§ 4 等直圆杆扭转时的变形,刚度条件
PGI
T
dx
d
l
d dxGI
Tl
P
0
当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形。
当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时
PGI
TL
i iP
ii
GI
LT?
PGI
T
如图所示阶梯轴。外力偶矩 M1＝ 0.8KN·m,M2＝
2.3KN·m,M3＝ 1.5KN·m,AB段的直径 d1＝ 4cm,BC段的直径 d2＝ 7cm。已知材料的剪切弹性模量 G＝ 80GPa，
试计算 φ AB和 φ AC。
0.8kN·m
1.5kN·m
例题
3.7
0.8m 1.0m
1M
2M
3M
1d 2d
A B C
32
4
1
1
dI
P
41.25 cm?
32
4
2
2
dI
P
4236 cm?
1
11
P
AB GI
LT rad0 3 1 8.0?
2
22
P
BC GI
LT ra d0 0 7 9.0
BCABAC r a dr a d 0 0 7 9.00 3 1 8.0 rad0 2 3 9.0?
图示一空心传动轴，轮 1为主动轮，力偶矩 M1＝ 9KN·m，轮 2、轮 3、
轮 4为从动轮,力偶矩分别为 M2＝ 4KN·m,M3＝ 3.5KN·m,M4＝
1.5KN·m。已知空心轴内外径之比 d/D＝ 1/2，试设计此轴的外径 D，并求出全轴两端的相对扭转角 φ 24。 G＝ 80GPa，［ τ ］ ＝ 60MPa。
5kN 1.5kN
4kN
例题
3.8
500 500
1M
2M 3M 4M
5004
3
116 DW P
max
TW
P
m a x43 1
16
TD
3 4m a x3 1
16
TD mm7.76?mmD 78? mmd 39?
PGI
LT 21
21
ra d0 0 7 3 4.0?
PGI
LT13
13
ra d0 0 9 1 7.0
PGI
LT 34
34
ra d0 0 2 7 5.0
34132124 ra d0 0 4 5 8.0
已知钻探机杆的外径 D=60mm，内径 d=50mm，功率 P=7.35kW，
转速 n=180r/min，钻杆入土深度 L=40m,G=80GPa,[τ]=40MPa 。
设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（ 1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩 M；（ 2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（ 3）
求 A,B两截面相对扭转角。
M
A
l
B
A
B
)(xT
x
T
例题
3.9
n
PT 31055.9 Nm390?
单位长度阻力矩 LTM?
m
Nm
40
390? m
Nm75.9?
PW
T?
max?
16
60
50
160
10390
4
3
3
M P a7.17?
l
P
AB GI
dxxT
0?
MxxT? x
L
T?
dx
GI
l
xT
l
P
AB 0? 2
l
GI
T
P
21050601080
4039032
12449
rad148.0?
一内径为 d、外径为 D=2d的空心圆管与一直径为 d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩 Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为 G1和 G2，且 G1=G2/2，
假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。
试问两杆横截面上的最大切应力之比 τ 1/τ 2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。
d
D
1
2
eM
2? 1?
例题
3.10
因两杆扭转变形时无相对转动
21
22
2
11
1
PP IG
LT
IG
LT?
22
11
2
1
P
P
IG
IG
T
T?
2
2
1
1
2
1
2
2
P
P
I
d
T
I
D
T
d
D
IT
IT
P
P
12
21 2
2
1?
G
G1?
一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩 T=400Nm作用，圆杆直径 d=40mm，矩形截面为 60mm× 20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。
例题
3.11
圆杆,
PW
T?
max? 3
16
d
T
3
3
40
1040016
M P a9.31?
矩形杆,3?
b
h 267.0
hb
T
2m ax 60202 67.0
104 00
2
3
M P a4.62?
2
2
1 2 6 04 mmdA
21200 mmbhA
矩形面积与圆形面积相近,但最大应力却增大了一倍,且 h/b之值越大，切应力也越大，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。
刚度条件
m a x
m
0
0
m a x 1 8 0
PGI
T
§ 6 等直圆杆扭转时的应变能
x
y
z dx
dz
dy?
dxd y d zdW 21单元体外力作功 d x d yd z21?
dVdW?
应变能密度
dV
dVv?
d x d y d z
d x d y d z
2
1
2
1?
等直圆杆扭转时的应变能
V dVvV
l A
d A d xvv2
1
G
l A
dA dxGV 2
2?
PI
T
A
P
dA
I
T
G
l 22
2
PGI
lT
2
2
PGI
T
dx
d
l
d dxGI
Tl
P
0
当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形。
当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时
PGI
TL
i iP
ii
GI
LT?
PGI
T
如图所示阶梯轴。外力偶矩 M1＝ 0.8KN·m,M2＝
2.3KN·m,M3＝ 1.5KN·m,AB段的直径 d1＝ 4cm,BC段的直径 d2＝ 7cm。已知材料的剪切弹性模量 G＝ 80GPa，
试计算 φ AB和 φ AC。
0.8kN·m
1.5kN·m
例题
3.7
0.8m 1.0m
1M
2M
3M
1d 2d
A B C
32
4
1
1
dI
P
41.25 cm?
32
4
2
2
dI
P
4236 cm?
1
11
P
AB GI
LT rad0 3 1 8.0?
2
22
P
BC GI
LT ra d0 0 7 9.0
BCABAC r a dr a d 0 0 7 9.00 3 1 8.0 rad0 2 3 9.0?
图示一空心传动轴，轮 1为主动轮，力偶矩 M1＝ 9KN·m，轮 2、轮 3、
轮 4为从动轮,力偶矩分别为 M2＝ 4KN·m,M3＝ 3.5KN·m,M4＝
1.5KN·m。已知空心轴内外径之比 d/D＝ 1/2，试设计此轴的外径 D，并求出全轴两端的相对扭转角 φ 24。 G＝ 80GPa，［ τ ］ ＝ 60MPa。
5kN 1.5kN
4kN
例题
3.8
500 500
1M
2M 3M 4M
5004
3
116 DW P
max
TW
P
m a x43 1
16
TD
3 4m a x3 1
16
TD mm7.76?mmD 78? mmd 39?
PGI
LT 21
21
ra d0 0 7 3 4.0?
PGI
LT13
13
ra d0 0 9 1 7.0
PGI
LT 34
34
ra d0 0 2 7 5.0
34132124 ra d0 0 4 5 8.0
已知钻探机杆的外径 D=60mm，内径 d=50mm，功率 P=7.35kW，
转速 n=180r/min，钻杆入土深度 L=40m,G=80GPa,[τ]=40MPa 。
设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（ 1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩 M；（ 2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（ 3）
求 A,B两截面相对扭转角。
M
A
l
B
A
B
)(xT
x
T
例题
3.9
n
PT 31055.9 Nm390?
单位长度阻力矩 LTM?
m
Nm
40
390? m
Nm75.9?
PW
T?
max?
16
60
50
160
10390
4
3
3
M P a7.17?
l
P
AB GI
dxxT
0?
MxxT? x
L
T?
dx
GI
l
xT
l
P
AB 0? 2
l
GI
T
P
21050601080
4039032
12449
rad148.0?
一内径为 d、外径为 D=2d的空心圆管与一直径为 d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩 Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为 G1和 G2，且 G1=G2/2，
假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。
试问两杆横截面上的最大切应力之比 τ 1/τ 2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。
d
D
1
2
eM
2? 1?
例题
3.10
因两杆扭转变形时无相对转动
21
22
2
11
1
PP IG
LT
IG
LT?
22
11
2
1
P
P
IG
IG
T
T?
2
2
1
1
2
1
2
2
P
P
I
d
T
I
D
T
d
D
IT
IT
P
P
12
21 2
2
1?
G
G1?
一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩 T=400Nm作用，圆杆直径 d=40mm，矩形截面为 60mm× 20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。
例题
3.11
圆杆,
PW
T?
max? 3
16
d
T
3
3
40
1040016
M P a9.31?
矩形杆,3?
b
h 267.0
hb
T
2m ax 60202 67.0
104 00
2
3
M P a4.62?
2
2
1 2 6 04 mmdA
21200 mmbhA
矩形面积与圆形面积相近,但最大应力却增大了一倍,且 h/b之值越大，切应力也越大，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。
刚度条件
m a x
m
0
0
m a x 1 8 0
PGI
T
§ 6 等直圆杆扭转时的应变能
x
y
z dx
dz
dy?
dxd y d zdW 21单元体外力作功 d x d yd z21?
dVdW?
应变能密度
dV
dVv?
d x d y d z
d x d y d z
2
1
2
1?
等直圆杆扭转时的应变能
V dVvV
l A
d A d xvv2
1
G
l A
dA dxGV 2
2?
PI
T
A
P
dA
I
T
G
l 22
2
PGI
lT
2
2
