§ 2 梁的挠曲线近似微分方程及积分
ZEI
xM )(1?
3
2
2
2
)(1
1
dx
d
dx
d
Z
EI
xM
dx
d
dx
d
)(
)(1
3
2
2
2
ZEI
xM
dx
d )(
2
2
xo
y
M?M
02
2
dx yd
ZEI
xM
dx
d )(
2
2
xo
y
M?M
02
2
dx yd
ZEI
xM
dx
d )(
2
2
梁挠曲线近似微分方程
1)( CdxEI xMdxd
Z
21)( CxCdxdxEI xM
Z
ZEI
xM
dx
d )(
2
2
C
C?
A B
B?
x
y
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。
dxd ta n
通过积分求弯曲位移的特征：
1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。
3、积分常数由位移边界条件确定。
积分常数 C1,C2由边界条件确定
0?x Lx?
0?x
0
X
y
0
X
y
0
0
A?
求图所示悬臂梁 A端的挠度与转角。
x
y
x
A?
例题 5.1
l
A
B
F FxxM
1)( CdxEI xMdxd
Z
1CF x d xdx
dEI
z
2122 CxCdxFxEI z? 213
6 CxC
FxEI
z
1
2
2 C
FxEI
z
边界条件
Lx? 0?B?
zEI
FLC
2
2
1
Lx? 0?B?
zEI
FLC
3
3
2?
zz EI
FL
EI
Fx
22
22
zzz EI
FLx
EI
FL
EI
Fx
326
323
0?x
z
A EI
FL
2
2
z
A EI
FL
3
3
例题 5.2 求图所示悬臂梁 B端的挠度与转角。
l
A
B
x
y
x
221 xLqxM
221 xLqxMEI z
1361 CxLqEIEI zz
214241 CxCxLqEI z
边界条件
0?x 0
zEI
qLC
6
3
1?
0?x 0
zEI
qLC
24
3
2
336 LxLEIq
z
434 424 LxLxLEIq
z
Lx?
z
B EI
qL
6
3
z
B EI
qL
8
4
求图示简支梁在集中荷载 F的作用下（ F力在右半跨）的最大挠度。
x
x
y x
例题 5.3
l
F
BA
ba
C
LFb LFa
xLFbxM?1 ax0
axFxLFbxM2
Lxa
AC段
xLFbxMEI z 11? 121 2 CxLFbEI z
1131 6 DxCxL
FbEI
zCB段
axFxLFbxMEI z 22 2222 212 CaxFxLFbz
22332 616 DxCaxFxLFbEI z
0?x 00 Lx 0?L?01?D
axaa 21aa 21
22213 2122 CaaFaLFbCaLFb
21 CC
2233113 6166 DaCaaFaLFbDaCaLFb
21 DD?
0616 233 LCaLFLLFbLEI Z22
21 6 bLL
FbCC
L
bLFbx
L
FbEI
z 62
222
1
x
L
bLFbx
L
FbEI
z 66
223
1
L
bLFbaxFx
L
FbEI
z 62
1
2
2222
2
xL bLFbaxFxLFbEI z 6616 22332
求图示简支梁在集中荷载 F的作用下（ F力在右半跨）的最大挠度。
x
x
y x
例题 5.3
l
F
BA
ba
C
LFb LFa
L
bLFbx
L
FbEI
z 62
222
1
x
L
bLFbx
L
FbEI
z 66
223
1
L bLFbaxFxLFbEI z 6212 22222
xL bLFbaxFxLFbEI z 6616 22332
最大转角 0 0?xM 0?x Lx?
LEI
bLFb
z
A 6
22
LEI
bLF ab
z6
L bLFbaLFLLFbEI Bz 6212
2222
LEI
aLF a b
z
B 6
力靠近哪个支座，哪边的转角最大。最大挠度
0 令 x=a
L
bLFba
L
FbEI
Cz 62
222
L
baF a b
C 3
转角为零的点在 AC段
0
62
222
0?
L
bLFbx
L
Fb 3 220 bLx Lb 2
1? Lx 210?
0?b Lx 330? L577.0?一般认为梁的最大挠度就发生在跨中例题 5.4 画出挠曲线大致形状。图中 C为中间铰。
A
F
两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。
21
21
例题 5.5
F
BA
q
C
L
zEI
a
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 ;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段 AB,BC.
共有四个积分常数
ax? 0?B?
Lax 0?C?
x
y
边界条件连续条件
ax? 21 BB
21 BB
例题 5.5 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 ;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
2l
BA
q
C
2l
zEI k
x
y
挠曲线方程应分两段 AB,BC.
共有四个积分常数
0?x 0?A?
Lx?
k
Fc
C
边界条件连续条件
2
L?x 21 BB
21 BB
k
qL
8?
例题 5.5 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 ;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
A
2L
1zEI 2zEI
F
B C2L
x
y
挠曲线方程应分两段 AB,BC.
共有四个积分常数
0?x 0?A?
0?A?
边界条件连续条件
2
L?x 21 BB
21 BB
L
A B
C
q
ZEI
EA L1
全梁仅一个挠曲线方程共有两个积分常数
0?x 0?A?
Lx?
BCB L
边界条件
EA
qLL
2
1?
例题 5.5 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 ;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
x
y
A
a LB
C
eM
zEI
例题 5.5 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段 ;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段 AB,BC.
共有四个积分常数
0?x 0?A?
0?A?
边界条件连续条件
a?x 21 BB
x
y
Lax 0?C?
ZEI
xM )(1?
3
2
2
2
)(1
1
dx
d
dx
d
Z
EI
xM
dx
d
dx
d
)(
)(1
3
2
2
2
ZEI
xM
dx
d )(
2
2
xo
y
M?M
02
2
dx yd
ZEI
xM
dx
d )(
2
2
xo
y
M?M
02
2
dx yd
ZEI
xM
dx
d )(
2
2
梁挠曲线近似微分方程
1)( CdxEI xMdxd
Z
21)( CxCdxdxEI xM
Z
ZEI
xM
dx
d )(
2
2
C
C?
A B
B?
x
y
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。
dxd ta n
通过积分求弯曲位移的特征：
1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。
3、积分常数由位移边界条件确定。
积分常数 C1,C2由边界条件确定
0?x Lx?
0?x
0
X
y
0
X
y
0
0
A?
求图所示悬臂梁 A端的挠度与转角。
x
y
x
A?
例题 5.1
l
A
B
F FxxM
1)( CdxEI xMdxd
Z
1CF x d xdx
dEI
z
2122 CxCdxFxEI z? 213
6 CxC
FxEI
z
1
2
2 C
FxEI
z
边界条件
Lx? 0?B?
zEI
FLC
2
2
1
Lx? 0?B?
zEI
FLC
3
3
2?
zz EI
FL
EI
Fx
22
22
zzz EI
FLx
EI
FL
EI
Fx
326
323
0?x
z
A EI
FL
2
2
z
A EI
FL
3
3
例题 5.2 求图所示悬臂梁 B端的挠度与转角。
l
A
B
x
y
x
221 xLqxM
221 xLqxMEI z
1361 CxLqEIEI zz
214241 CxCxLqEI z
边界条件
0?x 0
zEI
qLC
6
3
1?
0?x 0
zEI
qLC
24
3
2
336 LxLEIq
z
434 424 LxLxLEIq
z
Lx?
z
B EI
qL
6
3
z
B EI
qL
8
4
求图示简支梁在集中荷载 F的作用下（ F力在右半跨）的最大挠度。
x
x
y x
例题 5.3
l
F
BA
ba
C
LFb LFa
xLFbxM?1 ax0
axFxLFbxM2
Lxa
AC段
xLFbxMEI z 11? 121 2 CxLFbEI z
1131 6 DxCxL
FbEI
zCB段
axFxLFbxMEI z 22 2222 212 CaxFxLFbz
22332 616 DxCaxFxLFbEI z
0?x 00 Lx 0?L?01?D
axaa 21aa 21
22213 2122 CaaFaLFbCaLFb
21 CC
2233113 6166 DaCaaFaLFbDaCaLFb
21 DD?
0616 233 LCaLFLLFbLEI Z22
21 6 bLL
FbCC
L
bLFbx
L
FbEI
z 62
222
1
x
L
bLFbx
L
FbEI
z 66
223
1
L
bLFbaxFx
L
FbEI
z 62
1
2
2222
2
xL bLFbaxFxLFbEI z 6616 22332
求图示简支梁在集中荷载 F的作用下（ F力在右半跨）的最大挠度。
x
x
y x
例题 5.3
l
F
BA
ba
C
LFb LFa
L
bLFbx
L
FbEI
z 62
222
1
x
L
bLFbx
L
FbEI
z 66
223
1
L bLFbaxFxLFbEI z 6212 22222
xL bLFbaxFxLFbEI z 6616 22332
最大转角 0 0?xM 0?x Lx?
LEI
bLFb
z
A 6
22
LEI
bLF ab
z6
L bLFbaLFLLFbEI Bz 6212
2222
LEI
aLF a b
z
B 6
力靠近哪个支座，哪边的转角最大。最大挠度
0 令 x=a
L
bLFba
L
FbEI
Cz 62
222
L
baF a b
C 3
转角为零的点在 AC段
0
62
222
0?
L
bLFbx
L
Fb 3 220 bLx Lb 2
1? Lx 210?
0?b Lx 330? L577.0?一般认为梁的最大挠度就发生在跨中例题 5.4 画出挠曲线大致形状。图中 C为中间铰。
A
F
两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。
21
21
例题 5.5
F
BA
q
C
L
zEI
a
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 ;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段 AB,BC.
共有四个积分常数
ax? 0?B?
Lax 0?C?
x
y
边界条件连续条件
ax? 21 BB
21 BB
例题 5.5 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 ;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
2l
BA
q
C
2l
zEI k
x
y
挠曲线方程应分两段 AB,BC.
共有四个积分常数
0?x 0?A?
Lx?
k
Fc
C
边界条件连续条件
2
L?x 21 BB
21 BB
k
qL
8?
例题 5.5 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 ;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
A
2L
1zEI 2zEI
F
B C2L
x
y
挠曲线方程应分两段 AB,BC.
共有四个积分常数
0?x 0?A?
0?A?
边界条件连续条件
2
L?x 21 BB
21 BB
L
A B
C
q
ZEI
EA L1
全梁仅一个挠曲线方程共有两个积分常数
0?x 0?A?
Lx?
BCB L
边界条件
EA
qLL
2
1?
例题 5.5 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段 ;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
x
y
A
a LB
C
eM
zEI
例题 5.5 用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段 ;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段 AB,BC.
共有四个积分常数
0?x 0?A?
0?A?
边界条件连续条件
a?x 21 BB
x
y
Lax 0?C?
