理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
第二章 平面基本力系
§ 2－ 1平面汇交力系合成与平衡的几何法
§ 2－ 2平面汇交力系合成与平衡的解析法
§ 2－ 3力矩的概念和计算
§ 2－ 5平面力偶系的合成与平衡
§ 2－ 4力偶矩概念
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
各力的作用线在同一平面内且相交于一点的力系，称
为 平面汇交力系 。
力对物体作用时可以产生 移动 和 转动 两种效应。力的移
动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，在
本章中还将引入力矩的概念。
本章要研究的主要问题,
（ a） 平面汇交力系合成与平衡的几何法；
（ b） 平面汇交力系合成与平衡的解析法；
（ c） 力矩和力偶的概念；
（ d） 力偶的性质；
（ e） 平面力偶系的合成与平衡。
平面基本力系包括 平面汇交力系 和 平面力偶系,它是研
究复杂力系的基础。
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（一）合成
应用力多边形法则，合力即为力多边形的封闭边。
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
如图所示。
F1
F2
F3
O
F1 F
2
FR
F3
a
b
c
d
FR=F1+F2+F3
用解析式表达为
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封
闭，即
FR =0
或
F1 F
2
F4
F3
a
b
c
d
F1
F2
F3
O
F4
F1+F2+F3+F4=0
（二）平衡
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（一）力在坐标轴上的投影
（二）合力投影定理
（三）合成
（四）平衡
§ 2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（一）力在坐标轴上投影
图 a 平行光线照射
下物体的影子
x
y
o
A
B
a b
y
图 b 力在坐标轴上的投影
x
a b
1b
1a
o
yF
xF
F
?
?
A
B
Fx
Fy
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
故力在坐标轴上的投影是个代数量。
?c o sFF x ?
?? s i nc o s FFF y ??
由图 b知，若已知力 F 的大小 和其与 x轴,y轴的夹角为
,, 则力在 x,y轴上的投影为 ? ?
即力在某轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹
角的余弦。这样当, 为锐角时,Fx,Fy 均为正值；
当, 为钝角时,Fx,Fy可能为负值。 ?
?
? ?
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
应注意
（ 1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量；
（ 2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在
原力的作用点。
若已知 F 在正交坐标轴上的投影为 Fx 和 Fy,
则由几何关系可求出力 F 的大小和方向，即
22 yx FFF ??
,
22
c o s
yx
x
FF
F
?
??
22
c o s
yx
y
FF
F
?
??
式中 和 称为力 F 的方向余弦。 ?cos ?cos
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
定义,合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投
影的代数和。即
（二） 合力投影定理
?????? xixnxxx FFFFF ?21
?????? yiynyyy FFFFF ?21
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
这个定理也可很直观地理解，如下图表示
adFcdFbcFabF xxxx ????,,,321
因,故 cdbcabad ???
321 xxxx FFFF ???
同理可得
321 yyyy FFFF ???
y
o x
b d
C
A B
D
ca
F
F3
F1
F2
o
F2 F
3
F1
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（三）合成
当应用合力投影定理求出力系的合力的投影 Fx,Fy后，
可用下式求出合力的大小和方向
2222 )()( ?? ???? yixi
yx FFFFF
?
???
xi
yi
x
y
F
F
F
F?t a n
用图可表示为,
式中 表示合力 与 x 轴间所夹的锐角。合力指向
由 的正负号用图判定。这种运用投影求
合力的方法，称为解析法。
?
yx FF,
F
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
o x
y
3F
1F
2F
yF
xF
nF
F
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-2 用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方 向已知
kNFkNFkNFkNF 1,25.0,5.0,5.1 4321 ????
kN
FF xix
332.045c o s1
60c o s25.05.00
0
0
??
???? ?
kN
FF yiy
99.145s i n1
60s i n25.05.05.1
0
0
??
???? ?
x
y
1F F
2F
3F
4F
060
?
045 先计算合力 F 在 x,y轴上
的投影，有
【解】
即
故合力 的大小为 F kNFFF
yx 02.2
22 ???
其方向余弦则为 9 8 6.0c o s,1 6 4.0c o s ???? FFFF
yx ??
034.80??
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个
坐标轴中上的投影之代数和均等于零。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。
（四）平 衡
由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件
是该力系的合力为零，即 0?F
而
022 ?? ?? yixi FF
则, 0??
xiF 0?? yiF
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-3 重物 A质量 m=10kg,悬挂在支架铰接点 B 处,A,C
为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重
量，求重物处于平衡时,AB, BC 杆的内力。
y
（ b）
x
045
030
TF
SF
B
mg
（ a）
A
B
C
045
060
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
由于求出的 和 都是正值，所以原先假设的方
向是正确的，即 AB 杆承受拉力,BC 杆承受压力。若
求出的结果为负值，则说明力的实际方向与原假定的方
向相反。
2F1F
045co s30co s,0 0201 ????? FFF x
045s i n30s i n,0 0201 ?????? FFPF y
联立上述两方程，解得,=88, =71.8 。
1F 2FN N
取铰 B为研究对象，其上作用有三个力：重力 mg；
AB杆 的约束反力 F1 (设为拉力 )及 BC 杆的约束反力 F2
（设为压力），坐标轴如图 b所示，例出平衡方程
【解】
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
应注意,为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个未知
力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为零，这个投影方程
就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中
这样建立坐标系
FT 和 FN 相互藕合
如
060c o s30c o s
0
00 ??
??
NT
x
FF
F
060c o s30c o s
0
00 ??
??
NT
x
FF
F
可求得 =？
TF
o
(a)
P
030
(b)
TF
y
x
NF
P
(c)
o
x y
NF
TF
P
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（ 4）合理选取坐标系，列平衡方程求解
（ 5）对结果进行必要的分析和讨论。
（ 1）弄清题意，明确已知量和待求量；
（ 2）恰当选取研究队象，明确所研究的 的物体；
（ 3）正确画出研究队象的受力图（主动力，约束反力,
二力构件，三力汇交平衡）；
求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤,
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
? ?
C
B
A
P
思考题 匀速起吊重 P 的预制梁如图所示，如果要
求绳索 AB,BC 的拉力不超过 0.6P, 问
角应在什么范围内？
?
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（ 1）用扳手拧螺母；
（ 2）开门，关门。
（一）力对点之矩
l A
d
o
由上图知，力 F 使物体绕 o 点转动的效应，不仅与力的大小,
而且与 o 点到力的作用线的垂直距离 d 有关，故用乘积 Fd 来
度量力的转动效应。该乘积根据转动效应的转向取适当的正
负号称为力 F 对点 o 之矩，简称力矩，以符号 表示。
)(FMo
§ 2-3 力矩的概念和计算
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
即
力矩的正负号,力使物体绕逆时针方向转动为正，反之
为负。
应注意, 力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向
（力矩的正负），因此它是一个代数量。
FdFM o ??)(
o 点称为力矩的中心，简称 矩心 ； o 点到力 F 作用
线的垂直距离 d,称为 力臂 。
力矩的单位,国际制, 工程制 公斤力米 mN? mkN? mkg?
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（ 1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；
（ 2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个
力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通
过该点；
（ 3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
力矩的性质,
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（二）合力矩定理
表达式,
)()( FMFM oRo ??
证明,由图得
)s i n ()(0 ?? ??? FrFdFM
)c o ss i nc o s( s i n ???? ?? Fr
)s i nc o sc o ss i n ???? rFrF ????
而
yrxr
FFFF yx
??
??
??
??
s i n,c o s
s i n,c o s
?
???
?
r
x
y
d
o
x
y Fx
Fy
F
A
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
则
( )
xyo yFxFFM ??)(
a
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（,,
）,则可将每个力对 o 点之矩相加，有
nF
2F1F
?
( b ) ??? ??
xyo FyFxFM )(
( c )
?? ???? xyRxRyR FyFxyFxFFM )(0
由式（ a ）,该汇交力系的合力,
它对矩心的矩 ?
? FF R
比较（ b ）、（ c ） 两式有
)()( FMFM oRo ??
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（一）力偶和力偶矩
例子,
（ 1）方向盘；
（ 2）丝锥；
（ 3）水龙头。 力偶作用面
力偶臂 d
F
'F
1,力偶的概念
把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力
叫做 力偶。 并记作（, ）。 可用图表示,F 'F
§ 2-4 力偶的概念
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
2,力偶的性质
（ 1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（ 2）力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合
力，即它不能与一个力等效，因而也不能
被一个力平衡；
（ 3）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动
效应，既它可以也只能改变物体的转动状
态。
3,力偶矩
其转动效应 —— 力对点之矩，即用力偶中
的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来
度量。 或
FdFFM ??)',( FdM ??
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
4,力偶的三要素
（ 3）力偶的作用面。
（二）平面力偶等效定理
定理,在同一平面内的两个力偶，如它们的力
偶矩的大小相等，而且转向相同，则此
两力偶等效。
（ 1）力偶矩的大小；
（ 2）力偶的方向；
例如：方向盘
)',()',( PP FFMFFM ?
PF
'PF
'F
F
A B
C
D
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
推论 1 力偶可以在其作用面内任意转移而不改
变它对刚体的转动效应
两个重要推论,
如下图 (a),(b)所示。
( )
A B
a
M
( )
A B
C
b
M
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
推论 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件
下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的
大小而不改变力偶对刚体的转动效应
如下图 (a),(b)所示。
B
( )
A
a
d
2F
1F
( )
BA
b
D
1F
2F
其中
DFdF 21 ?
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（一）合 成
1,两个力偶的情况
平面力偶系,作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。
= =
111 dFM ?? 222 dFM ??
1F
2F
'1F
'2F
1d
2d
d
2PF
1PF '
1PF
'2PF
d
RF RF
''',,,21212211 PPPPPP FFFFFFdFMdFM ????????
§ 2-5 平面力偶系的合成与平衡
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
2,任意个力偶的情况
,或
nMMMM ???? ?21 ?? MM
这样得到新的力偶 (,),则
RF 'RF
212121 )( MMdFdFdFFFdM PPPP ???????
1M
2M
3M
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（二）平衡条件
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力
偶系中各力偶矩的代数和等于零，即
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
? ? 0M
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-4 两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 = 1.5KN
= 1KN,求作用在板上的合力偶矩。 43 FF ? 21 FF ?
180
80
3F 4F
1F
2F
mm
mm
负号表明转向为
顺时针。
由式
21 MMM ??
则
18.03 ??? FM
08.01 ?? F
mN ??? 300
【解】
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-5 长为 4 m 的简支梁的两端 A,B 处作用有二个力
偶矩，各为 。 求 A, B 支
座的约束反力。 mNM ?? 161 mNM ?? 42
。 A
( )
60
4
B
m
1M
2M
a
( )
BF
1M
2MA
F
d
A
B
b
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
故
mNFF BA ??? 6
解得
mNF B ?? 6
得
060co s 021 ???? lFMM B
FA, FB为正值，说明图中所示 FA, FB 的指向正确 。
作 AB 梁的受力图，如图（ b ） 所示。 AB梁上作用
有二个力偶组成的平面力偶系，在 A, B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （, ）
FAM FBM
与 之平衡。
【解】
由平衡方程 ? ? 0M
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-6 如图所示结构 ABCD,杆重及摩擦均可不计；在铰链 B
上作用着力,在铰链 C上作用着力,方向如图。
试求当机构在图示位置平衡时 和 两力大小之间
的关系 。
QP
? P?
QP
? P?
A
B
C
D
090
045
030
060
P?
QP
?
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
分析铰 B有,045c o s,0 0 ????? NB CQ FPX
QNB C PF 2? （ 1）
分析铰 C有,030c o s,0 0 ????? PFX NCB
PF N C B 22? （ 2）
由（ 1）（ 2）两式得,
6 1 2.046 ??PP Q
B
C
B
x
y
045
090
NBAF
NBCF
QP
x
y
030
060P
NCDF
NCBF C
作 B铰,C铰的受力图 【解】
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-7 如图所示，机构,在图示位置平衡。已知,OA
＝ 400mm,＝ 600mm,作用在 OA上的力偶矩之大小
＝ 1Nm。 试求力偶矩 的大小和杆 AB 所受的力 F。 各杆
的重量及各处摩擦均不计。
1OABO
BO1 1M
2M
1O
O
A B
090
045
1M
2M
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
ABF ABF
B A
OF
030
A
O
1M
ABF
ABF
1OF
B
1O
2M
分析 OA杆，有
0?? OM
030s i n 10 ???? MAOF AB
NFAB 5?
分析 杆，有 BO1
0,0 12 ????? BOFMM ABO
mNM ??? 32
作 AB,AO及 杆的受力
图,AB杆为二力构件
1BO【解】
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
1、是非题
（ 1）平面汇交力系平衡的充分与必要几何条件是：力多边
形自行封闭。（ ）
（ 2）力在某一固定平面上的投影是一个代数量。（ ）
（ 3）两个力 大小相等，则它们在同一轴上的投
影也相等。（ ）
21 FF、
【 分析与讨论 】
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
2,如图所示两个力三角形中三个力的关系是否一样？请写出
矢量表达式。
2F
3F
a（ ）
2F
3F
1F
1F
（ b）
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
3,如图所示盘由 O点处的轴承支持，在力偶 M和力 的作用
下处于平衡。能不能说力偶 M被力 所平衡？为什么？
F?
F?
O
M
F
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
4,如图所示两种机构。不计构件自重及摩擦,如在杆 AB
上作用有矩为 的力偶，上述两种情况下平衡时,A,C处的约
束反力和杆 CD上作用的力偶是否相同？
045??
1M
?
?
2M
C
B
E
D
A
1M
( ) a
1M
2M
C
B
E
D
A
?
?
( b )
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
5,直角杆 CDA和 T字型杆 BDE在 D处铰结，并支承如图。若系统受
力偶矩为 M的力偶作用，不计各杆自重，求 A支座反力的大小和
方向。
C D
A B
E
a a a
a
M
第二章 平面基本力系
§ 2－ 1平面汇交力系合成与平衡的几何法
§ 2－ 2平面汇交力系合成与平衡的解析法
§ 2－ 3力矩的概念和计算
§ 2－ 5平面力偶系的合成与平衡
§ 2－ 4力偶矩概念
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
各力的作用线在同一平面内且相交于一点的力系，称
为 平面汇交力系 。
力对物体作用时可以产生 移动 和 转动 两种效应。力的移
动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，在
本章中还将引入力矩的概念。
本章要研究的主要问题,
（ a） 平面汇交力系合成与平衡的几何法；
（ b） 平面汇交力系合成与平衡的解析法；
（ c） 力矩和力偶的概念；
（ d） 力偶的性质；
（ e） 平面力偶系的合成与平衡。
平面基本力系包括 平面汇交力系 和 平面力偶系,它是研
究复杂力系的基础。
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（一）合成
应用力多边形法则，合力即为力多边形的封闭边。
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
如图所示。
F1
F2
F3
O
F1 F
2
FR
F3
a
b
c
d
FR=F1+F2+F3
用解析式表达为
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封
闭，即
FR =0
或
F1 F
2
F4
F3
a
b
c
d
F1
F2
F3
O
F4
F1+F2+F3+F4=0
（二）平衡
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（一）力在坐标轴上的投影
（二）合力投影定理
（三）合成
（四）平衡
§ 2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（一）力在坐标轴上投影
图 a 平行光线照射
下物体的影子
x
y
o
A
B
a b
y
图 b 力在坐标轴上的投影
x
a b
1b
1a
o
yF
xF
F
?
?
A
B
Fx
Fy
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
故力在坐标轴上的投影是个代数量。
?c o sFF x ?
?? s i nc o s FFF y ??
由图 b知，若已知力 F 的大小 和其与 x轴,y轴的夹角为
,, 则力在 x,y轴上的投影为 ? ?
即力在某轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹
角的余弦。这样当, 为锐角时,Fx,Fy 均为正值；
当, 为钝角时,Fx,Fy可能为负值。 ?
?
? ?
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
应注意
（ 1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量；
（ 2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在
原力的作用点。
若已知 F 在正交坐标轴上的投影为 Fx 和 Fy,
则由几何关系可求出力 F 的大小和方向，即
22 yx FFF ??
,
22
c o s
yx
x
FF
F
?
??
22
c o s
yx
y
FF
F
?
??
式中 和 称为力 F 的方向余弦。 ?cos ?cos
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
定义,合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投
影的代数和。即
（二） 合力投影定理
?????? xixnxxx FFFFF ?21
?????? yiynyyy FFFFF ?21
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
这个定理也可很直观地理解，如下图表示
adFcdFbcFabF xxxx ????,,,321
因,故 cdbcabad ???
321 xxxx FFFF ???
同理可得
321 yyyy FFFF ???
y
o x
b d
C
A B
D
ca
F
F3
F1
F2
o
F2 F
3
F1
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（三）合成
当应用合力投影定理求出力系的合力的投影 Fx,Fy后，
可用下式求出合力的大小和方向
2222 )()( ?? ???? yixi
yx FFFFF
?
???
xi
yi
x
y
F
F
F
F?t a n
用图可表示为,
式中 表示合力 与 x 轴间所夹的锐角。合力指向
由 的正负号用图判定。这种运用投影求
合力的方法，称为解析法。
?
yx FF,
F
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
o x
y
3F
1F
2F
yF
xF
nF
F
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-2 用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方 向已知
kNFkNFkNFkNF 1,25.0,5.0,5.1 4321 ????
kN
FF xix
332.045c o s1
60c o s25.05.00
0
0
??
???? ?
kN
FF yiy
99.145s i n1
60s i n25.05.05.1
0
0
??
???? ?
x
y
1F F
2F
3F
4F
060
?
045 先计算合力 F 在 x,y轴上
的投影，有
【解】
即
故合力 的大小为 F kNFFF
yx 02.2
22 ???
其方向余弦则为 9 8 6.0c o s,1 6 4.0c o s ???? FFFF
yx ??
034.80??
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个
坐标轴中上的投影之代数和均等于零。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。
（四）平 衡
由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件
是该力系的合力为零，即 0?F
而
022 ?? ?? yixi FF
则, 0??
xiF 0?? yiF
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-3 重物 A质量 m=10kg,悬挂在支架铰接点 B 处,A,C
为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重
量，求重物处于平衡时,AB, BC 杆的内力。
y
（ b）
x
045
030
TF
SF
B
mg
（ a）
A
B
C
045
060
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
由于求出的 和 都是正值，所以原先假设的方
向是正确的，即 AB 杆承受拉力,BC 杆承受压力。若
求出的结果为负值，则说明力的实际方向与原假定的方
向相反。
2F1F
045co s30co s,0 0201 ????? FFF x
045s i n30s i n,0 0201 ?????? FFPF y
联立上述两方程，解得,=88, =71.8 。
1F 2FN N
取铰 B为研究对象，其上作用有三个力：重力 mg；
AB杆 的约束反力 F1 (设为拉力 )及 BC 杆的约束反力 F2
（设为压力），坐标轴如图 b所示，例出平衡方程
【解】
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
应注意,为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个未知
力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为零，这个投影方程
就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中
这样建立坐标系
FT 和 FN 相互藕合
如
060c o s30c o s
0
00 ??
??
NT
x
FF
F
060c o s30c o s
0
00 ??
??
NT
x
FF
F
可求得 =？
TF
o
(a)
P
030
(b)
TF
y
x
NF
P
(c)
o
x y
NF
TF
P
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（ 4）合理选取坐标系，列平衡方程求解
（ 5）对结果进行必要的分析和讨论。
（ 1）弄清题意，明确已知量和待求量；
（ 2）恰当选取研究队象，明确所研究的 的物体；
（ 3）正确画出研究队象的受力图（主动力，约束反力,
二力构件，三力汇交平衡）；
求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤,
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
? ?
C
B
A
P
思考题 匀速起吊重 P 的预制梁如图所示，如果要
求绳索 AB,BC 的拉力不超过 0.6P, 问
角应在什么范围内？
?
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（ 1）用扳手拧螺母；
（ 2）开门，关门。
（一）力对点之矩
l A
d
o
由上图知，力 F 使物体绕 o 点转动的效应，不仅与力的大小,
而且与 o 点到力的作用线的垂直距离 d 有关，故用乘积 Fd 来
度量力的转动效应。该乘积根据转动效应的转向取适当的正
负号称为力 F 对点 o 之矩，简称力矩，以符号 表示。
)(FMo
§ 2-3 力矩的概念和计算
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
即
力矩的正负号,力使物体绕逆时针方向转动为正，反之
为负。
应注意, 力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向
（力矩的正负），因此它是一个代数量。
FdFM o ??)(
o 点称为力矩的中心，简称 矩心 ； o 点到力 F 作用
线的垂直距离 d,称为 力臂 。
力矩的单位,国际制, 工程制 公斤力米 mN? mkN? mkg?
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（ 1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；
（ 2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个
力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通
过该点；
（ 3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
力矩的性质,
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（二）合力矩定理
表达式,
)()( FMFM oRo ??
证明,由图得
)s i n ()(0 ?? ??? FrFdFM
)c o ss i nc o s( s i n ???? ?? Fr
)s i nc o sc o ss i n ???? rFrF ????
而
yrxr
FFFF yx
??
??
??
??
s i n,c o s
s i n,c o s
?
???
?
r
x
y
d
o
x
y Fx
Fy
F
A
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
则
( )
xyo yFxFFM ??)(
a
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（,,
）,则可将每个力对 o 点之矩相加，有
nF
2F1F
?
( b ) ??? ??
xyo FyFxFM )(
( c )
?? ???? xyRxRyR FyFxyFxFFM )(0
由式（ a ）,该汇交力系的合力,
它对矩心的矩 ?
? FF R
比较（ b ）、（ c ） 两式有
)()( FMFM oRo ??
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（一）力偶和力偶矩
例子,
（ 1）方向盘；
（ 2）丝锥；
（ 3）水龙头。 力偶作用面
力偶臂 d
F
'F
1,力偶的概念
把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力
叫做 力偶。 并记作（, ）。 可用图表示,F 'F
§ 2-4 力偶的概念
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
2,力偶的性质
（ 1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（ 2）力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合
力，即它不能与一个力等效，因而也不能
被一个力平衡；
（ 3）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动
效应，既它可以也只能改变物体的转动状
态。
3,力偶矩
其转动效应 —— 力对点之矩，即用力偶中
的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来
度量。 或
FdFFM ??)',( FdM ??
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
4,力偶的三要素
（ 3）力偶的作用面。
（二）平面力偶等效定理
定理,在同一平面内的两个力偶，如它们的力
偶矩的大小相等，而且转向相同，则此
两力偶等效。
（ 1）力偶矩的大小；
（ 2）力偶的方向；
例如：方向盘
)',()',( PP FFMFFM ?
PF
'PF
'F
F
A B
C
D
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
推论 1 力偶可以在其作用面内任意转移而不改
变它对刚体的转动效应
两个重要推论,
如下图 (a),(b)所示。
( )
A B
a
M
( )
A B
C
b
M
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
推论 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件
下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的
大小而不改变力偶对刚体的转动效应
如下图 (a),(b)所示。
B
( )
A
a
d
2F
1F
( )
BA
b
D
1F
2F
其中
DFdF 21 ?
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（一）合 成
1,两个力偶的情况
平面力偶系,作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。
= =
111 dFM ?? 222 dFM ??
1F
2F
'1F
'2F
1d
2d
d
2PF
1PF '
1PF
'2PF
d
RF RF
''',,,21212211 PPPPPP FFFFFFdFMdFM ????????
§ 2-5 平面力偶系的合成与平衡
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
2,任意个力偶的情况
,或
nMMMM ???? ?21 ?? MM
这样得到新的力偶 (,),则
RF 'RF
212121 )( MMdFdFdFFFdM PPPP ???????
1M
2M
3M
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
（二）平衡条件
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力
偶系中各力偶矩的代数和等于零，即
利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。
? ? 0M
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-4 两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 = 1.5KN
= 1KN,求作用在板上的合力偶矩。 43 FF ? 21 FF ?
180
80
3F 4F
1F
2F
mm
mm
负号表明转向为
顺时针。
由式
21 MMM ??
则
18.03 ??? FM
08.01 ?? F
mN ??? 300
【解】
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-5 长为 4 m 的简支梁的两端 A,B 处作用有二个力
偶矩，各为 。 求 A, B 支
座的约束反力。 mNM ?? 161 mNM ?? 42
。 A
( )
60
4
B
m
1M
2M
a
( )
BF
1M
2MA
F
d
A
B
b
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
故
mNFF BA ??? 6
解得
mNF B ?? 6
得
060co s 021 ???? lFMM B
FA, FB为正值，说明图中所示 FA, FB 的指向正确 。
作 AB 梁的受力图，如图（ b ） 所示。 AB梁上作用
有二个力偶组成的平面力偶系，在 A, B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （, ）
FAM FBM
与 之平衡。
【解】
由平衡方程 ? ? 0M
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-6 如图所示结构 ABCD,杆重及摩擦均可不计；在铰链 B
上作用着力,在铰链 C上作用着力,方向如图。
试求当机构在图示位置平衡时 和 两力大小之间
的关系 。
QP
? P?
QP
? P?
A
B
C
D
090
045
030
060
P?
QP
?
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
分析铰 B有,045c o s,0 0 ????? NB CQ FPX
QNB C PF 2? （ 1）
分析铰 C有,030c o s,0 0 ????? PFX NCB
PF N C B 22? （ 2）
由（ 1）（ 2）两式得,
6 1 2.046 ??PP Q
B
C
B
x
y
045
090
NBAF
NBCF
QP
x
y
030
060P
NCDF
NCBF C
作 B铰,C铰的受力图 【解】
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
例 2-7 如图所示，机构,在图示位置平衡。已知,OA
＝ 400mm,＝ 600mm,作用在 OA上的力偶矩之大小
＝ 1Nm。 试求力偶矩 的大小和杆 AB 所受的力 F。 各杆
的重量及各处摩擦均不计。
1OABO
BO1 1M
2M
1O
O
A B
090
045
1M
2M
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
ABF ABF
B A
OF
030
A
O
1M
ABF
ABF
1OF
B
1O
2M
分析 OA杆，有
0?? OM
030s i n 10 ???? MAOF AB
NFAB 5?
分析 杆，有 BO1
0,0 12 ????? BOFMM ABO
mNM ??? 32
作 AB,AO及 杆的受力
图,AB杆为二力构件
1BO【解】
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
1、是非题
（ 1）平面汇交力系平衡的充分与必要几何条件是：力多边
形自行封闭。（ ）
（ 2）力在某一固定平面上的投影是一个代数量。（ ）
（ 3）两个力 大小相等，则它们在同一轴上的投
影也相等。（ ）
21 FF、
【 分析与讨论 】
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
2,如图所示两个力三角形中三个力的关系是否一样？请写出
矢量表达式。
2F
3F
a（ ）
2F
3F
1F
1F
（ b）
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
3,如图所示盘由 O点处的轴承支持，在力偶 M和力 的作用
下处于平衡。能不能说力偶 M被力 所平衡？为什么？
F?
F?
O
M
F
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
4,如图所示两种机构。不计构件自重及摩擦,如在杆 AB
上作用有矩为 的力偶，上述两种情况下平衡时,A,C处的约
束反力和杆 CD上作用的力偶是否相同？
045??
1M
?
?
2M
C
B
E
D
A
1M
( ) a
1M
2M
C
B
E
D
A
?
?
( b )
理论力学电子教程 第二章 平面基本力系
5,直角杆 CDA和 T字型杆 BDE在 D处铰结，并支承如图。若系统受
力偶矩为 M的力偶作用，不计各杆自重，求 A支座反力的大小和
方向。
C D
A B
E
a a a
a
M
