λ I? A? λ3 2 λ→
调 用 求 多 项 式 根 的 函 数 得 到 特 征 根 polyroots
0
2?
0
1
1.414?
0
1.414
=
rref 0 I? A?( )
1
0
0
0
1
0
1
0
0
→ ξ1
1?
0
1
:=
ξ1
ξ1
T 1?
2 2? 0
1
2 2?
→ 对 特 征 值 0
rref 2 I? A?( )
1
0
0
0
1
0
1?
1.414?
0
= ξ2
1
2
1
:= ξ2
ξ2
T 1
2
1
2 2?
1
2
→ 对 特 征 值 2
rref 2? I? A?( )
1
0
0
0
1
0
1?
1.414
0
= ξ3
1
2?
1
:= ξ3
ξ3
T 1
2
1?
2 2?
1
2
→ 对 特 征 值 2?
2 I? A?
2
1?
0
1?
2
1?
0
1?
2
→ 2? I? A?
2?
1?
0
1?
2?
1?
0
1?
2?
→
12实 验 求 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量
,本 文 档 举 例 说 明 计 算 矩 阵 特 征 值 和 特 征 向 量 的 方 法
1 例 求 矩 阵 A
0
1
0
1
0
1
0
1
0
:=, 的 特 征 值 与 特 征 向 量
调 用 特 征 值 函 数 eigenvals A( )
0
2
2?
→
eigenvecs A( )
1?
2 2?
0
1
2 2?
1
2
1
2 2?
1
2
1
2
1?
2 2?
1
2
→,调 用 特 征 向 量 函 数 输 出 矩 阵 的 每 一 列 向 量为 对 应 于 各 特 征 值 的 一 个 特 征 向 量 。
eigenvec A 0,( )
0.707?
0
0.707
= eigenvec A 2,( )
0.5
0.707
0.5
= eigenvec A 2?,( )
0.5
0.707?
0.5
=
Mathcad 中 输 出 的 特 征 向 量 是 经 过 标 准 化 成 单 位 长 度 的 。
,按 照 通 常 的 计 算 过 程 分 步 骤 计 算 设 I identity 3( ):=
特 征 多 项 式
W 1? A? W?
2
0
0
0
2
0
0
0
5
→W eigenvecs A( ):=Q
1? A? Q?
2
0
0
0
2
0
0
0
5
→Q
1?
2 2?
0
1
2 2?
1?
2 2?
1
2 2?
0
1
3 3?
1
3 3?
1
3 3?
:=
ξ 1? 4?,( )
1?
4?
5
→
x 42→xx
T 1?
42 42?
2?
21 42?
5
42 42?
→ 0.154? 0.617? 0.772( )=x ξ 1? 4?,( ):=
c1? c2? 0.773=c2 0.615?:=c1 0.158?:=
1,对 特 征 值 的 全 部 特 征 向 量 c1
和 c2 0为 任 意 不 全 为 的 常 数
ξ c1 c2,( )
c1
c2
c1? c2?
→ξ c1 c2,( ) c1ξ2 c2ξ3+:=
ξ3
ξ3
T
0 12 2? 1?2 2→ξ3
0
1
1?
:=
ξ2
ξ2
T 1
2 2? 0
1?
2 2?
→ξ2
1
0
1?
:=
1对 特 征 根 基 础 解 系 为,
4 对 特 征 值 的 特 征 向 量ξ1
ξ1
T 1
3 3?
1
3 3?
1
3 3?
→ξ1
1
1
1
:=
eigenvec A 2,( )
0.615?
0.158?
0.773
=eigenvec A 5,( )
0.577
0.577
0.577
=
,调 用 特 征 向 量 函 数 输 出 向 量 的 每 一 列为 对 应 于 各 特 征 值 的 特 征 向 量 。
eigenvecs A( )
1?
2 2?
0
1
2 2?
1?
2 2?
1
2 2?
0
1
3 3?
1
3 3?
1
3 3?
→
,2 调 用 特 征 值 函 数 为 重 根eigenvals A( )
5
2
2
→
2 例 求 矩 阵 A
3
1
1
1
3
1
1
1
3
:= 的 特 征 值 与 特 征 向 量
调 用 求 多 项 式 根 的 函 数 得 到 特 征 根 polyroots
0
2?
0
1
1.414?
0
1.414
=
rref 0 I? A?( )
1
0
0
0
1
0
1
0
0
→ ξ1
1?
0
1
:=
ξ1
ξ1
T 1?
2 2? 0
1
2 2?
→ 对 特 征 值 0
rref 2 I? A?( )
1
0
0
0
1
0
1?
1.414?
0
= ξ2
1
2
1
:= ξ2
ξ2
T 1
2
1
2 2?
1
2
→ 对 特 征 值 2
rref 2? I? A?( )
1
0
0
0
1
0
1?
1.414
0
= ξ3
1
2?
1
:= ξ3
ξ3
T 1
2
1?
2 2?
1
2
→ 对 特 征 值 2?
2 I? A?
2
1?
0
1?
2
1?
0
1?
2
→ 2? I? A?
2?
1?
0
1?
2?
1?
0
1?
2?
→
12实 验 求 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量
,本 文 档 举 例 说 明 计 算 矩 阵 特 征 值 和 特 征 向 量 的 方 法
1 例 求 矩 阵 A
0
1
0
1
0
1
0
1
0
:=, 的 特 征 值 与 特 征 向 量
调 用 特 征 值 函 数 eigenvals A( )
0
2
2?
→
eigenvecs A( )
1?
2 2?
0
1
2 2?
1
2
1
2 2?
1
2
1
2
1?
2 2?
1
2
→,调 用 特 征 向 量 函 数 输 出 矩 阵 的 每 一 列 向 量为 对 应 于 各 特 征 值 的 一 个 特 征 向 量 。
eigenvec A 0,( )
0.707?
0
0.707
= eigenvec A 2,( )
0.5
0.707
0.5
= eigenvec A 2?,( )
0.5
0.707?
0.5
=
Mathcad 中 输 出 的 特 征 向 量 是 经 过 标 准 化 成 单 位 长 度 的 。
,按 照 通 常 的 计 算 过 程 分 步 骤 计 算 设 I identity 3( ):=
特 征 多 项 式
W 1? A? W?
2
0
0
0
2
0
0
0
5
→W eigenvecs A( ):=Q
1? A? Q?
2
0
0
0
2
0
0
0
5
→Q
1?
2 2?
0
1
2 2?
1?
2 2?
1
2 2?
0
1
3 3?
1
3 3?
1
3 3?
:=
ξ 1? 4?,( )
1?
4?
5
→
x 42→xx
T 1?
42 42?
2?
21 42?
5
42 42?
→ 0.154? 0.617? 0.772( )=x ξ 1? 4?,( ):=
c1? c2? 0.773=c2 0.615?:=c1 0.158?:=
1,对 特 征 值 的 全 部 特 征 向 量 c1
和 c2 0为 任 意 不 全 为 的 常 数
ξ c1 c2,( )
c1
c2
c1? c2?
→ξ c1 c2,( ) c1ξ2 c2ξ3+:=
ξ3
ξ3
T
0 12 2? 1?2 2→ξ3
0
1
1?
:=
ξ2
ξ2
T 1
2 2? 0
1?
2 2?
→ξ2
1
0
1?
:=
1对 特 征 根 基 础 解 系 为,
4 对 特 征 值 的 特 征 向 量ξ1
ξ1
T 1
3 3?
1
3 3?
1
3 3?
→ξ1
1
1
1
:=
eigenvec A 2,( )
0.615?
0.158?
0.773
=eigenvec A 5,( )
0.577
0.577
0.577
=
,调 用 特 征 向 量 函 数 输 出 向 量 的 每 一 列为 对 应 于 各 特 征 值 的 特 征 向 量 。
eigenvecs A( )
1?
2 2?
0
1
2 2?
1?
2 2?
1
2 2?
0
1
3 3?
1
3 3?
1
3 3?
→
,2 调 用 特 征 值 函 数 为 重 根eigenvals A( )
5
2
2
→
2 例 求 矩 阵 A
3
1
1
1
3
1
1
1
3
:= 的 特 征 值 与 特 征 向 量
