第四章
效用函数
? 版权所有：夏纪军 2003
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上海财经大学 经济学院
第二章 消费者选择理论 Slide 2
效用函数
? 效用
?古典观点：个人快乐的数字测度。
?基数效用论
? 赋予效用的数值以重要的含义。
第二章 消费者选择理论 Slide 3
效用函数
A 2 3 7
D 3 4 10
E 4 3 10
F 5 1 5
消费组合 食品 /周 服装 /周
AD ?ED ~ FA ?
)(xu
第二章 消费者选择理论 Slide 4
效用函数
? 基数效用论的理论困难
?如何度量：边际支付意愿 （ Menger,Jevons）
?计量单位：货币 （ Marshall）
?问题：货币的边际效用是否为常数？
第二章 消费者选择理论 Slide 5
效用函数
? 效用
?现代观点：描述偏好的一种方法。
?序数效用论 （ Hicks）
第二章 消费者选择理论 Slide 6
效用函数
A 2 3 7 0
D 3 4 10 1
E 4 3 10 1
F 5 1 5 -3
消费组合 食品 /周 服装 /周
AD ?ED ~ FA ?
)(xu )(xu?
第二章 消费者选择理论 Slide 7
效用函数
? 效用函数 （ Mas-Colell等,1995）,
?一个实函数 被称作代表偏
好关系的效用函数，如果：对于消费集中的
任意两个消费组合：,有
RRXu L ?? ?:
Xxx ?21,
)()( 21 xuxu ??21 xx ?
第二章 消费者选择理论 Slide 8
效用函数
? 效用函数的构造
1 2
5
10
第二章 消费者选择理论 Slide 9
效用函数
? 效用函数的正单调变换
?正单调变换 （ Positive Monotonic Transformation）
?如果函数,是一个严格递增函数，那
么就说 是一个正单调变换。
?所以，如果,那么就有
RRg ?:
g
)()( yuxu ?
))(())(( yugxug ?
第二章 消费者选择理论 Slide 10
效用函数
? 几种常见的正单调变换
? 其中
? 其中
? 其中 为奇数
?对数变换,
)(xu hxu ?? )(
)()( xumxu ? 0?m
Rh?
qxuxu )]([)( ? q
)](ln[)( xuxu ?
第二章 消费者选择理论 Slide 11
效用函数
? 效用函数的唯一性
?对于一种理性偏好，在正单调变换意义下，
存在唯一的效用函数 来表示该偏好。
?也就是说，如果存在另一个效用函数 可
以同样表示该偏好，那么，一定存在一个正
单调变换,使得 。
)(xu
)(xv
g ))(()( xvgxu ?
第二章 消费者选择理论 Slide 12
效用函数
? 效用函数：实例
?完全替代,
?完全互补,
?拟线性偏好,
?每条无差异曲线都是一条单一无差异曲线垂直移
动得到的。
?柯布 -道格拉斯函数,
2121 ),( xxxxu ?? ??
},{),( 2121 xxM i nxxu ???
?? 2121 ),( xxxxu ?
0,???
0,???
0,???
2121 )(),( xxvxxu ??
第二章 消费者选择理论 Slide 13
效用函数
? 效用函数的基本性质,
?连续性
)()(l i m 0
0
xfxfxx ??
第二章 消费者选择理论 Slide 14
效用函数
? 例：字典序偏好
?对于,如果有
当 时，对于,都有
当 时，当且仅当 时，有
那么我们称这种偏好为字典序偏好。
Xxxxxxx ??????? ),(),,( 2121
11 xx ?? 22,xx ?? xx ??
11 xx ?? xx ??22 xx ??
第二章 消费者选择理论 Slide 15
效用函数
? 例：字典序偏好
?如,
根据字典序偏好，对于所有的,我们有
但是，在极限下，却是,
)0,1( nx n ? )1,0(?ny
n
nn yx ?
)0,0(lim)1,0(lim ?? ???? nnnn xy ?
第二章 消费者选择理论 Slide 16
效用函数
? 偏好的连续性 （ Mas-Colell等,1995）
?如果对于任意一组消费组合序列
对所有的,都有,而且，对于序列
的极限值 和,也有
那么我们就称该偏好具有连续性。
?? 1)},{( nnn yx
n nn yx ?
n
n xx ??? li m
n
n yy ??? lim
yx?
第二章 消费者选择理论 Slide 17
效用函数
? 效用函数存在性定理 （ Mas-Colell等,1995）
?如果一种 理性偏好 在消费集 具有 连续性
，那么就存在一个连续的效用函数 来表
示该偏好 。
?【 证明见附录 】
)(xu
?
? X
第二章 消费者选择理论 Slide 18
效用函数
? 效用函数基本性质
?递增性：如果偏好满足递增性，那么效用函
数也是递增的。
0)( ?? xu
第二章 消费者选择理论 Slide 19
效用函数
? 边际效用
?新增一单位商品的消费所增加的效用量。
?微分形式,
i
i x
xxuMU
?
?? ),( 21
1
21211
1
),(),(
x
xxuxxxuMU
?
????
第二章 消费者选择理论 Slide 20
效用函数
? 边际替代率
cxxu ?),( 21
02211 ?? dxMUdxMU
2
1
2
1
1
2
12 u
u
MU
MU
dx
dxM R S ????
第二章 消费者选择理论 Slide 21
效用函数
? 边际替代率
?C-D效用函数,
?CES效用函数
??? ?? /121 )()( xxxu ?? 1??
?? 21)( xxxu ?
1
212
x
xM R S
?
??
?
?
?
?
?
?
? 1
1
1
2
12 x
xM R S
?
?
? ?
???
?
???
?? 1
1
2
x
x
第二章 消费者选择理论 Slide 22
效用函数
? 正单调变换不改变边际替代率。
)((, )
(, )
))(( 122
1
2
1
12 xuM R Su
u
ug
ug
xugM R S ???
??