第九章 数学问题与数学考试 课题：数学问题与问题解决 内容提要：1、数学问题是什么； 2、数学解题的过程和方法； 3、问题解决的教学； 4、数学问题的类型。 教学目标：通过本节课的学习，使学生熟悉解题的一般步骤和方法，认识到问题解决教学的意义并能够应用到实际教学中。 教学重、难点：对问题解决含义的理解，对问题解决教学的把握 教学方法：讲授法、讨论法 教学过程： 一、数学问题是什么 一般的数学问题 数学问题(简称数学题)是指数学上要求回答或解释的疑问。 广义的数学问题是指在数量关系和空间形式中出现的困难和矛盾， 例如几何问题，复数问题，四色问题等等。 狭义的数学问题则是已经明显地表示出来的题目，用命题的形式加以表述， 包括证明类问题，求解类问题等。 教学中的数学问题 数学家只把结论未知的题目称为问题。 在数学教学中，把结论已知的题目也称为问题。其内容包括：需要建立的概念、求证的定理、待推导的公式， 以及师生共同进行探讨的研究性课题。 数学问题的发展：从传统的问题到问题解决的提出 1、传统的数学题的特征：接受性、封闭性和确定性。 其内容是熟知的；其结构是常规的；答案确定；条件不多不少，可以按照现成的公式或常规的思路获得解决。题目具有一定的挑战性，但不很难。 2、“问题解决”的提出 20世纪80年代以来， 国际上倡导“问题解决”数学教学模式，这里的问题在障碍性和探究性上提出了较高的要求。波利亚的解释为“有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。解决问题是这种寻求的活动。”问题的产生过程如下图 二、数学解题的过程与方法 什么是数学解题 数学解题就是求出数学题的答案。通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”． 数学解题的过程 解题过程是在解题思想的指导下，运用合理的解题策略(或原则)，制订科学的解题程序，进行解题行动的思维过程。 波利亚分解题过程为4步：弄清问题，拟定计划，实现计划，回顾。下图是一个解题的动态过程：  数学解题的方法（让学生讨论并归纳） 1、具有创立学科功能的方法． 2、体现一般思维规律的方法． 3、具体进行论证演算的方法．。 （四）学会解题的四个阶段 简单模仿；变式练习；自发领悟；自觉分析 三、问题解决的教学 问题解决的教育意义 1、这里所谓数学问题, 是指有一定难度, 需要一定的思维程序和方法, 经过反复思考才能正确解答的数学问题。 2、问题解决教学的意义： 首先，这是社会发展的需要。数学教育必须努力提高学生应用数学知识去解决实际问题的能力； 其次， 这是数学观现代演变的需要。动态的数学观要求数学作为人类的一种创造性活动，“问题解决”就应运而生； 最后，这也是数学教育研究深入的必然结果。学数学应是“做数学”，即应当让学生通过问题解决来学习数学。 （二）问题解决的过程 1、问题识别与定义 意识到问题的存在，并正确地定义它； 2、问题表征 或语义的或是表象的，或在头脑中编码或利用纸笔等工具编码； 3、策略选择与应用 问题解决策略一般分成两大类，一类是规则系统，另一类是创造性的发现 4、资源分配 合理地分配资源是有效解决问题的关键； 5、监控与评估 把握和关注问题解决的全过程，评定问题解决进程及其结果的质量。 （三）问题解决的特征：目的指向性；操作序列性；连续性与突发性；内隐性；延伸性与发散性；操作步骤的程式性 （四）问题解决教学的策略 影响问题解决的因素：一是问题情境; 二是个人特征; 三是认知和元认知策略。 教学策略：创设问题情景，选择好问题；形成知识组块，优化认知结构；加强数学思维解题策略训练，注意及时反馈；引导学生开展探索活动。 四、体现“问题解决”的数学问题类型 可以构建模型的非常规的实际问题 数学问题要能够给学生提供常识建立数学模型的机会，让学生根据观察和实验的结构，常识运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后进行证明。此类题目能培养学生的数学建模能力，是学好数学、用好数学的重要保障，也是基础教育的重要任务之一。 例1 某企业有5个股东，100名工人，年底公布经营业绩，如下表所示： 1990年 1991年 1992年  股东红利 5万 7.5 10万  工资总额 10万 12.5万 15万  现在请大家分析根据此表的数据所画的三种图： 探究性问题。通过一定的探索、研究去深入和认识数学对象的性质，发现数学规律和整理的问题。通过数学活动获得成功的体验建立自信以完善人格。例如，学习完三角形内角和定理，让学生探索四边形、五边形等多边形的内角和并归纳。 开放性问题。旨在培养学生思维的灵活性、发散性以利于学生创新精神的养成。 例3：在三角形ABC中三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果。 4、情景性问题。情景题的教育意义在于，让学生经历重要的、有价值的数学思维活动的过程。 问题与思考： 日常课堂中如何渗透问题解决教学的思想？ 参考文献： 1、朱德全．数学问题的表征及元认知开发．教育研究[J] ．1997（3） 2、罗增儒．作为教育任务的数学解题．数学教育学报[J] ．2005（1） 3、刘元宗．数学问题解决及其教学．课程．教材．教法[J] ．2004（2）