大学问者的三种境界国学大师王维 (1877-1927):,人间诗话,,,古今之成大事业大学问者必经过三种之境界”
其一,“昨夜西风调碧树,
独上高楼,望尽天涯路”
其二,“衣带渐宽终不悔，
为伊消得人憔悴”
其三,“众里寻他千百度,蓦 然回首,
那人却在灯火阑珊处”
立志苦学顿悟第五章 静电场一 掌握 描述静电场的两个物理量 ——电场强度和电势的概念，理解电场强度是矢量点函数，而电势则是标量点函数,
二 理解 高斯定理及静电场的环路定理是静电场的两个重要定理，它们表明静电场是 有源 场和 保守 场,
三 掌握 用点电荷电场强度和叠加原理以及高斯定理求解带电系统电场强度的方法；并能用电场强度与电势梯度的关系求解较简单带电系统的电场强度,
四 掌握 用点电荷和叠加原理以及电势的定义式求解带电系统电势的方法,
五 了解 电偶极子概念，能计算电偶极子在均匀电场中的受力和运动,
教学基本要求习 题 课第五章 静电场一,电荷内容提要
1,电荷：
9,1,6 1 0Q n e e C
习 题 课
(1),自然界中只存在正负两种电荷
(2),电荷之间存在相互作用,同号相斥,异号相吸 。
2,电荷量子化：
3,电荷守恒定律,孤立系统的电荷总量保持不变 。
二,库仑定律：
真空中两个点电荷之间的相互作用规律 。
第五章 静电场1,点电荷：
具有电荷,没有形状大小的带电物体 。
真空中两个点电荷之间的相互作用力的大小与两个点电荷电量乘积成正比，与 两个点电荷之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个点电荷之间的连线上，同号电荷相互排斥,异号电荷相互吸引 。
2,库仑定律：
1 2 1 2
023
00
11
44
q q q qF r r
rr
习 题 课第五章 静电场大量实验表明,电荷周围存在一种特殊的物质 。
三,电场：
1,电荷产生电场,电场对其中的电荷施加作用力 。
电荷电场电荷电荷电场电荷习 题 课
2,电荷之间的相互作用过程：
第五章 静电场
3,静电场：不随时间变化的电场 。 相对观察者静止的电荷产生的电场就是静电场 。
四,电场强度：
1,试验电荷,电量充分小的点电荷 。
2,电场强度的定义：
0
FE
q
0 1q E F当,
电场中某点的电场强度的大小在数值上等于单位正电荷在该点所受到的电场力的大小，电场强度的方向就是正电荷在该点 所受到的电场力的方向 。
习 题 课第五章 静电场习 题 课
3,电场强度的迭加原理,iEE
当空间存在多个带电体时，电场中某点的电场强度等于每个带电体单独存在时，在该点所产生的电场强度的 矢量和 。
4,电场强度的计算：
(1),点电荷的电场：
023
00
11
44
qqE r r
rr
023
00
11
44
ii
ii
qqE r r
rr
dl
dq ds
dV
023
00
11
44
d q d qE r r
rr
(2),点电荷系的电场：
(3),带电体 (电荷连续分布 )的电场：
第五章 静电场习 题 课
5,电场强度的计算示例：
(1),电偶极子的电场：
3
0
21
4
e
P
PE
x 3
0
1
4
e
Q
PE
y
eP ql?
l
q?q?
Q
P
y
x xO
y
(2),均匀带电线段：
22
0
1
4 / 4P
qEi
xl
,ql
lq
Q
P
y
x xO
y
22
0
1
4 /4Q
qEj
y y l
(4),高斯定理,
(5),场强与电势梯度的关系,
0
1 (
e SVE d S d V S 内 ）
E g r a d U U
第五章 静电场习 题 课
,qR(2),均匀带电圆环：
2 2 3 / 2
04 ( )
P
qyEj
yR
x
O
y
R q
y
P
,qR(3),均匀带电圆盘：
2 22
0
2 ( 1 )
4P
qyEj
R yR
x
O
y
R q
y
P
第五章 静电场
c o se SSE d S E d S
习 题 课五,电力线,电通量：
1,电力线：
（ 1),作法,曲线某点的切线方向为电场强度的方向,
曲线疏密程度表示电场强度的大小。
形象地描述电场的一组曲线
（ 2),特点,1),电力线起始于正电荷 (或无穷远 ),终止于负电荷 (或无穷远 ).
2),在没有电荷的地方电力线不相交,
2,电通量：
第五章 静电场习 题 课六,高斯定理：
00
1c o s ( (i
e S S V
qE d S E d S S d V S
内 ） 内 ）
在真空中的任何静电场中,通过任一闭合曲面的电通量,等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以?0,曲面外的电荷无关,
1,高斯定理：
2,应用：
(1),高斯定理中的场强 是带电体系中所有电荷产生的总场强，而 只是高斯面内的电荷的代数和。iq?
E
(2),高斯定理适用于任何静电场，但是对于具有特殊对称性的静电场可以方便地求出场强。
第五章 静电场习 题 课
(3),一般步骤,
1),定性分析带电体的场强分布，特别是对称性分析,球对称、轴对称、面对称。
2),根据不同的对称性选取不同的高斯面（球、柱、长方体面）。 选取时注意：场强垂直于或平行于高斯面的组成部分，将所求场强包含在电通量不为零的高斯面内。
3 ),c o se S S S SE d S E d S E d S E d S利 用
00
114 ),
ei Vq d V利 用
0
1
5 ),,V
S
dV
E
dS
高 斯 定 理
6),讨论,E--r曲线。
第五章 静电场
R
r
r
E
r0 R
3
0
2
0
,( )
4
1
,( )
4
qr
rR
R
E
q
rR
r
R
r
r
E
r0 R
(3),应用示例,1),球对称,
,qRB),均匀带电球面,
2
0
0,( )
1
,( )
4
rR
E q
rR
r
A),均匀带电球体,,qR
习 题 课第五章 静电场(3),应用示例,2),轴对称,
2,,RR
A),均匀带电无限长圆柱体,
,,2RR
B),均匀带电无限长圆柱面,
0
0
,( )
2
1
,( )
2
r
rR
E
rR
r
0
0,( )
1
,( )
2
rR
E
rR
r
E
r0 R
R
E
r0 R
R
习 题 课第五章 静电场(3),应用示例,3),面对称,
均匀带电无限大平面,
02
E
E?E?
习 题 课七,电势：
1,静电场力做功：
静电场力是保守力
0
b
a
A q E d l(1),定义,
(2),特点,
0 0lA q E d l
第五章 静电场习 题 课
2,电势能差,电势能：
0
b
a b a b aW W W A q E d l
(1),电势能差,
静电场中 ab两点间的电势能之差在数值上等于将实验电荷由 a点移到 b点时,静电场力的所做的功。
00,
b
ba aW W q E d l
(2),电势能,
静电场中某点的电势能在数值上等于将实验电荷由该点移到规定为电势能为零那一点时,静电场力的所做的功。
第五章 静电场习 题 课
2,电势差,电势：
0 0 0
ba b a b
a b a b a
W W W AU U U E d l
q q q
(1),电势差,
静电场中 ab两点间的电势之差在数值上等于将单位正电荷由 a点移到 b点时,静电场力的所做的功。
0,bba aU U E d l(2),电势,
静电场中某点的电势在数值上等于将单位正电荷由该点移到规定为电势为零那一点时,静电场力的所做的功。
00 ()a b a b a b a bA W W W q U q U U(3),关系,
(4),零点选取,
2),实际上,选取地球,
1),理论上,有限带电体,
3 ),0,0bbUW0,bUb 地 球
0,bUb
第五章 静电场习 题 课
3,电势的迭加原理,iUU
0
1
4
qU
r
当空间存在多个带电体时，电场中某点的电势等于每个带电体单独存在时，在该点所产生的电势的 代数和 。
4,电场强度的计算：
(1),点电荷的电场：
0
1
4
i
i
qU
r
dl
dq ds
dV
0
1
4
dqU
r
(2),点电荷系的电场：
(3),带电体 (电荷连续分布 )的电场：
0,bba aU U E d l
第五章 静电场习 题 课
5,电势的计算示例：
(1),电偶极子的电场：
2 2 3 / 2
0
(,) 4 ( )eP xU x y xy 3
0
1(,)
4
ePrUr
r
eP ql?
(2),均匀带电线段：
0
2ln
42P
q x lU
l x l
,ql
lq
Q
P
y
x xO
y
22
22
0
4ln
4 4Q
y l lqU
l y l l
l
q?q?
,Pr?（ ）y
x xO
y,P x y（ ）
r?
r?
r
第五章 静电场习 题 课
,qR(2),均匀带电圆环：
2 2 1 / 2
0
1
4 ( )P
qU
yR
x
O
y
R q
y
P
,qR(3),均匀带电圆盘,22
2
0
2 ()
4P
qU y R y
R
x
O
y
R q
y
P
第五章 静电场
1nnU U U C
E g r a d U U
习 题 课
1,等势面：
（ 2),作法,
1),等势面疏密程度表示电场强度的大小。
静电场中电势相同的点组成的面
（ 3),特点,
2),等势面与电力线处处正交。
八,电势梯度与场强的关系
(1),定义,
2,电势梯度与场强的关系
//En
z
UE
z
i j kx x x()U U UE i j k
x y z
x
UE
x
y
UE
y
第五章 静电场习 题 课
5,电势梯度与电场强度的关系示例：
(1),电偶极子的电场：
2 2 3 / 2
0
(,) 4 ( )eP xU x y xy
22
2 2 5 / 2
0
2 2 5 / 2
0
2
4 ( )
3
4 ( )
e
x
e
y
PU x y
E
x x y
PUx
E
y x y
(2),均匀带电线段：
2 2 1 / 2
2 2 2
0
( 4 )
4 ( )
eP xyE
xy
0
2ln
42P
q x lU
l x l
22
22
0
4ln
4 4Q
y l lqU
l y l l
22
0
1
4 / 4
P
P
dU qE
d x x l
22
0
1
4 /4
Q
Q
dU q
E
dy y y l
第五章 静电场习 题 课
(2),均匀带电圆环：
2 2 3 / 2
04 ( )
P
P
dU qyE
d y y R
(3),均匀带电圆盘：
2 22
0
2 ( 1 )
4
P
P
dU qyE
d y R yR
2 2 1 / 2
0
1
4 ( )P
qU
yR
22
2
0
2 ()
4P
qU y R y
R
第五章 静电场
5-8 电场强度与电势梯度物理学 第五版电偶极子
(± q,l)
带电线段
(q,l)
带电圆环
(q,R)
带电圆盘
(q(σ),R)
延长线延长线中垂面中垂线中垂线中垂面
3
0
12
4 π
p
x?
电场强度 E 电势 V模 型 考察点
3
0
1
4 π
p
y?
22
0
1
4 / 4
q
xl
220
1
4 /4
q
y y l
2 2 3 2
04 π ()
qx
xR
220 ( 1 )2
x
xR
0
2ln
42
q x l
l x l
22
220
4ln
4 4
y l lq
l y l l
220
1
4
q
xR
22
02
x R x
任一点 30
1
4
pr
r
第五章 静电场
5-4 电场强度通量 高斯定理物理学 第五版对称性 模 型 电场强度分布 E—r曲线
32
00
1,( 0 ),,( )
44
Q r Qr R R r
Rr
2
0
10,( 0 ),,( )
4
Qr R R r
r
球对称柱对称面对称均匀带电球壳 (Q,R)
均匀带电球体 (Q,R)
均匀带电柱面 (λ,R)
均匀带电柱体 (ρ,R)
均匀带电平面 (σ )
0
0,( 0 ),,( )2 πr R R rr
0
( 0 ),,( )22 π
o
r r R R r
r
02
rRo
E
rRo
E
rRo
E
rRo
E
ro
E
(λ=ρπR2)
(λ=σ 2πR)
第五章 静电场题 5-1,已知,+σ
+σ +σ
-a +aO
y
x
+σ
E=σ / 2ε 0
E=σ / ε 0E= 0 E=σ / ε 0
+σ +σ
-a +aO
y
x
-a +aO
y
x
σ / ε 0
σ / ε 0
B
第五章 静电场题 5-2：
1 0
1((n
ei SV
i
E d S q S d V S
内 ） 内 ）
1 0
10,0,( (n
ei SV
i
E E d S q S d V S
内 ） 内 ） =0
B
题 5-3,D
,0babaV E d l V EV
题 5-4,B
第五章 静电场题 5-17,已知,ρ=kr(0≤r≤R),0(r>R)
求,E(r)
R
解：
0
1 (
e SVE d S d V S 内 ）
24e rE
24
0 0 0
1 (4 r
V
kd V S k r r d r r
0
1内 ） =
高斯定理
0 rR
2
04
r
krEe
24e rE
24
0 0 0
1 (4 R
V
kd V S k r r d r R
0
1内 ） =
Rr?
4
2
04
r
kREe
r?
第五章 静电场题 5-17,已知,ρ=kr(0≤r≤R),0(r>R)
求,E(r)
R
解,叠加原理
0 rR
Rr?
r? dr?24d q r d r
2
04
r
dqdE e
r
22
2200
0 0 0
4
4 4 4
rr
r r r
d q k r r d r k rE e e e
rr
24
2 2 200
0 0 0
4
4 4 4
RR
r r r
d q k r r d r k RE e e e
r r r
第五章 静电场题 5-21,已知,± λ,R1,R2
求,E(r)
解：
0
1 (
e SVE d S d V S 内 ）
高斯定理
1rR? 2e rLE
0
1 (0
V
d V S 内 ）0E?
12R r R 2e rLE
0
1 (
V
d V S L 内 ）
02
E r
2R
1R
2rR? 2e rLE
0
1 (0
V
d V S 内 ）0E?
第五章 静电场题 5-26,已知,± σ,± a、求,V(x)
解：
+σ -σ
-a +aO
y
x
02
E
+σ
0
0,( )
,( )
0,( )
xa
E i a x a
xa
,0babaV E d l V
0
0
,
x
a x a V E d l x?
00
0
,a
x x a
x a V E d l E d l E d l a
00
0
,a
x x a
x a V E d l E d l E d l a
σa/ε0
-a +aO
y
x
-σa/ε0
第五章 静电场题 5-28,已知,ρ,R,求,V(r)
R
解：
0
1 (
e SVE d S d V S 内 ）
高斯定理
rR? 2
e rLE
2
00
1 (
V
rLd V S
内 ）
02
rE?
rR? 2
e rLE
2
00
1 (
V
RLd V S
内 ）
2
02
RE
r
rR?
,0R RrV E d l V
22
00
()
24
R
r
rV d r R r
rR? 22
00
ln
24
R
r
R R RV d r
rr
第五章 静电场第五章补充例题物理学 第五版
1 图中实线为某电场的电场线,
虚线表示等势面,则,
(C) EA>EB>EC UA<UB<UC
(B) EA<EB<EC UA<UB<UC
(D) EA<EB<EC UA>UB>UC
C B
A
(A) EA>EB>EC UA>UB>UC
,dNE U E dS
2有一边长为 a的正方形平面,在其中垂线上距中心 O点 a/2处,有一电荷量为 q的正点电荷,如图,则通过该平面的电场强度通量为多少? a o q
a/2
a
(高斯面 S)
解,作边长为 a的立方体,q位于中央,
100
1d,d d
66SSS
qqE S E S E S
ε ε
第五章 静电场第五章补充例题物理学 第五版
3 已知匀强电场的场强表达式为,
求点 a(3,2)和点 b(1,0)间的电势差 Uab,
解
d 2 0 0 0ba b x y
a
U E l E x E y V
4 真空中有一均匀带电球面,半径为 R,总电荷量为 Q(Q>0),今在球面上挖去一很小面积 dS,设其余部分的电荷仍均匀分布,求挖去后球心处的电场强度和电势,
Q
dS
( 4 0 0 6 0 0 )E i j
解
2π4 R
Q
dE
Sq dd
4
0
22
0 16
d
4
dd
Rε
SQ
Rε
qE
Rε
SQ
Rε
qQU
00 4
d
4
d
第五章 静电场第五章补充例题物理学 第五版
5 一半径为 R的无限长均匀带电圆柱体,体电荷密度为 ρ,求 圆柱体内外距离轴线为 r处的电场强度,
r<R作高斯面如图
r
ε
E
02
解
L
R
r
2
0
1d2 π π
S
E S E rL ρ rL
ε
r>R作高斯面如图
r
2
0
1d2 π π
S
E S E rL ρ RL
ε
2
0
1
2
RE
ε r
第五章 静电场第五章补充例题物理学 第五版
6 真空中一半径为 R的半圆细环,
均匀带电 Q,设无穷远处为电势零点,求圆心 O处的电势 U0.若将一带电荷量为 q的点电荷从无穷远处移到圆心 O处,求电场力做的功 W.
R OQ q
0
0044
l
d q QU
ε R ε R
解
00
04
o
qQW qU qU
ε R
7一圆盘半径为 R,中间挖去一个半径为 a的同心小圆盘,余下部分均匀带电面密度为?,求盘心处的场强和电势,
解 E=0 rdrσdq 2
R
aor
dr
0042
dq σd U d r
ε r ε
00
()22R
a
σ σU dr R a
ε ε
第五章 静电场第五章补充例题物理学 第五版
8 试用静电场的环路定理证明，电场线为一系列不均匀分布的平行直线的静电场不存在,
E?
a b
cd
E1
E2
l
l
证明作如图闭合环路
0
dd
dd
ddd
21
lElE
lElE
lElE
lElElE
cdab
dacd
bcabl
21 EE 但 E1≠E2，故此类静电场不存在,
0dl lE
dS
dNE?
