理论力学电子教程 第六章 点的运动
运 动 学
一,运动学任务
1.点和刚体运动的描述 (运动方程 );
2.点的运动特征量 (轨迹,速度和加速度 );
3.刚体运动特征量 (角速度和角加速度 )。
二, 明确两个基本概念
1.物体在空间的位置必须说明它是对哪个物体而
言的；
2.运动学中涉及的时间概念主要是瞬时和时间间
隔 。
理论力学电子教程 第六章 点的运动
四, 难点,重点,（ 1）点的合成运动；（ 2）刚体的平
面运动。
三, 要求
1.能 选用合适的方法 描述 点的运动 和 刚体的基本
运动 。能熟练的计算 速度和加速度,角速度和角
加速度 ;
2.能正确的分析刚体的平面运动,能熟练地 确定速
度瞬值, 计算刚体角速度,熟练的选 用不同的方
法求平面图形上各点的速度和角速度 ;
3.正确地选择动点和动系，应用合成运动的方法
求点的速度和加速度。
理论力学电子教程 第六章 点的运动
第六章 点的运动
§ 6－ 1 运动学基本概念
§ 6－ 2 点的运动方程
§ 6－ 5 速度与加速度的自然坐标法
§ 6－ 4 速度与加速度的直角坐标法
§ 6－ 3 速度与加速度的矢径表示法
理论力学电子教程 第六章 点的运动
§ 6－ 1 运动学的基本概念
一,参考体, 要确定某物体在空间的位置,必须选取另一不
变形的物体作为 参考体, 如,书和黑板擦放在讲台上,书在
运动,选黑板擦为, 参考体,,
二,参考坐标系, 如将坐标系固连于参考体上,就构成参考
坐标系,若某一物体相对参考坐标系是静体,则对于此坐标
系来说,物体静止 ;反之运动。
三,静坐标系,一般固连于地球上的坐标系为 参考坐标系,
通常称为 静坐标系 。
说明一点,古典力学认为时间和空间的度量对于所有参考
系都是一样的，且将时间视为连续的自变量。
理论力学电子教程 第六章 点的运动
四, 瞬时, 对应于某一事件 发生 或 终止 的时间。如上课开
始时。
五, 时间间隔, 两个瞬时之间的时间数。如得开始与结束
之间的时间数 50分钟。
六, 轨迹, 点在空间运动所经过的路线。直线运动,曲线
运动。
理论力学电子教程 第六章 点的运动
决定点的运动,就是确定动点在参考系中的每一瞬时
的位置。由此，点的速度，加速度。
基本方法, 1.自然法 ; 2,直角坐标法 ; 3,矢径法 。
一 自然法
设点的运动的轨迹曲线是已知的。要确定动点的位置,
1.轨迹方程 ;
2.每一瞬时在轨迹曲线上的位置。
（ 1） 沿点的轨迹曲线建立一条曲线坐标轴；
（ 2）选定一点 O'为弧的起点,O'到动点 M的弧长 O'M=S；
（ 3） 规定起点 O'的一边弧长为正。
§ 6－ 2 点的运动方程
理论力学电子教程 第六章 点的运动
S是代数量，称为动点 M 的弧坐标或自然坐标。
这样，动点沿已知轨迹的运动可用一时间 t 的连续函数来
表示,
S = f ( t )
即为 轨道运动方程 。
二 直角坐标法
点在空间的任一瞬时的位置由 x,y,z 来确定。
S
M(+)
(-)
理论力学电子教程 第六章 点的运动
三 矢径法
选 O为原点 r=OM当动点运动时，则矢径的
大小及方向均随时间而变。
r = r ( t ) 矢径的运动方程
运动时，矢径端点所抽绘的曲线动点轨迹
x
z
y O
M
y
x
z
r
平面,动点 M始终在平面 oxy 内运动。则,
运动方程 x = f1( t ),y = f2 ( t ) 轨迹方程 F (x,y) = 0
M
x
y O
r
z
直角坐标运动方程 （一般含时间 t )
（ 在方程中消去时间 t）
动点的轨迹方程 （不含时间 t )
??
??
?
?
?
?
)(
)(
)(
3
2
1
tfz
tfy
tfx空间,
理论力学电子教程 第六章 点的运动
点运动位置, r = r ( t )
而速度就可用矢径对于时间之变化率来表示,
o
v'
M
r(t) r
r(t+ t)
v
M'
t, M
t + t, M'
当 t 0 MM' = MM'
)()( trttrr ?????
MM ??
t
rv
?
??*平均速度
§ 6－ 3 速度与加速度的矢径表示法
理论力学电子教程 第六章 点的运动
速度对于时间的变化率 加速度 a* = d t v
M’
M v
aa
v?
v?
v?
动点的速度等于动点的矢径对于时间的 一阶导数,
动点的瞬时速度
单位, m/s,cm/s,km/h,
dt
dr
t
rvv
tt
?????
???? limlim 00
*
t, v
t + t, v?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
说明,
单位, m/s2,cm/s2,
动点的加速度等于动点的速度对于时间的 一阶导数 ; 或等于
动点的矢径对于时间的 二阶导数,
1,点的速度方向即为轨道曲线上的切线方向,一般说点的
运动方向 指的是 速度方向,
2,瞬时加速度方向沿着动点的 速度端图 的切线方向,
2
2
0lim dt
rd
dt
dv
dt
va
t
????
??
瞬时加速度
理论力学电子教程 第六章 点的运动
z
x
y
M
y x
z
i j
k
r
a
v
任一定点 t1,t2,t3,
2v1v
a
4v
3v
运动方程,
kzjyixr ???? ???
)(),(),( 321 tfztfytfx ???
§ 6－ 4 速度与加速度的直角坐标法
理论力学电子教程 第六章 点的运动
动点的速度在坐标上的投影，分别等于动点的各位置坐标
对于时间的一阶导数,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
????
v
v
iv
dt
dz
dt
dy
dt
dx
vvvv
x
zyx
),c o s (
222
222
同理,
2
2
dt
xd
dt
dva x
x ?? 2
2
dt
zd
dt
dva z
z ??
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv
zyx ???,,
vkvjvikdtdzjdtdyidtdxdtdrv ???????
相对应的有
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【解】 （ 1） 自然法 ( 弧坐标法 )
取水平线与轨道的交点 A 为参考点,
正负号规定如图,
S = RΦ
o
M
S
A Φ (+)
(-)
如图所示,飞轮半径 R=50 cm,绕 O 转动,轮上直线
OM 与 Φ水平线间的夹角 Φ的变化规律为 Φ=2t2,求 M点的运
动方程。
例 6-1
222 ???? zyx aaaa大小,
2
2
dt
yd
dt
dva y
y ??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
（ 2） 取直角坐标,
建立如图的直角坐标系
x = RcosΦ,y = RsinΦ
将 Φ=2t2 代入,则有
x =50 cos2t2,y = 50 sin2t2
y
x
y
x o Φ
R
M
将 Φ=2t2代入,有 S = 2Rt2
S = 100 t2cm
以弧坐标表示的动点 M相对于点 A的运动方程,
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【解】 求 M 点的运动轨迹,必须先用坐标法给出它的运动方程,
然后从运动方程中消去时间 t,得 到轨迹方程,
B
y
o
C M
A
已知, OC =AC =BC =L
MC =a,Φ=ωt
椭圆规的曲柄 OC 可绕定轴 O 转动,其端点 C 与规尺 AB
的中点以铰链相连接,而规尺
AB 的两端 A,B 分别在相互垂
直的滑槽中运动,如图示, 试求
规尺上点 M 的运动方程和轨迹,
例 6-2
理论力学电子教程 第六章 点的运动
小型润滑油泵中采用的曲柄导杆机构如图示, 电动机带
动飞轮 ( 简化为曲柄 OP ) 匀速转动,滑块 P 绞接在飞轮上,
并可在导杆的滑槽内滑动,从而带动导杆同活塞 C 作往复
运动, 已知曲柄长 A,图中 Φ= ωt + α,ω,α为?,导杆
BC为 l,求活塞 C 的运动方程,速度和加速度,
例 6-3
消去 t
talCMOCX ?? c o s)(c o s)( ????
talAMY ?? s i n)(s i n ???
1
)()( 2
2
2
2
?
?
?
? al
y
al
x
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【解】 取 x轴如图,可得动点
C 的坐标为
x = OP sinΦ + l
即 x = A sin(ωt +? ) + l
即为活塞的运动方程
v =Aωcos (ωt+? )
a = - Aω2sin(ωt+? )
o
Φ
B O'
P l
C
l
?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
设已知动点的轨迹及轨迹的运
动方程为
)( tfS ? dtdrv ?
§ 6－ 5 速度与加速度的自然表示法
( - )
S
( + )
O
M'
M
s
v
?
r?
dt
ds
ds
dr
dt
drv ??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
而
?????
?? s
r
ds
dr
s
lim
0
（大小为 1,方向为 的切向） ?
又
t
sv
dt
ds
t ?
???
??
lim
0
? 即速度的代数值
??
dt
dsvv ???
当 时,S随 t 增大, 与 相反,
0?dtds v
当 时,S随 t 增大, 与 相同 ;
0?dtds ?v
?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
动点沿已知轨道的速度的代数值等于弧坐标 S 对于时间的
一阶导数,速度的方向沿轨迹的切线方向,当 为正时
指向与 一致 ; 反之,则相反,
dt
ds
?
动点 M 的加速度 等于动点的速度 对于时间的导数,
而
其中 表明速度方向的单位矢量改变情况,
表明速度代数值改变情况,
dt
d?
2
2
dt
sd
dt
dv ?
va
dt
dv
dt
dvv
dt
d
dt
dva ??? ???? )(
理论力学电子教程 第六章 点的运动
现主要来看
dt
di
n t?
??
M
c v
M'
A
?
??
B??
??
由图 ??? ????
tdt
d
t ?
??
??
?? lim
0
?? ??
而
??? ?????? 2s in2
t
s
sttdt
d
ttt ?
??
?
??
?
??
?
??
??????
???? limlimlim
000
故
理论力学电子教程 第六章 点的运动
而已知
est
1lim
0
???
??
? e 为曲率半径
vdtdsts
t
????
??
lim
0
故
e
v
t
s
sdt
d
ts
??
?? ?
?
?
???
??
l i m
0,0
?
方向：极限位置,的方向沿主法线方向,如图
dt
d? nv
dt
d
?
? ?
得到
nvdtdva ??
2
??
dt
di
n t?
??
M
c v
M'
A
?
??
B??
??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
定义, 切向加速度
表明速度代数值随时间的变化率
?? dtdva ?
nva n
?
2
?
法向加速度
表明速度的方向随时间的变化率
加速度在切线,主法线,副法线上的投影为,
dtdva ?? ?
2va
n ?
0?ba特别注意,
dtdva ? dt
dva ??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
大小, 222
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
v
dt
dv
a
方向,
na
aa r c t g ?? ?
讨论 几种情况,
1,直线运动 ?? ? 0?
na
仅有表明速度代数值改变的加速度。
2,匀速曲线运动
dt
dsv ?
常数
理论力学电子教程 第六章 点的运动
0??a
仅有表明速度方向改变的加速度,
nva
?
2
?
vd tds ?
?? ?
ts
s
dtvds
00
vtss ?? 0
3,匀变速曲线运动
dt
dva ?
?
dtadv ?? ?? ??? ?? tv
v
dtadv
00 ?
积分
tavv ??? 0
理论力学电子教程 第六章 点的运动
或由
dt
dsv ?
dttavv d tds
tts
s
)(
0 000 ?
??? ???
2
00 2
1 tatvss
????
)(2 0202 ssavv ??? ?
【 解 】, 已知点的运动方程,可通过求导得到速度和加速
度,利用 an=v2/?,求出曲率半径, 思路
先求速度方程
2
3
2
t
dt
dy
v
t
dt
dx
v
y
x
??
??
已知 M点的运动方程为 x=t2,y=t3 (长度以 cm计,时间
以秒计 ),试求轨迹在点 (1,1)处的曲率半径,
例 6-4
理论力学电子教程 第六章 点的运动
4222 94 ttvvv
yx ????
再求加速度方程
t
dt
dv
a
dt
dv
a
y
y
x
x
6
2
??
??
222 364 taaa
yx ????
42
3
942
368
tt
tt
dt
dva
?
???
?
当 x=1,y=1时,即 t2=1,t3=1,t=1 (秒 )
理论力学电子教程 第六章 点的运动
故
)/(13/22
)/(102364
)/(1394
2
942
368
1
2
1
1
scma
scma
scmv
??
???
???
?
?
?
则
)(81.713
6
13
/
)/(
13
6
13
22
40
1
2
11
2
2
2
1
2
11
cmav
scmaaa
n
n
???
?????
?
?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
o R A
+
-
a
v
M
?
an
? a? 【 解 】 当 t=1s 时,
s=100·1 2=100mm
即
动点的位置 M如以角 ?表示,则
此时
????? 3.571100100 r a dRS?
tSv 2 0 0?? ? t=1 时,v=200 mm/s
正值
AM=100 mm
动点 M作圆周运动,圆半径 R=100mm(如图 ),弧坐
标原点定在 A点,S的正负向规定如图, 已知 S=100t2,t单位
为秒,S单位为 mm,求在 t=1s 时动点的位置,速度和全 加 速
度 。
例 6-5
理论力学电子教程 第六章 点的运动
故速度矢量 应沿圆周在 M点的切线指向 S增加的一边, v
22 2.02 0 0 smsmmSa ???
?
?
常量
作匀变速运动
2
22
4.01.0 2.0 smva n ??? ?
故
2
2222 4 4 7.04.02.0
smaaa n ????? ?
方向角 ?为,
5.0
4.0
2.0 ???
na
a
tg ?? ?? 6.26?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
矢径法 直角坐标法 自然法
)(trr ?
)(1 tfx ?
)(2 tfy ?
)(3 tfz ?
)(tfs ?
运
动
方
程
dt
dvv ?
dtdxv x ? dtdyv y ?
dtdzv z ?
222
zyx vvvv ???
v
viv x?),c o s (
速
度
dtdsv ?
方向沿轨迹的
切线方向
理论力学电子教程 第六章 点的运动
v
vjv y?),c o s (
vvkv z?),c o s (
kvjvivv zyx ???
速
度
加
速
度
dt
dva ?
2
2
dt
rd?
2
2
dtxddt
dva x
x ??
2
2
dt
yddtdva y
y ??
2
2
dtzddt
dva z
z ??
kajaiaa zyx ???
dtdva ??
方向沿轨迹的
切线方向
2
2
dtsd?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
a
aia x?),c o s (
a
aja y?),co s (
a
aka z?),c o s (
加
速
度
?
2va
n ?
方向沿轨迹的
主法线,指向曲
率中心
轨
迹 矢径端图
运动方程中消去时间
t 得到,
0),(
0),(
2
1
?
?
yxF
zyF
已知
备
注 用于理论推导 一般常用的计算方法
对运动轨迹已知
时,用此方法比
较简单
理论力学电子教程 第六章 点的运动
名称 直线运动 圆周运动 匀速运动 匀变速运动
???
0?na
常数?e 常数?v
0??a
常数??a
tavv ??? 0
2
00 2
1 tatvss
????
asvv 2202 ??
R
va
n
2
?
特
点
备注 不记变速或匀速 不论直线或曲线
几种特殊运动的特点,
理论力学电子教程 第六章 点的运动
(一 ),确定研究对象
由题意,确定所要研究的动点 (或刚体上一点 ) 为研究对象,
(二 ),选择坐标系
1,如轨迹未知或轨迹为直线,应考虑用直角坐标法求解,
2,如轨迹为已知曲线,常采用自然法求解,
无论用什么方法,均要明确坐标系是固定在什么物体上的,
(三 ),运动分析
1,建立点的运动方程
分两步, ? 确定点运动的初始位置,然后将动点放在任意位置,
用适当的参量表示点的位置, 所选参量应与时间有关,
解题要点（步骤及要点 )
理论力学电子教程 第六章 点的运动
? 代入时间 t,求出坐标与时间 t的函数关系,就得到动点在
空间的几何位置随时间 t 的变化关系,即运动方程,
2,求点的轨迹方程
将点的运动方程中的时间 t 消去,即得到动点的坐标之间
的函数关系,即动点的轨迹方程,
3,求点的速度,加速度及曲率半径
? 由对运动方程求导,可得速度和切向加速度,法向加速度
用公式 计算,进而可得全加速度,
? 求曲率半径 ?,要联合应用直角坐标法与自然法,具体思
路如下,
?
2v
a n ?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
z
dt
dv
z
dt
dz
y
dt
dv
y
dt
dy
x
dt
dv
x
dt
dx
avz
avy
avx
z
y
x
?? ???? ??
?? ???? ??
?? ???? ??
222
222
zyx
zyx
aaaa
vvvv
???
???
22
?
?
aaa
dt
dva
n ??
?
na
v 2??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
? 注意在求某一特定瞬时 ( tM ) 的动点 M的 速度
求 或 时,千万不能对某瞬时的特定坐标或速度
瞬时值求导。 在求导数时,要注意复合函数求导,
Mv Ma
(四 ),建立方程求解
根据运动分析的结果,确定解题方法,建立有关方程式,
进行求解,
理论力学电子教程 第六章 点的运动
例 6-6 如图所示，摇杆机构
的滑杆 AB 以匀速 u,上升，并
通过滑套 A 带动摇杆 OC 绕 O 轴
转动。试建立摇杆 OC上点 C 的
运动方程，并求此点在
时速度的大小。假定初瞬时
，摇杆长 OC＝ a,距离 OD＝ l。
4
???
0??
x
y
A
C
D?
a
l
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【 解 】 因为 而,
所以,
C点的速度在 方向坐标轴上的投影分别为,
当 时,代入上试，由,
y、x
4
??? lt ??
?? s i n c o s ayax cc ??
ut
l
AD
lc t g ???
222ut
lc t g s i n
tul
ala r cax
c ????
??
?
? ?
?
??
?
??
222
2 c o s1 s i n
tul
a u t
ut
lc tga r ca
ut
lc tga r cay
c ????
?
??
?
?????? ?????????????? ???????
? ? ? ? 23222
2
23222
2
tul auldtdyvtul ta l udtdxv ccyccx ???????
理论力学电子教程 第六章 点的运动
l
au
dt
dy
dt
dxv cc
c 2
22
???????????????
例 6-7 已知动点的运动方程为,求 (1)
动点的运动轨迹； (2)当 t＝ 0时，动点的切向、法向加速度和
轨迹的曲率半径。
m 5t-5 0 0y m 50 2??,tx
【解】 (1)求动点的运动轨迹
将运动方程 m 5t-5 0 0ym 50 2?? 和tx
(2)求 t＝ 0时的 at,an和
对运动方程求导有
(1)
则 (2)
?
tyvxv yx 10,50 ????? ??
stvvv yx m 2510 222 ????
理论力学电子教程 第六章 点的运动
由 (1)式对时间 t求导，得
故
而动点的切向加速度 (3)
则 (4)
轨迹的曲率半径为 (5)
将 t＝ 0代入 (3), (4),(5)式，得
10,50 ????? ?? yyxx vava
svva yx 222 m 10???
225
10
t
t
dt
dva
t ???
2550 222 taaa tn ????
? ?322 252 tav
n
????
m 250,10,0 2 ??? ?? smaa n
理论力学电子教程 第六章 点的运动
例 6-8 如图 6-3所示，已知, M 沿 OA和半径为 R的大圆
弧滑动；求分别用直角坐标法和自然法给出 M的运动方程，并求
出 。
t?? ?
MM av 和
v yv
xv M
a
ya
xa M
O
y
x
A
1O
C
B
?
R
?
M
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【解】 1.设直角坐标系 如图，则 M的运动方程为
速度和加速度
xOy
ωt2s in
ωt2c o s
Ry
RRx
?
??
tRva
tRyv
tRxa
tRxv
yy
y
xx
x
??
??
??
??
2s i n 4
2c o s 2
2c o s 4
2s i n 2
2
2
???
??
???
???
?
?
?
?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
2.设弧坐标正方向如图，则运动方程、速度、加速度为
当 M在图示位置时，速度、加速度各分量的方向如图所
示。
R ω
R
v
a,ava
RsvtRs
n
2
2
40
,2,2
?????
???
?
?
?
??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【 思考题 】
1.选择题
D(1)动点作匀速曲线运动是指 ( )
A,点的加速度大小
B,点的加速度
C.点的切向加速度大小
D.点的切向加速度
常量?a?
常量?a?
常量??a
常量??a?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
(2)已知点沿其轨迹的运动方程为 s=b+ct,式中 b,c均为常
量，则 ( ) C
A,点的轨迹必为直线
B,点的轨迹必为曲线
C.点必作匀速率运动
D.点的加速度必等于零
(3)动点在运动过程中，恒有,点做何种运动
( )
0 ?? naa 常量，?
B
A,加速曲线运动 B,匀变速曲线运动
C.变速直线运动 D.匀变速直线运动
理论力学电子教程 第六章 点的运动
(4)已知点的运动方程为,其轨迹方程为 ( ) 33,42 32 ???? tytx B
03642.
02422.
01823.
03643.
???
???
???
???
yxD
yxC
yxB
yxA
(5)在图 9-1中，动点 M沿螺线自外向内运动，若点 M走过的弧
长与时间的一次方成正比，则该点 ( ) A
A,加速度越来越大
B,加速度越来越小
C.越跑越快
D.越跑越慢
理论力学电子教程 第六章 点的运动
2.已知动点的运动方程为
,
其中长度以 m计，时间以 s计。求运动开始时，点的切向加速
度和法向加速度，以及轨迹在初始位置的曲率半径。
tx 2? 2ty?
? ?msmaa n 2,2,02 ??? ?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
3.小环 M同时套在细杆 OA和半径为 r的固定圆圈上，如图 6-6
所示。细杆 OA绕大圆圈上的固定点 O转动，它与水平直径的
夹角,其中 为常数。试求小环 M的运动方程以及
它的速度和加速度。
t?? ? ?
x
y
A
M
O 1O
?
R
运 动 学
一,运动学任务
1.点和刚体运动的描述 (运动方程 );
2.点的运动特征量 (轨迹,速度和加速度 );
3.刚体运动特征量 (角速度和角加速度 )。
二, 明确两个基本概念
1.物体在空间的位置必须说明它是对哪个物体而
言的；
2.运动学中涉及的时间概念主要是瞬时和时间间
隔 。
理论力学电子教程 第六章 点的运动
四, 难点,重点,（ 1）点的合成运动；（ 2）刚体的平
面运动。
三, 要求
1.能 选用合适的方法 描述 点的运动 和 刚体的基本
运动 。能熟练的计算 速度和加速度,角速度和角
加速度 ;
2.能正确的分析刚体的平面运动,能熟练地 确定速
度瞬值, 计算刚体角速度,熟练的选 用不同的方
法求平面图形上各点的速度和角速度 ;
3.正确地选择动点和动系，应用合成运动的方法
求点的速度和加速度。
理论力学电子教程 第六章 点的运动
第六章 点的运动
§ 6－ 1 运动学基本概念
§ 6－ 2 点的运动方程
§ 6－ 5 速度与加速度的自然坐标法
§ 6－ 4 速度与加速度的直角坐标法
§ 6－ 3 速度与加速度的矢径表示法
理论力学电子教程 第六章 点的运动
§ 6－ 1 运动学的基本概念
一,参考体, 要确定某物体在空间的位置,必须选取另一不
变形的物体作为 参考体, 如,书和黑板擦放在讲台上,书在
运动,选黑板擦为, 参考体,,
二,参考坐标系, 如将坐标系固连于参考体上,就构成参考
坐标系,若某一物体相对参考坐标系是静体,则对于此坐标
系来说,物体静止 ;反之运动。
三,静坐标系,一般固连于地球上的坐标系为 参考坐标系,
通常称为 静坐标系 。
说明一点,古典力学认为时间和空间的度量对于所有参考
系都是一样的，且将时间视为连续的自变量。
理论力学电子教程 第六章 点的运动
四, 瞬时, 对应于某一事件 发生 或 终止 的时间。如上课开
始时。
五, 时间间隔, 两个瞬时之间的时间数。如得开始与结束
之间的时间数 50分钟。
六, 轨迹, 点在空间运动所经过的路线。直线运动,曲线
运动。
理论力学电子教程 第六章 点的运动
决定点的运动,就是确定动点在参考系中的每一瞬时
的位置。由此，点的速度，加速度。
基本方法, 1.自然法 ; 2,直角坐标法 ; 3,矢径法 。
一 自然法
设点的运动的轨迹曲线是已知的。要确定动点的位置,
1.轨迹方程 ;
2.每一瞬时在轨迹曲线上的位置。
（ 1） 沿点的轨迹曲线建立一条曲线坐标轴；
（ 2）选定一点 O'为弧的起点,O'到动点 M的弧长 O'M=S；
（ 3） 规定起点 O'的一边弧长为正。
§ 6－ 2 点的运动方程
理论力学电子教程 第六章 点的运动
S是代数量，称为动点 M 的弧坐标或自然坐标。
这样，动点沿已知轨迹的运动可用一时间 t 的连续函数来
表示,
S = f ( t )
即为 轨道运动方程 。
二 直角坐标法
点在空间的任一瞬时的位置由 x,y,z 来确定。
S
M(+)
(-)
理论力学电子教程 第六章 点的运动
三 矢径法
选 O为原点 r=OM当动点运动时，则矢径的
大小及方向均随时间而变。
r = r ( t ) 矢径的运动方程
运动时，矢径端点所抽绘的曲线动点轨迹
x
z
y O
M
y
x
z
r
平面,动点 M始终在平面 oxy 内运动。则,
运动方程 x = f1( t ),y = f2 ( t ) 轨迹方程 F (x,y) = 0
M
x
y O
r
z
直角坐标运动方程 （一般含时间 t )
（ 在方程中消去时间 t）
动点的轨迹方程 （不含时间 t )
??
??
?
?
?
?
)(
)(
)(
3
2
1
tfz
tfy
tfx空间,
理论力学电子教程 第六章 点的运动
点运动位置, r = r ( t )
而速度就可用矢径对于时间之变化率来表示,
o
v'
M
r(t) r
r(t+ t)
v
M'
t, M
t + t, M'
当 t 0 MM' = MM'
)()( trttrr ?????
MM ??
t
rv
?
??*平均速度
§ 6－ 3 速度与加速度的矢径表示法
理论力学电子教程 第六章 点的运动
速度对于时间的变化率 加速度 a* = d t v
M’
M v
aa
v?
v?
v?
动点的速度等于动点的矢径对于时间的 一阶导数,
动点的瞬时速度
单位, m/s,cm/s,km/h,
dt
dr
t
rvv
tt
?????
???? limlim 00
*
t, v
t + t, v?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
说明,
单位, m/s2,cm/s2,
动点的加速度等于动点的速度对于时间的 一阶导数 ; 或等于
动点的矢径对于时间的 二阶导数,
1,点的速度方向即为轨道曲线上的切线方向,一般说点的
运动方向 指的是 速度方向,
2,瞬时加速度方向沿着动点的 速度端图 的切线方向,
2
2
0lim dt
rd
dt
dv
dt
va
t
????
??
瞬时加速度
理论力学电子教程 第六章 点的运动
z
x
y
M
y x
z
i j
k
r
a
v
任一定点 t1,t2,t3,
2v1v
a
4v
3v
运动方程,
kzjyixr ???? ???
)(),(),( 321 tfztfytfx ???
§ 6－ 4 速度与加速度的直角坐标法
理论力学电子教程 第六章 点的运动
动点的速度在坐标上的投影，分别等于动点的各位置坐标
对于时间的一阶导数,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
????
v
v
iv
dt
dz
dt
dy
dt
dx
vvvv
x
zyx
),c o s (
222
222
同理,
2
2
dt
xd
dt
dva x
x ?? 2
2
dt
zd
dt
dva z
z ??
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv
zyx ???,,
vkvjvikdtdzjdtdyidtdxdtdrv ???????
相对应的有
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【解】 （ 1） 自然法 ( 弧坐标法 )
取水平线与轨道的交点 A 为参考点,
正负号规定如图,
S = RΦ
o
M
S
A Φ (+)
(-)
如图所示,飞轮半径 R=50 cm,绕 O 转动,轮上直线
OM 与 Φ水平线间的夹角 Φ的变化规律为 Φ=2t2,求 M点的运
动方程。
例 6-1
222 ???? zyx aaaa大小,
2
2
dt
yd
dt
dva y
y ??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
（ 2） 取直角坐标,
建立如图的直角坐标系
x = RcosΦ,y = RsinΦ
将 Φ=2t2 代入,则有
x =50 cos2t2,y = 50 sin2t2
y
x
y
x o Φ
R
M
将 Φ=2t2代入,有 S = 2Rt2
S = 100 t2cm
以弧坐标表示的动点 M相对于点 A的运动方程,
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【解】 求 M 点的运动轨迹,必须先用坐标法给出它的运动方程,
然后从运动方程中消去时间 t,得 到轨迹方程,
B
y
o
C M
A
已知, OC =AC =BC =L
MC =a,Φ=ωt
椭圆规的曲柄 OC 可绕定轴 O 转动,其端点 C 与规尺 AB
的中点以铰链相连接,而规尺
AB 的两端 A,B 分别在相互垂
直的滑槽中运动,如图示, 试求
规尺上点 M 的运动方程和轨迹,
例 6-2
理论力学电子教程 第六章 点的运动
小型润滑油泵中采用的曲柄导杆机构如图示, 电动机带
动飞轮 ( 简化为曲柄 OP ) 匀速转动,滑块 P 绞接在飞轮上,
并可在导杆的滑槽内滑动,从而带动导杆同活塞 C 作往复
运动, 已知曲柄长 A,图中 Φ= ωt + α,ω,α为?,导杆
BC为 l,求活塞 C 的运动方程,速度和加速度,
例 6-3
消去 t
talCMOCX ?? c o s)(c o s)( ????
talAMY ?? s i n)(s i n ???
1
)()( 2
2
2
2
?
?
?
? al
y
al
x
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【解】 取 x轴如图,可得动点
C 的坐标为
x = OP sinΦ + l
即 x = A sin(ωt +? ) + l
即为活塞的运动方程
v =Aωcos (ωt+? )
a = - Aω2sin(ωt+? )
o
Φ
B O'
P l
C
l
?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
设已知动点的轨迹及轨迹的运
动方程为
)( tfS ? dtdrv ?
§ 6－ 5 速度与加速度的自然表示法
( - )
S
( + )
O
M'
M
s
v
?
r?
dt
ds
ds
dr
dt
drv ??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
而
?????
?? s
r
ds
dr
s
lim
0
（大小为 1,方向为 的切向） ?
又
t
sv
dt
ds
t ?
???
??
lim
0
? 即速度的代数值
??
dt
dsvv ???
当 时,S随 t 增大, 与 相反,
0?dtds v
当 时,S随 t 增大, 与 相同 ;
0?dtds ?v
?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
动点沿已知轨道的速度的代数值等于弧坐标 S 对于时间的
一阶导数,速度的方向沿轨迹的切线方向,当 为正时
指向与 一致 ; 反之,则相反,
dt
ds
?
动点 M 的加速度 等于动点的速度 对于时间的导数,
而
其中 表明速度方向的单位矢量改变情况,
表明速度代数值改变情况,
dt
d?
2
2
dt
sd
dt
dv ?
va
dt
dv
dt
dvv
dt
d
dt
dva ??? ???? )(
理论力学电子教程 第六章 点的运动
现主要来看
dt
di
n t?
??
M
c v
M'
A
?
??
B??
??
由图 ??? ????
tdt
d
t ?
??
??
?? lim
0
?? ??
而
??? ?????? 2s in2
t
s
sttdt
d
ttt ?
??
?
??
?
??
?
??
??????
???? limlimlim
000
故
理论力学电子教程 第六章 点的运动
而已知
est
1lim
0
???
??
? e 为曲率半径
vdtdsts
t
????
??
lim
0
故
e
v
t
s
sdt
d
ts
??
?? ?
?
?
???
??
l i m
0,0
?
方向：极限位置,的方向沿主法线方向,如图
dt
d? nv
dt
d
?
? ?
得到
nvdtdva ??
2
??
dt
di
n t?
??
M
c v
M'
A
?
??
B??
??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
定义, 切向加速度
表明速度代数值随时间的变化率
?? dtdva ?
nva n
?
2
?
法向加速度
表明速度的方向随时间的变化率
加速度在切线,主法线,副法线上的投影为,
dtdva ?? ?
2va
n ?
0?ba特别注意,
dtdva ? dt
dva ??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
大小, 222
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
v
dt
dv
a
方向,
na
aa r c t g ?? ?
讨论 几种情况,
1,直线运动 ?? ? 0?
na
仅有表明速度代数值改变的加速度。
2,匀速曲线运动
dt
dsv ?
常数
理论力学电子教程 第六章 点的运动
0??a
仅有表明速度方向改变的加速度,
nva
?
2
?
vd tds ?
?? ?
ts
s
dtvds
00
vtss ?? 0
3,匀变速曲线运动
dt
dva ?
?
dtadv ?? ?? ??? ?? tv
v
dtadv
00 ?
积分
tavv ??? 0
理论力学电子教程 第六章 点的运动
或由
dt
dsv ?
dttavv d tds
tts
s
)(
0 000 ?
??? ???
2
00 2
1 tatvss
????
)(2 0202 ssavv ??? ?
【 解 】, 已知点的运动方程,可通过求导得到速度和加速
度,利用 an=v2/?,求出曲率半径, 思路
先求速度方程
2
3
2
t
dt
dy
v
t
dt
dx
v
y
x
??
??
已知 M点的运动方程为 x=t2,y=t3 (长度以 cm计,时间
以秒计 ),试求轨迹在点 (1,1)处的曲率半径,
例 6-4
理论力学电子教程 第六章 点的运动
4222 94 ttvvv
yx ????
再求加速度方程
t
dt
dv
a
dt
dv
a
y
y
x
x
6
2
??
??
222 364 taaa
yx ????
42
3
942
368
tt
tt
dt
dva
?
???
?
当 x=1,y=1时,即 t2=1,t3=1,t=1 (秒 )
理论力学电子教程 第六章 点的运动
故
)/(13/22
)/(102364
)/(1394
2
942
368
1
2
1
1
scma
scma
scmv
??
???
???
?
?
?
则
)(81.713
6
13
/
)/(
13
6
13
22
40
1
2
11
2
2
2
1
2
11
cmav
scmaaa
n
n
???
?????
?
?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
o R A
+
-
a
v
M
?
an
? a? 【 解 】 当 t=1s 时,
s=100·1 2=100mm
即
动点的位置 M如以角 ?表示,则
此时
????? 3.571100100 r a dRS?
tSv 2 0 0?? ? t=1 时,v=200 mm/s
正值
AM=100 mm
动点 M作圆周运动,圆半径 R=100mm(如图 ),弧坐
标原点定在 A点,S的正负向规定如图, 已知 S=100t2,t单位
为秒,S单位为 mm,求在 t=1s 时动点的位置,速度和全 加 速
度 。
例 6-5
理论力学电子教程 第六章 点的运动
故速度矢量 应沿圆周在 M点的切线指向 S增加的一边, v
22 2.02 0 0 smsmmSa ???
?
?
常量
作匀变速运动
2
22
4.01.0 2.0 smva n ??? ?
故
2
2222 4 4 7.04.02.0
smaaa n ????? ?
方向角 ?为,
5.0
4.0
2.0 ???
na
a
tg ?? ?? 6.26?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
矢径法 直角坐标法 自然法
)(trr ?
)(1 tfx ?
)(2 tfy ?
)(3 tfz ?
)(tfs ?
运
动
方
程
dt
dvv ?
dtdxv x ? dtdyv y ?
dtdzv z ?
222
zyx vvvv ???
v
viv x?),c o s (
速
度
dtdsv ?
方向沿轨迹的
切线方向
理论力学电子教程 第六章 点的运动
v
vjv y?),c o s (
vvkv z?),c o s (
kvjvivv zyx ???
速
度
加
速
度
dt
dva ?
2
2
dt
rd?
2
2
dtxddt
dva x
x ??
2
2
dt
yddtdva y
y ??
2
2
dtzddt
dva z
z ??
kajaiaa zyx ???
dtdva ??
方向沿轨迹的
切线方向
2
2
dtsd?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
a
aia x?),c o s (
a
aja y?),co s (
a
aka z?),c o s (
加
速
度
?
2va
n ?
方向沿轨迹的
主法线,指向曲
率中心
轨
迹 矢径端图
运动方程中消去时间
t 得到,
0),(
0),(
2
1
?
?
yxF
zyF
已知
备
注 用于理论推导 一般常用的计算方法
对运动轨迹已知
时,用此方法比
较简单
理论力学电子教程 第六章 点的运动
名称 直线运动 圆周运动 匀速运动 匀变速运动
???
0?na
常数?e 常数?v
0??a
常数??a
tavv ??? 0
2
00 2
1 tatvss
????
asvv 2202 ??
R
va
n
2
?
特
点
备注 不记变速或匀速 不论直线或曲线
几种特殊运动的特点,
理论力学电子教程 第六章 点的运动
(一 ),确定研究对象
由题意,确定所要研究的动点 (或刚体上一点 ) 为研究对象,
(二 ),选择坐标系
1,如轨迹未知或轨迹为直线,应考虑用直角坐标法求解,
2,如轨迹为已知曲线,常采用自然法求解,
无论用什么方法,均要明确坐标系是固定在什么物体上的,
(三 ),运动分析
1,建立点的运动方程
分两步, ? 确定点运动的初始位置,然后将动点放在任意位置,
用适当的参量表示点的位置, 所选参量应与时间有关,
解题要点（步骤及要点 )
理论力学电子教程 第六章 点的运动
? 代入时间 t,求出坐标与时间 t的函数关系,就得到动点在
空间的几何位置随时间 t 的变化关系,即运动方程,
2,求点的轨迹方程
将点的运动方程中的时间 t 消去,即得到动点的坐标之间
的函数关系,即动点的轨迹方程,
3,求点的速度,加速度及曲率半径
? 由对运动方程求导,可得速度和切向加速度,法向加速度
用公式 计算,进而可得全加速度,
? 求曲率半径 ?,要联合应用直角坐标法与自然法,具体思
路如下,
?
2v
a n ?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
z
dt
dv
z
dt
dz
y
dt
dv
y
dt
dy
x
dt
dv
x
dt
dx
avz
avy
avx
z
y
x
?? ???? ??
?? ???? ??
?? ???? ??
222
222
zyx
zyx
aaaa
vvvv
???
???
22
?
?
aaa
dt
dva
n ??
?
na
v 2??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
? 注意在求某一特定瞬时 ( tM ) 的动点 M的 速度
求 或 时,千万不能对某瞬时的特定坐标或速度
瞬时值求导。 在求导数时,要注意复合函数求导,
Mv Ma
(四 ),建立方程求解
根据运动分析的结果,确定解题方法,建立有关方程式,
进行求解,
理论力学电子教程 第六章 点的运动
例 6-6 如图所示，摇杆机构
的滑杆 AB 以匀速 u,上升，并
通过滑套 A 带动摇杆 OC 绕 O 轴
转动。试建立摇杆 OC上点 C 的
运动方程，并求此点在
时速度的大小。假定初瞬时
，摇杆长 OC＝ a,距离 OD＝ l。
4
???
0??
x
y
A
C
D?
a
l
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【 解 】 因为 而,
所以,
C点的速度在 方向坐标轴上的投影分别为,
当 时,代入上试，由,
y、x
4
??? lt ??
?? s i n c o s ayax cc ??
ut
l
AD
lc t g ???
222ut
lc t g s i n
tul
ala r cax
c ????
??
?
? ?
?
??
?
??
222
2 c o s1 s i n
tul
a u t
ut
lc tga r ca
ut
lc tga r cay
c ????
?
??
?
?????? ?????????????? ???????
? ? ? ? 23222
2
23222
2
tul auldtdyvtul ta l udtdxv ccyccx ???????
理论力学电子教程 第六章 点的运动
l
au
dt
dy
dt
dxv cc
c 2
22
???????????????
例 6-7 已知动点的运动方程为,求 (1)
动点的运动轨迹； (2)当 t＝ 0时，动点的切向、法向加速度和
轨迹的曲率半径。
m 5t-5 0 0y m 50 2??,tx
【解】 (1)求动点的运动轨迹
将运动方程 m 5t-5 0 0ym 50 2?? 和tx
(2)求 t＝ 0时的 at,an和
对运动方程求导有
(1)
则 (2)
?
tyvxv yx 10,50 ????? ??
stvvv yx m 2510 222 ????
理论力学电子教程 第六章 点的运动
由 (1)式对时间 t求导，得
故
而动点的切向加速度 (3)
则 (4)
轨迹的曲率半径为 (5)
将 t＝ 0代入 (3), (4),(5)式，得
10,50 ????? ?? yyxx vava
svva yx 222 m 10???
225
10
t
t
dt
dva
t ???
2550 222 taaa tn ????
? ?322 252 tav
n
????
m 250,10,0 2 ??? ?? smaa n
理论力学电子教程 第六章 点的运动
例 6-8 如图 6-3所示，已知, M 沿 OA和半径为 R的大圆
弧滑动；求分别用直角坐标法和自然法给出 M的运动方程，并求
出 。
t?? ?
MM av 和
v yv
xv M
a
ya
xa M
O
y
x
A
1O
C
B
?
R
?
M
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【解】 1.设直角坐标系 如图，则 M的运动方程为
速度和加速度
xOy
ωt2s in
ωt2c o s
Ry
RRx
?
??
tRva
tRyv
tRxa
tRxv
yy
y
xx
x
??
??
??
??
2s i n 4
2c o s 2
2c o s 4
2s i n 2
2
2
???
??
???
???
?
?
?
?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
2.设弧坐标正方向如图，则运动方程、速度、加速度为
当 M在图示位置时，速度、加速度各分量的方向如图所
示。
R ω
R
v
a,ava
RsvtRs
n
2
2
40
,2,2
?????
???
?
?
?
??
理论力学电子教程 第六章 点的运动
【 思考题 】
1.选择题
D(1)动点作匀速曲线运动是指 ( )
A,点的加速度大小
B,点的加速度
C.点的切向加速度大小
D.点的切向加速度
常量?a?
常量?a?
常量??a
常量??a?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
(2)已知点沿其轨迹的运动方程为 s=b+ct,式中 b,c均为常
量，则 ( ) C
A,点的轨迹必为直线
B,点的轨迹必为曲线
C.点必作匀速率运动
D.点的加速度必等于零
(3)动点在运动过程中，恒有,点做何种运动
( )
0 ?? naa 常量，?
B
A,加速曲线运动 B,匀变速曲线运动
C.变速直线运动 D.匀变速直线运动
理论力学电子教程 第六章 点的运动
(4)已知点的运动方程为,其轨迹方程为 ( ) 33,42 32 ???? tytx B
03642.
02422.
01823.
03643.
???
???
???
???
yxD
yxC
yxB
yxA
(5)在图 9-1中，动点 M沿螺线自外向内运动，若点 M走过的弧
长与时间的一次方成正比，则该点 ( ) A
A,加速度越来越大
B,加速度越来越小
C.越跑越快
D.越跑越慢
理论力学电子教程 第六章 点的运动
2.已知动点的运动方程为
,
其中长度以 m计，时间以 s计。求运动开始时，点的切向加速
度和法向加速度，以及轨迹在初始位置的曲率半径。
tx 2? 2ty?
? ?msmaa n 2,2,02 ??? ?
理论力学电子教程 第六章 点的运动
3.小环 M同时套在细杆 OA和半径为 r的固定圆圈上，如图 6-6
所示。细杆 OA绕大圆圈上的固定点 O转动，它与水平直径的
夹角,其中 为常数。试求小环 M的运动方程以及
它的速度和加速度。
t?? ? ?
x
y
A
M
O 1O
?
R
