理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
第三章 平面任意力系
§ 3－ 1 力线平移定理
§ 3－ 2 平面一般力系向一点简化
§ 3－ 3 分布荷载
§ 3－ 6 物体系统的平衡问题
§ 3－ 5 平面平行力系的平衡条件
§ 3－ 4 平面一般力系的平衡条件
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
定理, 作用在刚体上某点的力 F, 可以平行移动到刚体
上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶
矩等于原来的力 F 对平移点之矩。
证明,如下图所示,
)()( FMMFdFM BB ?? ???
§ 3－ 1 力线平移定理
(a)
A
B d F
A
B d F
F”
(b)
图 3-1力线平移定理的证明
B
d A M=Fd
(c)
F? F?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一
个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该
力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力
来等效替换
如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心
（球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与
球相切 ——,削球”，则球将产生平动和转动。
c
F
c
F
c
m
图 3-2
(a) (b)
F?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
F1
F2
Fn
图 3-3
设在某一刚体上作用着平面一般力系 F1,F2,… Fn,如
图 3-3所示。显然无法象平面汇交力系那样，用力的平行四
边形法则来合成它。
§ 3－ 2 平面一般力系向一点简化
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
平面一般力系
平面力偶系
平面汇交力系 向一点简化
合成
合成
F’（ 合力）
Mo（ 合力偶）
应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的
某一点 o（ 称为简化中心）平移（图 3-4b),再将所得的平面汇
交力系和平面力偶系分别合成（图 3-4 c) 。 过程为,
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图 3-4 平面一般力系的简化
（ a)
1F2
F
nF
o d1 d2 dn
(b)
2F 1F
nF
o
(c)
'1F'2F
'nF
1M
2M
nM
o
y
x Mo (d)
'RF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
由此可见，主矢与简化中心的位置有关。
?????????? FFFFFFFF nnR ?? 2121 ''''
事实上，可直接用原力系（ F1,F2,···,Fn）中的各力
作出力多边形,力多边形的封闭边称为原力系的主矢 。 FR‘
的大小和方向等于主矢，作用点在 O点。
由此可见,Mo一般与简化中心的位置有关，它反映
了原力系中各力的作用线相对于 O点的分布情况，称为
原力系对 O点的主矩。
)()()()(M 21210 FMFMFMFMMMM onooon ?????????? ??(3-3)
（ 3-2）
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
平面一般力系的三种简化结果
1, 力系简化为力偶
力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。
0,0' ?? oR MF
F F
F
A B
C 例
PaMMMF CBAR 8 6 6.0,0' ????
a a
a
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2,力系简化为合力
F’R 就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。
力系仍可简化为一个合力，但合力的作用点不通过简化
中心。
（ 1）
0,0' ?? oR MF
（ 2）
0,0' ?? oR MF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
3,力系平衡
是平面一般力系平衡的充分和必要条件。
0,0' ?? oR MF
图 3-5 力系简化为合力
Mo o
( ) a (c)
o d
(b)
o d
FR
O? O?O?
FR’ FR’ FR
FR‘’
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
显然有
合力矩定理 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用
面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的
代数和
证明 如右图所示。
?
?
?
?
???
)()(
),(
,)(0
FMFM
FMM
MdFFM
oRo
oo
oRR
图 3-6 合力矩定理证明图示
(b)
o O’ d
Mo o O’
( ) a
FR‘
FR’
FR
FR‘
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图示一塔示起重机。机架 m1=50t,重心在 o点。
已知起重机的最大起吊质量 m2=25t,欲使起重
机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量
m3 应如何？
c b
x
y
FR x
a
L
W1
图 3-7 例题 3-1图
o
例 3-1
图中 a=3m,b=1.5m,
c=6m,l=10m,
W=m2g,=m3g
W1=m1g。
QP
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
F 的方向铅垂向下 。
【解】 机架重量、起吊重量及平衡锤重量分别设为 W1, W,
Q。 这是一个平面一般力系的特例 —— 平面平行力系。
取坐标如图，可知合力 R的投影为
c b
x
y
FR x
a
L
W1
o
gmmmF
gmgmgmFF
FF
R
yRy
xRx
)(
,
,0
321
321
???
?????
??
?
?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
式中 x随 m2,m3 而变，其他各量都是不变的。
合力的作用线与 x 轴
的交点的坐标设为 x,则
由合力矩定理得
即
c b
x
y
FR x
a
L
W1
o
(a) )()( FMFM
ARA
?? ?? ?
321
321
321
)()(
)()(
mmm
cmlambam
x
cgmlagmbagmxF
R
??
????
?
?????????
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欲使起重机不翻倒
t
c
bamm 5.37
6
)5.13(50)(1
3 ?
????
即得
应有 ax ??0
(1) 空载时, =0,w=0,x>0,由 ( )式得 2m a
0)( 31 ??? cmbam
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
欲使起重机不致翻倒，应有
为了保证安全，可取 m3 =36.5~37t。
（ 2） 满载时,m2 =25t,,x< 由 ( ) 式得 a a
t
ac
lmbm
m
amcmlmbm
mmmacmlambam
1.36
36
10255.150
)()()(
21
3
3321
321321
?
?
???
?
?
?
?
???
???????
tmt 5.371.36 3 ??
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
一平面力系向 A,B两 点简化的结果相同,
且主矢和主矩都不为零，问是否可能？ 思考题 3-1
A B
图 3-8
1F
2F
nF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
在什么情况下，一平面力系向一点简化所
得的主矩为零？
思考题 3-2
A B
图 3-9
1F
2F
nF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
集中力或集中荷载,力或
荷载的作用面积很小或与整个
构件的尺寸相比很小，可以认
为集中作用在一点上。例如,
道路给轮子的力等。
几种分布荷载
（ 1）体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。
例如，构件的自重等。
（ 2）面分布荷载：分布在构件表面上的荷载（力）。例如,
风压力、雪压力等。
（ 3）线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线
分布。
§ 3－ 3 分布荷载
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
（ 1）集中荷载的单位，即力的单位为（ N,kN)。
荷载的单位
分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
（ 2）体分布荷载的单位,
3/ mN
（ 3）面分布荷载的单位,2/ mN
（ 4）线分布荷载的单位,mN /
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 4-13所示的均布荷载，其合力为,
,6.1741691.10 kNlqF ?????
作用线则通过梁的中点。
（ 1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。
分布荷载的计算方法
F
q=10.91kN/m
16 m
图 3-10
AF BF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-11所示坝体所受的水压力为非均布荷载，其计
算方法见例 4-2。
（ 2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。
y
A
B
C 图 3-11
yq
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】 取坐标系如图
所示。在 x 处取一
微段，其集度为
L
xqq
0?
微段上的荷载为,
xxLqxqF ??????? 0
求图示梁上分布荷载的合力。 例 3-2
A B
图 3-12
x?
x
x
y
l
xc F
0q
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以 A为简化中心，有
??
?
??
?
??????
????
?????
??
??
??
xxx
l
q
FMM
l
q
x d x
l
q
xx
l
q
FF
FF
x
AA
l
x
yy
x
)()(
2
)(
0'
0
0
0
0
0
0
0
l i m
l i m
?
?
?
3
2
0
0
20 lqdxx
l
q l ???? ?
A B
图 3-13
x?
x
x
y
l
xc F
0q
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
由此可见，分布荷
载合力的大小等于荷载
集度图的面积。合力作
用线的位置为,
llq lqFMx
y
A
C 3
2
2
3
0
2
0 ?
?
???
A B
图 3-14
x?
x
x
y
l
xc F
0q
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-15所示，已知水坝的坝前水深 h=10m,求
1m长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的
位置。
例 3-3
A
B
y
C
d h
q
dy
1m
yq
F
图 3-15
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
取 1m 长的坝考虑时，作用于坝面的水压力可以简
化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。
【解】 在深度为 y处，水的压强为
A
B
y
C
d h
q
dy
1m
yq
F
)(' mkNyF ?? ?
)(
)()1(
mkNhq
mkNh
dy
dyhq
h
y
??
?????
?
??
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
该分布荷载是三角形分布的，其合力大小为三角形
的面积，作用线在距水面 2/3处。
mhd
kNqhF
67.610
3
2
3
2
49110)1081.9(
2
1
2
1
????
??????
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢
和对任意一点的主矩都为零。即
平面一般力系的平衡方程为,
? ? 0 Fy
? ? 0 Fx
0,0' ?? OR MF
0)( ?? FM O
§ 3－ 4 平面一般力系的平衡条件
Mo o
'RF
O?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
例 3-4 图 3-16所示为一悬臂式起重机简图,A,B,C
处 均为光滑铰链。水平梁 AB自重 P=4kN,荷载
F =10kN,有关尺寸如图所示,BC 杆自重不计。
求 BC杆所受的拉力和铰链 A给梁的反力。
图 3-16
A B D
E
P
030
2m 1m 1m
c
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【 解】 （ 1）取 AB梁为研究对象。
（ 2）画受力图。
未知量三个,
独立的平衡方程数也是三个。
（ 3）列平衡方程，选坐标如图所示。
（ 1）
（ 2）
（ 3）
AxF AyF TF
030s i n
0)(
030s i n
0
030c o s
0
0
0
0
???????
?
????
?
??
?
?
?
?
AEFADPABF
FM
FPFF
Y
FF
X
T
A
TAy
TAx
?
A
B
D
E
P
030
AyF
AxF
TF
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
由（ 3）解得
以 FT 之值代入（ 1）、（ 2），可得
则铰链 A的反力及与 x轴正向的夹角 为,
kNFPF T 195.04 1034230si n4 32 0 ?? ??????
kNFkNF AyAx 5.4,5.16 ??
0
22
3.15a rc t a n
1.17
??
???
Ax
Ay
AyAxA
F
F
kNFFF
?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
思考题 3-3 如果下图中的荷载 F 可以 沿 AB梁 移动，问 荷载 F 在什么位置时杆 AB所受的拉力最大？
其值为多少？
A B D
E
P
030
2m 1m 1m
c
F
图 3-17
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
可否求出 FT,FAx,FAy；
（ 1）由下图所示的受力图，试按
0
0)(
0)(
?
?
?
?
?
?
x
B
A
F
Fm
Fm
思考题 3-4
A
B
D
E
P
030
AyF
AxF
TF
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
0?? xF
平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互
相平行的力系。
图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各
力作用线垂直，显然有,
y
o x
2F
1F
nF
§ 3－ 5 平面平行力系的平衡条件
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和
以及各力对任一点之矩的代数和都为零。
这样,平面平行力系的平衡
条件可写为,
平面平行力系平衡方程的二矩式为
注意,A,B两点的连线不能与各力的作用线平行。
0)(
0)(
?
?
?
?
FM
FM
B
A ?
?
0?? yF
0)( ?? FM o ?
y
o x
2F
1F
nF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】 画出起重机的受力图。
可见它受到的是一个平面平
行力系的作用。
取坐标如图，列平衡
方程
在例 3-18中，设 W= m2 =20 t,Q= m3 =37 t,其他 数据
同题 4-1,即 m1 = 50 t,= 3m,b = 1.5 m,c = 6 m,
l=10m,求 左右两轨的反力。
例 3-5 a
图 3-18
c b
x
y
R x
L
o
1W
a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
,0)( ?? FM A
?
0??Y
036135.4 321 ????????? BNFgmgmgm
gmgmgmF BN 321 23135.1 ???
0321 ????? gmgmgmFF BNAN
gmgmgmF AN 321 33105.0 ????
kNgm
kNgm
kNgm
81.937
81.920
81.950
3
2
1
??
??
??
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
上述结果可用
来进行校核。
求出的左右轨的反力均不为
负值，可见所取平衡锤的质
量可以保证安全。
)(860
)(8.189
??
??
kNF
kNF
BN
AN
0)( ?? FM B ?
图 3-19
c b
x
y
R x
L
o
1W
a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图示的连续梁，约束反力有哪几个？求解约
束反力时有几个独立的未知量？能够列几个
独立的平衡方程？
思考题 3-5
图 3-20
A C B
M
2
F
4 4
2
q
D
aa
aa a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
静定和超静定的概念
静定问题,一个静力平衡问题，如果未知量的数
目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出
这些未知量。如图 4-21所示结构。
q
图 3-21
A C B
M
2
2
F
6 aa
aa
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
超静定问题,一个静力平衡问题，如果未知量的
数目超过独立的平衡方程数目，用 刚体静力学 方法就
不能解出所有的未知量。如图 3-22所示结构。
图 3-22
A C B
M
2
F
4 4
2
q
D
a
aa
aa
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
注意,判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目
来考虑，还应对问题多作具体分析。如图 3-23所示梁。
分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知
量数,实际上它不能平衡 。
A
q
图 3-23
C B
M
2
F
4 4
2
D
a aa
a a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-24所示 平面汇交力系的平衡方程可否
用一个投影式、一个力矩式？或两个都用
力矩式？如果可以用，有什么限制条件？
为什么要附加这种条件？
思考题 3-6
o
图 3-24
2F
1F
nF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-25所示平面一般力系，其平衡
方程能否用三个投影式？为什么？
思考题 3-7
图 3-25
1F
2F
nF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-26所示平面平行力系，其平
衡方程能否用两个投影式？为什么？
0
0
?
?
?
?
y
x
F
F
思考题 3-8
y
o x
2F
1F
nF
图 3-26
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-27所示平面力偶系，其平衡方程
能否用投影式？为什么？ 思考题 3-9
图 3-27
1M
2M
nM
或 ?????? MMMMM n?21 ?? MM
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
物体系：由几个物体通过一定的约束方式联系在一
起的系统。如图 3-28、图 3-29所示。
§ 3－ 6 物体系统的平衡问题
C D
3m 1.5m 4.5m 3m
A B
20kN
2m 2.5m 1.5m
10kN
E
2kN/m
G
图 3-28
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
1,内力和外力
外力, 系统以外的物体给所研究系统的力。
内力, 在系统内部，各个物体之间，或一
个物体的这一部分与哪一部分之间,
相互作用的力。如图 4-30所示。
m q C
A
D
B
E
30 。
a
3a
F
图 3-29
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
C
B
20kN
A
CxF
CyF
BNF
AxF
AyF
x
y
2kN/m
E G
ExF
EyF GNF
10kN
C E
图 3-30
CyF
CxF
DNF
ExF
EyF
C D
3m 1.5m 4.5m 3m
A B
20kN
2m 2.5m 1.5m
10kN
E
2kN/m
G
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
2,物体系平衡问题的静定或超静定
物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体
的受力情况，画出受力图。
根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平
衡方程，如平面一般力系有三个独立的平衡方程等。
总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相
比较。
若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题
是 超静定的 。
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系统可
能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都能满足，
则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的或系
统的结构是不稳固的。
若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则
问题是 静定 的。
注意,
（ 1） 在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统
中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系
统中每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡,
其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而是不独
立的。
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
（ 2）在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体,
还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知
量较少或未知量数正好等于独立的平衡方程数的受力图
开始，逐步求解。
求图 3-31所示多跨静定梁的支座反力。梁重及
摩擦均不计。
例 3-6
C D
3m 1.5m 4.5m 3m
A B
20kN
2m 2.5m 1.5m
10kN
E
2kN/m
G
图 3-31
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
C
B
20kN
A
CxF
CyF
BNF
AxF
AyF
x
y
2kN/m
E G
ExF
EyF GNF
10kN
C E
图 3-32
CyF
CxF
DNF
ExF
EyF
C D
3m 1.5m 4.5m 3m
A B
20kN
2m 2.5m 1.5m
10kN
E
2kN/m
G
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
从各受力图来看，未知量共 9个，即 5个支座反力和
C,E处铰链反力各 2 个。而梁共有三个，则其独立的平
衡方程有 9 个。也即题中所研究的问题为静定问题。
分析：先作各梁受力图如下。
C
B
20kN
A
CxF
CyF
BNF
AxF
AyF
x
y
2kN/m
E G
ExF
EyF GNF
10kN
C E
CyF
CxF
DNF
ExF
EyF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】
由对称关系得,
（ 2）研究 CE梁
（ 1）研究 EG梁 2kN/m
E G
ExF
EyF GNF
10kN
C E
CyF
CxF
DNF
ExF
EyF
)(5.4)5.42(21 ????? kNFF GNEy
0
0
?
??
Ex
x
F
F
0,0
0
????
??
CECxCECx
x
FFFF
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
（ 3）研究 AC梁
C
B
20kN
A
CxF
CyF
BNF
AxF
AyF
kNFFF
FM
DNEyDN
C
44.10062105.4
0)(
????????
?? ?
kNFFF
FM
FFFF
F
BNCyBN
A
CxAxCxAx
x
08.1505.73206
0)(
00
0
????????
?
?????
?
?
?
?
10kN
C E
CyF
CxF
DNF
ExF
EyF
kNFFFF
F
AyCyBNAy
y
98.8020
0
??????
??
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图 3-33所示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨
内的铅直荷载，其集度为 q(kN/m),拱 重及摩擦
均不计。求铰链 A,B处 的反力。
例 3-7
q
A
h
l/2 l/2
C
B
图 3-33
A
C
B AxF
AyF
BxF
ByF
q
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】 （ 1）研究整体
其受力如图所示。
A
C
B AxF
AyF
BxF
ByF
q
)(
8
30
4
3
2
0)(
?????????
??
qlFllqlF
FM
AyAy
B
?
)(
8
0
42
0)(
????????
??
qlFllqlF
FM
ByBy
A
?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
（ 2）研究 AC,并画其受力图。
系统整体是平衡的，其每个局部也是平衡的。
A AxF
AyF
q C
CxF
CyF
)(
16
)(
16
0
4228
3
0)(
2
2
???
???
???????
??
h
ql
F
h
ql
F
lqlll
qhF
FM
Bx
Ax
Ax
C
?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
试判断图 3-34（ a） 的受力图 3-37（ b） 是否
正确？
q
YA=0.5qL YB=0.5qL
(b) 图 3-34
A
C
B
AyF ByF
q
( ) 图 3-34
A
C
B
a
2l 2l
h
例 3-8
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
由左半部分受力图可知,AC不能平衡,(c)图是错的。
(c)
q
A
C
B
AyF ByF
A
AyF
q C
CxF
CyF
0.5ql
(d)
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图示混合结构受荷载 F作用，求支座 B的反力，以及
杆件 1,2所受的力
例 3-9
2 1
D E
B
A
C AxF
AyF
BNF
)(a
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】 先取整体为研究对象，受力
图如（ ）所示，由 a
0912,0)( ???? PFFM BNA ?
得,PF
BN 4
3?
再取结构右半部分为研究对象，受力
情况如图 ( b )所示，由
0'336,0)( ????? DSBNC FPFFM ?
得,PF
DS 2
1' ?
D DSF
SF1
SF2
（ b）
E
C
B
CxF
CyF P
DSF'
BNF
（ c）
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
最后选取节点 D为对象，其受力图如图（ c ） 所示，
列平衡方程,
045s i n,0
045c o s,0
0
12
0
1
????
????
?
?
SSy
SDSx
FFF
FFF
解得,PFPF
SS 2
1;
2
2
21 ???
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图示结构由 AB,CD,DE三个杆件铰结组成。已知
。求铰链 B的约束反力 NFmNqma 2 0 0 0,5 0 0,2 ???
例 3-10
C D
B
E
A
a a a
AxF?
AyF
?
CSF
?
)(a
A
B
E
ByF
? BxF
?
ESF
?AxF
?
AyF
?
)(b
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】 取整体为研究对象，其受力如图（ a ） 所示。列平衡方程
0,0 ????? qaPFF Ayy
解得,NqaPF Ay 3 0 0 0???
035.1,0)( 2 ?????? aFFqaPaFM AxAyC ?
解得,NFqaPF
AyAx 5 5 0 035.1 ?????
再取 AEB为研究对象，考虑到 DE为二力杆,AEB受力如（ b）
图所示，列平衡方程,
0,0 ???? BxAxx FFF
得,NFF AxBx 5 5 0 0???
0,0)( ????? aFaFaFFM AyBxByE ?
得,NFFF
BxAyBy 2500????
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
( 1 ) 当某平面一般力系的主失 时，则该力系一
定有合力偶。 ( )
0' ?? ? iR FF ??
（ 2）当平面一般力系向某一点简化为合力偶时，如果向另
一点简化，则其结果是一样的。（ ）
2、填空题
（ 1）平面任意力系的平衡方程，可写成三种形式，即
,和 其中 和 对矩心
的位置必须附加条件。
一矩式
二矩式 三矩式 二矩式 三矩式
1、是非题
【 分析与讨论 】
对
错
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
静不定或超静定
( 2 )一给定平衡系统，若能列出的独立平衡方程的个数少于
所求未知数的个数，则该问题属于 问题。
（ 3）指出下列图示结构中，哪些是静定结构，哪些是超静定
结构？静定结构有,静不定结构有 。 cb,d、a
)(a
A B
F
C
A
B
)(b
F1
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
D
C
B
A
)(c
F
A
C
)(d
F
B
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
3、选择题
如图所示，沿边长为正方形的各边分别作用有力
，且,则该力系向 A点简化的结果是,
（ ）
4321 FFF
????,、、F
FFFFF ???? 4321
A,主矢量 R＝ F 主矩
B,主矢量 R＝ 2F 主矩
C,主矢量 R＝ 3F 主矩
D,主矢量 R＝ 0 主矩
FaM A 2?
FaM A 2?
FaM A 2?
FaM A 2?
D
B
C
3F
?
1F
?
2F
?4F?
A
D
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
4,如图所示，结构由 AB,CD,DE三个杆件组成。杆件 AB和
CD在中点 O用铰链连接。杆 DE在 D点用铰链与 CD杆相接，在 B
点光滑放置在 AB杆上。求铰 O的约束反力。
D B E
A C
O
a
a
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
5,图示结构由 ABCDEFBF四根根件组成。试按图示尺寸和载
荷求固定端 A的约束反力。
已知,mamkNqkNPPP 2,10,2021 ?????
B
D
E
F
A C
q
1P 2P
a
a
a
a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
6,如图所示机构，已知,q 0,F，尺寸如图，求 A,B,C,D
处反力。
A
B
C
D
F M
2l l l
l
0q
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
7,用另一种方法解例 3-7，如图 3-35所示。
q
A
C
B AxF
AyF
BRF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
8,若将下图中 A处改为活动铰支座，则未知量数目为 8个，
但在图示荷载下仍能平衡。当主动力的合力在 x轴上的投
影不为零时，系统能否平衡？
C D
3m 1.5m 4.5m 3m
A B
20kN
2m 2.5m 1.5m
10kN
E
2kN/m
G
第三章 平面任意力系
§ 3－ 1 力线平移定理
§ 3－ 2 平面一般力系向一点简化
§ 3－ 3 分布荷载
§ 3－ 6 物体系统的平衡问题
§ 3－ 5 平面平行力系的平衡条件
§ 3－ 4 平面一般力系的平衡条件
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
定理, 作用在刚体上某点的力 F, 可以平行移动到刚体
上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶
矩等于原来的力 F 对平移点之矩。
证明,如下图所示,
)()( FMMFdFM BB ?? ???
§ 3－ 1 力线平移定理
(a)
A
B d F
A
B d F
F”
(b)
图 3-1力线平移定理的证明
B
d A M=Fd
(c)
F? F?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一
个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该
力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力
来等效替换
如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心
（球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与
球相切 ——,削球”，则球将产生平动和转动。
c
F
c
F
c
m
图 3-2
(a) (b)
F?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
F1
F2
Fn
图 3-3
设在某一刚体上作用着平面一般力系 F1,F2,… Fn,如
图 3-3所示。显然无法象平面汇交力系那样，用力的平行四
边形法则来合成它。
§ 3－ 2 平面一般力系向一点简化
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
平面一般力系
平面力偶系
平面汇交力系 向一点简化
合成
合成
F’（ 合力）
Mo（ 合力偶）
应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的
某一点 o（ 称为简化中心）平移（图 3-4b),再将所得的平面汇
交力系和平面力偶系分别合成（图 3-4 c) 。 过程为,
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图 3-4 平面一般力系的简化
（ a)
1F2
F
nF
o d1 d2 dn
(b)
2F 1F
nF
o
(c)
'1F'2F
'nF
1M
2M
nM
o
y
x Mo (d)
'RF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
由此可见，主矢与简化中心的位置有关。
?????????? FFFFFFFF nnR ?? 2121 ''''
事实上，可直接用原力系（ F1,F2,···,Fn）中的各力
作出力多边形,力多边形的封闭边称为原力系的主矢 。 FR‘
的大小和方向等于主矢，作用点在 O点。
由此可见,Mo一般与简化中心的位置有关，它反映
了原力系中各力的作用线相对于 O点的分布情况，称为
原力系对 O点的主矩。
)()()()(M 21210 FMFMFMFMMMM onooon ?????????? ??(3-3)
（ 3-2）
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
平面一般力系的三种简化结果
1, 力系简化为力偶
力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。
0,0' ?? oR MF
F F
F
A B
C 例
PaMMMF CBAR 8 6 6.0,0' ????
a a
a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
2,力系简化为合力
F’R 就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。
力系仍可简化为一个合力，但合力的作用点不通过简化
中心。
（ 1）
0,0' ?? oR MF
（ 2）
0,0' ?? oR MF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
3,力系平衡
是平面一般力系平衡的充分和必要条件。
0,0' ?? oR MF
图 3-5 力系简化为合力
Mo o
( ) a (c)
o d
(b)
o d
FR
O? O?O?
FR’ FR’ FR
FR‘’
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
显然有
合力矩定理 平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用
面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的
代数和
证明 如右图所示。
?
?
?
?
???
)()(
),(
,)(0
FMFM
FMM
MdFFM
oRo
oo
oRR
图 3-6 合力矩定理证明图示
(b)
o O’ d
Mo o O’
( ) a
FR‘
FR’
FR
FR‘
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图示一塔示起重机。机架 m1=50t,重心在 o点。
已知起重机的最大起吊质量 m2=25t,欲使起重
机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量
m3 应如何？
c b
x
y
FR x
a
L
W1
图 3-7 例题 3-1图
o
例 3-1
图中 a=3m,b=1.5m,
c=6m,l=10m,
W=m2g,=m3g
W1=m1g。
QP
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
F 的方向铅垂向下 。
【解】 机架重量、起吊重量及平衡锤重量分别设为 W1, W,
Q。 这是一个平面一般力系的特例 —— 平面平行力系。
取坐标如图，可知合力 R的投影为
c b
x
y
FR x
a
L
W1
o
gmmmF
gmgmgmFF
FF
R
yRy
xRx
)(
,
,0
321
321
???
?????
??
?
?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
式中 x随 m2,m3 而变，其他各量都是不变的。
合力的作用线与 x 轴
的交点的坐标设为 x,则
由合力矩定理得
即
c b
x
y
FR x
a
L
W1
o
(a) )()( FMFM
ARA
?? ?? ?
321
321
321
)()(
)()(
mmm
cmlambam
x
cgmlagmbagmxF
R
??
????
?
?????????
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
欲使起重机不翻倒
t
c
bamm 5.37
6
)5.13(50)(1
3 ?
????
即得
应有 ax ??0
(1) 空载时, =0,w=0,x>0,由 ( )式得 2m a
0)( 31 ??? cmbam
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
欲使起重机不致翻倒，应有
为了保证安全，可取 m3 =36.5~37t。
（ 2） 满载时,m2 =25t,,x< 由 ( ) 式得 a a
t
ac
lmbm
m
amcmlmbm
mmmacmlambam
1.36
36
10255.150
)()()(
21
3
3321
321321
?
?
???
?
?
?
?
???
???????
tmt 5.371.36 3 ??
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
一平面力系向 A,B两 点简化的结果相同,
且主矢和主矩都不为零，问是否可能？ 思考题 3-1
A B
图 3-8
1F
2F
nF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
在什么情况下，一平面力系向一点简化所
得的主矩为零？
思考题 3-2
A B
图 3-9
1F
2F
nF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
集中力或集中荷载,力或
荷载的作用面积很小或与整个
构件的尺寸相比很小，可以认
为集中作用在一点上。例如,
道路给轮子的力等。
几种分布荷载
（ 1）体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。
例如，构件的自重等。
（ 2）面分布荷载：分布在构件表面上的荷载（力）。例如,
风压力、雪压力等。
（ 3）线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线
分布。
§ 3－ 3 分布荷载
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
（ 1）集中荷载的单位，即力的单位为（ N,kN)。
荷载的单位
分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
（ 2）体分布荷载的单位,
3/ mN
（ 3）面分布荷载的单位,2/ mN
（ 4）线分布荷载的单位,mN /
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 4-13所示的均布荷载，其合力为,
,6.1741691.10 kNlqF ?????
作用线则通过梁的中点。
（ 1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。
分布荷载的计算方法
F
q=10.91kN/m
16 m
图 3-10
AF BF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-11所示坝体所受的水压力为非均布荷载，其计
算方法见例 4-2。
（ 2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。
y
A
B
C 图 3-11
yq
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】 取坐标系如图
所示。在 x 处取一
微段，其集度为
L
xqq
0?
微段上的荷载为,
xxLqxqF ??????? 0
求图示梁上分布荷载的合力。 例 3-2
A B
图 3-12
x?
x
x
y
l
xc F
0q
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
以 A为简化中心，有
??
?
??
?
??????
????
?????
??
??
??
xxx
l
q
FMM
l
q
x d x
l
q
xx
l
q
FF
FF
x
AA
l
x
yy
x
)()(
2
)(
0'
0
0
0
0
0
0
0
l i m
l i m
?
?
?
3
2
0
0
20 lqdxx
l
q l ???? ?
A B
图 3-13
x?
x
x
y
l
xc F
0q
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
由此可见，分布荷
载合力的大小等于荷载
集度图的面积。合力作
用线的位置为,
llq lqFMx
y
A
C 3
2
2
3
0
2
0 ?
?
???
A B
图 3-14
x?
x
x
y
l
xc F
0q
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-15所示，已知水坝的坝前水深 h=10m,求
1m长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的
位置。
例 3-3
A
B
y
C
d h
q
dy
1m
yq
F
图 3-15
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
取 1m 长的坝考虑时，作用于坝面的水压力可以简
化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。
【解】 在深度为 y处，水的压强为
A
B
y
C
d h
q
dy
1m
yq
F
)(' mkNyF ?? ?
)(
)()1(
mkNhq
mkNh
dy
dyhq
h
y
??
?????
?
??
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
该分布荷载是三角形分布的，其合力大小为三角形
的面积，作用线在距水面 2/3处。
mhd
kNqhF
67.610
3
2
3
2
49110)1081.9(
2
1
2
1
????
??????
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢
和对任意一点的主矩都为零。即
平面一般力系的平衡方程为,
? ? 0 Fy
? ? 0 Fx
0,0' ?? OR MF
0)( ?? FM O
§ 3－ 4 平面一般力系的平衡条件
Mo o
'RF
O?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
例 3-4 图 3-16所示为一悬臂式起重机简图,A,B,C
处 均为光滑铰链。水平梁 AB自重 P=4kN,荷载
F =10kN,有关尺寸如图所示,BC 杆自重不计。
求 BC杆所受的拉力和铰链 A给梁的反力。
图 3-16
A B D
E
P
030
2m 1m 1m
c
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【 解】 （ 1）取 AB梁为研究对象。
（ 2）画受力图。
未知量三个,
独立的平衡方程数也是三个。
（ 3）列平衡方程，选坐标如图所示。
（ 1）
（ 2）
（ 3）
AxF AyF TF
030s i n
0)(
030s i n
0
030c o s
0
0
0
0
???????
?
????
?
??
?
?
?
?
AEFADPABF
FM
FPFF
Y
FF
X
T
A
TAy
TAx
?
A
B
D
E
P
030
AyF
AxF
TF
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
由（ 3）解得
以 FT 之值代入（ 1）、（ 2），可得
则铰链 A的反力及与 x轴正向的夹角 为,
kNFPF T 195.04 1034230si n4 32 0 ?? ??????
kNFkNF AyAx 5.4,5.16 ??
0
22
3.15a rc t a n
1.17
??
???
Ax
Ay
AyAxA
F
F
kNFFF
?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
思考题 3-3 如果下图中的荷载 F 可以 沿 AB梁 移动，问 荷载 F 在什么位置时杆 AB所受的拉力最大？
其值为多少？
A B D
E
P
030
2m 1m 1m
c
F
图 3-17
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
可否求出 FT,FAx,FAy；
（ 1）由下图所示的受力图，试按
0
0)(
0)(
?
?
?
?
?
?
x
B
A
F
Fm
Fm
思考题 3-4
A
B
D
E
P
030
AyF
AxF
TF
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
0?? xF
平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互
相平行的力系。
图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各
力作用线垂直，显然有,
y
o x
2F
1F
nF
§ 3－ 5 平面平行力系的平衡条件
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和
以及各力对任一点之矩的代数和都为零。
这样,平面平行力系的平衡
条件可写为,
平面平行力系平衡方程的二矩式为
注意,A,B两点的连线不能与各力的作用线平行。
0)(
0)(
?
?
?
?
FM
FM
B
A ?
?
0?? yF
0)( ?? FM o ?
y
o x
2F
1F
nF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】 画出起重机的受力图。
可见它受到的是一个平面平
行力系的作用。
取坐标如图，列平衡
方程
在例 3-18中，设 W= m2 =20 t,Q= m3 =37 t,其他 数据
同题 4-1,即 m1 = 50 t,= 3m,b = 1.5 m,c = 6 m,
l=10m,求 左右两轨的反力。
例 3-5 a
图 3-18
c b
x
y
R x
L
o
1W
a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
,0)( ?? FM A
?
0??Y
036135.4 321 ????????? BNFgmgmgm
gmgmgmF BN 321 23135.1 ???
0321 ????? gmgmgmFF BNAN
gmgmgmF AN 321 33105.0 ????
kNgm
kNgm
kNgm
81.937
81.920
81.950
3
2
1
??
??
??
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
上述结果可用
来进行校核。
求出的左右轨的反力均不为
负值，可见所取平衡锤的质
量可以保证安全。
)(860
)(8.189
??
??
kNF
kNF
BN
AN
0)( ?? FM B ?
图 3-19
c b
x
y
R x
L
o
1W
a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图示的连续梁，约束反力有哪几个？求解约
束反力时有几个独立的未知量？能够列几个
独立的平衡方程？
思考题 3-5
图 3-20
A C B
M
2
F
4 4
2
q
D
aa
aa a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
静定和超静定的概念
静定问题,一个静力平衡问题，如果未知量的数
目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出
这些未知量。如图 4-21所示结构。
q
图 3-21
A C B
M
2
2
F
6 aa
aa
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
超静定问题,一个静力平衡问题，如果未知量的
数目超过独立的平衡方程数目，用 刚体静力学 方法就
不能解出所有的未知量。如图 3-22所示结构。
图 3-22
A C B
M
2
F
4 4
2
q
D
a
aa
aa
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
注意,判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目
来考虑，还应对问题多作具体分析。如图 3-23所示梁。
分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知
量数,实际上它不能平衡 。
A
q
图 3-23
C B
M
2
F
4 4
2
D
a aa
a a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-24所示 平面汇交力系的平衡方程可否
用一个投影式、一个力矩式？或两个都用
力矩式？如果可以用，有什么限制条件？
为什么要附加这种条件？
思考题 3-6
o
图 3-24
2F
1F
nF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-25所示平面一般力系，其平衡
方程能否用三个投影式？为什么？
思考题 3-7
图 3-25
1F
2F
nF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-26所示平面平行力系，其平
衡方程能否用两个投影式？为什么？
0
0
?
?
?
?
y
x
F
F
思考题 3-8
y
o x
2F
1F
nF
图 3-26
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
如图 3-27所示平面力偶系，其平衡方程
能否用投影式？为什么？ 思考题 3-9
图 3-27
1M
2M
nM
或 ?????? MMMMM n?21 ?? MM
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
物体系：由几个物体通过一定的约束方式联系在一
起的系统。如图 3-28、图 3-29所示。
§ 3－ 6 物体系统的平衡问题
C D
3m 1.5m 4.5m 3m
A B
20kN
2m 2.5m 1.5m
10kN
E
2kN/m
G
图 3-28
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
1,内力和外力
外力, 系统以外的物体给所研究系统的力。
内力, 在系统内部，各个物体之间，或一
个物体的这一部分与哪一部分之间,
相互作用的力。如图 4-30所示。
m q C
A
D
B
E
30 。
a
3a
F
图 3-29
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
C
B
20kN
A
CxF
CyF
BNF
AxF
AyF
x
y
2kN/m
E G
ExF
EyF GNF
10kN
C E
图 3-30
CyF
CxF
DNF
ExF
EyF
C D
3m 1.5m 4.5m 3m
A B
20kN
2m 2.5m 1.5m
10kN
E
2kN/m
G
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
2,物体系平衡问题的静定或超静定
物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体
的受力情况，画出受力图。
根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平
衡方程，如平面一般力系有三个独立的平衡方程等。
总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相
比较。
若未知量总数超过独立的平衡方程总数，则问题
是 超静定的 。
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系统可
能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都能满足，
则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的或系
统的结构是不稳固的。
若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则
问题是 静定 的。
注意,
（ 1） 在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统
中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系
统中每一个物体既已处于平衡，整个系统当然处于平衡,
其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而是不独
立的。
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
（ 2）在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体,
还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知
量较少或未知量数正好等于独立的平衡方程数的受力图
开始，逐步求解。
求图 3-31所示多跨静定梁的支座反力。梁重及
摩擦均不计。
例 3-6
C D
3m 1.5m 4.5m 3m
A B
20kN
2m 2.5m 1.5m
10kN
E
2kN/m
G
图 3-31
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
C
B
20kN
A
CxF
CyF
BNF
AxF
AyF
x
y
2kN/m
E G
ExF
EyF GNF
10kN
C E
图 3-32
CyF
CxF
DNF
ExF
EyF
C D
3m 1.5m 4.5m 3m
A B
20kN
2m 2.5m 1.5m
10kN
E
2kN/m
G
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
从各受力图来看，未知量共 9个，即 5个支座反力和
C,E处铰链反力各 2 个。而梁共有三个，则其独立的平
衡方程有 9 个。也即题中所研究的问题为静定问题。
分析：先作各梁受力图如下。
C
B
20kN
A
CxF
CyF
BNF
AxF
AyF
x
y
2kN/m
E G
ExF
EyF GNF
10kN
C E
CyF
CxF
DNF
ExF
EyF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】
由对称关系得,
（ 2）研究 CE梁
（ 1）研究 EG梁 2kN/m
E G
ExF
EyF GNF
10kN
C E
CyF
CxF
DNF
ExF
EyF
)(5.4)5.42(21 ????? kNFF GNEy
0
0
?
??
Ex
x
F
F
0,0
0
????
??
CECxCECx
x
FFFF
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
（ 3）研究 AC梁
C
B
20kN
A
CxF
CyF
BNF
AxF
AyF
kNFFF
FM
DNEyDN
C
44.10062105.4
0)(
????????
?? ?
kNFFF
FM
FFFF
F
BNCyBN
A
CxAxCxAx
x
08.1505.73206
0)(
00
0
????????
?
?????
?
?
?
?
10kN
C E
CyF
CxF
DNF
ExF
EyF
kNFFFF
F
AyCyBNAy
y
98.8020
0
??????
??
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图 3-33所示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨
内的铅直荷载，其集度为 q(kN/m),拱 重及摩擦
均不计。求铰链 A,B处 的反力。
例 3-7
q
A
h
l/2 l/2
C
B
图 3-33
A
C
B AxF
AyF
BxF
ByF
q
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】 （ 1）研究整体
其受力如图所示。
A
C
B AxF
AyF
BxF
ByF
q
)(
8
30
4
3
2
0)(
?????????
??
qlFllqlF
FM
AyAy
B
?
)(
8
0
42
0)(
????????
??
qlFllqlF
FM
ByBy
A
?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
（ 2）研究 AC,并画其受力图。
系统整体是平衡的，其每个局部也是平衡的。
A AxF
AyF
q C
CxF
CyF
)(
16
)(
16
0
4228
3
0)(
2
2
???
???
???????
??
h
ql
F
h
ql
F
lqlll
qhF
FM
Bx
Ax
Ax
C
?
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
试判断图 3-34（ a） 的受力图 3-37（ b） 是否
正确？
q
YA=0.5qL YB=0.5qL
(b) 图 3-34
A
C
B
AyF ByF
q
( ) 图 3-34
A
C
B
a
2l 2l
h
例 3-8
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
由左半部分受力图可知,AC不能平衡,(c)图是错的。
(c)
q
A
C
B
AyF ByF
A
AyF
q C
CxF
CyF
0.5ql
(d)
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图示混合结构受荷载 F作用，求支座 B的反力，以及
杆件 1,2所受的力
例 3-9
2 1
D E
B
A
C AxF
AyF
BNF
)(a
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】 先取整体为研究对象，受力
图如（ ）所示，由 a
0912,0)( ???? PFFM BNA ?
得,PF
BN 4
3?
再取结构右半部分为研究对象，受力
情况如图 ( b )所示，由
0'336,0)( ????? DSBNC FPFFM ?
得,PF
DS 2
1' ?
D DSF
SF1
SF2
（ b）
E
C
B
CxF
CyF P
DSF'
BNF
（ c）
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
最后选取节点 D为对象，其受力图如图（ c ） 所示，
列平衡方程,
045s i n,0
045c o s,0
0
12
0
1
????
????
?
?
SSy
SDSx
FFF
FFF
解得,PFPF
SS 2
1;
2
2
21 ???
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
图示结构由 AB,CD,DE三个杆件铰结组成。已知
。求铰链 B的约束反力 NFmNqma 2 0 0 0,5 0 0,2 ???
例 3-10
C D
B
E
A
a a a
AxF?
AyF
?
CSF
?
)(a
A
B
E
ByF
? BxF
?
ESF
?AxF
?
AyF
?
)(b
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
【解】 取整体为研究对象，其受力如图（ a ） 所示。列平衡方程
0,0 ????? qaPFF Ayy
解得,NqaPF Ay 3 0 0 0???
035.1,0)( 2 ?????? aFFqaPaFM AxAyC ?
解得,NFqaPF
AyAx 5 5 0 035.1 ?????
再取 AEB为研究对象，考虑到 DE为二力杆,AEB受力如（ b）
图所示，列平衡方程,
0,0 ???? BxAxx FFF
得,NFF AxBx 5 5 0 0???
0,0)( ????? aFaFaFFM AyBxByE ?
得,NFFF
BxAyBy 2500????
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
( 1 ) 当某平面一般力系的主失 时，则该力系一
定有合力偶。 ( )
0' ?? ? iR FF ??
（ 2）当平面一般力系向某一点简化为合力偶时，如果向另
一点简化，则其结果是一样的。（ ）
2、填空题
（ 1）平面任意力系的平衡方程，可写成三种形式，即
,和 其中 和 对矩心
的位置必须附加条件。
一矩式
二矩式 三矩式 二矩式 三矩式
1、是非题
【 分析与讨论 】
对
错
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
静不定或超静定
( 2 )一给定平衡系统，若能列出的独立平衡方程的个数少于
所求未知数的个数，则该问题属于 问题。
（ 3）指出下列图示结构中，哪些是静定结构，哪些是超静定
结构？静定结构有,静不定结构有 。 cb,d、a
)(a
A B
F
C
A
B
)(b
F1
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
D
C
B
A
)(c
F
A
C
)(d
F
B
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
3、选择题
如图所示，沿边长为正方形的各边分别作用有力
，且,则该力系向 A点简化的结果是,
（ ）
4321 FFF
????,、、F
FFFFF ???? 4321
A,主矢量 R＝ F 主矩
B,主矢量 R＝ 2F 主矩
C,主矢量 R＝ 3F 主矩
D,主矢量 R＝ 0 主矩
FaM A 2?
FaM A 2?
FaM A 2?
FaM A 2?
D
B
C
3F
?
1F
?
2F
?4F?
A
D
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
4,如图所示，结构由 AB,CD,DE三个杆件组成。杆件 AB和
CD在中点 O用铰链连接。杆 DE在 D点用铰链与 CD杆相接，在 B
点光滑放置在 AB杆上。求铰 O的约束反力。
D B E
A C
O
a
a
F
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
5,图示结构由 ABCDEFBF四根根件组成。试按图示尺寸和载
荷求固定端 A的约束反力。
已知,mamkNqkNPPP 2,10,2021 ?????
B
D
E
F
A C
q
1P 2P
a
a
a
a
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
6,如图所示机构，已知,q 0,F，尺寸如图，求 A,B,C,D
处反力。
A
B
C
D
F M
2l l l
l
0q
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
7,用另一种方法解例 3-7，如图 3-35所示。
q
A
C
B AxF
AyF
BRF
理论力学电子教程 第三章 平面任意力系
8,若将下图中 A处改为活动铰支座，则未知量数目为 8个，
但在图示荷载下仍能平衡。当主动力的合力在 x轴上的投
影不为零时，系统能否平衡？
C D
3m 1.5m 4.5m 3m
A B
20kN
2m 2.5m 1.5m
10kN
E
2kN/m
G
