1
至诚学院
大学物理规范作业
总（ 30）
,电场二, 单元练习
2
一、填空：
1,半径分别为 R和 r的两个弧立球形导体 （ R>r）,
两者相距甚远, 用一根细长导线将它们连接起来,
并 使 它 们 带 电, 则 两 球 表 面 电 荷 密 度 的 比 值
σR/σr= 。
解：两孤立导体球的电势相等，由导体球电势表
示式
r
r
R
R rR
0
2
0
2
4
4
4
4
??
??
??
??
?
∴ σR/σr＝ r/R
r/R
3
2,导体球壳的内外半径分别为 R1和 R2，若在距球心 O
为 r的 P点放置一点电荷 Q，如图所示，则导体球壳的
电势 ；中心 O点的电势 。
解,静电平衡时球壳的外表面带电量为 Q，
且由于球壳的外表面曲率半径相同，电荷面
密度也相同，即电荷是均匀分布在球壳的外
表面上的。电势为 Q
r
Q
04??
中心 O点的电势是 p点的电荷、内表面 R1和外表
面 R2的电荷共同贡献的。内表面带电为 -Q,由
电势的叠加原理：
r
QU
04??
?
Q?
r
Q
R
dq
R
dqU QQ
00 200 10 444 ??????
??? ??
?
r
Q
R
Q
R
Q
01020 444 ??????
??
4
r
Q
R
dq
R
dqU QQ
00 200 10 444 ??????
??? ??
?
r
Q
R
Q
R
Q
01020 444 ??????
???
5
电源接通情况下电容器两端电压不变：分析：
,,不变不变 EV
0
0
0' ?
??? EE
电源断开情况下电容器极板上带电量不变：
不变不变 Dq,
'0 ED r???
00 ??? DD
r
E
??
?
0
0'??
(3)一空气平行板电容器，接上电源后，两极板上的电
荷面密度分别为 。在保持电源接通情况下，将相
对介电常数为 ε r的各向同性均匀电介质充满其中，忽
略边缘效应，介质中的场强大小应为 。而
断开电源再充满该种介质，则介质中的场强大小又
为 。
0??
r??
?
0
0
0
0 ??
6
计算题
1,三个半径分别为 R1,R2,R3(R1<R2<R3)的导体同心
球壳，带电量依次为 q1,q2,q3。求：（ 1）这个带电体
系的总电能。（ 2）当内、外两球壳共同接地时，系统
的电容和各球壳的带电量。
解：该带电体系的电场强度分布为
3
0
321
4
Rr
r
qqqE ????
??
1R
2R
3R
32
0
21
4
RrR
r
qqE ????
??
21
0
1
4
RrR
r
qE ???
??
10 RrE ??
7
电场的能量可以通过对能量密度积分得到：
drr
r
qqqW
R
22
2
0
3210 4)
4
(
2
3
?
??
? ???
?
?
drr
r
qdrr
r
qq R
R
R
R
22
2
0
1022
2
0
210 4)
4
(
2
4)
4
(
2
2
1
3
2
?
??
??
??
?
?? ?
??
)11(
8
)(
8
)(
32
2
0
21
2
30
321
RR
qq
R
qqq ??????
????
)11(
8 210
2
1
RR
q ??
??
8
当内球与外球接地时，内球与外球的带电量将发生变
化，设为 Q1,Q3 。由于 r>R3时 E=0故
Q3=－（ Q1+ q2），这时电场的分布为
32
0
21
4
RrR
r
qQE ????
??
21
0
1
4
RrR
r
QE ???
??
电势分布为
)11(
44 320
21
0
21
2
3
2
RR
qQdr
r
qQU R
R
????? ?
????
r
Qdr
r
qQU R
R
R
R 0
1
0
21
1 44
2
1
3
2
???? ??
???
9
0)11(
4
)11(
4 210
1
320
21
1 ????
??
RR
Q
RR
qQU
????
上式等于 0，是因为内球接地，由此可以解出 Q1
)(
)(
132
2312
1 RRR
RRRqQ
?
???
)
)(
)(1(
132
231
23 RRR
RRRqQ
?
????
10
2、电量 q均匀分布在长为 2L的细棒上，求：（ 1）细棒
中垂面上距细棒中心 r处 P点的电势；（ 2）细棒延长线
上距细棒中心 x处 P点的电势。
q
L L
),0( rp
)0,(xp
解：设棒上的电荷线密度 λ=q/2L，取
如图所示的长度为 dx电荷元,在中垂面
上 dx产生的电势为
dx
22
04
1
rx
dxdU
?
? ?
??
22
04 rx
dxU L
L ?
? ?
? ??
?
则电势为
L
Lrxx ???? )l n (4
22
0??
?
LrL
LrL
??
???
22
22
0
ln
4 ??
?
11
q
L L
),0( rp
)0,(xpdl
对于细棒的延长线上 p点的电势：取电荷元
λdl如图，它对电势的贡献为
lx
dldU
?
? ?
?? 04
1
l是 dl到原点的距离，则电势为
lx
dlU L
L ?
? ?
? 04 ??
? L
Llx ??
?? )ln (
4 0??
?
Lx
Lx
?
?? ln
4 0??
?
12
3、设内半径为 R的导体球壳原来不带电，在腔内离球
心距离为 d处（ d<R）固定一个电量为＋ q的点电荷，
用导线把球壳接地后再把地线撤去，求球心处的电势。
解：外球壳接地后球外电场为 0，半径为 R
处带电量为－ q,故球心的电势由球壳内的
电荷以及半径为 R处的电荷共同决定
d
q
R
dqU q
00 0 44 ????
?? ?
?
d
q
R
q
00 44 ????
???
这个例题需要注意的是半径为 R处的电荷分布是不
均匀的
13
4、圆柱形电容器是由半径为 R1的导线与和与它同轴的
金属圆筒组成，圆筒内径为 R2，长为 l，其间充满介电
常数为 εr的电介质（见图）。若圆筒上单位长度的电荷
为 λ0,l >>R1,R2 求：（ 1）电介质的电位移矢量 D和
电场强度 E；（ 2）电容器单位长度的电容。
l
1R2
R解：取与电容器同轴高度为 h的
圆柱形高斯面如图，利用高斯
定理得：
hqr hDSdDs i ?? ????? ?2??
电位移 D为
r
D
?
?
2
?
电场强度 E为
r
E
02??
??
14
柱面间的电势差 U为
2
1
2
1
ln
22 00
R
R
R
R
rdr
r
U
??
?
??
?
?? ?
1
2
0
ln
2 R
R
??
??
1
2
0
ln
2 R
R
l
q
??
?
取 l=1，则 q=λ得单位长度的电容
1
2
0
ln
2
R
RU
q
C
??
??
如果电容器的长度为 l时电容
为
1
2
0
ln
2
R
R
l
U
q
C
??
??
至诚学院
大学物理规范作业
总（ 30）
,电场二, 单元练习
2
一、填空：
1,半径分别为 R和 r的两个弧立球形导体 （ R>r）,
两者相距甚远, 用一根细长导线将它们连接起来,
并 使 它 们 带 电, 则 两 球 表 面 电 荷 密 度 的 比 值
σR/σr= 。
解：两孤立导体球的电势相等，由导体球电势表
示式
r
r
R
R rR
0
2
0
2
4
4
4
4
??
??
??
??
?
∴ σR/σr＝ r/R
r/R
3
2,导体球壳的内外半径分别为 R1和 R2，若在距球心 O
为 r的 P点放置一点电荷 Q，如图所示，则导体球壳的
电势 ；中心 O点的电势 。
解,静电平衡时球壳的外表面带电量为 Q，
且由于球壳的外表面曲率半径相同，电荷面
密度也相同，即电荷是均匀分布在球壳的外
表面上的。电势为 Q
r
Q
04??
中心 O点的电势是 p点的电荷、内表面 R1和外表
面 R2的电荷共同贡献的。内表面带电为 -Q,由
电势的叠加原理：
r
QU
04??
?
Q?
r
Q
R
dq
R
dqU QQ
00 200 10 444 ??????
??? ??
?
r
Q
R
Q
R
Q
01020 444 ??????
??
4
r
Q
R
dq
R
dqU QQ
00 200 10 444 ??????
??? ??
?
r
Q
R
Q
R
Q
01020 444 ??????
???
5
电源接通情况下电容器两端电压不变：分析：
,,不变不变 EV
0
0
0' ?
??? EE
电源断开情况下电容器极板上带电量不变：
不变不变 Dq,
'0 ED r???
00 ??? DD
r
E
??
?
0
0'??
(3)一空气平行板电容器，接上电源后，两极板上的电
荷面密度分别为 。在保持电源接通情况下，将相
对介电常数为 ε r的各向同性均匀电介质充满其中，忽
略边缘效应，介质中的场强大小应为 。而
断开电源再充满该种介质，则介质中的场强大小又
为 。
0??
r??
?
0
0
0
0 ??
6
计算题
1,三个半径分别为 R1,R2,R3(R1<R2<R3)的导体同心
球壳，带电量依次为 q1,q2,q3。求：（ 1）这个带电体
系的总电能。（ 2）当内、外两球壳共同接地时，系统
的电容和各球壳的带电量。
解：该带电体系的电场强度分布为
3
0
321
4
Rr
r
qqqE ????
??
1R
2R
3R
32
0
21
4
RrR
r
qqE ????
??
21
0
1
4
RrR
r
qE ???
??
10 RrE ??
7
电场的能量可以通过对能量密度积分得到：
drr
r
qqqW
R
22
2
0
3210 4)
4
(
2
3
?
??
? ???
?
?
drr
r
qdrr
r
qq R
R
R
R
22
2
0
1022
2
0
210 4)
4
(
2
4)
4
(
2
2
1
3
2
?
??
??
??
?
?? ?
??
)11(
8
)(
8
)(
32
2
0
21
2
30
321
RR
R
qqq ??????
????
)11(
8 210
2
1
RR
q ??
??
8
当内球与外球接地时，内球与外球的带电量将发生变
化，设为 Q1,Q3 。由于 r>R3时 E=0故
Q3=－（ Q1+ q2），这时电场的分布为
32
0
21
4
RrR
r
qQE ????
??
21
0
1
4
RrR
r
QE ???
??
电势分布为
)11(
44 320
21
0
21
2
3
2
RR
qQdr
r
qQU R
R
????? ?
????
r
Qdr
r
qQU R
R
R
R 0
1
0
21
1 44
2
1
3
2
???? ??
???
9
0)11(
4
)11(
4 210
1
320
21
1 ????
??
RR
Q
RR
qQU
????
上式等于 0，是因为内球接地，由此可以解出 Q1
)(
)(
132
2312
1 RRR
RRRqQ
?
???
)
)(
)(1(
132
231
23 RRR
RRRqQ
?
????
10
2、电量 q均匀分布在长为 2L的细棒上，求：（ 1）细棒
中垂面上距细棒中心 r处 P点的电势；（ 2）细棒延长线
上距细棒中心 x处 P点的电势。
q
L L
),0( rp
)0,(xp
解：设棒上的电荷线密度 λ=q/2L，取
如图所示的长度为 dx电荷元,在中垂面
上 dx产生的电势为
dx
22
04
1
rx
dxdU
?
? ?
??
22
04 rx
dxU L
L ?
? ?
? ??
?
则电势为
L
Lrxx ???? )l n (4
22
0??
?
LrL
LrL
??
???
22
22
0
ln
4 ??
?
11
q
L L
),0( rp
)0,(xpdl
对于细棒的延长线上 p点的电势：取电荷元
λdl如图，它对电势的贡献为
lx
dldU
?
? ?
?? 04
1
l是 dl到原点的距离，则电势为
lx
dlU L
L ?
? ?
? 04 ??
? L
Llx ??
?? )ln (
4 0??
?
Lx
Lx
?
?? ln
4 0??
?
12
3、设内半径为 R的导体球壳原来不带电，在腔内离球
心距离为 d处（ d<R）固定一个电量为＋ q的点电荷，
用导线把球壳接地后再把地线撤去，求球心处的电势。
解：外球壳接地后球外电场为 0，半径为 R
处带电量为－ q,故球心的电势由球壳内的
电荷以及半径为 R处的电荷共同决定
d
q
R
dqU q
00 0 44 ????
?? ?
?
d
q
R
q
00 44 ????
???
这个例题需要注意的是半径为 R处的电荷分布是不
均匀的
13
4、圆柱形电容器是由半径为 R1的导线与和与它同轴的
金属圆筒组成，圆筒内径为 R2，长为 l，其间充满介电
常数为 εr的电介质（见图）。若圆筒上单位长度的电荷
为 λ0,l >>R1,R2 求：（ 1）电介质的电位移矢量 D和
电场强度 E；（ 2）电容器单位长度的电容。
l
1R2
R解：取与电容器同轴高度为 h的
圆柱形高斯面如图，利用高斯
定理得：
hqr hDSdDs i ?? ????? ?2??
电位移 D为
r
D
?
?
2
?
电场强度 E为
r
E
02??
??
14
柱面间的电势差 U为
2
1
2
1
ln
22 00
R
R
R
R
rdr
r
U
??
?
??
?
?? ?
1
2
0
ln
2 R
R
??
??
1
2
0
ln
2 R
R
l
q
??
?
取 l=1，则 q=λ得单位长度的电容
1
2
0
ln
2
R
RU
q
C
??
??
如果电容器的长度为 l时电容
为
1
2
0
ln
2
R
R
l
U
q
C
??
??
