理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
§ 8－ 4 牵连运动为定轴转动时点的
加速度合成定理
§ 8－ 3 牵连运动为平动时点的加速
度合成定理
第八章 点的复合运动
§ 8－ 1 点的复合运动的基本概念
§ 8－ 2 点的速度合成定理
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
对于不同的参考系，物体运动的结果是不一样的。
例如, 设一点,对于某参考系可能作复杂运动。但相对于另
一参考系则可能作简单运动。
本章提出一种运动的分解和合成的方法。
应用运动的分解和合成的方法把点的复杂运动分
解为某些简单的运动,对各简单的运动加以分析之后,
再合起来就可以解决复杂的运动问题。这称为 点的合
成运动 (点的复合运动 )。
§ 8－ 1 点的复合运动的基本概念
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
例 8-1 以速度 v1 向东行驶的车厢内，地板上有一南北向的
槽 AB,一小球 M 沿槽以不变的速度 u 向北运动，而站在地
面的人看到小球往东偏北方向运动。 v =（ u2 + v12 ） 1/2
O
y
x
o' x'
y'
A
B
v1 u
M
静坐标系 与物体固结
动坐标系 与运动车厢固结 yox ???
xoy
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
这里,车厢相对地面的运动为牵连运动（牵连速度，牵连加速
度）；小球 M相对车厢的运动是相对运动（相对速度，相加速
度）；小球相对于地面的运动为绝对运动（绝对速度，绝对加
速度）。
O
y
x
o' x'
y'
A
B
v1 u
M
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
例 8-2
也即,动点 静系 绝对运动
动点 动系 相对运动
动系 静系 牵连运动
动,与地面固结
静,与直管 OA固结
? =
u =
问,绝对运动？
相对运动？
牵连运动？
yox ???
xoy
ve
M
?
?
y'
x'
u = vr
x
y
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
例 8-3 说明动点、动系及绝对运动、牵连运 动和相对运动。
( a ) ( b )
M
?
va v
r v
e M
v
?
O
x?
y?
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
概念
若记动点相对于动坐标系的坐标为,
x' = f1( t ),y' = f2( t ),z' = f3( t ),
则,
dt
xdv
xr
??
? dt
ydv
yr
??
? dt
zdv
zr
??
?
kvjvivv zryrxrr ?????? ???
绝对轨迹,牵连轨迹,相对轨迹 ;
绝对速度,牵连速度,相对速度 ; ( )
绝对加速度,牵连加速度,相对加速度, ( ) av rve
v
raeaaa
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
2
2
dt
xda
xr
??
? 2
2
dt
yda
yr
??
? 2
2
dt
zda
zr
??
?
则,
kajaiaa zryrxrr ??? ???
牵连运动, 在某一瞬时与动点 M重合而与动坐标系固结在一
起的点 M'对于静坐标系的轨迹为牵连运动的轨迹,
在某一瞬时与动点 M重合的点 M'相对于静坐标系的速度和加速
度,称为动点 M在这一瞬时的牵连速度和牵连加速度,M‘称为牵
连点,
1,若动坐标系作平动,
2,不是平动情况
结合例 2详细说明,
牵连速度怎样?
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
本节主要研究点的绝对速度、牵连速度、相对速度三者
之间的关系
rea vvv ??
■ 速度合成定理,
任一瞬时，动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的
矢量和
§ 8－ 2 点的速度合成定理
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
这里,MM1,MM3,MM分别为动点的绝对位移、相对
位移和牵 连位移
?t后,(1)动曲线,动
点 M1点
(2)在动点体系上观察 M点
的运动，则它沿四成运动的到 M2，
弧 称,
(3)在瞬时与动点 M重合的
那点 则沿 运动到
称为,
BAAB ???
相对轨道
M? ? ?1MM ?? ? ?1M?
牵连轨迹
相对轨道
M
M
rv
ev
B
B?
A?av
1M?
1M
x
y
z
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由定义,
方向均如图所示。
另存在
以 ?t除两端，并令 ?t→0,取 lim t有
Δt
MMv
Δt
MM v
t
MMv
ΔtrΔteta
2
0
1
0
1
0
l im,l im,l im
????
??????
? ? 111 )( MMMMMM ????
? ?
lim
limlimlim
1
0
11
0
1
0
1
0
v
Δt
MM
v v
t
MM
t
MM
t
MM
r
Δt
ea
ttt
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??????
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也即
求解,
方向 √ √ √ 共有 3各未知量
大小 √ √ √ 提供方程 2个（ x,y轴投影式）
rea vvv ??
rea vvv ??
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理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
由图中
假设此时摇杆的角速度 ω1，则
222
22,s i n,s i n
rlrv
rvlrrvv
e
aae
??
????
?
??? 且
? ? rlωrω rlAO
rlrAOv e
222
1
22
1
222
11
,????
???? ??
av
rv
ev
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前讲课中主要讲述了,点的速度合成定理,不许动参考
系作任何运动，它都是成立的。但点 的加速度合成定理，
对牵连运动是平动和牵连运动是转动是不相同的。
§ 8－ 3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
x
y
z
x
y
z
M
aaca
ea
O
O?
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由于在每一瞬时，平动物体内的速度和加速度彼此相等。 ?,
动点每一瞬时的牵连速度和牵连加速度都等于动参考系原点
O′在同一瞬时的速度和加速度，即,
根据点的运动学理论，动点 M的相对速度和相对加速度分别
(方法一 )设图示动参考系 相对于定坐标系 oxyz作
平动。动点 M的相对运动方程为
zyxo ????
)(),(),( 321 tfztfytfx ??????
kdt zdjdt ydidt xdG kdt zdjdt ydidt xdv r ?????????????????? 2
2
2
2
2
2
,
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又, 动参考系作平动时，单位
是大小和方向均保持不变。于是求导数
k、j、i ???
kdt zdjdt ydidt xddtdv r ???????? 222222 x
y
z
x?
y?
z?
o?
o
M
又,则
→ 牵连运动作平动时，牵连速度对时间的
一次导数等于牵连加速度
a
re
a
a a
dt
dv
dt
dv
v
dv ???
aa dtvd dtdv vv eooeoe ????????
dtdvaaavv aaoeoe ?????,，
rea vvv ??
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为动系的正向单位矢量。同理在任意瞬时 t的
相对加速度
由于动系作平动，在同一瞬时，动系 (可视为刚体 )上所
有各点的速度都相同，故而动点的牵连速度必与原动系原点
O′的速度 相同,
k、j、i ???
( 2 ) 2
2
2
2
2
2
kdt zdjdt ydidt xda r ????????
ov
(方法二 )设在图示中的动系
作平动。则动点 M在任意瞬时 t的相
对速度 与其相对坐标
之间有下面关系,
zyxo ????
rv zyx ???,、
( 1 ) 25 kdt zdjdt ydidt xdv r ??????????? 节由 ?
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上式是任意瞬时都成立的，故可对时间 t求导，注意到动系
仅作平动,均为常失，有
将 (2)代入，即
远固动系作平动，在同一瞬时，动系上所有各点的加速度都相
同，故而动点的牵连加速度必与动系原点 O′的加速度 相同，
即
代入 (6)有
k、j、i ???
( 5 ) kzjyixaa oa ?????? ??????? ?
( 6 ) roa aaa ?? ?
oa?
oe aa ??
rea aaa ??
即
将 (1),(3)代入,有
( 3 ) oe vv ???
( 4 ) kzjyixvv oa ??????? ? ???
rea vvv ??
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例 8-5 如图所示的曲柄滑道机构中，曲柄长 OA＝ 100 mm,
当 ∠ COA=45?时，其角速度 ω＝ 1 rad/s，加速度 ε＝ 1 rad/s2,转
向如图。求之此瞬时，导杆 BC的加速度及滑块 A在滑道 DB中
滑块的加速度。
O
?45
C
ABD
??
x
y
ra
oa
ana axa
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【解】 取滑块 A为动点，动系固结于导杆 BC上，定系固结于地
面动点 A，绝对运动是圆周运动 (圆心 O，半径 OA)。故绝对 a有
两个分量 aτan a,a
2222 10.011.0,10.011.0 smOAasmOAa ana ?????????? ???
动点的相对运动为沿槽 DB轴成的直线运动，故 为可导，其
大小和指向待求。指向暂设向左。牵连运动竖直方向、大小和
指向待求，暂指向上。
在 x,y轴
ra
reana aaaa ????
s141.010.010.0,010.010.0
45c o s45s i n
45s i n45c o s
2
2
2
2
2
2
2
2
2 maa
aaa
aaa
er
eana
rana
????????????
?
?
?
????
????
??
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?
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rr vv ?2
rv
rv?
2rr vv ??
rr vv ??
ev
ee vv ??
1Me vv ??
1Mv
eM vv ?1
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例 8-7 如图 8-1所示，已知 ABOOmBOAO ??? 2121,1.0
杆 以等角速度转动,； 求 时 CD杆
的速度和加速度。
AO1 sr a d /2?? 060??
【解】 取 CD杆上的点 C为动点,AB杆为动系。对动点作速
度分析和加速度分析，如图（ a),(b)所示，图中
【 典型题精解 】
图 8-1（ a）
?
A?
r?
a? e?
?
1O 2
O
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rea ??? ??
则,smAO
Ae /2.01 ???? ???
smea /1.0c o s ??? ???
smaCD /1.0?? ??故,
rea aaa ??? ??
又有,221 /4.0 smAOaa Ae ???? ?
故,2/3464.0s in smaa ea ??? ?
即,2/3 4 6 4.0 smaa aCD ??
a
BA C
Aa ea
ra
图 8-1（ b）
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例 8-8 如图 8-2所示，平底顶杆 AB可沿导轨上下移，偏心圆盘
绕轴 O转动，轴 O位于顶杆的轴线上。圆盘半径为 R，偏心
OC=e,角速度为 。 OC与水平线夹角用 表示，求 =0。 时
顶杆的速度。
???
【解】 取盘心 C为动点，平顶杆 AB为动系。
则有,
rea ??? ??
速度平行四边形如图示；图中 平行于
杆 AB的底平面，所以,
r??
??? c o sae ?
当 时，顶杆的速度 ?? 0? ?? ee ?
图 8-2
?r?
a?
e?
O
?
B
A
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2/6 scm
dt
da t
r ?
?
? ??
相对切向加速度 为,?ra
相对法向加速度为,
22
2 /6 scm
ra
r
m ?
? ??
42
??? ??
dt
d
Bo
02
2
?? dtd BoBo ??
从而得,scmBO
BoB /1244822 ?
??? ?????
由 的转动方程 得,t4?? ?BO2
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
22
2
2 /34482 scmBO BoB ?
??? ??
?
??
?
?????
也即,scmBe /12 ??? ??
22 /3 scmaa Be ???
对于图（ a )应用速度合成定理，得,
scmrea /241212 ?????? ????? ???
将绝对加速度分解为
,ayaxa aaa ??? ??
应用牵连运动为平动的加速度
合成定理，有,
,mreayax aaaaa ????? ???? ?
M
1O2O
?
AB O
Ba
aya rea
nra
ea axa
图（ b）
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加速度矢量图见（ b ),将矢量式分别向 x,y轴投影得,
2222 /963 scmaaa meax ??? ?????
2/6 scmaa ray ?? ??
故,? ? ? ? 2222222 /8.6069 scmaaa
ayaxa ????? ??
98.08.90 83.88)c os (c os,???? ?
a
ax
a a
aia ???
2.0)c o s (c o s,??? ?
a
ay
a a
aja ???
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1.选择题
A
【 思考题 】
（ 1）如图 9-4所示平面机构中,以允角速度 w0绕 O1
轴转动，且 而两者平行。在图示位置瞬时，套筒 C相
对于 AB加速度方向是（ ）
AO1
,21 BOAO ?
A.水平向左
B.水平向右
C.铅直向上
D.铅直向下
??
1O 2O
BA
C
D
图 8-4
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
B
（ 2）如图 9-5所示曲柄滑道机构中，曲柄 OA以匀角速度 w0
绕轴转动,在图示瞬时,套筒 A相对于滑杆 B C的加速度方向是,
（ ）
D.水平向右
A.沿 AB
B.沿 AC
C.沿 AO
??
O
B
A
C
图 8-5
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
A
（ 3）如图 9-6所示平面机构中,OA绕 O轴转动，带动小环
M沿半径为 R的固定圆环运动，若以小环 M为动点，动坐标
系固结在 OA杆上，则小环 M的牵连速度 的方向是（ ） e??
A,指向右下方 OMe ???
B,指向右下方 MOe 1???
C,沿 MA e??
D,沿 MO e??
1O
A
O
M
?
R
图 8-6
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
A
(4)如图 9-7所示,圆盘以角速度 w绕垂直于盘面且过中心 O的
轴转动,盘面上有一沿直径的滑槽 AB,动点 M以相对速度 在
槽内运动,当动点 M到达盘心 O时,其绝对速度大小为 ( )
u?
D,零
A,u
B,?r
C,222 uR ??
?
A O
M
R
B
u?
图 8-7
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
2.分析
试分析 9-8所示图示各机构中的绝对运动,相对运动和牵连运
动,并作出速度四边形图。
D
AB C
O?
（ a ）
O
B
A
C
D
（ b ）
O
A
B
1?
?
（ c ）
图 8-8
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
3,计算
如图 9-9所示的平面机构中，半径为 R的半圆形板与曲柄 OA和
O1B铰接, 当曲柄 OA转动时，
通过圆形板可带动顶杆 MN上下运动。在图示瞬时，曲柄 OA
的角速度为 w，角加速度为零，与水平线 OO1的夹角,
试求该瞬时顶杆 MN的速度和加速度。
。RABOOlBOOA 2,11 ????
?? 60?
A B
M
N
R
C
?
?
?
O
1O
图 8-9
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
4,计算
如图 9-10所示的机构的杆 O1A绕 O1轴转动，设 O2B=L，在图示
位置 时,O1A的角速度为 w,角加速度 为零。试求该瞬
时杆 O2B转动的角速度与角加速度。
?? 30? ?
23??,答案,
?
B
A
1O2O
图 8-10
§ 8－ 4 牵连运动为定轴转动时点的
加速度合成定理
§ 8－ 3 牵连运动为平动时点的加速
度合成定理
第八章 点的复合运动
§ 8－ 1 点的复合运动的基本概念
§ 8－ 2 点的速度合成定理
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对于不同的参考系，物体运动的结果是不一样的。
例如, 设一点,对于某参考系可能作复杂运动。但相对于另
一参考系则可能作简单运动。
本章提出一种运动的分解和合成的方法。
应用运动的分解和合成的方法把点的复杂运动分
解为某些简单的运动,对各简单的运动加以分析之后,
再合起来就可以解决复杂的运动问题。这称为 点的合
成运动 (点的复合运动 )。
§ 8－ 1 点的复合运动的基本概念
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
例 8-1 以速度 v1 向东行驶的车厢内，地板上有一南北向的
槽 AB,一小球 M 沿槽以不变的速度 u 向北运动，而站在地
面的人看到小球往东偏北方向运动。 v =（ u2 + v12 ） 1/2
O
y
x
o' x'
y'
A
B
v1 u
M
静坐标系 与物体固结
动坐标系 与运动车厢固结 yox ???
xoy
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
这里,车厢相对地面的运动为牵连运动（牵连速度，牵连加速
度）；小球 M相对车厢的运动是相对运动（相对速度，相加速
度）；小球相对于地面的运动为绝对运动（绝对速度，绝对加
速度）。
O
y
x
o' x'
y'
A
B
v1 u
M
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
例 8-2
也即,动点 静系 绝对运动
动点 动系 相对运动
动系 静系 牵连运动
动,与地面固结
静,与直管 OA固结
? =
u =
问,绝对运动？
相对运动？
牵连运动？
yox ???
xoy
ve
M
?
?
y'
x'
u = vr
x
y
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
例 8-3 说明动点、动系及绝对运动、牵连运 动和相对运动。
( a ) ( b )
M
?
va v
r v
e M
v
?
O
x?
y?
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
概念
若记动点相对于动坐标系的坐标为,
x' = f1( t ),y' = f2( t ),z' = f3( t ),
则,
dt
xdv
xr
??
? dt
ydv
yr
??
? dt
zdv
zr
??
?
kvjvivv zryrxrr ?????? ???
绝对轨迹,牵连轨迹,相对轨迹 ;
绝对速度,牵连速度,相对速度 ; ( )
绝对加速度,牵连加速度,相对加速度, ( ) av rve
v
raeaaa
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
2
2
dt
xda
xr
??
? 2
2
dt
yda
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??
? 2
2
dt
zda
zr
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?
则,
kajaiaa zryrxrr ??? ???
牵连运动, 在某一瞬时与动点 M重合而与动坐标系固结在一
起的点 M'对于静坐标系的轨迹为牵连运动的轨迹,
在某一瞬时与动点 M重合的点 M'相对于静坐标系的速度和加速
度,称为动点 M在这一瞬时的牵连速度和牵连加速度,M‘称为牵
连点,
1,若动坐标系作平动,
2,不是平动情况
结合例 2详细说明,
牵连速度怎样?
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
本节主要研究点的绝对速度、牵连速度、相对速度三者
之间的关系
rea vvv ??
■ 速度合成定理,
任一瞬时，动点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的
矢量和
§ 8－ 2 点的速度合成定理
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
这里,MM1,MM3,MM分别为动点的绝对位移、相对
位移和牵 连位移
?t后,(1)动曲线,动
点 M1点
(2)在动点体系上观察 M点
的运动，则它沿四成运动的到 M2，
弧 称,
(3)在瞬时与动点 M重合的
那点 则沿 运动到
称为,
BAAB ???
相对轨道
M? ? ?1MM ?? ? ?1M?
牵连轨迹
相对轨道
M
M
rv
ev
B
B?
A?av
1M?
1M
x
y
z
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
由定义,
方向均如图所示。
另存在
以 ?t除两端，并令 ?t→0,取 lim t有
Δt
MMv
Δt
MM v
t
MMv
ΔtrΔteta
2
0
1
0
1
0
l im,l im,l im
????
??????
? ? 111 )( MMMMMM ????
? ?
lim
limlimlim
1
0
11
0
1
0
1
0
v
Δt
MM
v v
t
MM
t
MM
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MM
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Δt
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?
?
?
?
??
?
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?
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??????
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
也即
求解,
方向 √ √ √ 共有 3各未知量
大小 √ √ √ 提供方程 2个（ x,y轴投影式）
rea vvv ??
rea vvv ??
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
由图中
假设此时摇杆的角速度 ω1，则
222
22,s i n,s i n
rlrv
rvlrrvv
e
aae
??
????
?
??? 且
? ? rlωrω rlAO
rlrAOv e
222
1
22
1
222
11
,????
???? ??
av
rv
ev
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
前讲课中主要讲述了,点的速度合成定理,不许动参考
系作任何运动，它都是成立的。但点 的加速度合成定理，
对牵连运动是平动和牵连运动是转动是不相同的。
§ 8－ 3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
x
y
z
x
y
z
M
aaca
ea
O
O?
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
由于在每一瞬时，平动物体内的速度和加速度彼此相等。 ?,
动点每一瞬时的牵连速度和牵连加速度都等于动参考系原点
O′在同一瞬时的速度和加速度，即,
根据点的运动学理论，动点 M的相对速度和相对加速度分别
(方法一 )设图示动参考系 相对于定坐标系 oxyz作
平动。动点 M的相对运动方程为
zyxo ????
)(),(),( 321 tfztfytfx ??????
kdt zdjdt ydidt xdG kdt zdjdt ydidt xdv r ?????????????????? 2
2
2
2
2
2
,
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
又, 动参考系作平动时，单位
是大小和方向均保持不变。于是求导数
k、j、i ???
kdt zdjdt ydidt xddtdv r ???????? 222222 x
y
z
x?
y?
z?
o?
o
M
又,则
→ 牵连运动作平动时，牵连速度对时间的
一次导数等于牵连加速度
a
re
a
a a
dt
dv
dt
dv
v
dv ???
aa dtvd dtdv vv eooeoe ????????
dtdvaaavv aaoeoe ?????,，
rea vvv ??
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
为动系的正向单位矢量。同理在任意瞬时 t的
相对加速度
由于动系作平动，在同一瞬时，动系 (可视为刚体 )上所
有各点的速度都相同，故而动点的牵连速度必与原动系原点
O′的速度 相同,
k、j、i ???
( 2 ) 2
2
2
2
2
2
kdt zdjdt ydidt xda r ????????
ov
(方法二 )设在图示中的动系
作平动。则动点 M在任意瞬时 t的相
对速度 与其相对坐标
之间有下面关系,
zyxo ????
rv zyx ???,、
( 1 ) 25 kdt zdjdt ydidt xdv r ??????????? 节由 ?
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
上式是任意瞬时都成立的，故可对时间 t求导，注意到动系
仅作平动,均为常失，有
将 (2)代入，即
远固动系作平动，在同一瞬时，动系上所有各点的加速度都相
同，故而动点的牵连加速度必与动系原点 O′的加速度 相同，
即
代入 (6)有
k、j、i ???
( 5 ) kzjyixaa oa ?????? ??????? ?
( 6 ) roa aaa ?? ?
oa?
oe aa ??
rea aaa ??
即
将 (1),(3)代入,有
( 3 ) oe vv ???
( 4 ) kzjyixvv oa ??????? ? ???
rea vvv ??
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
例 8-5 如图所示的曲柄滑道机构中，曲柄长 OA＝ 100 mm,
当 ∠ COA=45?时，其角速度 ω＝ 1 rad/s，加速度 ε＝ 1 rad/s2,转
向如图。求之此瞬时，导杆 BC的加速度及滑块 A在滑道 DB中
滑块的加速度。
O
?45
C
ABD
??
x
y
ra
oa
ana axa
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
【解】 取滑块 A为动点，动系固结于导杆 BC上，定系固结于地
面动点 A，绝对运动是圆周运动 (圆心 O，半径 OA)。故绝对 a有
两个分量 aτan a,a
2222 10.011.0,10.011.0 smOAasmOAa ana ?????????? ???
动点的相对运动为沿槽 DB轴成的直线运动，故 为可导，其
大小和指向待求。指向暂设向左。牵连运动竖直方向、大小和
指向待求，暂指向上。
在 x,y轴
ra
reana aaaa ????
s141.010.010.0,010.010.0
45c o s45s i n
45s i n45c o s
2
2
2
2
2
2
2
2
2 maa
aaa
aaa
er
eana
rana
????????????
?
?
?
????
????
??
??
?
?
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
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rr vv ?2
rv
rv?
2rr vv ??
rr vv ??
ev
ee vv ??
1Me vv ??
1Mv
eM vv ?1
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例 8-7 如图 8-1所示，已知 ABOOmBOAO ??? 2121,1.0
杆 以等角速度转动,； 求 时 CD杆
的速度和加速度。
AO1 sr a d /2?? 060??
【解】 取 CD杆上的点 C为动点,AB杆为动系。对动点作速
度分析和加速度分析，如图（ a),(b)所示，图中
【 典型题精解 】
图 8-1（ a）
?
A?
r?
a? e?
?
1O 2
O
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rea ??? ??
则,smAO
Ae /2.01 ???? ???
smea /1.0c o s ??? ???
smaCD /1.0?? ??故,
rea aaa ??? ??
又有,221 /4.0 smAOaa Ae ???? ?
故,2/3464.0s in smaa ea ??? ?
即,2/3 4 6 4.0 smaa aCD ??
a
BA C
Aa ea
ra
图 8-1（ b）
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
例 8-8 如图 8-2所示，平底顶杆 AB可沿导轨上下移，偏心圆盘
绕轴 O转动，轴 O位于顶杆的轴线上。圆盘半径为 R，偏心
OC=e,角速度为 。 OC与水平线夹角用 表示，求 =0。 时
顶杆的速度。
???
【解】 取盘心 C为动点，平顶杆 AB为动系。
则有,
rea ??? ??
速度平行四边形如图示；图中 平行于
杆 AB的底平面，所以,
r??
??? c o sae ?
当 时，顶杆的速度 ?? 0? ?? ee ?
图 8-2
?r?
a?
e?
O
?
B
A
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
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2/6 scm
dt
da t
r ?
?
? ??
相对切向加速度 为,?ra
相对法向加速度为,
22
2 /6 scm
ra
r
m ?
? ??
42
??? ??
dt
d
Bo
02
2
?? dtd BoBo ??
从而得,scmBO
BoB /1244822 ?
??? ?????
由 的转动方程 得,t4?? ?BO2
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
22
2
2 /34482 scmBO BoB ?
??? ??
?
??
?
?????
也即,scmBe /12 ??? ??
22 /3 scmaa Be ???
对于图（ a )应用速度合成定理，得,
scmrea /241212 ?????? ????? ???
将绝对加速度分解为
,ayaxa aaa ??? ??
应用牵连运动为平动的加速度
合成定理，有,
,mreayax aaaaa ????? ???? ?
M
1O2O
?
AB O
Ba
aya rea
nra
ea axa
图（ b）
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
加速度矢量图见（ b ),将矢量式分别向 x,y轴投影得,
2222 /963 scmaaa meax ??? ?????
2/6 scmaa ray ?? ??
故,? ? ? ? 2222222 /8.6069 scmaaa
ayaxa ????? ??
98.08.90 83.88)c os (c os,???? ?
a
ax
a a
aia ???
2.0)c o s (c o s,??? ?
a
ay
a a
aja ???
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
1.选择题
A
【 思考题 】
（ 1）如图 9-4所示平面机构中,以允角速度 w0绕 O1
轴转动，且 而两者平行。在图示位置瞬时，套筒 C相
对于 AB加速度方向是（ ）
AO1
,21 BOAO ?
A.水平向左
B.水平向右
C.铅直向上
D.铅直向下
??
1O 2O
BA
C
D
图 8-4
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
B
（ 2）如图 9-5所示曲柄滑道机构中，曲柄 OA以匀角速度 w0
绕轴转动,在图示瞬时,套筒 A相对于滑杆 B C的加速度方向是,
（ ）
D.水平向右
A.沿 AB
B.沿 AC
C.沿 AO
??
O
B
A
C
图 8-5
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
A
（ 3）如图 9-6所示平面机构中,OA绕 O轴转动，带动小环
M沿半径为 R的固定圆环运动，若以小环 M为动点，动坐标
系固结在 OA杆上，则小环 M的牵连速度 的方向是（ ） e??
A,指向右下方 OMe ???
B,指向右下方 MOe 1???
C,沿 MA e??
D,沿 MO e??
1O
A
O
M
?
R
图 8-6
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
A
(4)如图 9-7所示,圆盘以角速度 w绕垂直于盘面且过中心 O的
轴转动,盘面上有一沿直径的滑槽 AB,动点 M以相对速度 在
槽内运动,当动点 M到达盘心 O时,其绝对速度大小为 ( )
u?
D,零
A,u
B,?r
C,222 uR ??
?
A O
M
R
B
u?
图 8-7
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
2.分析
试分析 9-8所示图示各机构中的绝对运动,相对运动和牵连运
动,并作出速度四边形图。
D
AB C
O?
（ a ）
O
B
A
C
D
（ b ）
O
A
B
1?
?
（ c ）
图 8-8
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
3,计算
如图 9-9所示的平面机构中，半径为 R的半圆形板与曲柄 OA和
O1B铰接, 当曲柄 OA转动时，
通过圆形板可带动顶杆 MN上下运动。在图示瞬时，曲柄 OA
的角速度为 w，角加速度为零，与水平线 OO1的夹角,
试求该瞬时顶杆 MN的速度和加速度。
。RABOOlBOOA 2,11 ????
?? 60?
A B
M
N
R
C
?
?
?
O
1O
图 8-9
理论力学电子教程 第八章 点的复合运动
4,计算
如图 9-10所示的机构的杆 O1A绕 O1轴转动，设 O2B=L，在图示
位置 时,O1A的角速度为 w,角加速度 为零。试求该瞬
时杆 O2B转动的角速度与角加速度。
?? 30? ?
23??,答案,
?
B
A
1O2O
图 8-10
