RF
q
RF
§ 5梁横截面上的切应力,梁的切应力强度条件
kN
kNm
一、矩形截面梁的切应力假设：
1、横截面上的 τ 方向与 FS平行
2,τ 沿截面宽度是均匀分布的
z
y
Fs
b
y
y
z
2h
2h
F
a a
dA
1y
A
1NF
2NF
x dx
1
1
2
2
1 2
a ay
y
M dMM?
y?
a a
1 2
dx
b0
* 1* 2 bdxFF yNN?
* 1*1 AN dAF * 1A
z
dAIMy * 1Az dAyIM
* 2* 2 AN dAF * 1A
z
dAI ydMM
bd xdAyIdM yA
z
* 1
zS
dx
dM
bI
S
z
z
y
*
bI
SF
z
zs
*
Fs – 横截面上的剪力 ； IZ – 截面对中性轴的惯性矩；
b – 截面的宽度； SZ＊ – 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩,bI
SF
Z
zs
*
max?
b
z
y
A
2h
2h y 0y
)4(2 2
2
yhIF
Z
s
y
Z
s
I
hF
8
2
max
12
8
3
2
bh
hF s?
A
Fs
2
3?
矩形截面简支梁，加载于梁中点 C，如图示。
求 σ max,τ max 。
F
2l 2l
h
b
4max
FLM?
6
2bhW
Z?
ZW
M m ax
m ax 2
6
1
4
bh
FL
22
3
bh
FL?
2max
FF
s?
A
Fs
2
3
max bh
F
2
2
3?
bh
F
4
3
max
max
bh
F
bh
FL
4
3
2
3
2
h
L2?
5?hL 10
max
max?
细长等值梁
例题 4.32
max?
min?
二、工字形截面梁的切应力横截面上的切应力 (95--97)％
由腹板承担,而翼缘仅承担了 (3--5)
％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂,为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力,
dI
SF
Z
zs
*
dI
F
Z
S
220202
42442 y
hdhhb
z
d
b
h h 0
t
888
2
0
2
0
2
m a x
dhbhbh
dI
F
Z
S?
88
2
0
2
m i n
bhbh
dI
F
Z
S?
*
maxZ
Z
S
I
三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力
z
y
d
A
F S
3
4
max
4
2dA
D
d
A
FS2
max
A为圆环形截面面积如图所示倒 T型外伸梁，已知 q=3kN/m,F1=12kN,F2=18kN，形心主惯性矩 IZ=39800cm4。（ 1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置；
（ 2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的 ab线（实际是一水平面）
胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用切应力值是多少？
m6
q1F
m3
A B
m3
2F
C D
200
300
5.148
80
z
50
a b
12
22 4
14
34 14
36
30
68.32
B B
最大拉应力发生在 B截面上
4
33
103 9 8 0 0
105.1 4 83 5 01036
M Pa5.16
最大压应力发生在 Fs=0的截面上
4
33
103 9 8 0 0
105.1 4 83 5 01068.32
M Pa15
ab线上最大切应力发生在 BC段
bI
SF
Z
ZS *255.14850200*ZS
33* 101 2 3 5 mmS Z
80103 9 8 0 0
101 2 3 51022
4-
33
a b 1
M P a58.0ab 1
2 0 0103 9 8 0 0
101 2 3 51022
4-
33
a b 2
M P a34.0a b 2
M P a85.0
例题 4.33
梁的切应力强度条件
bI
SF
Z
ZS
*
最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；
最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；
F
L
b
h
两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许用应力为 [σ],其许可荷载 [F]为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则其许可荷载 [F]为多少?若螺栓材料许用切应力为 [τ],求螺栓的最小直径,
例题 4.34
两梁叠加,
z
z zW
M
2
m ax
m ax
6
2
2bh
FL?
2
3
bh
FL
max23bhFL
L
bhF
3
2?
两梁用螺栓连接 两梁只有一个中性轴
zW
M max
max
6
2 2hb
FL?
22
3
bh
FL
L
bhF
3
2 2
将两个梁连接成一个整体后,承载能力提高一倍,
梁中性层处切应力
A
Fs
2
3
max
bh
L
bh
2
3
2
2
3
2?
Lh2
中性层剪力
bLFs max A
Fs
4
2
2d
bh
hbd 2?
q
RF
§ 5梁横截面上的切应力,梁的切应力强度条件
kN
kNm
一、矩形截面梁的切应力假设：
1、横截面上的 τ 方向与 FS平行
2,τ 沿截面宽度是均匀分布的
z
y
Fs
b
y
y
z
2h
2h
F
a a
dA
1y
A
1NF
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x dx
1
1
2
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a ay
y
M dMM?
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b0
* 1* 2 bdxFF yNN?
* 1*1 AN dAF * 1A
z
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* 2* 2 AN dAF * 1A
z
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z
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bI
S
z
z
y
*
bI
SF
z
zs
*
Fs – 横截面上的剪力 ； IZ – 截面对中性轴的惯性矩；
b – 截面的宽度； SZ＊ – 宽度线一侧的面积对中性轴的静矩,bI
SF
Z
zs
*
max?
b
z
y
A
2h
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2
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Z
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12
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A
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矩形截面简支梁，加载于梁中点 C，如图示。
求 σ max,τ max 。
F
2l 2l
h
b
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FLM?
6
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Z?
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M m ax
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F
4
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4
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2
h
L2?
5?hL 10
max
max?
细长等值梁
例题 4.32
max?
min?
二、工字形截面梁的切应力横截面上的切应力 (95--97)％
由腹板承担,而翼缘仅承担了 (3--5)
％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂,为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力,
dI
SF
Z
zs
*
dI
F
Z
S
220202
42442 y
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z
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t
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*
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Z
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I
三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力
z
y
d
A
F S
3
4
max
4
2dA
D
d
A
FS2
max
A为圆环形截面面积如图所示倒 T型外伸梁，已知 q=3kN/m,F1=12kN,F2=18kN，形心主惯性矩 IZ=39800cm4。（ 1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置；
（ 2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的 ab线（实际是一水平面）
胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用切应力值是多少？
m6
q1F
m3
A B
m3
2F
C D
200
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z
50
a b
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36
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最大拉应力发生在 B截面上
4
33
103 9 8 0 0
105.1 4 83 5 01036
M Pa5.16
最大压应力发生在 Fs=0的截面上
4
33
103 9 8 0 0
105.1 4 83 5 01068.32
M Pa15
ab线上最大切应力发生在 BC段
bI
SF
Z
ZS *255.14850200*ZS
33* 101 2 3 5 mmS Z
80103 9 8 0 0
101 2 3 51022
4-
33
a b 1
M P a58.0ab 1
2 0 0103 9 8 0 0
101 2 3 51022
4-
33
a b 2
M P a34.0a b 2
M P a85.0
例题 4.33
梁的切应力强度条件
bI
SF
Z
ZS
*
最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；
最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；
F
L
b
h
两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许用应力为 [σ],其许可荷载 [F]为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则其许可荷载 [F]为多少?若螺栓材料许用切应力为 [τ],求螺栓的最小直径,
例题 4.34
两梁叠加,
z
z zW
M
2
m ax
m ax
6
2
2bh
FL?
2
3
bh
FL
max23bhFL
L
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3
2?
两梁用螺栓连接 两梁只有一个中性轴
zW
M max
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6
2 2hb
FL?
22
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FL
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bhF
3
2 2
将两个梁连接成一个整体后,承载能力提高一倍,
梁中性层处切应力
A
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2
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3
2?
Lh2
中性层剪力
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