纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，
这种弯曲称为纯弯曲。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
a
F
A C
a
F
BD
§ 4 梁横截面上的正应力,梁的正应力条件
F
F
Fa
实验现象,?1、变形前互相平行的纵向直线、
变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。
中性轴：
中性层与横截面的交线称为中性轴。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍为平面。
m
m
n
n
FF
中性层中性轴
m
1o
n
n
2o
m
dx
m
m
n
n
o
z
y
o
d
dx
m
m
n
n
FF
y
d
ddy
y?
E
Ey
M M 中性轴
y
z
y
dA
A dANF
A dAzyM
A dAyzM
A ydAE? 0?
A zydAE? 0?
A dAyE 2ZEI?
Z
Z
EI
M?
1
z
z
I
yM
z
z
I
yM
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
dx
m
m
n
n
o
z
y
o
M M 中性轴
y
z
dA
zW
xM?
m a x?
M
中性轴
M
z
z
W
M?
m ax?
长为 l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力 F，
已知 b＝ 120mm,h＝ 180mm,l＝ 2m,F＝ 1.6kN，
试求 B截面上 a,b,c各点的正应力。
2l
F
2l
A B
C
b
h
6h
2h
a
b
cFL
FLM B 21? 123bhIZ?
Z
aBa I yM
12
32
1
3bh
hFL
MPa65.1?
0?b?
Z
cBc I yM
12
22
1
3bh
hFL
MPa47.2? （ 压 ）
例题 4.20
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。
m4
mkNq 2?
100
200
200
100
8
2qL
竖放
ZW
M max
max
6
8
2
2
bh
qL
MPa6?
横放
ZW
M max
max
6
8
2
2
hb
qL
MPa12?
例题 4.21
图示 T形截面简支梁在中点承受集中力 F＝ 32kN，梁的长度 L＝ 2m。 T形截面的形心坐标 yc＝ 96.4mm，横截面对于 z轴的惯性矩 Iz＝ 1.02× 108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
2l 2l
A B
F
4max
FLM? kNm16?
4.96502 0 0m a xy mm6.153?
mmy 4.96m ax
z
y
C
150
50
200
50
4.96
ZI
My max
max?
M Pa09.24?
ZI
My max
max?
M Pa12.15?
例题 4.22
梁的正应力强度条件
ZW
M
Iz
My m a x
m a x?
zW
M
Iz
yM m a xm a xm a x
m a x
对梁的某一截面：
对全梁（等截面）：
Wz
M m a x
m a x
长为 2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为 0.5m，梁上承受均布荷载,q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度［ σ ］ =215MPa。
m5.0 m2
mkNq 30?
A B
kNFA 9.46? kNFB 1.28?
15
9.31
1.28
kN
kNm
75.3
16.13
maxMWZ? 32.61 cm?
查表
N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
例题 4.23
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩
Iz=403× 10－ 7m4，铸铁抗拉强度［ σ ＋ ］ =50MPa，抗压强度
［ σ － ］ =125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。
m1 m2
A
B
mkNq 12?
m3
kNF 25?
C D
24
75.12 mkN?
200
30
170
61
139
30
z
B截面
MPa3.36?
7
33
m a x 104 0 3
101 3 91024
B?
MPa8.82?
7
33
m a x 104 0 3
10611024
B?
C截面
7
33
m a x 10403
101391075.12
C?
MPa44?
例题 4.24
如果 T截面倒置会如何铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中 F＝ 20kN。梁的截面为 T字形，形心坐标 yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为 [σ] +＝ 40MPa,[σ] － ＝ 100MPa。试校核梁的强度是否安全。
1400 600
F
F2
A CB
z
y
150
50
200
50
4.96
kNm16
kNm12
A
Z
lA
A I
yM
8
3
1002.1
4.962 5 01016
M P a09.24?
Z
yA
A I
yM
8
3
1002.1
4.961016
M P a12.15?
B
Z
yB
B I
yM
02.1
4.962 5 01012 3 M P a07.18?
例题 4.25
为了起吊重量为 F＝ 300kN的大型设备，采用一台 150kN和一台
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度 l=4m，型钢材料的许用应力 [σ] ＝ 160MPa,试计算,1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？ 2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
吊车kN20 0 吊车kN150
BA
C 辅助梁
x
F
l
1.确定 F加在辅助梁的位置
FA FB
0AM 0 xlFlF B
0BM 0 lFxF AlFxFA?
l
xlFF P
B
令, kN
l
xlFF
B 1 5 0?
kNlFxF A 2 0 0
mx 667.2? mx 2?
6 6 7.22 x
例题 4.26
为了起吊重量为 F＝ 300kN的大型设备，采用一台 150kN和一台
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度 l=4m，型钢材料的许用应力
[σ] ＝ 160MPa,试计算,1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？ 2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
吊车kN20 0 吊车kN150
BA
C 辅助梁
x
F
l
FA FB
6 6 7.22 x
667.2200m a x lAM kNm6.266?
21 5 0m a xBM kNm300?
zW
BM m a x
m a x
33m a x 108 7 5.1 cmBMW
Z
100875.1 86.1875.1 ％ 8.0? ％
2.确定工字钢型号图示结构承受均布载荷,AC为 10号工字钢梁,B处用直径 d=20mm的钢杆 BD悬吊，梁和杆的许用应力 [σ] ＝
160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷 [q]。
m2 m1
A
B
D
C
q
d
FA
FB
kNqFA 43? kNqFB 49?
329q
q21
ZW
maxM
ZW
q5.0
mkNWq Z /68.15
5.0
AF N B D
梁的强度杆的强度
2
4
1
4
9
d
q
291 dq? mkN /3.22 mkNq /68.15?
例题 4.27
验算题图所示广告牌立柱的强度。已知风载设计值为
0.5kN/m2，工字钢立柱的［ σ ］＝ 215MPa。
m2 m2 m2
I I
204 0IN
m5
mkNq /125.0
mkNqlM /5.1221 2m a x
查表,
33102 3 7 mmW Z
M P aWM
Z
7.52
例题 4.28
试对图示结构布置图中的 L－ 2梁进行截面选择。两梁均采用工字钢截面,[σ] ＝ 215MPa，已知 L－ 1梁上简支板的荷载设计值为 3.5kN/m2。
2?L
1?L
m1052
m4
m2
mkNq /725.3
kNF 5.314 367
5.31 5.31 5.31 5.31
kNm189
3
3
m a x 8 7 9
2 1 5
101 8 9 cmMW
Z?
查表,
I 36a
例题 4.29
h
b
x dx
q
B
l
A
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长 。例题 4.30
解,1、计算梁底层微段的伸长量
ZW
xMx )()( )()( xEx
ZEW
xMx )()(
6
2
1
2
1
2
2
bhE
qxql x?
)(3 2
2 xlxE b h
q dxdxx )()(
dxxlxE b hqdx )(3)( 22
2、梁的最底层纤维的总伸长
l dxl 0 )( lxlxlE b hq 0322 )32(3 232Ebhql?
承受相同弯矩 Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（ a）
的截面为一整体；图（ b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图
（ c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为 σ max（ a）,σ max（ b）,σ max（ c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。
例题 4.31
。；
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
m a xm a xm a x
m a xm a xm a x
m a xm a xm a x
m a xm a xm a x
cbaD
cbaC
cbaB
cbaA
d
d
d
2d 2d d
2d
2d
(a) (b) (c)
z
33m a x
6
6
)( dMdMa zz
z
3
2
m a x
6
6
.
2
2)(
d
M
dd
M
b z
z
z
z
32m a x
12
6
2
2)(
d
M
d
d
M
c z
z
B
这种弯曲称为纯弯曲。
纯弯曲时梁横截面上的正应力
a
F
A C
a
F
BD
§ 4 梁横截面上的正应力,梁的正应力条件
F
F
Fa
实验现象,?1、变形前互相平行的纵向直线、
变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。
中性轴：
中性层与横截面的交线称为中性轴。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍为平面。
m
m
n
n
FF
中性层中性轴
m
1o
n
n
2o
m
dx
m
m
n
n
o
z
y
o
d
dx
m
m
n
n
FF
y
d
ddy
y?
E
Ey
M M 中性轴
y
z
y
dA
A dANF
A dAzyM
A dAyzM
A ydAE? 0?
A zydAE? 0?
A dAyE 2ZEI?
Z
Z
EI
M?
1
z
z
I
yM
z
z
I
yM
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
dx
m
m
n
n
o
z
y
o
M M 中性轴
y
z
dA
zW
xM?
m a x?
M
中性轴
M
z
z
W
M?
m ax?
长为 l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力 F，
已知 b＝ 120mm,h＝ 180mm,l＝ 2m,F＝ 1.6kN，
试求 B截面上 a,b,c各点的正应力。
2l
F
2l
A B
C
b
h
6h
2h
a
b
cFL
FLM B 21? 123bhIZ?
Z
aBa I yM
12
32
1
3bh
hFL
MPa65.1?
0?b?
Z
cBc I yM
12
22
1
3bh
hFL
MPa47.2? （ 压 ）
例题 4.20
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。
m4
mkNq 2?
100
200
200
100
8
2qL
竖放
ZW
M max
max
6
8
2
2
bh
qL
MPa6?
横放
ZW
M max
max
6
8
2
2
hb
qL
MPa12?
例题 4.21
图示 T形截面简支梁在中点承受集中力 F＝ 32kN，梁的长度 L＝ 2m。 T形截面的形心坐标 yc＝ 96.4mm，横截面对于 z轴的惯性矩 Iz＝ 1.02× 108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
2l 2l
A B
F
4max
FLM? kNm16?
4.96502 0 0m a xy mm6.153?
mmy 4.96m ax
z
y
C
150
50
200
50
4.96
ZI
My max
max?
M Pa09.24?
ZI
My max
max?
M Pa12.15?
例题 4.22
梁的正应力强度条件
ZW
M
Iz
My m a x
m a x?
zW
M
Iz
yM m a xm a xm a x
m a x
对梁的某一截面：
对全梁（等截面）：
Wz
M m a x
m a x
长为 2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为 0.5m，梁上承受均布荷载,q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度［ σ ］ =215MPa。
m5.0 m2
mkNq 30?
A B
kNFA 9.46? kNFB 1.28?
15
9.31
1.28
kN
kNm
75.3
16.13
maxMWZ? 32.61 cm?
查表
N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
例题 4.23
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩
Iz=403× 10－ 7m4，铸铁抗拉强度［ σ ＋ ］ =50MPa，抗压强度
［ σ － ］ =125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。
m1 m2
A
B
mkNq 12?
m3
kNF 25?
C D
24
75.12 mkN?
200
30
170
61
139
30
z
B截面
MPa3.36?
7
33
m a x 104 0 3
101 3 91024
B?
MPa8.82?
7
33
m a x 104 0 3
10611024
B?
C截面
7
33
m a x 10403
101391075.12
C?
MPa44?
例题 4.24
如果 T截面倒置会如何铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中 F＝ 20kN。梁的截面为 T字形，形心坐标 yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为 [σ] +＝ 40MPa,[σ] － ＝ 100MPa。试校核梁的强度是否安全。
1400 600
F
F2
A CB
z
y
150
50
200
50
4.96
kNm16
kNm12
A
Z
lA
A I
yM
8
3
1002.1
4.962 5 01016
M P a09.24?
Z
yA
A I
yM
8
3
1002.1
4.961016
M P a12.15?
B
Z
yB
B I
yM
02.1
4.962 5 01012 3 M P a07.18?
例题 4.25
为了起吊重量为 F＝ 300kN的大型设备，采用一台 150kN和一台
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度 l=4m，型钢材料的许用应力 [σ] ＝ 160MPa,试计算,1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？ 2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
吊车kN20 0 吊车kN150
BA
C 辅助梁
x
F
l
1.确定 F加在辅助梁的位置
FA FB
0AM 0 xlFlF B
0BM 0 lFxF AlFxFA?
l
xlFF P
B
令, kN
l
xlFF
B 1 5 0?
kNlFxF A 2 0 0
mx 667.2? mx 2?
6 6 7.22 x
例题 4.26
为了起吊重量为 F＝ 300kN的大型设备，采用一台 150kN和一台
200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度 l=4m，型钢材料的许用应力
[σ] ＝ 160MPa,试计算,1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？ 2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
吊车kN20 0 吊车kN150
BA
C 辅助梁
x
F
l
FA FB
6 6 7.22 x
667.2200m a x lAM kNm6.266?
21 5 0m a xBM kNm300?
zW
BM m a x
m a x
33m a x 108 7 5.1 cmBMW
Z
100875.1 86.1875.1 ％ 8.0? ％
2.确定工字钢型号图示结构承受均布载荷,AC为 10号工字钢梁,B处用直径 d=20mm的钢杆 BD悬吊，梁和杆的许用应力 [σ] ＝
160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷 [q]。
m2 m1
A
B
D
C
q
d
FA
FB
kNqFA 43? kNqFB 49?
329q
q21
ZW
maxM
ZW
q5.0
mkNWq Z /68.15
5.0
AF N B D
梁的强度杆的强度
2
4
1
4
9
d
q
291 dq? mkN /3.22 mkNq /68.15?
例题 4.27
验算题图所示广告牌立柱的强度。已知风载设计值为
0.5kN/m2，工字钢立柱的［ σ ］＝ 215MPa。
m2 m2 m2
I I
204 0IN
m5
mkNq /125.0
mkNqlM /5.1221 2m a x
查表,
33102 3 7 mmW Z
M P aWM
Z
7.52
例题 4.28
试对图示结构布置图中的 L－ 2梁进行截面选择。两梁均采用工字钢截面,[σ] ＝ 215MPa，已知 L－ 1梁上简支板的荷载设计值为 3.5kN/m2。
2?L
1?L
m1052
m4
m2
mkNq /725.3
kNF 5.314 367
5.31 5.31 5.31 5.31
kNm189
3
3
m a x 8 7 9
2 1 5
101 8 9 cmMW
Z?
查表,
I 36a
例题 4.29
h
b
x dx
q
B
l
A
简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长 。例题 4.30
解,1、计算梁底层微段的伸长量
ZW
xMx )()( )()( xEx
ZEW
xMx )()(
6
2
1
2
1
2
2
bhE
qxql x?
)(3 2
2 xlxE b h
q dxdxx )()(
dxxlxE b hqdx )(3)( 22
2、梁的最底层纤维的总伸长
l dxl 0 )( lxlxlE b hq 0322 )32(3 232Ebhql?
承受相同弯矩 Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（ a）
的截面为一整体；图（ b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图
（ c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为 σ max（ a）,σ max（ b）,σ max（ c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。
例题 4.31
。；
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
m a xm a xm a x
m a xm a xm a x
m a xm a xm a x
m a xm a xm a x
cbaD
cbaC
cbaB
cbaA
d
d
d
2d 2d d
2d
2d
(a) (b) (c)
z
33m a x
6
6
)( dMdMa zz
z
3
2
m a x
6
6
.
2
2)(
d
M
dd
M
b z
z
z
z
32m a x
12
6
2
2)(
d
M
d
d
M
c z
z
B
