35.0,/25.0 ?? ??答案,
1O
DaC D
A B
2O
?
图 7-7
第七章 刚体的基本运动
§ 7－ 1 刚体的平动
§ 7－ 2 刚体的定轴转动
§ 7－ 3 绕定轴转动刚体的问题
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
点的运动 刚体的运动
按运动形式
平动
定轴转动
平面运动
定点运动
一般运动
刚体运动
最基本形式
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
在刚体运动过程中,若 体内任一直线始终保持与初始位置
平行,则此种运动称为 刚体的平动 (或称平行移动或移动 ),
如, 气缸内活塞的运动,车床上刀架的运动,振动式送料
机构的送料槽的运动,
轨迹为曲线 曲线运动
轨迹为直线 直线运动
平动时
§ 7 -1 刚体的平动
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
刚体平动时具有如下特征,
体内各点轨迹形状都相同,且在同一瞬时,所有各点具
有相同的速度和加速度,
(平动刚体上任意一点的振动都可以代表整个刚体的运动 )
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
定轴转动, 刚体运动时,体内某一直线始终保持不动,
例如,机床的主轴,电动机转子,变速箱中的齿轮,门,
O
Z
§ 7－ 2刚体的定轴转动
1.位置确定
用转角确定,正负号由右手法则确定逆时针为正
2.角速度
任一瞬时刚体转动的快慢和转向可用 ?来表示
角位移 ??
t?
??? ?? ???? ??
??
????? dtdt
tl i m 0
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理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
即刚体的转动角速度等于转角对时间的一次导数。
)(30602 sr a dnn ??? ???,rad/s n,转 /分
3.角加速度
?:t
t?
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???
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dt
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角加速度等于角速度对时间的一次导数，或转角对时间的
二阶导数。
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??? 逆时针为正。
同时存在 匀速转动
匀加速转动
t??? ?? 0
t??? ?? 0
2
00 2
1 tt ???? ???
)(2 0202 ????? ???
例 7-1 电动机的转子由静止开始转动，在 20S米的转
速 n=360min-1,设转子在此过程中作匀速转动，求 ?及
20S内转数。
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
M点沿轨迹的运动方程为, 式中 ?的单位为弧度。
?? RdtdRdtdsv ???
222
2
?? RRRRva n ?????? RdtdRdtdva ???
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A与 OM的夹角用 来表示。
2
1
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na
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转轴上各点的速度和加速度为零，离转轴愈远的点，其
速度和加速度愈大。
矢量表示法
?
o
A
R
M
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v o
A
R
M
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?
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
设刚体上一点 M相对于角速度矢量 的起点 A的位置用矢径
表示,与 之间的夹角为,
?
r ?
则 M点,???? s i nrOMRv ?????
由此，据线性代数知
（转动刚体上点的速度矢积表示法）
又 代入,
由于角速度矢量与角加速度矢量共线，故
r?? ??
dt
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dt
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?
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
Rr ??? ?? s i n
故 ra ???
即
用矢量表示法
如图中 ????? s i ns i n rrRv ?????
同理
2????? R???
?? ??na
naaa ?? ?
dt
d?? ?
r?? ?? r
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dr ?? ?
? ? ?????? ?????????? rdtdrrdtdrdtda
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例 7-2飞轮由静止开始作匀加速转动。轮上 M点距轴心 O的距离
为 r=0.4m,在某瞬时，其加速度 与转动半径的夹角
为,若 t=0时，位置角,求飞轮的运动方程，
以及 t=2s时 M点的速度和加速度大小。
21 40 sma ?
?30??00 ??
【解】 211 20s i n smaa ?? ??
211 504.020 sr a dra ??? ??
据题意, 0,0 00 ?? ??
飞轮运动方程, 200 21 tt ???? ???
22 2550
2
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理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
当 t=2s时
sr a dt 100250002 ?????? ???
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理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
机器的运转要求一定的转速,而电动机的转速则是一定的,
这就需要变速,把电动机的转速提高或传递,使它符合要求,
变速常通过一系列相互啮合的齿轮或皮带传动,摩擦轮传
动来完成,几个轮子的组合称为轮系,
以一对啮合轮为例,
I轮, II轮,,,,111 ??R,,,
222 ??R
?? BABA aavv ??,
又
,
,,2211 ???? RR BA ??
2211,?? ?? RaRa BA ??
2211 ?? RR ? 2211 ?? RR ?
§ 7－ 3绕定轴转动刚体的问题
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传动比
1
2
2
1
2
1
12 R
Ri ???
?
?
?
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传动比 12i
第一主动轮的转速 (输入角速度 )与最末从动轮转速 (输出
角速度 )的比,
由于相互啮合的两齿轮,其齿距必须相等,故半径与齿轮
的齿数 Z必成正比,
故,
1
2
1
2
2
1
2
1
12 z
z
R
Ri ????
?
?
?
?
式中 分别为 I,II轮的齿数, 21,zz
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例 7-4 高炉料车的铰筒要经过两级变速。设铰筒的半径 r=1m，
I轴的转速是 700rad/min,各为 。
求料车上升的速度。
.148,25,132,42 4321 ???? zzzz
【解】 要求 v,则先求 ?4。
sr a drv 94.394.314 ????? ?
1
2
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1
z
z
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1 4 8
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1Z 2Z
3Z
4Z
v?
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
例 7-5 如图 7－ 1所示，在连续印刷机的生产过程中，纸张需
以匀速 v代入印刷机，设 r表示纸筒在任一瞬时的半径,b表
示纸的厚度，试导出纸筒角加速度的表达式。
dt
dr
rdt
dr
rdt
d
2
???? ????? 故角加速度, (1)
【解】 注意到纸的速度不变，因此,
常数?? ?? r
两边求导得,0??? dtdrdtdrdtd ???
【 典型题精解 】
??
图 7-1
r?
?
b
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
由于每转一周, 半径减小 b,而当角速度时, 半径变化
?? dbdr 2??
???? 22 bdtdbdtdr ????故,(2)
将 (2)式代入 (1)式得, 322 rb??? ?
例 7-6 如图 7-2所示,半径为 R的半圆盘在 A,B处与 曲柄 O1A
和 O2B铰接。已知 O1A= O2B= = 4cm,O1O2=AB,曲柄 O1A的
转动律,其中 t为时间，单位以 s计。试求当 t=0和
t=2s时，半圆盘上 M点的速度和加速度，以及半圆盘的角速
度 。
t4s in4 ??＝
l
ab?
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O
图 7-2
?
O2 O1
B
M
R Aa?
A?
A n a
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【解】 因为半圆盘做平动，故其上各点的运动轨迹相
同，且速度，加速度相等。则存在,
tlAM 4c o s4 ????? ??? ?（ 1）
tlaa AnMn 4c o s4 222 ??? ??? ? （ 2）
tlaa AM 4s in2 ????? －＝＝ ???（ 3）
,方向水平向 右
将 代入以上三式，得,0?t
scmM /4 ?? ?
，, 方向铅直向上 同样 0?Ma? 22 /4 scmaa MnM ???
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
例 7-7 转子启动时的角加速度与时间成正比增大,经过 5分钟
转子的转速达到 18000r/min,试问转子在这段时间内转了多少
转？
代入式（ 1）、（ 2）、（ 3），得此瞬时 将 st 2?
0?M? 0?Mna 2?? ??? Mm aa
方向垂直于 AO1斜向右上方
因为半圆盘作平动，所以其角速度 。 0?ab?
【解】 设比例系数为 k，则
即 kt
dt
d ??kt??
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
积分 ??? ttd tkd 00? ?
得 221 kt??
当 st 300605 ??? 时,sr a d /600
60
21 8 0 0 0 ??? ???
故,sr a dtk /753 0 06 0 022
22
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代入（ 1）式，得 2150 t?? ?
积分,dttd t? ??? ??
0 0
2
1 5 0
得,5450 t?? ?
转数,? ? sr a dtN /103300
900
1
900
1
2
433 ??????
?
?
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1,是非题
?（ ）
(2)平动刚体上任一点的运动轨迹不可能是空间曲线
(3)如果刚体上任一点的轨迹都是圆曲线,则刚体一定作
定轴转动。 （ ）
2.选择题
）
(1)某瞬时,刚质上有两点的轨迹相同,则刚体做平动。
（ ?
?
【 思考题 】
(1).某瞬时，刚体上任意两点 A,B的速度分别用 Bv
Av
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表示，则 ( )
A、当刚体平动时，必有 。 BA ?? ?? ?
B、当 时，刚体必作平动。 BA ?? ?? ?
D、当物体作平动时,与 的方向必然相同，但有可
能 BA
?? ??
BA ?? ?? ?
C、当物体作平动时，必有,但 与 的方向
可能不同 。 BA
?? ?? BA? ?? ?
A
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
(2),如图 7-3所示平面机构中,O1A=O2B= r,O1O2 =AB,O1A以
匀角速度 绕垂直于图面的 O1轴转动，图示瞬时,C点的速度
为,( )
B,水平向右 22 arV c ??
C,铅直向上 0?rVc ?
D,水平向右 0?rVc ?
A,0?cV
O1
A B
O2
C
图 7-3
a
D
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
(3).如图 8-5所示机构中,M为 AB上的点。且
。 。若 O1A按 的规律绕 轴转动,
则 M点的轨迹是（ ）
,21 rBOAO ??
lABOO ??21 t?? ?BMAM ? 1O
A.半径为 圆 r
B.半径为 圆 l
C.半径为 圆 l21
D.与 平行的直线 AB
M
图 7-4
O1
A
O2
?
B
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
（ 4）,如图 8-6所示,半径为 R 的飞轮,绕垂直与图面的 O轴转动。
图示瞬时，轮缘上 A点加速度 的大小、方向均为已知，则
此时 点速度大小为（ ） A
Aa
A,ARa
B,?sinARa
C,?c o sARa
D,?c o sARa
A
图 7-5
O a?
C
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
3,平板 放置在两个半径为 的圆筒上,如图 8-7所示。
在某瞬时,平板具有向右的匀加速度,在同一瞬
时的圆筒周边上一点的加速度,假设平板 与圆
筒之间无滑动,试求该瞬时平板 的速度 。
25.0 scma A ?
cmr 25?
23 sma ?
A?
A
A
A
图 7-6
A
r r
答案,＝ 0.86m/s Av
理论力学电子教程 第七章 刚体的基本运动
已知 与 成 角时,铰接在摆
4,如图 8-8,摆式运输机构中,摆杆,1021 cmrBOAO ???
,21 ABOO ? ?? 60?
杆上的平板 的端点 的加速度大小。
BO2AO1
CD D
sr a dsr a d /35.0,/25.0 ?? ??答案,
1O
DaC D
A B
2O
?
图 7-7
