§ 2 平面应力状态的应力分析 主应力一、公式推导：
a
x?
y?
c
x?
b
a
y
c
n
x?
y?
y?
x?
0?F 0 nF
dA c o sc o sdAx s inc o sdAx c o ss indAy s ins indAy? 0?
dA s incosdAx c o sc o sdAx s ins indAy c o ss indAy? 0?
2
2c o s1c o s 2
2
2c o s1s in 2
yx
x y?
2?
2c o s
2
yx 2sinx?
2s in
2
yx 2c o sx?
二、符号规定：
α 角由 x正向逆时针转到 n正向者为正；反之为负。
n
x
正 应 力
y?
x
拉应力为正
x
压应力为负切 应 力
y?
x?
使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面 ab和 bc的外法线分别与 x
轴成 300和－ 600角，试求此二斜面 ab和 bc上的应力。
MPa20
MPa10
3
MPa30
a
b
c
1n
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2
3010
030
060c o s
2
3010 060sin20? M Pa32.2
2s in
2
yx 2co sx?
0
30 60s in2
3010
0
060co s20? MPa33.1?
2n
2
3010
060
01 2 0c o s
2
301001 2 0s in20 M Pa32.42?
060 1 2 0s in2 3010001 2 0c o s20 M Pa33.1
00 6030 yx MPa40
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其 σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x?
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2c o s22 yx
2s in
2
yx 2co sx?
2s in2x?
045
2045 x
2045 x
max
低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿 450出现滑移线，是由最大切应力引起的。
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2s in
2s in
2
yx 2co sx?
2c o s?
045
m a x45 0
m a x45 0
0045
min?
max?
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即 450螺旋面）断开的。因此，
可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。
应力圆一、应力圆的方程式
222)( Ryax
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2s in
2
yx 2co sx?
2
2
2
2
22 x
yxyx
二,应力圆的画法在 τα－ σα坐标系中，标定与微元垂直的 A,D面上 应力对应的点 a和 d
连 ad交 σ α 轴于 c点,c即为圆心,cd为 应力圆半径。
a (?x,?x)
d
(?y,?y)
c
x y?
2
y
y?
x?
A
D
x?
o
３、几种对应关系点面对应 —— 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；
转向对应 —— 半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；
二倍角对应 —— 半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。
y
y?
x?
A
D
x?
a (?x,?x)
d(?
y,?y)
c
o
点 面 对 应
y
y?
x?
x
c
a
A
c
转向对应、二倍角对应
a
n
b
试用应力圆法计算图示单元体 e--f截面上的应力。图中应力的单位为 MPa。
4.4
2.2
n
030
e
f
o
a
d
c
M Pa2.5030
M Pa8.0030
060
对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力
τ max＜ 85MPa，试求 τ x的取值范围。图中应力的单位为
MPa。
50
100
x?
o
x?,100
y?,50
a
d
c
x?
2 yx
2
2
2
2
22 x
yxyx
2
m a x
2
2
2
x
yx
x
22
2
852 50100100?x
M P ax 40
主应力和主平面切应力等于零的截面为主平面主平面上的正应力称为主应力
a (?x,?x)
d
(?y,?y)
c
x y?
2
o
2
2
2
2
22 x
yxyx
2
2
1 22 x
yxyx
1?
2?
02?
yx
xtg
22
0
000 2)90(2 tgtg
2
2
2 22 x
yxyx
已知矩形截面梁,某截面上的剪力 Fs=120kN及弯矩 M=10kNm.绘出表示 1,2,3,4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。
b=60mm,h=100mm.
b
h
z
sF
M 1
2
3
mm25
4
1、画各点应力状态图
1
3?
2
3
4
1?
2、计算各点主应力
12
3bhI
z?
4500 cm
zI
My?1?
4
3
10500
501010
MPa100?
1点
021 M P a1 0 03
2点 (处于纯剪状态 )
A
Fs
2
3
max 1 0 0602 101 2 03
3
MPa30?
2213 4212 xyxyx
M Pa301 02 M P a303
3点 (一般平面状态 )
zI
My?3?
4
3
10500
251010
MPa50?
bI
SF
z
zs
*
6010500
5.37256010120
4
3
MPa5.22?
M P a6.581 02 M P a6.83
4点
M P a1 0 01
02
03
自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,.试求此点的主应力及主平面,
3
a
bd
060 060
a
bc
x?
ad面,db面是该点的主平面,
x
y
0 xF
030c o s30s in 00 abxab AA
3x 3
1
02
33
3?
构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图所示。试用应力圆求主应力和最大切应力
A
50
100
100 200
o
100,200
50,100
c
在应力圆上量取
M P a2351
02
M P a1 1 03
M Pa5.172m a x
平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩
2s in2 x?)2c o s1(
2?
x
x ＝ 1 0 32
2m i nm a x
x
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2s in
2
yx 2co sx?
平面应力状态的几种特殊情况扭 转
2c o s x 2s in x
x ＝ 1 x3 - ＝
xm i nm a x
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2s in
2
yx 2co sx?
0 2 ＝?
弯 曲平面应力状态的几种特殊情况
22
m i n
m a x )2( x
x
2s in
2
yx 2co sx?
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2
2
13 22 x
xx
2s in2c o s22 xxx
2c o s2s in2 xx
2
2
13 22 x
yxyx
a
x?
y?
c
x?
b
a
y
c
n
x?
y?
y?
x?
0?F 0 nF
dA c o sc o sdAx s inc o sdAx c o ss indAy s ins indAy? 0?
dA s incosdAx c o sc o sdAx s ins indAy c o ss indAy? 0?
2
2c o s1c o s 2
2
2c o s1s in 2
yx
x y?
2?
2c o s
2
yx 2sinx?
2s in
2
yx 2c o sx?
二、符号规定：
α 角由 x正向逆时针转到 n正向者为正；反之为负。
n
x
正 应 力
y?
x
拉应力为正
x
压应力为负切 应 力
y?
x?
使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面 ab和 bc的外法线分别与 x
轴成 300和－ 600角，试求此二斜面 ab和 bc上的应力。
MPa20
MPa10
3
MPa30
a
b
c
1n
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2
3010
030
060c o s
2
3010 060sin20? M Pa32.2
2s in
2
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0
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3010
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2n
2
3010
060
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2
301001 2 0s in20 M Pa32.42?
060 1 2 0s in2 3010001 2 0c o s20 M Pa33.1
00 6030 yx MPa40
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其 σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x?
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2c o s22 yx
2s in
2
yx 2co sx?
2s in2x?
045
2045 x
2045 x
max
低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿 450出现滑移线，是由最大切应力引起的。
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2s in
2s in
2
yx 2co sx?
2c o s?
045
m a x45 0
m a x45 0
0045
min?
max?
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即 450螺旋面）断开的。因此，
可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。
应力圆一、应力圆的方程式
222)( Ryax
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2s in
2
yx 2co sx?
2
2
2
2
22 x
yxyx
二,应力圆的画法在 τα－ σα坐标系中，标定与微元垂直的 A,D面上 应力对应的点 a和 d
连 ad交 σ α 轴于 c点,c即为圆心,cd为 应力圆半径。
a (?x,?x)
d
(?y,?y)
c
x y?
2
y
y?
x?
A
D
x?
o
３、几种对应关系点面对应 —— 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；
转向对应 —— 半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；
二倍角对应 —— 半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。
y
y?
x?
A
D
x?
a (?x,?x)
d(?
y,?y)
c
o
点 面 对 应
y
y?
x?
x
c
a
A
c
转向对应、二倍角对应
a
n
b
试用应力圆法计算图示单元体 e--f截面上的应力。图中应力的单位为 MPa。
4.4
2.2
n
030
e
f
o
a
d
c
M Pa2.5030
M Pa8.0030
060
对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力
τ max＜ 85MPa，试求 τ x的取值范围。图中应力的单位为
MPa。
50
100
x?
o
x?,100
y?,50
a
d
c
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2 yx
2
2
2
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2
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x
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2
852 50100100?x
M P ax 40
主应力和主平面切应力等于零的截面为主平面主平面上的正应力称为主应力
a (?x,?x)
d
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c
x y?
2
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2
2
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2
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1?
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yx
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000 2)90(2 tgtg
2
2
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yxyx
已知矩形截面梁,某截面上的剪力 Fs=120kN及弯矩 M=10kNm.绘出表示 1,2,3,4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。
b=60mm,h=100mm.
b
h
z
sF
M 1
2
3
mm25
4
1、画各点应力状态图
1
3?
2
3
4
1?
2、计算各点主应力
12
3bhI
z?
4500 cm
zI
My?1?
4
3
10500
501010
MPa100?
1点
021 M P a1 0 03
2点 (处于纯剪状态 )
A
Fs
2
3
max 1 0 0602 101 2 03
3
MPa30?
2213 4212 xyxyx
M Pa301 02 M P a303
3点 (一般平面状态 )
zI
My?3?
4
3
10500
251010
MPa50?
bI
SF
z
zs
*
6010500
5.37256010120
4
3
MPa5.22?
M P a6.581 02 M P a6.83
4点
M P a1 0 01
02
03
自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,.试求此点的主应力及主平面,
3
a
bd
060 060
a
bc
x?
ad面,db面是该点的主平面,
x
y
0 xF
030c o s30s in 00 abxab AA
3x 3
1
02
33
3?
构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图所示。试用应力圆求主应力和最大切应力
A
50
100
100 200
o
100,200
50,100
c
在应力圆上量取
M P a2351
02
M P a1 1 03
M Pa5.172m a x
平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩
2s in2 x?)2c o s1(
2?
x
x ＝ 1 0 32
2m i nm a x
x
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2s in
2
yx 2co sx?
平面应力状态的几种特殊情况扭 转
2c o s x 2s in x
x ＝ 1 x3 - ＝
xm i nm a x
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2s in
2
yx 2co sx?
0 2 ＝?
弯 曲平面应力状态的几种特殊情况
22
m i n
m a x )2( x
x
2s in
2
yx 2co sx?
x y?2 2c o s2 yx 2sinx?
2
2
13 22 x
xx
2s in2c o s22 xxx
2c o s2s in2 xx
2
2
13 22 x
yxyx
