理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
第十章 质点的运动微分方程
§ 10－ 1 动力学基本问题
§ 10－ 2 质点运动微分方程
§ 10－ 3 质点动力学两类基本问题
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
出自牛顿名著, 自然哲学之数学原理,,总结了伽利
略和惠更斯的研究成果。
使用条件,
动力学基本定律是动力学的基础，但它们只能直接应
用于质点，对于质点系和刚体，应将它们分别应用于每
一质点，然后推导出刚体和质点系的运动规律。
主要内容,牛顿三定律
第一定律, （又称惯性定律）
§ 10－ 1 动力学基本定律
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
质点如不受其它物体（力）作用，则将保持
静止或匀速直线运动的状态。
任何质点保持其运动状态不变的特性，称为 惯性 。而质
点的匀速直线运动又称为 惯性运动 。
惯性运动的现象,站在匀速直线运动汽车上的人，在汽
车突然刹车时向前倾倒，即为惯性的缘故。
第二定律,
（力与加速度之间关系的定律）
质点受到力作用时所获得的加速度，其大小与
力的大小成正比，而与质点的质量称正比；加
速度的方向与力的方向相同 。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
Fma ?
式为质点的加速度,m为质点的质量。 F为作用于质
点上之外力。若同时受到几个力作用，则
?? iFma
（ 10－ 1）
由式（ 1）知：以同样的力作用在质点上，当质量 m愈
大，则加速度 a愈小，质点愈不容易改变它的运动状态。因
此,质点的质量是其惯性的度量 。
对于质量而言，当质点的速度只有在 v远小于 cm情况，
m才认为是常量，因为存在
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
为光速。c
c
v
mm,
1 22
0
?
?
存在的关另重量和质量系,
gGmmgG ??,
其中 g为重力加速度，一般取为 g=9.81m/s2。
在国际单位指中，长度、质量和时间是基本单位，它们分
别为 m,kg和 s，离地单位是导出单位，即事质量为 1kg的物体
产生 1m/s2的加速度时，作用于改质量的力称为 1N。
1N=1kg 1m/s2=1m.kg/s2
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
第三定律, （作用力与反作用力定律）
两个物体相互作用的力，总是大小相等、方
向相反、沿同一直线，且同时分别作用在两
个物体上。
此定律既适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动
的物体。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
由动力学第二定律，建立了质点加速度与它的受力（合
外力）之间的关系式,
?? Fma
（ 10－ 2）
由
2
2
dt
dra ? 代入上式有,
?? Fdtdrm 22
（ 10－ 3）
矢量形式的质点运动方程。
§ 10－ 2 质点运动微分方程
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
1.直角坐标系的投影式
将（ 3）式投影至固定的直角坐标系 oxyz坐标轴上,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
F
dt
dz
m
F
dt
dy
m
F
dt
dx
m
2
2
2
2
2
2
（ 10－ 4）
上述即为直角坐标形式的质点运动微分方程。
z
x
y
M
r
y
x
z
o F
a v
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
2.自然坐标系的投影式
切线轴，主法线轴 n，副法线轴 b，考虑到,
0,,
2
??? bm avadtdva ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
n
t
t
t
F
F
dv
m
F
dt
dv
m
0
2
2
? （ 10－ 5）
?
n
b
na
?a
?F
nF
a F
M
上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解
题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。
包括两类问题
① 已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅
用到微分运算，故又称为微分问题。
② 已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需
对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。
第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还
须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。
§ 10－ 3质点动力学两类基本问题
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
【 典型题精解 】
例 10-1 如图所示为在倾斜轨道上运动的加料子车，其速度
的变化规律如图（ b）所示，求下列三段时间内钢绳的拉力
FT：（ 1） t=0~3s；（ 2） t=3~15s；（ 3） t=15~20s。已知车
重 P=200N。设轨道 frition不计。
【 解 】 已知运动求力属第一类问题。
取加料子车为研究对象，画出受力图。
min)(mv
)(st0 3 15 20
16
a
NAF
TF
NBF
P
a
TF
G
?60A
BO
x
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
由于加料子车在提升过程中，在各段内加速度不同，故
钢丝绳拉力也不同。
（ 1）当 t=0～ 3s时，小车做匀加速运动，故其加速度为
2
1 0 8 9.0)060
16(
03
1 sma ??
??
X方向,
?30co sPFma T ??
又
gPm ?
故
agPPF T ?? ?30c o s
（ 1）
将此式代入（ 1）式，有
)(175089.081.9200866.02001 NF T ?????
a
NAF
TF
NBF
P
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
例 10-2.炮弹以初速度发射，与水平线的夹角为 α，如图所示。
假设不计空气阻力合地球自转的影响，求炮弹在重力作用下的
运动方程和轨迹。
（ 2） t=3～ 15s，匀速，，故
)(1 7 308 6 6.02 0 02 NF T ????
（ 3） t=15～ 20s，匀减速,2
3 0 5 3.0)60
160(
1520
1 sma ???
??
故
)(172)053.0(81.9200866.02003 NF T ??????
【 解 】
以炮弹为研究对象，并视为质点。因不考虑地球自转
影响，故炮弹的运动轨迹为一平面曲线。取质点的原始位
置为坐标原点，坐标轴如图所示。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
x
y
0v
?
O
已知力求运动轨迹属第二类问题。
由直角坐标形式的质点运动微分方程
?
?
?
?
?
?
?
??
?
mg
dt
dy
m
dt
dx
m
2
2
2
2
0 (1)
(2)
积分式（ 1），得,
211,ccxcdt
dxv
x ????
t=0时,
?co s,0 000 vvvxx xx ????
得 0,c o s
201 ?? cvc ?
于是有,
?c o s0 tvx ? （ 3）
再积分式（ 2），有
43
2
3 2
1,ctcgtycgt
dt
dyv
y ????????
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
当 t=0时,?s i n,0
000 vvvyy yy ????
代入上式得,
0,s i n
403 ?? cvc ?
于是有
2
0 2
1s i n gttvy ?? ? （ 4）
式（ 3）、（ 4）为所求的炮弹运动方程。
将（ 3）、（ 4）式中的 t消去，得炮弹得轨迹为
2
22
0 c o s2
xv gx tgy ?? ??
由解析几何知，这是位于铅直面内得一条抛物线。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
例 10-3 重量为 P＝ 25kN的物块，从静止开始以匀加速度 a提
升，如图所示。经过 0.25s，速度达到 0.6m/s，试求绳子的
拉力 FT。
【 解 】 该问题属于质点动力学的第一类
问题。有
dt
dva ?
即 ??
? adtdv
由于 a为常量，故 catv ??
c为积分常数，由运动的始、末条件确定。
smvv tt 6.0,0 25.00 ?? ??
带入（ 1）式，得 24.2,0 smac ??
由质点运动微分方程 ?? Yma
y
aa
TF
P
y y
)(a )(b
P
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
有
PFagP T ??
则
NgaPF T 12.31)1( ???
例 10-4 如图所示得摆动输送机，由曲柄带动货架 AB输送木
箱 M，两曲柄等长，即 O1A=O2B=l=1.5m,O1O2=AB，设在 θ＝ 45° 处
由静止开始启动，已知曲柄 O1A的初角加速度 ε0=5rad/s2。如启动
瞬时木箱不产生滑动，求木箱与货架之间的静滑动摩擦系数是多
少？
1O 2O
? ?0?
M
A B（ a)
?
G ?a
F
NF
(b)
x
y
【 解 】
以木箱为研究对象，作
受力分析如图所示。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
由于 O1A=O2B,O1O2=AB，故 AB杆作平面曲线运动。
设木箱与货架无相对滑动，木箱的加速度应与 A点的加速度
相同，由于启动瞬时货架各点的速度为零，故
0
0
2
,0 ?? ? lava n ???
建立图示坐标系，有
GFmaFym
FmaFxm
Ny
x
?????
????
?
?
?
?
?
?
s i n,
c o s,
根据静滑动摩擦力的性质有,
fFF N?
?
G ?a
F
NF(b)
x
y
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
解方程组,
mgFml
fFml
N
N
??
?
??
??
s i n
c o s
0
0
可得,
35.0s i nc o s
0
0 ?
?? ??
??
lg
lf
为保证木箱与货架在启动瞬时不相对滑动，所需最小的静
滑动摩擦系数为,
【 思考题 】
1．选择题
（ 1）如图所示，质量为 m的质点受力 F作用，沿平面曲线运
动，速度为 v。试问下列各式是否正确？
35.0m a x ?f
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
FdtdvmbFdtdvma ??,,,?
( )
A,a,b都正确。
B,a,b都不正确。
C,a正确,b不正确。
D,a不正确,b正确。
v
?
n
F
M
A
(2)重量为 P的汽车，以匀速 v驶过凹形路面。试问汽车过路
面最低点时，对路面的压力如何? （ ）
A.压力大小等于 P。 B.压力大小大于 P。
C.压力大小小于 P。 D.已知条件没给够，无法判断。
B
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
（ 3）质量为 m的质点，自 A点以初速度 v0 向上斜抛。试
问质点在落地前，其加速度大小、方向是否发生变化？（空
气阻力不计） （ ）
A.加速度大小不变、而方向在变化。
B.加速度大小在变化、而方向不变。
C.加速度大小、方向都在变化。
D.加速度大小、方向都不变化。
D
2．判断题
（ 1）质点的运动方程和运动微分方程的物理意义相,（ ） 错
（ 2）已知质点的运动方程就可确定作用于质点上的力；已
知作用于质点上的力也可确定质点的运动方程。 （ ） 错
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
3,如图所示，重为 P的小球用两绳悬挂。若将绳 AB突然剪断，
则小球开始运动。求小球刚开始运动瞬时绳 AC的拉力及 AC在铅
垂位置时的拉力。
P
??
A
B C
)co s23(;co s 21 ?? ??? GFGF TT答案,
第十章 质点的运动微分方程
§ 10－ 1 动力学基本问题
§ 10－ 2 质点运动微分方程
§ 10－ 3 质点动力学两类基本问题
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
出自牛顿名著, 自然哲学之数学原理,,总结了伽利
略和惠更斯的研究成果。
使用条件,
动力学基本定律是动力学的基础，但它们只能直接应
用于质点，对于质点系和刚体，应将它们分别应用于每
一质点，然后推导出刚体和质点系的运动规律。
主要内容,牛顿三定律
第一定律, （又称惯性定律）
§ 10－ 1 动力学基本定律
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
质点如不受其它物体（力）作用，则将保持
静止或匀速直线运动的状态。
任何质点保持其运动状态不变的特性，称为 惯性 。而质
点的匀速直线运动又称为 惯性运动 。
惯性运动的现象,站在匀速直线运动汽车上的人，在汽
车突然刹车时向前倾倒，即为惯性的缘故。
第二定律,
（力与加速度之间关系的定律）
质点受到力作用时所获得的加速度，其大小与
力的大小成正比，而与质点的质量称正比；加
速度的方向与力的方向相同 。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
Fma ?
式为质点的加速度,m为质点的质量。 F为作用于质
点上之外力。若同时受到几个力作用，则
?? iFma
（ 10－ 1）
由式（ 1）知：以同样的力作用在质点上，当质量 m愈
大，则加速度 a愈小，质点愈不容易改变它的运动状态。因
此,质点的质量是其惯性的度量 。
对于质量而言，当质点的速度只有在 v远小于 cm情况，
m才认为是常量，因为存在
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
为光速。c
c
v
mm,
1 22
0
?
?
存在的关另重量和质量系,
gGmmgG ??,
其中 g为重力加速度，一般取为 g=9.81m/s2。
在国际单位指中，长度、质量和时间是基本单位，它们分
别为 m,kg和 s，离地单位是导出单位，即事质量为 1kg的物体
产生 1m/s2的加速度时，作用于改质量的力称为 1N。
1N=1kg 1m/s2=1m.kg/s2
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
第三定律, （作用力与反作用力定律）
两个物体相互作用的力，总是大小相等、方
向相反、沿同一直线，且同时分别作用在两
个物体上。
此定律既适用于平衡的物体，而且也适用于任何运动
的物体。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
由动力学第二定律，建立了质点加速度与它的受力（合
外力）之间的关系式,
?? Fma
（ 10－ 2）
由
2
2
dt
dra ? 代入上式有,
?? Fdtdrm 22
（ 10－ 3）
矢量形式的质点运动方程。
§ 10－ 2 质点运动微分方程
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
1.直角坐标系的投影式
将（ 3）式投影至固定的直角坐标系 oxyz坐标轴上,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
F
dt
dz
m
F
dt
dy
m
F
dt
dx
m
2
2
2
2
2
2
（ 10－ 4）
上述即为直角坐标形式的质点运动微分方程。
z
x
y
M
r
y
x
z
o F
a v
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
2.自然坐标系的投影式
切线轴，主法线轴 n，副法线轴 b，考虑到,
0,,
2
??? bm avadtdva ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
n
t
t
t
F
F
dv
m
F
dt
dv
m
0
2
2
? （ 10－ 5）
?
n
b
na
?a
?F
nF
a F
M
上式即为自然轴投影式的质点运动微分方程。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
用质点运动微分方程的投影式可解决质点动力学问题，解
题时要注意根据问题的条件对质点进行受力分析合运动分析。
包括两类问题
① 已知质点的运动规律，求作用于质点的力。此类问题仅
用到微分运算，故又称为微分问题。
② 已知作用于质点的力，求质点的运动规律。此类问题需
对质点运动微分方程进行积分，故又称为积分问题。
第二类问题比较复杂。除了要给知作用于质点的力外，还
须给运动的初始条件，这样才能确定质点的运动。
§ 10－ 3质点动力学两类基本问题
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
【 典型题精解 】
例 10-1 如图所示为在倾斜轨道上运动的加料子车，其速度
的变化规律如图（ b）所示，求下列三段时间内钢绳的拉力
FT：（ 1） t=0~3s；（ 2） t=3~15s；（ 3） t=15~20s。已知车
重 P=200N。设轨道 frition不计。
【 解 】 已知运动求力属第一类问题。
取加料子车为研究对象，画出受力图。
min)(mv
)(st0 3 15 20
16
a
NAF
TF
NBF
P
a
TF
G
?60A
BO
x
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
由于加料子车在提升过程中，在各段内加速度不同，故
钢丝绳拉力也不同。
（ 1）当 t=0～ 3s时，小车做匀加速运动，故其加速度为
2
1 0 8 9.0)060
16(
03
1 sma ??
??
X方向,
?30co sPFma T ??
又
gPm ?
故
agPPF T ?? ?30c o s
（ 1）
将此式代入（ 1）式，有
)(175089.081.9200866.02001 NF T ?????
a
NAF
TF
NBF
P
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
例 10-2.炮弹以初速度发射，与水平线的夹角为 α，如图所示。
假设不计空气阻力合地球自转的影响，求炮弹在重力作用下的
运动方程和轨迹。
（ 2） t=3～ 15s，匀速，，故
)(1 7 308 6 6.02 0 02 NF T ????
（ 3） t=15～ 20s，匀减速,2
3 0 5 3.0)60
160(
1520
1 sma ???
??
故
)(172)053.0(81.9200866.02003 NF T ??????
【 解 】
以炮弹为研究对象，并视为质点。因不考虑地球自转
影响，故炮弹的运动轨迹为一平面曲线。取质点的原始位
置为坐标原点，坐标轴如图所示。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
x
y
0v
?
O
已知力求运动轨迹属第二类问题。
由直角坐标形式的质点运动微分方程
?
?
?
?
?
?
?
??
?
mg
dt
dy
m
dt
dx
m
2
2
2
2
0 (1)
(2)
积分式（ 1），得,
211,ccxcdt
dxv
x ????
t=0时,
?co s,0 000 vvvxx xx ????
得 0,c o s
201 ?? cvc ?
于是有,
?c o s0 tvx ? （ 3）
再积分式（ 2），有
43
2
3 2
1,ctcgtycgt
dt
dyv
y ????????
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
当 t=0时,?s i n,0
000 vvvyy yy ????
代入上式得,
0,s i n
403 ?? cvc ?
于是有
2
0 2
1s i n gttvy ?? ? （ 4）
式（ 3）、（ 4）为所求的炮弹运动方程。
将（ 3）、（ 4）式中的 t消去，得炮弹得轨迹为
2
22
0 c o s2
xv gx tgy ?? ??
由解析几何知，这是位于铅直面内得一条抛物线。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
例 10-3 重量为 P＝ 25kN的物块，从静止开始以匀加速度 a提
升，如图所示。经过 0.25s，速度达到 0.6m/s，试求绳子的
拉力 FT。
【 解 】 该问题属于质点动力学的第一类
问题。有
dt
dva ?
即 ??
? adtdv
由于 a为常量，故 catv ??
c为积分常数，由运动的始、末条件确定。
smvv tt 6.0,0 25.00 ?? ??
带入（ 1）式，得 24.2,0 smac ??
由质点运动微分方程 ?? Yma
y
aa
TF
P
y y
)(a )(b
P
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
有
PFagP T ??
则
NgaPF T 12.31)1( ???
例 10-4 如图所示得摆动输送机，由曲柄带动货架 AB输送木
箱 M，两曲柄等长，即 O1A=O2B=l=1.5m,O1O2=AB，设在 θ＝ 45° 处
由静止开始启动，已知曲柄 O1A的初角加速度 ε0=5rad/s2。如启动
瞬时木箱不产生滑动，求木箱与货架之间的静滑动摩擦系数是多
少？
1O 2O
? ?0?
M
A B（ a)
?
G ?a
F
NF
(b)
x
y
【 解 】
以木箱为研究对象，作
受力分析如图所示。
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
由于 O1A=O2B,O1O2=AB，故 AB杆作平面曲线运动。
设木箱与货架无相对滑动，木箱的加速度应与 A点的加速度
相同，由于启动瞬时货架各点的速度为零，故
0
0
2
,0 ?? ? lava n ???
建立图示坐标系，有
GFmaFym
FmaFxm
Ny
x
?????
????
?
?
?
?
?
?
s i n,
c o s,
根据静滑动摩擦力的性质有,
fFF N?
?
G ?a
F
NF(b)
x
y
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
解方程组,
mgFml
fFml
N
N
??
?
??
??
s i n
c o s
0
0
可得,
35.0s i nc o s
0
0 ?
?? ??
??
lg
lf
为保证木箱与货架在启动瞬时不相对滑动，所需最小的静
滑动摩擦系数为,
【 思考题 】
1．选择题
（ 1）如图所示，质量为 m的质点受力 F作用，沿平面曲线运
动，速度为 v。试问下列各式是否正确？
35.0m a x ?f
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
FdtdvmbFdtdvma ??,,,?
( )
A,a,b都正确。
B,a,b都不正确。
C,a正确,b不正确。
D,a不正确,b正确。
v
?
n
F
M
A
(2)重量为 P的汽车，以匀速 v驶过凹形路面。试问汽车过路
面最低点时，对路面的压力如何? （ ）
A.压力大小等于 P。 B.压力大小大于 P。
C.压力大小小于 P。 D.已知条件没给够，无法判断。
B
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
（ 3）质量为 m的质点，自 A点以初速度 v0 向上斜抛。试
问质点在落地前，其加速度大小、方向是否发生变化？（空
气阻力不计） （ ）
A.加速度大小不变、而方向在变化。
B.加速度大小在变化、而方向不变。
C.加速度大小、方向都在变化。
D.加速度大小、方向都不变化。
D
2．判断题
（ 1）质点的运动方程和运动微分方程的物理意义相,（ ） 错
（ 2）已知质点的运动方程就可确定作用于质点上的力；已
知作用于质点上的力也可确定质点的运动方程。 （ ） 错
理论力学电子教程 第十章 质点运动微分方程
3,如图所示，重为 P的小球用两绳悬挂。若将绳 AB突然剪断，
则小球开始运动。求小球刚开始运动瞬时绳 AC的拉力及 AC在铅
垂位置时的拉力。
P
??
A
B C
)co s23(;co s 21 ?? ??? GFGF TT答案,
