理论力学电子教程 第四章 空间力系
第四章 空间力系
§ 4－ 1 空间力沿坐标轴的分解与投影
§ 4－ 2 空间汇交力系的合成与平衡
§ 4－ 3 空间力偶理论
§ 4－ 6 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
§ 4－ 5 空间任意力系向已知点的简化
§ 4－ 4 力对点之矩与力对轴之矩
理论力学电子教程 第四章 空间力系
空间力系,各力的作用线不在同一平面内的力系。可
分为 空间汇交力系, 空间力偶系, 空间任意力系 。
其研究方法：与平面力系研究的方法相同，但由于各
力的作用线分布在空间，因此平面问题中的一些概念、理
论和方法要作推广和引伸。
现研究空间力沿坐标轴的分解和投影。
§ 4－ 1空间力沿坐标轴的分解与投影
理论力学电子教程 第四章 空间力系
分解
zyx FFFF ???
x
y
z F
xF
yF
zF
直接投影法
??? c o s,c o s,c o s FZFYFX ???
二次投影法
???? s i nc o s,c o sc o s FYFX ??
?s inFZ ?
即
222 ZYXF ???
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FZFYFX /c o s,/c o s,/c o s ??? ???
若用单位矢量，则力 F沿直角坐标轴分解的表达式为
zkYjXiFFFF zyx ??????
注意：力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投
影是矢量。
理论力学电子教程 第四章 空间力系
这里只介绍解析法。
空间的合力投影定理 (合成 )。
则合力
合力在某一轴上的投影，等于力系中
所有各力在同一轴上的投影的代数和
各分力 ZkYjXiF
i ???
???? ???? ZkYjXiFR
x
y
z
1F
2F
nF
F
§ 4－ 2空间汇交力系的合成与平衡
理论力学电子教程 第四章 空间力系
平衡的必要与充分条件,该力系的合力为零。
空间汇交力系的平衡方程
??? ???,0,0,0 ZYX注意,
(1) 当空间汇交力系平衡时，它与任何平面上的投影力
系也平衡。
(2) 投影轴可任意选取，只要三轴不共面且任何两根不
平行。
222222 )()()( ??? ?????? ZYXRRRR Zyx
R
X
R
R x ????c o s
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图示一起重三角架,AD,BD,CD 杆各长 2.5m，在 D
点铰接，并以铰链固定在地面上，求每一杆所受的力,
各杆重不计。已知 P=20kN,,
AO=BO=CO=1.5m。 ?????? 90,150,120 321 ???
x
z
y
D
A B
C
例 4-1
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【 解 】 作受力图
0c o s60c o sc o s,0 21 ?????? ?? SSx FFF
020s ins ins in,0
0c o s60s inc o s,0
321
31
?????
????
?
?
???
??
SSSZ
SSy
FFFF
FFF
由以上三式解得
kNFkNFkNF SSS 14.9,28.5,56.10 321 ???
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平行平面间的力偶的等效条件,作用面平行的两个力偶,
若其力偶矩大小相等,转向相同,则两力偶等效 。
1、空间力偶的等效定理，力偶矩矢的概念
同平面内力偶等效条件,两力偶矩的代数值相等,。
但分别作用在不平行平面内的两个力偶对于刚体的效
应是不同的
空间力偶的三要素,大小、转向和作用面的位置。
§ 4－ 3空间力偶理论
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2、空间力偶系的合成与平衡,
?????? MMMMM n?21
力偶矩矢是一矢量。
空间力偶的等效定理,凡矩矢相等的力偶均为等效力偶。
空间力偶系可合成为一合力偶,则该合力偶矩矢等于力偶系
中所有各力偶矩矢的矢量和
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空间力偶系平衡的必要与充分条件是,该力偶系中所有的
各力偶矩矢的矢量和为零,
0?? M
投影形式有
,0,0,0 ??? ??? zyx MMM
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力对于任一点之矩等于矩心至力的作用点的矢径与该力的矢
积,称为 力对于点之矩的矢积表达式 。
２,力对轴之矩
dFFM xyz ???)(
力对于任一轴之矩,等于力在垂直于该 轴平面
上的投影对于轴与平面的交点之矩 。
(1)当力的作用线与轴平行或相交时,力对于该轴之矩等于零 ;
§ 4－ 4力对点之矩与力对轴之矩
1.相对于点的矢量表示 )(
0 Fm
FrFM ??)(0
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Zz FMFMFM )]([)(c o s)( 00 ???
应用上述定理可以求出力对于坐标轴之矩的解析表达式,
kyzzyjxzyzizyyzFrFM )()()()(0 ????????
其中, zkyjxirZkYjXiF ??????,
3.力对于点之矩与力对于通过该 点的轴之矩间的关系
力矩关系定理,力对于任一点之矩矢在通过该点的任一轴上
的投影等于力对于该轴之矩,
(2)当力沿其作用线移动时,它支于轴之矩不变
力对轴之矩的合力矩定理,合力对于任一轴之矩等于各分
力对于同一轴之矩的代数和
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1.空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是,力线平移定理
空间力系中,应把力对于点之矩与力偶矩用矢量表示
o d o A
)(0 FMM ??
FF ??
力线平移定理,作用于刚体上的任一力,可平移至刚体的任
意一点,欲不改变该力对于刚体的作用,则必须在该力与指
定点所决定的平面内加一力偶,其力偶矩矢等于力对于指定
点之矩矢,
§ 4－ 5空间任意力系向已知点的简化
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A1 A2
An
1F
2F
nF
0F
0M
1m
2m nm
1F
2F
nF
RR FFFF ''0 ??? ??
00 )( MFMMM o ??? ??
空间任意力系向任一点简化的结果,一般可得到一力和
一力偶,该力作用于简化中心,其力矢等于力系的主矢,该
力偶的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩,
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??? ??? ZFYFXF RZRyRx ',','
? ? ???? 222 )()()(' ZYXF
RZRYRX ?????? ??? ??? c o s,c o s,c o s
若取坐标原点为简化中心,则有,将主矢 及各力
均投影在三坐标轴上则
R? 1F 2F nF?
0M)(1Fm20n?
与平面力系一样,空间力系的主矢与简化中心的位置无关,而
矩的一般将随着简化中心的位置不同而改变,
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同样,将 及,均投影在在
一坐标轴上,并应用力矩关系定理,则得
)()]([ 0 FMFMM xxox ?? ??
)()]([ 0 FMFMM yyoy ?? ??
)()]([ 0 FMFMM zzoz ?? ??
? ? ???? 2220 )()()(( FMFMFMM zyx
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0)(c o s MFM x????? 0)(c o s MFM y????
0)(c o s MFM z????
空间任意力系简化结果的分析
RR FMMF ',0,0')4( 00 ???
RR FMMF '//,0,0')5( 00 ??
,0,0')6( 0 ?? MF R
(过简化中心 )
(合成为一力 )
(力螺旋 )
(成任意角 )
空间系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时,则其合力对于任
一点或轴之矩等于力系中各力对于同一点或轴之矩的矢
量和或代数和,这即为空间力系合力矩定理
,0,0')2( 0 ?? MF R
,0,0')1( 0 ?? MF R,0,0')3( 0 ?? MF R
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空间力系向一点简化后为,一个力 和 一个力偶
故空间力系平衡的必要条件是力系的主矢及主矩都
等于零,即
0' ?? ? FF R
0)(00 ?? ? FMM
? ?? ??? 222 )()()(' ZYXF R
2220 )]([)]([)]([ FMFMFMM zyx ???
这是空间力系的平衡方程
§ 4－ 6空间任意力系的平衡条件与平衡程
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空间任意力系平衡的必要与充分条件,
力系中所有各力在任意相互垂直的三个坐标轴上之投影的
代数和等于零,以及力系对于这三个轴之矩的代数和分别等
于零,
(1) 空间汇交力系,
0,0,0 ???? ? ? ZYX
(2) 空间平行力系
取坐标轴 z与各力平行,则
?? ? ???,0)(,0)(,0 FMFMZ yx
??? ???,0,0,0 ZYX
??? ???,0)(,0)(,0)( FMFMFM zyx
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取力系的作用面为 oxy
? ? ? ??? 0)(,0,0 FMYX z
在求解空间力系问题时要注意几点,
(1)约束性质
(2)当空间任意力系平衡时,它在任何面上的投影力系也
平衡,可将空间转化为平面问题来处理
(3)除三投影式,三力矩式,还有四力矩,五力矩,六力矩式,
空间平行力系平衡的必要充分条件是,该力系所有各力在与
力线平行的坐标轴上的投影代数和等于零,以及各力对于两
个与边线垂直的轴之矩的代数和分别为零,
(3) 平面任意力系
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P
mg P
CNF
CAF
CBF
质量为 10kg的圆桌,直径为 1.2m,三个脚 A,B,C三等分
圆周,在桌面上的 D点作用一铅垂力 P=200N,OD=0.3m.求圆桌
脚 A,B,C对地面的压力。
例 4-2
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【 解 】 作受力图。为空间力系，取 z轴与 mg作用线一致
0,0 ??????? mgPFFFF CNBNANZ
030s i n)2/30s i n()30s i n( ????????? RmgPRRFRR CN
? ?,0)( FM AB ?
? ?,0)( FM AC ?
030s in30s in2)30s in( ???????? m g RRpFRR BN
NFNFNF CNBNAN 1 6 6,66,66 ???
解以上各式得
圆桌对地面的压力为
NFNFNF CNBNAN 1 6 6',66',66' ???
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悬臂刚架 ABC上作用有分布荷载
q=1kN/m,P=3kN,Q=4kN及力偶矩 2kNm,刚架各部分尺寸如图示,
求固定端 A处的约束反力及力偶矩,
例 4-3
Q
A
B C
m P
q
mz
x
y
z
AxR
AyR
AZR
xm
ym
P
A
B C
m P
q
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【 解 】 作受力图,建坐标系
0,0 ???? PFF AXx
0,0 ???? QFF Ayy
02,0 ???? qFF Azz
0123,0)( ?????? qPMFM Qxx ?
06,0)( ????? mPMFM yy ?
04,0)( ???? PMFM yz ?
kNFkNFkNF AzAyAx 2,4,3 ?????
mkNM x ?? 13 mkNM y ??? 20
求解得,
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若负值说明与设定方向相反。
mkNM z ?? 12
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1、填空题
（ 1）空间汇交力系平衡的几何条件是：该力系的多边形
。 自行封闭
( 2 )力对点 O的矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于
。 力对该轴之矩
2、选择题
（ 1）空间力偶矩是（ ）
A、代数量 B、滑动矢量 C、定位矢量 D、自由矢量
D
【 思考题 】
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（ 2）一空间力系中各力的作用线均平行于某一固定平面，而且
该力系又为平衡力系，则可列独立平衡方程的个数是（ ）。
A,6个 B,5个 C,4个 D,3个
B
（ 3）如果一空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点，
则当力系平衡时，可列独立平衡方程的个数是（ ）。
A,6个 B,5个 C,4个 D,3个
B
（ 4）如图所示，矩形板重 P，用球铰链 C以及柔绳 BD支
承在水平面上，则力 对 x,y,z轴之矩为（ ） TF? D
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aFFMFMFMA TTzTyTx ??? )(,0)(,0)( ???、
0)(,c o s)(,c o s)( ???? TzTTyTTx FMbFFMaFFMB ??? ??、
0)(,s i n)(,s i n)( ??? TzTTyTTx FMbFFMaFFMC ??? ??、
0)(,c o s)(,c o s)( ???? TzTTyTTx FMbFFMaFFMD ??? ??、
z
x
y C
B
A
O
b
a
TF
D
?
?
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3,如图所示，曲杆 ABCD，, AB=,
BC=b,CD=c。 求支座反力及？
090???? B C DA B C a
32 M、M 1M
z
x
y
1x b c
A
1M
a
2M 3M
D
理论力学电子教程 第四章 空间力系
4,长方体长 ＝ 0.5m，宽 b＝ 0.4m，高 c＝ 0.3m，在其上作用
力 F＝ 80N，方向如图所示，试分别计算,
（ 1）力 F在 x,y,z轴上的投影；
（ 2 ) 力 F在 轴上的投影。 1z
a
x
y
z
1x
1y
1z
o
F
?
1?
2?
c
b
a
理论力学电子教程 第四章 空间力系
222c o s cba
cFFF
z ???? ?
N224802 26.0 ????
设力 F与 轴之间的夹角为,则 1z ?
Ncba caFFF z 648054c o s 222 22
1
????? ??? ?
解法一 一次投影法
222c o s cba
aFFF
x ???? ?
N2408025.0 ????
222c o s cba
bFFF
y ???? ?
N2328024.0 ????
理论力学电子教程 第四章 空间力系
解法二 二次投影法
设力 F与 oxy平面的夹角为,则得力 F在 oxy平面上的投影的大
小为
?
222
22c o s
cba
baFFF
xy ??
??? ?
于是有
Nba acba baFFF xyx 240c o s 22222 22 ????? ??? ?
Nba bcba baFFF xyy 232s in 22222 22 ????? ??? ?
Ncba cFFF z 224s in 222 ????? ?
理论力学电子教程 第四章 空间力系
由于 轴垂直于 y 轴，所以根据合力投影定理可得 1z
12 c o sc o s1 ?? zxz FFF ??
2222222222 ca
c
cba
cF
ca
a
cba
aF
????????????
Ncacba caF 6422222 22 ????? ???
理论力学电子教程 第四章 空间力系
5,如图所示，均质长方形板 ABCD重 P＝ 20kN，用球铰链 A喝
蝶铰链 B支承在墙上，并用杆子 CE维持在水平位置,
且,试求杆 CE所受的压力及蝶铰链 B的约束反力。 060?? A E C
E
)(a
060
C
B A
D
z
x
y QP?
060
C
B
A
D
z
x
y QP?
E
)(b
AxF
AyF
BxF
BzF
CxF
理论力学电子教程 第四章 空间力系
【 解 】 取板 ABCD为研究对象，受力如图（ b）所示。由空间一
般力系平衡方程，有
0)( ?? FM y ?
kNPFaFaP QCSCSQ 20,030s in2 0 ???????
0,0)( ??? Bxz FFM ?
,0)( ?? FM x ?
030s i n2 0 ??????? aFaPaF CSQBz
0?BzF
理论力学电子教程 第四章 空间力系
6,如图所示，边长为 和正方形均质板，求点 E的极限位置，
以保证剩余部分 AEBDC的重心仍在该部分范围内。
a
maxy
A B
C D
x
y
a
a
E
Ⅱ
?
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【 解 】 分两部分考虑，如图所示。则有
2
aF
Cx ?
设极限位置 maxyyc ?
m a x1m a x1 3
1,
2
1 yyayA ????,
Ⅱ, 2,222 ayaA ??
故
21
2211
AA
yAyAy
c ?
??
代数整理有 0362 2
m a x2m a x ??? aayy
解得 aay 634.0
4
326
m a x ?
??
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7,如图所示，无重杆系由铰链连接，位于立方体的边和对
角线，沿 AB方向作用一力,P=8KN，沿 DE方向作用一力,
Q＝ 6KN.试求各杆的内力。
P? Q?
kNSkNSSSSS 6,8,0 535421 ???????答案,
E
B
D
A
12
3
4
5
6
m3
m3
m2
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8,如图所示薄板由形状为矩形、三角形和四分之一的圆形
的三块等厚板组成，尺寸如图所示，求此薄板重心的位置。
mm180 mm200
mm100
mm50
mm150
x
y
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§ 4－ 1 空间力沿坐标轴的分解与投影
§ 4－ 2 空间汇交力系的合成与平衡
§ 4－ 3 空间力偶理论
§ 4－ 6 空间任意力系的平衡条件和平衡方程
§ 4－ 5 空间任意力系向已知点的简化
§ 4－ 4 力对点之矩与力对轴之矩
理论力学电子教程 第四章 空间力系
空间力系,各力的作用线不在同一平面内的力系。可
分为 空间汇交力系, 空间力偶系, 空间任意力系 。
其研究方法：与平面力系研究的方法相同，但由于各
力的作用线分布在空间，因此平面问题中的一些概念、理
论和方法要作推广和引伸。
现研究空间力沿坐标轴的分解和投影。
§ 4－ 1空间力沿坐标轴的分解与投影
理论力学电子教程 第四章 空间力系
分解
zyx FFFF ???
x
y
z F
xF
yF
zF
直接投影法
??? c o s,c o s,c o s FZFYFX ???
二次投影法
???? s i nc o s,c o sc o s FYFX ??
?s inFZ ?
即
222 ZYXF ???
理论力学电子教程 第四章 空间力系
FZFYFX /c o s,/c o s,/c o s ??? ???
若用单位矢量，则力 F沿直角坐标轴分解的表达式为
zkYjXiFFFF zyx ??????
注意：力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投
影是矢量。
理论力学电子教程 第四章 空间力系
这里只介绍解析法。
空间的合力投影定理 (合成 )。
则合力
合力在某一轴上的投影，等于力系中
所有各力在同一轴上的投影的代数和
各分力 ZkYjXiF
i ???
???? ???? ZkYjXiFR
x
y
z
1F
2F
nF
F
§ 4－ 2空间汇交力系的合成与平衡
理论力学电子教程 第四章 空间力系
平衡的必要与充分条件,该力系的合力为零。
空间汇交力系的平衡方程
??? ???,0,0,0 ZYX注意,
(1) 当空间汇交力系平衡时，它与任何平面上的投影力
系也平衡。
(2) 投影轴可任意选取，只要三轴不共面且任何两根不
平行。
222222 )()()( ??? ?????? ZYXRRRR Zyx
R
X
R
R x ????c o s
理论力学电子教程 第四章 空间力系
图示一起重三角架,AD,BD,CD 杆各长 2.5m，在 D
点铰接，并以铰链固定在地面上，求每一杆所受的力,
各杆重不计。已知 P=20kN,,
AO=BO=CO=1.5m。 ?????? 90,150,120 321 ???
x
z
y
D
A B
C
例 4-1
理论力学电子教程 第四章 空间力系
【 解 】 作受力图
0c o s60c o sc o s,0 21 ?????? ?? SSx FFF
020s ins ins in,0
0c o s60s inc o s,0
321
31
?????
????
?
?
???
??
SSSZ
SSy
FFFF
FFF
由以上三式解得
kNFkNFkNF SSS 14.9,28.5,56.10 321 ???
理论力学电子教程 第四章 空间力系
平行平面间的力偶的等效条件,作用面平行的两个力偶,
若其力偶矩大小相等,转向相同,则两力偶等效 。
1、空间力偶的等效定理，力偶矩矢的概念
同平面内力偶等效条件,两力偶矩的代数值相等,。
但分别作用在不平行平面内的两个力偶对于刚体的效
应是不同的
空间力偶的三要素,大小、转向和作用面的位置。
§ 4－ 3空间力偶理论
理论力学电子教程 第四章 空间力系
2、空间力偶系的合成与平衡,
?????? MMMMM n?21
力偶矩矢是一矢量。
空间力偶的等效定理,凡矩矢相等的力偶均为等效力偶。
空间力偶系可合成为一合力偶,则该合力偶矩矢等于力偶系
中所有各力偶矩矢的矢量和
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空间力偶系平衡的必要与充分条件是,该力偶系中所有的
各力偶矩矢的矢量和为零,
0?? M
投影形式有
,0,0,0 ??? ??? zyx MMM
理论力学电子教程 第四章 空间力系
力对于任一点之矩等于矩心至力的作用点的矢径与该力的矢
积,称为 力对于点之矩的矢积表达式 。
２,力对轴之矩
dFFM xyz ???)(
力对于任一轴之矩,等于力在垂直于该 轴平面
上的投影对于轴与平面的交点之矩 。
(1)当力的作用线与轴平行或相交时,力对于该轴之矩等于零 ;
§ 4－ 4力对点之矩与力对轴之矩
1.相对于点的矢量表示 )(
0 Fm
FrFM ??)(0
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Zz FMFMFM )]([)(c o s)( 00 ???
应用上述定理可以求出力对于坐标轴之矩的解析表达式,
kyzzyjxzyzizyyzFrFM )()()()(0 ????????
其中, zkyjxirZkYjXiF ??????,
3.力对于点之矩与力对于通过该 点的轴之矩间的关系
力矩关系定理,力对于任一点之矩矢在通过该点的任一轴上
的投影等于力对于该轴之矩,
(2)当力沿其作用线移动时,它支于轴之矩不变
力对轴之矩的合力矩定理,合力对于任一轴之矩等于各分
力对于同一轴之矩的代数和
理论力学电子教程 第四章 空间力系
1.空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是,力线平移定理
空间力系中,应把力对于点之矩与力偶矩用矢量表示
o d o A
)(0 FMM ??
FF ??
力线平移定理,作用于刚体上的任一力,可平移至刚体的任
意一点,欲不改变该力对于刚体的作用,则必须在该力与指
定点所决定的平面内加一力偶,其力偶矩矢等于力对于指定
点之矩矢,
§ 4－ 5空间任意力系向已知点的简化
理论力学电子教程 第四章 空间力系
A1 A2
An
1F
2F
nF
0F
0M
1m
2m nm
1F
2F
nF
RR FFFF ''0 ??? ??
00 )( MFMMM o ??? ??
空间任意力系向任一点简化的结果,一般可得到一力和
一力偶,该力作用于简化中心,其力矢等于力系的主矢,该
力偶的力偶矩矢等于力系对于简化中心的主矩,
理论力学电子教程 第四章 空间力系
??? ??? ZFYFXF RZRyRx ',','
? ? ???? 222 )()()(' ZYXF
RZRYRX ?????? ??? ??? c o s,c o s,c o s
若取坐标原点为简化中心,则有,将主矢 及各力
均投影在三坐标轴上则
R? 1F 2F nF?
0M)(1Fm20n?
与平面力系一样,空间力系的主矢与简化中心的位置无关,而
矩的一般将随着简化中心的位置不同而改变,
理论力学电子教程 第四章 空间力系
同样,将 及,均投影在在
一坐标轴上,并应用力矩关系定理,则得
)()]([ 0 FMFMM xxox ?? ??
)()]([ 0 FMFMM yyoy ?? ??
)()]([ 0 FMFMM zzoz ?? ??
? ? ???? 2220 )()()(( FMFMFMM zyx
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0)(c o s MFM x????? 0)(c o s MFM y????
0)(c o s MFM z????
空间任意力系简化结果的分析
RR FMMF ',0,0')4( 00 ???
RR FMMF '//,0,0')5( 00 ??
,0,0')6( 0 ?? MF R
(过简化中心 )
(合成为一力 )
(力螺旋 )
(成任意角 )
空间系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时,则其合力对于任
一点或轴之矩等于力系中各力对于同一点或轴之矩的矢
量和或代数和,这即为空间力系合力矩定理
,0,0')2( 0 ?? MF R
,0,0')1( 0 ?? MF R,0,0')3( 0 ?? MF R
理论力学电子教程 第四章 空间力系
空间力系向一点简化后为,一个力 和 一个力偶
故空间力系平衡的必要条件是力系的主矢及主矩都
等于零,即
0' ?? ? FF R
0)(00 ?? ? FMM
? ?? ??? 222 )()()(' ZYXF R
2220 )]([)]([)]([ FMFMFMM zyx ???
这是空间力系的平衡方程
§ 4－ 6空间任意力系的平衡条件与平衡程
理论力学电子教程 第四章 空间力系
空间任意力系平衡的必要与充分条件,
力系中所有各力在任意相互垂直的三个坐标轴上之投影的
代数和等于零,以及力系对于这三个轴之矩的代数和分别等
于零,
(1) 空间汇交力系,
0,0,0 ???? ? ? ZYX
(2) 空间平行力系
取坐标轴 z与各力平行,则
?? ? ???,0)(,0)(,0 FMFMZ yx
??? ???,0,0,0 ZYX
??? ???,0)(,0)(,0)( FMFMFM zyx
理论力学电子教程 第四章 空间力系
取力系的作用面为 oxy
? ? ? ??? 0)(,0,0 FMYX z
在求解空间力系问题时要注意几点,
(1)约束性质
(2)当空间任意力系平衡时,它在任何面上的投影力系也
平衡,可将空间转化为平面问题来处理
(3)除三投影式,三力矩式,还有四力矩,五力矩,六力矩式,
空间平行力系平衡的必要充分条件是,该力系所有各力在与
力线平行的坐标轴上的投影代数和等于零,以及各力对于两
个与边线垂直的轴之矩的代数和分别为零,
(3) 平面任意力系
理论力学电子教程 第四章 空间力系
P
mg P
CNF
CAF
CBF
质量为 10kg的圆桌,直径为 1.2m,三个脚 A,B,C三等分
圆周,在桌面上的 D点作用一铅垂力 P=200N,OD=0.3m.求圆桌
脚 A,B,C对地面的压力。
例 4-2
理论力学电子教程 第四章 空间力系
【 解 】 作受力图。为空间力系，取 z轴与 mg作用线一致
0,0 ??????? mgPFFFF CNBNANZ
030s i n)2/30s i n()30s i n( ????????? RmgPRRFRR CN
? ?,0)( FM AB ?
? ?,0)( FM AC ?
030s in30s in2)30s in( ???????? m g RRpFRR BN
NFNFNF CNBNAN 1 6 6,66,66 ???
解以上各式得
圆桌对地面的压力为
NFNFNF CNBNAN 1 6 6',66',66' ???
理论力学电子教程 第四章 空间力系
悬臂刚架 ABC上作用有分布荷载
q=1kN/m,P=3kN,Q=4kN及力偶矩 2kNm,刚架各部分尺寸如图示,
求固定端 A处的约束反力及力偶矩,
例 4-3
Q
A
B C
m P
q
mz
x
y
z
AxR
AyR
AZR
xm
ym
P
A
B C
m P
q
理论力学电子教程 第四章 空间力系
【 解 】 作受力图,建坐标系
0,0 ???? PFF AXx
0,0 ???? QFF Ayy
02,0 ???? qFF Azz
0123,0)( ?????? qPMFM Qxx ?
06,0)( ????? mPMFM yy ?
04,0)( ???? PMFM yz ?
kNFkNFkNF AzAyAx 2,4,3 ?????
mkNM x ?? 13 mkNM y ??? 20
求解得,
理论力学电子教程 第四章 空间力系
若负值说明与设定方向相反。
mkNM z ?? 12
理论力学电子教程 第四章 空间力系
1、填空题
（ 1）空间汇交力系平衡的几何条件是：该力系的多边形
。 自行封闭
( 2 )力对点 O的矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于
。 力对该轴之矩
2、选择题
（ 1）空间力偶矩是（ ）
A、代数量 B、滑动矢量 C、定位矢量 D、自由矢量
D
【 思考题 】
理论力学电子教程 第四章 空间力系
（ 2）一空间力系中各力的作用线均平行于某一固定平面，而且
该力系又为平衡力系，则可列独立平衡方程的个数是（ ）。
A,6个 B,5个 C,4个 D,3个
B
（ 3）如果一空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点，
则当力系平衡时，可列独立平衡方程的个数是（ ）。
A,6个 B,5个 C,4个 D,3个
B
（ 4）如图所示，矩形板重 P，用球铰链 C以及柔绳 BD支
承在水平面上，则力 对 x,y,z轴之矩为（ ） TF? D
理论力学电子教程 第四章 空间力系
aFFMFMFMA TTzTyTx ??? )(,0)(,0)( ???、
0)(,c o s)(,c o s)( ???? TzTTyTTx FMbFFMaFFMB ??? ??、
0)(,s i n)(,s i n)( ??? TzTTyTTx FMbFFMaFFMC ??? ??、
0)(,c o s)(,c o s)( ???? TzTTyTTx FMbFFMaFFMD ??? ??、
z
x
y C
B
A
O
b
a
TF
D
?
?
理论力学电子教程 第四章 空间力系
3,如图所示，曲杆 ABCD，, AB=,
BC=b,CD=c。 求支座反力及？
090???? B C DA B C a
32 M、M 1M
z
x
y
1x b c
A
1M
a
2M 3M
D
理论力学电子教程 第四章 空间力系
4,长方体长 ＝ 0.5m，宽 b＝ 0.4m，高 c＝ 0.3m，在其上作用
力 F＝ 80N，方向如图所示，试分别计算,
（ 1）力 F在 x,y,z轴上的投影；
（ 2 ) 力 F在 轴上的投影。 1z
a
x
y
z
1x
1y
1z
o
F
?
1?
2?
c
b
a
理论力学电子教程 第四章 空间力系
222c o s cba
cFFF
z ???? ?
N224802 26.0 ????
设力 F与 轴之间的夹角为,则 1z ?
Ncba caFFF z 648054c o s 222 22
1
????? ??? ?
解法一 一次投影法
222c o s cba
aFFF
x ???? ?
N2408025.0 ????
222c o s cba
bFFF
y ???? ?
N2328024.0 ????
理论力学电子教程 第四章 空间力系
解法二 二次投影法
设力 F与 oxy平面的夹角为,则得力 F在 oxy平面上的投影的大
小为
?
222
22c o s
cba
baFFF
xy ??
??? ?
于是有
Nba acba baFFF xyx 240c o s 22222 22 ????? ??? ?
Nba bcba baFFF xyy 232s in 22222 22 ????? ??? ?
Ncba cFFF z 224s in 222 ????? ?
理论力学电子教程 第四章 空间力系
由于 轴垂直于 y 轴，所以根据合力投影定理可得 1z
12 c o sc o s1 ?? zxz FFF ??
2222222222 ca
c
cba
cF
ca
a
cba
aF
????????????
Ncacba caF 6422222 22 ????? ???
理论力学电子教程 第四章 空间力系
5,如图所示，均质长方形板 ABCD重 P＝ 20kN，用球铰链 A喝
蝶铰链 B支承在墙上，并用杆子 CE维持在水平位置,
且,试求杆 CE所受的压力及蝶铰链 B的约束反力。 060?? A E C
E
)(a
060
C
B A
D
z
x
y QP?
060
C
B
A
D
z
x
y QP?
E
)(b
AxF
AyF
BxF
BzF
CxF
理论力学电子教程 第四章 空间力系
【 解 】 取板 ABCD为研究对象，受力如图（ b）所示。由空间一
般力系平衡方程，有
0)( ?? FM y ?
kNPFaFaP QCSCSQ 20,030s in2 0 ???????
0,0)( ??? Bxz FFM ?
,0)( ?? FM x ?
030s i n2 0 ??????? aFaPaF CSQBz
0?BzF
理论力学电子教程 第四章 空间力系
6,如图所示，边长为 和正方形均质板，求点 E的极限位置，
以保证剩余部分 AEBDC的重心仍在该部分范围内。
a
maxy
A B
C D
x
y
a
a
E
Ⅱ
?
理论力学电子教程 第四章 空间力系
【 解 】 分两部分考虑，如图所示。则有
2
aF
Cx ?
设极限位置 maxyyc ?
m a x1m a x1 3
1,
2
1 yyayA ????,
Ⅱ, 2,222 ayaA ??
故
21
2211
AA
yAyAy
c ?
??
代数整理有 0362 2
m a x2m a x ??? aayy
解得 aay 634.0
4
326
m a x ?
??
理论力学电子教程 第四章 空间力系
7,如图所示，无重杆系由铰链连接，位于立方体的边和对
角线，沿 AB方向作用一力,P=8KN，沿 DE方向作用一力,
Q＝ 6KN.试求各杆的内力。
P? Q?
kNSkNSSSSS 6,8,0 535421 ???????答案,
E
B
D
A
12
3
4
5
6
m3
m3
m2
理论力学电子教程 第四章 空间力系
8,如图所示薄板由形状为矩形、三角形和四分之一的圆形
的三块等厚板组成，尺寸如图所示，求此薄板重心的位置。
mm180 mm200
mm100
mm50
mm150
x
y
