第六章 简单的超静定问题
1.超静定问题及其解法未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为 静定问题,相应的结构称为 静定结构,
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为 超静定问题 或 静不定问题,相应的结构称为 超静定结构 或 静不定结构,
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为 多余约束,
未知力个数与平衡方程数之差,称为 超静定次数 或 静不定次数,
l
BA
q
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面,
2.拉压超静定问题 一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的 B端作用有载荷 F,
垂直杆 1,2的抗拉压刚度分别为 E1A1,E2A2,若横梁 AB的自重不计,求两杆中的内力,
a
A
B
L11 2
C
a F
a
A
B
C
a F
1NF 2NF
1L?
2L?
0 AM
02221 aFaFaF NN
212 LL
变形协调方程
22
2
11
12
AE
LF
AE
LF NN?
1122
1 41
2
AEAE
FF
N
2211
2 4
4
AEAE
FF
N
例题 6.1
列静力平衡方程 0
AM
035.13/301 mFmmmkNmF N B DN C E
N B DN C E FkNF 3135
变形协调方程
CEDB LL 3 Em
lF
Em
lF NCEN B D
2626 104 0 0
3
102 0 0
8.1
NCENB D FF 6
5?
kNFNB D 2.32? kNFNCE 4.38?
DB
NBDBD AF 2
3
200
102.32
mm
NM P a161?
CE
NCECE AF 2
3
400
104.38
mm
NM Pa96?
图示刚性梁 AB受均布载荷作用，梁在 A端铰支，在 B点和 C
点由两根钢杆 BD和 CE支承。已知钢杆的横截面面积 ADB=200mm2，
ACE=400mm2，其许用应力 [σ]=170MPa，试校核钢杆的强度。
2m1m
CEL?
DBL?
2.拉压超静定问题
1.8
L
L 2m1m
A
E
mkN/30
B
C
D
A
E
mkN/30
B
C
D
B
BDF
BDF?
例题 6.2
1L?
2L?
列静力平衡方程 0
AM
21 42 FmFFm
FFF 21 2
变形协调方程 mL 21 mL 42
12 2 LL
1
!1
111 TLAE LFL g 2
22
222 TLAE LFL t
2
22
22 TLAE LF t )(2 1
!1
11 TLAE LF g
NFF 212 102.45.165.1242081.2
kNF 52.381 kNF 26.1192
计算 1,2杆的正应力
1
11 AF 2
3
1000
1052.38
mm
N M Pa5.38
2
22 AF
2
3
2 0 0 0
1026.1 1 9
mm
N M Pa6.59
图示结构中的三角形板可视为刚性板。 1杆材料为钢,2杆材料为铜，
两杆的横截面面积分别为 A钢 =1000mm2,A铜 =2000mm2。当 F=200kN，
且温度升高 20℃ 时，试求 1,2杆内的应力。钢杆的弹性模量为 E钢 =210GPa，
线膨胀系数 αl钢 =12.5× 10-6 ℃ -1； 铜杆的弹性模量为 E铜 =100GPa，线膨胀系数 αl铜 =16.5× 10-6 ℃ -1；
m2
m2
1 1F F
A
m4 2F m12
例题 6.3
例题 6.4
BA L EA
BA
L EA?
L
EA
LF N
L
L
EAF
N
L
E
G PaE 200?
10001?L?
M P a200
3.扭转超静定问题
BA
L L L
eM eM
0 BA MM
0?BA?
p
A
GI
LM
p
eA
GI
LMM
p
A
GI
LM? 0?
3
e
BA
MMM
例题 6.5
L
BA
q
ZEI
BF
L
BA
q
qlFA 85?
qlFB 83?
281 qlmA?
ql83
ql85
kN
21289 ql
281ql
4.简单超静定梁
L
BA
q
ZEI
l
BA
q
ZEI 1B?
l
B
A
ZEI
2B?
BF
021 BB
ZEI
qL
8
4
Z
B
EI
LF
3
3
0?
qlFB 83?
kNm
例题 6.6
图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座,梁作用有均布荷载,已知,均布荷载集度 q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径 d=100mm,[σ]=100MPa.
试校核该梁的强度,
例题 6.7
2L
BA
2L
q
C
CFAF BF
列静力平衡方程
0 qLFFF CBA
0yF
0 AM
022 2 qLLFLF BC
变形协调方程
0 CCC Fq ZEIqL3845
4
Z
C
EI
LF
48
3
0? qLFC 85? qLFB 16
3? qLFA 163?
kNm22.4
kNm5.7
kNm22.4
k N mM 5.7m ax?
ZW
M max
3
max32 dM MPa4.76
例题 6.8 试求图示梁的支反力
m4
B
A
mkN20
m2 m2
kN40
D
C
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不计,所以为一次超静定,
B
m2 m2
kN40
D
C
m4
A
mkN20
B
BF
BF?
1B?
2B?
21 BB
Z
B EI
qL
8
4
1
Z
B
EI
LF
3
3
Z
B
B EI
LF
3
3
2
Z
P
EI
L
F
3
2
3
22
2
2
L
EI
L
F
Z
P
485823 PB FqLF kN75.8?
AF
BA FqLF kN25.71?
AM
LFqLM BA 2
2 kNm125?
CF
BPC FFF kN75.48?
CM
LFLFM BPC 2 kNm115?
例题 6.9 结构如图示,设梁 AB和 CD的弯曲刚度 EIz相同,
拉杆 BC的拉压刚度 EA为已知,求拉杆 BC的轴力,
a2
B
A
q
a
C
a
D
a2
B
A
q
将杆 CB移除，则 AB,CD均为静定结构，杆
CB的未知轴力 FN作用在 AB,CD梁上。为 1次超静定。
C
a
a
D
NF
NF
NF
NF
BCCB L
Z
B EI
aq
8
2 4
Z
N
EI
aF
3
2 3?
Z
N
C EI
aF
3
3
EA
aFL N
BC
EA
aF
EI
aF
EI
aF
EI
aq N
Z
N
Z
N
Z
33 28 2
334 ZN IAa
AqaF
2
3
3
2
例题 6.10 当系统的温度升高时,下列结构中的 ____不会产生温度应力,
AB
C
D
A
例题 6.11 图示静不定梁承受集中力 F和集中力偶 Me作用,
梁的两端铰支,中间截面 C处有弹簧支座,在下列关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论中,___是错误的,
A,若取支反力 FB为多余约束力，则变形协调条件是截面 B的挠度 ωB=0;
B,若取支承面 C1对弹簧底面的作用力 Fc1为多余约束力，则变形协调条件为 C1
面的铅垂线位移 ΔC1=0;
C,若取支承面 C1对弹簧底面的作用力 Fc1为多余约束力，则变形协调条件为 C1
面的铅垂线位移 ΔC1等于弹簧的变形 ;
D,若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在 C截面的挠度 ωc等于弹簧的变形。
F
eM
BF
A BC
1C
1CF
C
例题 6.12 图示等直梁承受均布荷载 q作用,C处用铰链连接,在截面 C上 _____.
A,有弯矩，无剪力；
B,有剪力，无弯矩；
C,既有弯矩又有剪力；
D,既无弯矩又无剪力；
2L
B
A
q
C
2L
D
例题 6.13 等直梁受载如图所示,若从截面 C截开选取基本结构,则 _____.
2L
B
A
q
C
2L
A,多余约束力为 FC，变形协调条件为 ωC=0;
B,多余约束力为 FC，变形协调条件为 θC=0;
C,多余约束力为 MC，变形协调条件为 ωC=0;
D,多余约束力为 MC，变形协调条件为 θC=0;
A
本章作业
6－ 4,6－ 11，
6－ 15,6－ 17,6－ 18，
6－ 1，
1.超静定问题及其解法未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为 静定问题,相应的结构称为 静定结构,
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为 超静定问题 或 静不定问题,相应的结构称为 超静定结构 或 静不定结构,
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为 多余约束,
未知力个数与平衡方程数之差,称为 超静定次数 或 静不定次数,
l
BA
q
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面,
2.拉压超静定问题 一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的 B端作用有载荷 F,
垂直杆 1,2的抗拉压刚度分别为 E1A1,E2A2,若横梁 AB的自重不计,求两杆中的内力,
a
A
B
L11 2
C
a F
a
A
B
C
a F
1NF 2NF
1L?
2L?
0 AM
02221 aFaFaF NN
212 LL
变形协调方程
22
2
11
12
AE
LF
AE
LF NN?
1122
1 41
2
AEAE
FF
N
2211
2 4
4
AEAE
FF
N
例题 6.1
列静力平衡方程 0
AM
035.13/301 mFmmmkNmF N B DN C E
N B DN C E FkNF 3135
变形协调方程
CEDB LL 3 Em
lF
Em
lF NCEN B D
2626 104 0 0
3
102 0 0
8.1
NCENB D FF 6
5?
kNFNB D 2.32? kNFNCE 4.38?
DB
NBDBD AF 2
3
200
102.32
mm
NM P a161?
CE
NCECE AF 2
3
400
104.38
mm
NM Pa96?
图示刚性梁 AB受均布载荷作用，梁在 A端铰支，在 B点和 C
点由两根钢杆 BD和 CE支承。已知钢杆的横截面面积 ADB=200mm2，
ACE=400mm2，其许用应力 [σ]=170MPa，试校核钢杆的强度。
2m1m
CEL?
DBL?
2.拉压超静定问题
1.8
L
L 2m1m
A
E
mkN/30
B
C
D
A
E
mkN/30
B
C
D
B
BDF
BDF?
例题 6.2
1L?
2L?
列静力平衡方程 0
AM
21 42 FmFFm
FFF 21 2
变形协调方程 mL 21 mL 42
12 2 LL
1
!1
111 TLAE LFL g 2
22
222 TLAE LFL t
2
22
22 TLAE LF t )(2 1
!1
11 TLAE LF g
NFF 212 102.45.165.1242081.2
kNF 52.381 kNF 26.1192
计算 1,2杆的正应力
1
11 AF 2
3
1000
1052.38
mm
N M Pa5.38
2
22 AF
2
3
2 0 0 0
1026.1 1 9
mm
N M Pa6.59
图示结构中的三角形板可视为刚性板。 1杆材料为钢,2杆材料为铜，
两杆的横截面面积分别为 A钢 =1000mm2,A铜 =2000mm2。当 F=200kN，
且温度升高 20℃ 时，试求 1,2杆内的应力。钢杆的弹性模量为 E钢 =210GPa，
线膨胀系数 αl钢 =12.5× 10-6 ℃ -1； 铜杆的弹性模量为 E铜 =100GPa，线膨胀系数 αl铜 =16.5× 10-6 ℃ -1；
m2
m2
1 1F F
A
m4 2F m12
例题 6.3
例题 6.4
BA L EA
BA
L EA?
L
EA
LF N
L
L
EAF
N
L
E
G PaE 200?
10001?L?
M P a200
3.扭转超静定问题
BA
L L L
eM eM
0 BA MM
0?BA?
p
A
GI
LM
p
eA
GI
LMM
p
A
GI
LM? 0?
3
e
BA
MMM
例题 6.5
L
BA
q
ZEI
BF
L
BA
q
qlFA 85?
qlFB 83?
281 qlmA?
ql83
ql85
kN
21289 ql
281ql
4.简单超静定梁
L
BA
q
ZEI
l
BA
q
ZEI 1B?
l
B
A
ZEI
2B?
BF
021 BB
ZEI
qL
8
4
Z
B
EI
LF
3
3
0?
qlFB 83?
kNm
例题 6.6
图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座,梁作用有均布荷载,已知,均布荷载集度 q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径 d=100mm,[σ]=100MPa.
试校核该梁的强度,
例题 6.7
2L
BA
2L
q
C
CFAF BF
列静力平衡方程
0 qLFFF CBA
0yF
0 AM
022 2 qLLFLF BC
变形协调方程
0 CCC Fq ZEIqL3845
4
Z
C
EI
LF
48
3
0? qLFC 85? qLFB 16
3? qLFA 163?
kNm22.4
kNm5.7
kNm22.4
k N mM 5.7m ax?
ZW
M max
3
max32 dM MPa4.76
例题 6.8 试求图示梁的支反力
m4
B
A
mkN20
m2 m2
kN40
D
C
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不计,所以为一次超静定,
B
m2 m2
kN40
D
C
m4
A
mkN20
B
BF
BF?
1B?
2B?
21 BB
Z
B EI
qL
8
4
1
Z
B
EI
LF
3
3
Z
B
B EI
LF
3
3
2
Z
P
EI
L
F
3
2
3
22
2
2
L
EI
L
F
Z
P
485823 PB FqLF kN75.8?
AF
BA FqLF kN25.71?
AM
LFqLM BA 2
2 kNm125?
CF
BPC FFF kN75.48?
CM
LFLFM BPC 2 kNm115?
例题 6.9 结构如图示,设梁 AB和 CD的弯曲刚度 EIz相同,
拉杆 BC的拉压刚度 EA为已知,求拉杆 BC的轴力,
a2
B
A
q
a
C
a
D
a2
B
A
q
将杆 CB移除，则 AB,CD均为静定结构，杆
CB的未知轴力 FN作用在 AB,CD梁上。为 1次超静定。
C
a
a
D
NF
NF
NF
NF
BCCB L
Z
B EI
aq
8
2 4
Z
N
EI
aF
3
2 3?
Z
N
C EI
aF
3
3
EA
aFL N
BC
EA
aF
EI
aF
EI
aF
EI
aq N
Z
N
Z
N
Z
33 28 2
334 ZN IAa
AqaF
2
3
3
2
例题 6.10 当系统的温度升高时,下列结构中的 ____不会产生温度应力,
AB
C
D
A
例题 6.11 图示静不定梁承受集中力 F和集中力偶 Me作用,
梁的两端铰支,中间截面 C处有弹簧支座,在下列关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论中,___是错误的,
A,若取支反力 FB为多余约束力，则变形协调条件是截面 B的挠度 ωB=0;
B,若取支承面 C1对弹簧底面的作用力 Fc1为多余约束力，则变形协调条件为 C1
面的铅垂线位移 ΔC1=0;
C,若取支承面 C1对弹簧底面的作用力 Fc1为多余约束力，则变形协调条件为 C1
面的铅垂线位移 ΔC1等于弹簧的变形 ;
D,若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在 C截面的挠度 ωc等于弹簧的变形。
F
eM
BF
A BC
1C
1CF
C
例题 6.12 图示等直梁承受均布荷载 q作用,C处用铰链连接,在截面 C上 _____.
A,有弯矩，无剪力；
B,有剪力，无弯矩；
C,既有弯矩又有剪力；
D,既无弯矩又无剪力；
2L
B
A
q
C
2L
D
例题 6.13 等直梁受载如图所示,若从截面 C截开选取基本结构,则 _____.
2L
B
A
q
C
2L
A,多余约束力为 FC，变形协调条件为 ωC=0;
B,多余约束力为 FC，变形协调条件为 θC=0;
C,多余约束力为 MC，变形协调条件为 ωC=0;
D,多余约束力为 MC，变形协调条件为 θC=0;
A
本章作业
6－ 4,6－ 11，
6－ 15,6－ 17,6－ 18，
6－ 1，
