0
2 pi?
θ
0
1
rr
1 r2+
�
�
�?
d
�
�
�?
d 2 2? pi? 2 pi→ 2.60258=
.,在 直 角 坐 标 下 求 不 出 符 号 解 应 用 极 坐 标 变 换
1?
1
x
1 x2
1 x2?
y1
1 x2+ y2+
�
�
�
d
�
�
�
d
1?
1
xln 1? x+( )? x 1+( )?[ ]
1
2 2+

ln 1? x+( )? x 1+( )?[ ]
1
2? 2+

�
�
�? d→ 2.60239=
1,D={(x,y)|x^2+y^2<1} 例 计 算 二 重 积 分 积 分 域
2,利 用 以 上 各 种 变 换 计 算 重 积 分
Jc r φ,z,( ) simplify r→
Jc r φ,z,( )
r
Rc r φ,z,( )0d
d
φ
Rc r φ,z,( )0d
d
z
Rs r φ,z,( )0d
d
r
Rc r φ,z,( )1d
d
φ
Rc r φ,z,( )1d
d
z
Rc r φ,z,( )1d
d
r
Rc r φ,z,( )2d
d
φ
Rc r φ,z,( )2d
d
z
Rc r φ,z,( )2d
d

:=Rc r φ,z,( )
r cos φ( )?
r sin φ( )?
z

:=
(3) 柱 坐 标 变 换
Js r φ,?,( ) simplify sin φ( ) r2?→
Js r φ,?,( )
r
Rs r φ,?,( )0d
d
φ
Rs r φ,?,( )0d
d
Rs r φ,?,( )0d
d
r
Rs r φ,?,( )1d
d
φ
Rs r φ,?,( )1d
d
Rs r φ,?,( )1d
d
r
Rs r φ,?,( )2d
d
φ
Rs r φ,?,( )2d
d
Rs r φ,?,( )2d
d

:=Rs r φ,?,( )
r sin φ( )? cos?( )?
r sin φ( )? sin?( )?
r cos φ( )?

:=
(2) 球 坐 标 变 换
Jpolar r θ,( ) simplify Jpolar r θ,( )→Jp r θ,( ) r
Rp r θ,( )0d
d
θ
Rp r θ,( )0d
d
r
Rp r θ,( )1d
d
θ
Rp r θ,( )1d
d

:=Rp r θ,( ) r cos θ
( )?
r sin θ( )?

:=
(1) 极 坐 标 变 换
1 Jackob变 换 的 行 列 式
.本 工 作 页 继 续 进 行 多 元 函 数 的 重 积 分 的 实 验
,Polar coordinates用 极 坐 标 变 换 求 积 分1.
,Sphere coordinates用 球 坐 标 变 换 求 积 分2.
,Cylindrical coordinates用 柱 坐 标 变 换 求 积 分3.
,重 积 分 运 算 积 分 变 换( )微 积 分 运 算 六6 实 验
0
a
r
0
pi
2
φ
0
pi
2
θr5 sin φ( )? cos φ( )? sin θ( )3? cos θ( )?
�
�? d
�
�? d
�
�? d 148 a6?→
J r2 sin θ( )?=x y? z? r3 sin φ( )? cos φ( )? sin θ( )2? cos θ( )?=
0
a
x
0
a2 x2?
y
0
a2 x2? y2?
zx y? z?
�
d
�
d
�
d
1
48 a
6?→
(2) u=xyz D={(x,y)| x^2 +y^2+z^2<a^2,a>0}计 算 函 数 在 上 的 积 分
V2 a b,c,( ) 43 pi? c? a? b?→V2 a b,c,( ) 8
0
pi
2
θ
0
1
ρc 1 ρ2 a? b? ρ?
�
d
�
�? d?:=
J a b,ρ,θ,( ) a b? ρ?:=y b ρ,θ,( ) b ρ? sin θ( )?:=x a ρ,θ,( ) a ρ? cos θ( )?:=
8
0
a
x
0
b 1 x
2
a2

y
0
c 1 x
2
a2
y
2
b2
z1
�
�
d
�
�
d
�
�
d?
4
3 c? a?
2 ln b( )? ln 1?
b2

+

1?
b2

1
2
→
直 接, 在 直 角 坐 标 下 求 出 的 符 号 解 为
V a b,c,( ) 43 a? b? c? pi?→V a b,c,( ) 8 a? b? c?
0
pi
2
0
pi
2
φ
0
1
rr2 sin φ( )?
�
d
�
�? d
�
�? d?:=
(1) 计 算 椭 球 体 x
2
a2
y2
b2
+ z
2
c2
+ 1=,的 体 积
2 例 计 算 三 重 积 分
0
2pi
θ
1
2
rln r2( ) r?
�
d
�
d 8 pi? ln 2( )? 3 pi→
1<x^2+y^2<4 在 圆 环 域 上 计 算 ln x2 y2+( ),,的 积 分 应 用 极 坐 标
0
2pi
θ
0
1
t1 t?( )1 t+( )
1
2 1
2?
�
�
�
�? d
�
�
�
�? d
1
2 pi
2? pi?→1 r2?
1 r2+
substitute r t=,1 t?( )1 t+( )
1
2
→2r dr? dt=r2 t=
0
2 pi?
θ
0
1
r1 r
2?
1 r2+
r?
�
�
�
d
�
�
�
d 12 pi2? pi?→ 1.793= 无 符 号 解
1?
1
x
1 x2
1 x2?
y1 x
2? y2?
1 x2+ y2+
�
�
�
�?
d
�
�
�
�?
d 1.793=
f,g xOy曲 面 以 及 平 面 所 围 成 的
.立 体 的 体 积 如 右 图 所 示
f g,
g x y,( ) 2 x? y3? 4+:=f x y,( ) 1 x?:=
2 1 0 1
1
2
3
3 6
h u( )
u
h x( ) 3 2 x? 4+( ):=
(5) y^3=2x+4 x+z=1,z=0,计 算 由 曲 面 和 平 面 所 围 成 的 立 体 体 积
V a( ) 435 a3? pi?→V a( ) 27 a3?
0
2pi
θ
0
pi
φ
0
1
rr8 sin φ( )5? cos φ( )2? sin θ( )2? cos θ( )2?
�
d
�
d
�
d?:=
再 引 入 球 坐 标
V a( ) 435 a3? pi?→
V a( ) 8 27? a3?
0
1
u
0
1 u2?
v
0
1 u2? v2?
wu2 v2? w2?
�
�? d
�
�? d
�
d:=
z a w3?=y a v3?=x a u3?=
(4) x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)<a^(2/3),计 算 所 界 定 的 闭 域 的 体 积
,右 图 为 该 立 体 在 第 一 卦 线 中 的 一 部 分
I a( ) 1?3 pi? a5?→I a( )
0
2pi
φ
0
a
r
a?
a
zz2 r2?( ) r?
�
d
�
d
�
d:=
计 算 函 数 u z2 x2? y2?= D={(x,y)| x^2 +y^2<a^2,|z|<a},.在 上 的 积 分 应 用 柱 坐 标 变 换
0
2pi
φ
0
pi
θ
0
1
rr
2
1 r2?
r2? sin θ( )?
�
�
�
d
�
�
�
d
�
�
�
d 34 pi2?→
(3) 计 算 函 数 u x
2 y2+ z2+
1 x2? y2? z2?
= D={(x,y)| x^2 +y^2+z^2<1}在 上 的 积 分
V
0
3 6
y
y3 4?
2
1
x
0
1 x?
z1?�? d?�
�?
d
�
�
d:= V 8128 3 6?→ V 5.257=
V1
2?
1
x
0
3 2x 4+
y
0
1 x?
z1?�? d
�
d
�
d:= V1
81
28
3 6?→ V2
0
3
z
2?
1 z?
x
0
3 2x 4+
y1
�
d
�
d
�
d:= V2
81
28
3 6?→