§ 4 等直圆杆扭转时的应力,强度条件
Me Me 变形几何
平面假定
x
dx
T T
d?
d
dx
dx
d
G G?
dx
d? G
A
TdA TdAdxdG
A
2
Ip
PGI
T
dx
d
PGI
PI
T
截面的极惯性矩
dx
d
x
dx
T T
d?
d
dx
dx
d
G?
dx
d? G
A
TdA TdAdxdG
A
2
Ip
PGI
T
dx
d
PGI
PI
T
截面的极惯性矩
dA
A
PI
T
PI
Tr?
max?
r
IW P
P?
扭转截面系数
PW
T?
m ax?
截面的极惯性矩与 扭转截面系数实心圆截面空心圆截面
d
d
A
P dAI
2
A
d 22
2
0
32
d
d
32
4d
I P 16
3d
W P
D d
PI?
2
2
32
D
d
d44
32 dD
D
d
44 132 DI P43 116 DW P
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为 G1和 G2，且 G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（ A）、（ B）、（ C）、（ D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
例题
3.4
d2
d
T
1G
2G
O
(A) (B) (C) (D)
解,圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，
即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。
因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。
由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层
（圆环截面）的剪切弹性模量（ G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（ A）和（ B）都是不正确的。
在答案（ D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。
根据以上分析，正确答案是（ C）
因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计
D
d? 设平均半径 R0=(d+δ)/2 202 RT Td 22
Tdd 22 223 Pa mNmm 6
323233
1080
105210100101002
mm7.3
空心圆轴设计
PW
T
m a x
4416 dDDW P
2 dD
4416 dD DT 01081.0105161080 64346 PamDmNDPa
mmD 7.107?
2
dD 2 1007.107 mmmm mm85.3?
当 δ≤R0/10时，即可认为是薄壁圆筒一内径 d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩 T=5kN·m，许用切应力 [τ]=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。
例题
3.5
T
T
圆轴扭转时斜截面的应力
A
τ
τ
τ
A
τe
f
sindA
cosdA
dA
x
n
e
f
0F
0c o ss ins inc o s dAdAdA
0F
0s ins inc o sc o s dAdAdA
2s in
2co s?
2s in 2co s?
讨论,
045
m a x45 0
045
m i n45 0
τ
τ
τ
σmax
σmin
τ
0045
0045
00
000 m a x0 0
强度条件
m ax
强度计算的三类问题,
(1),强度校核
PW
Tmax
(2)、截面设计
max
TW
P?
(3)、确定许用荷载
PWT?m ax
已知,P＝ 7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝ 40MPa,
空心圆轴的内外径之比? = 0.5。
求,实心轴的直径 d1和空心轴的外径 D2。
例 题
3.6
n
PTM
e
31055.9 mN 2.716
1
max
pW
T
3 61
1040
2.7 1 616
d
2
max
pW
T
3 642 10405.01 2.71616D
100
5.71055.9 3
3
1
16
d
T
MPa40?
mm45?
432 116 D T MPa40?
mm45?
Me Me 变形几何
平面假定
x
dx
T T
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dx
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截面的极惯性矩
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扭转截面系数
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截面的极惯性矩与 扭转截面系数实心圆截面空心圆截面
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D
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44 132 DI P43 116 DW P
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为 G1和 G2，且 G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（ A）、（ B）、（ C）、（ D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。
例题
3.4
d2
d
T
1G
2G
O
(A) (B) (C) (D)
解,圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，
即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。
因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。
由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层
（圆环截面）的剪切弹性模量（ G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（ A）和（ B）都是不正确的。
在答案（ D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。
根据以上分析，正确答案是（ C）
因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计
D
d? 设平均半径 R0=(d+δ)/2 202 RT Td 22
Tdd 22 223 Pa mNmm 6
323233
1080
105210100101002
mm7.3
空心圆轴设计
PW
T
m a x
4416 dDDW P
2 dD
4416 dD DT 01081.0105161080 64346 PamDmNDPa
mmD 7.107?
2
dD 2 1007.107 mmmm mm85.3?
当 δ≤R0/10时，即可认为是薄壁圆筒一内径 d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩 T=5kN·m，许用切应力 [τ]=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。
例题
3.5
T
T
圆轴扭转时斜截面的应力
A
τ
τ
τ
A
τe
f
sindA
cosdA
dA
x
n
e
f
0F
0c o ss ins inc o s dAdAdA
0F
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2s in
2co s?
2s in 2co s?
讨论,
045
m a x45 0
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σmax
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τ
0045
0045
00
000 m a x0 0
强度条件
m ax
强度计算的三类问题,
(1),强度校核
PW
Tmax
(2)、截面设计
max
TW
P?
(3)、确定许用荷载
PWT?m ax
已知,P＝ 7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝ 40MPa,
空心圆轴的内外径之比? = 0.5。
求,实心轴的直径 d1和空心轴的外径 D2。
例 题
3.6
n
PTM
e
31055.9 mN 2.716
1
max
pW
T
3 61
1040
2.7 1 616
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2
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T
3 642 10405.01 2.71616D
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T
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mm45?
432 116 D T MPa40?
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