东南大学：大学物理学上下（完整课件）：10--波动习题课

第十章 波动
2
教学基本要求一 掌握 描述简谐波的各物理量及各量间的关系；
二 理解 机械波产生的条件,掌握 由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法,理解 波函数的物理意义,
了解 波的能量传播特征及能流、能流密度概念,
三 了解 惠更斯原理和波的叠加原理,理解 波的相干条件，
能应用 相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；
四 理解 驻波及其形成,了解 驻波和行波的区别；
五 了解 机械波的多普勒效应及其产生的原因,在波源或观察者沿二者连线运动的情况下，能计算多普勒频移,
习 题 课第十章 波动
3习 题 课内容提要一、振动与波动的关系
１、振动是波动的基础
２、波动是振动的传播
3、机械波：机械振动的传播第十章 波动
4
１、条件：
二、机械波的产生和传播习 题 课
（ 1）、波源（振源）：
2、分类：
（ 1）、横波：垂直可以产生振动的物体。
（ 2）、媒质,可以传播振动的弹性连续媒质。
按媒质中质量元的振动方向和波的传播方向关系分类。
（ 2）、纵波：平行第十章 波动
5
3、波的几何描述：
以波源为出发点沿着波的传播方向画出的射线，它代表波的传播方向。
（ 2）、波面：
（ 1）、波（射）线：
波动在传播过程当中，振动位相相同的空间各点所组成的面。
（ 3）、波阵面（波前）,任意时刻最前面的波面。
（ 5）、平面波：
（ 4）、球面波：
波面为平面。
波面为球面。
习 题 课第十章 波动
6
球 (柱 )面波波阵面 波射线波 面习 题 课波阵面波射线平面波波 面第十章 波动
7
三、描述波动的物理量习 题 课
1、波长：
波源（振源）的周期、频率。2、周期、频率：
3、波速：
12 2 mT
k


振动在媒质中的传播速度。
波在一个周期内传播的距离。
BuB
液 体 和 气 体 中 （ 体 变 摸 量 ） （ 纵 波 ）
( ) ( )GYu G u Y固 体 中,（ 切 变 摸 量 ） 横 波,（ 杨 氏 摸 量 ） 纵 波
Fu
弦 中 （ 横 波 ）
u
第十章 波动
8
（ 4）、重要关系：
习 题 课
uuT
波 动 的 产 生 条 件媒质决定 振源决定 空间周期性 时间周期性波 动 的 时 空 周 期 性第十章 波动
9
五、波动方程习 题 课
s [ ( ) ]xy A c o t u
s [ 2 ( ) ]txy A c o T
s [ 2 ( ) ]xy A c o t
,x? 沿 轴 正 向 传 播
,x? 沿 轴 负 向 传 播第十章 波动
10
**波动方程物理意义习 题 课
0s [ ` ] `
xy A c o t
u,=
s [ ` ` ] ` ` xy A c o t u，
表示 t=t0时刻空间各点的位移分布
1、当 t=t0
2、当 x=x0
表示 x=x0点随时间的振动规律。
x
y
y
t
定时拍照定点观察第十章 波动
11
y
x
3、一般情况
O
t tt
x u t
u
习 题 课第十章 波动
12
六、波的能量
1、平均能量密度：
2 2 21 s i n [ ( ) ]
2kP
xE E V A t
u
2 2 2s i n [ ( ) ]
kP
xE E E V A t
u
2、平均能流密度（强度）：
221
2wA
221
2I w u A u
习 题 课第十章 波动
13习 题 课七、波的衍射 惠更斯原理
1、波的衍射：
波在传播的过程中遇到障碍物时，其传播方向绕过障碍物发生偏折的现象。
第十章 波动
14
2、惠更斯原理媒质中波动传到的各点都可以看作是新的子波源，其后任一时刻这些子波的包络面就是该时刻的新波阵面球 (柱 )面波
u⊿ t
平面波
u⊿ t
第十章 波动
15习 题 课八、波的干涉
1、波的独立传播叠加原理：
多列波在媒质中传播时，每列波都将独立地保持自己原有特性传播。在相遇的区域内，
任一点处质点的振动为各个波在该点所引起振动的合振动（矢量和）。
2、波的干涉,（ 1）、现象：
当满足一定条件的两列波在空间相遇时，在它们相互交迭的区域内，某些点的振动始终加强，某些点的振动始终减弱。
第十章 波动
16
（ 2）、相干条件：
初相位相同或相位差恒定振动方向相同频率相同
（ 3）、干涉规律：
1
1 1 1s [ 2 ( ) ]
rty A c o
T
2
2 2 2s [ 2 ( ) ]
rty A c o
T
1y
1r
2y
2r
2o
P
1o
第十章 波动
17习 题 课
12 s( )P P Py y y A c o t
2 2 21 2 1 22sA A A A A c o
2 1 2 12,rr


12
1 1 2 2
12
1 1 2
s in ( 2 ) s in ( 2 )
s ( 2 ) ( 2 )
rr
AA
tg
rr
A c o






**在 P点就是两个同方向同频率简谐振动合成第十章 波动
18
12
12
2,0,1,2,,,
( 2 1 ),0,1,2,,,
k k A = A A
k k A = A A




特别：
12
12
21
12
2,0,1,2,.,
2
( 2 1 ),0,1,2,.,
2
k k A = A A
rr
k k A = A A





当 时,
习 题 课第十章 波动
19习 题 课九、驻波
1、形成：
两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播形成驻波
2、特点：
相邻两波节之间各点振动相位相同，任意波节两侧相位相反；驻波各点振幅与 x有关；驻波的波形不前进，能量不传播；驻波不是波，只是振动的一种特殊形式。
第十章 波动
20
3、驻波方程：
2 c os 2 c os 2xy A t
1
2
c os 2 ( )
c os 2 ( )
x
y A t
x
y A t






1 0 1 2 3,,,2kx k k,波 腹 位 置,,,,,
2 2 1 0 1 2 3,,,4kx k k,波 节 位 置,（ ）,,,,
13 2kkx x x

,相 邻 波 腹,波 节 距 离,=
习 题 课第十章 波动
21
十、多普勒效应：
十一、应用
3、波的干涉
2、已知波动方程，由已知条件确定波在传播过程中某时刻波形、质点的位移、空间某点的振动情况等。
R
S
S
u
u
v
v
1、已知某运动为简谐振动，由已知条件确定该简谐振动所形成的波的波动方程等。
22
本章作业物理学 第五版第十章 波 动
12-1由波的形成和传播,可知
12-2 如图可知
2xxt u，,
[C]
[A]
12-3
2 2 2
m a x m a x m a x
1
si n [ ( ) ],
2
0,,
kP
k P k P
x
E E m A t
u
y E E E E


+
vv
[C]
c osPy A t
y
xo
l
P
u?
c o s xly A t uu（ ）
c o sO ly A t u（ ）
[D]12-4由波的形成和传播,可知
P
S1
S2
r1
r2
1
2
21
11
22
2 /,
2 /,
2,
SP
SP
S P S P
r
r
k






23
本章作业物理学 第五版第十章 波 动
y
o x
u?A B
C
12-6由波的形成和传播,
可知,运动方向如图所示
12-5由驻波的形成和表达式传播,可知,
2 c o s 2 c o s 2P xy A t
[B]
,c o s 2 0,,c o s 2 1xx波 节 波 腹
3 / 4?
S1 S2
12-7由波的干涉可知,
12
12
11
21
,3 / 4,
2 / 3 / 2
4,4,0,2
2 / 2,
SS
S S x
x
I I A A k
xk







21 2 3 / 2k
24
本章作业物理学 第五版第十章 波 动
12-8已知,T=1/2s,λ=10m,A=0.1m,t=0,x=0,y0=A.x?
求 (1),y,(2),t1=T/4,x=λ/4,y,(2),t1=T/2,x=λ/4,v.
解,
( 1 ),c o s [ 2 ( ) ]txyA T
0,1,1 / 2,1 0A m T s m
00,0,,0,2t x y A
0,1 c o s [ 2 ( ) ] ( )1 / 2 1 0txym
/4
/4 /4
/4
( 2 ),0,1 c o s [ 2 ( ) ] 0,1 ( )tT
x tT
x
txym
T?



/2
/4 / 2 / 2
/ 4 / 4
2( 3 ),0,1 s in [ 2 ( ) ] 0,4 ( / )
tT
x t T t T
xx
d y t x ms
d t T T

v=
y
xo
t=0 t=T/4 t=T/2x=λ /4
25
本章作业物理学 第五版第十章 波 动
y/m
x/mo
A t=0s
/2A
t=2s
80 160
20
12-9如图已知 。
求 (1) yO; (2) y。
解,
( 1 ),c o s [ 2 ]o tyA T
λ
=u△ t
160 m x u t
20 1 0 ( / ),
2
xu m s
t

1 6 ( )Tsu 0
0 0
0
0,0,t
x t
x
dyy
dt

o y
v0
/2
2

c o s [ ]82oy A t
u?
( 2 ),c o s [ ( ) ]8 1 0 2xy A t
26
本章作业物理学 第五版第十章 波 动
12-10已知,y10=Acosπ t,y20=Acosπ t,
O1m+mP=6λ O2P=3λ,△ φ1=π;
求,(1) yP1,yP2 ; (2) yP
解,
1 0 2 0( 1 ),c o s,c o s,y A t y A t
1
1 c o s[ 2 ] c o s,P
O m m Py A t A t

2
2 c os [ 2 ] c os,P
OPy A t A t

P 2 2( 2 ),0PPy y y
PO
1
O2
M1 M2m
27
本章作业物理学 第五版第十章 波 动求,(1) L; (2) y
解,
( 1 ),0,8 ( ),uu T m
12-11已知,v=400Hz,u=320m/s,2A=0.3cm
λ/2
3 1,2 ( )2Lm L
λ/2 x
y
o
( 2 ),2 c o s 2 c o s 2xy A t
0,3 c o s 2,5 c o s 8 0 0 ( )y x t m
第十章 波动第十章补充作业物理学 第五版
28
1一横波沿绳子传播,其表达式 y=0.5cos(20πt-3πx)m,
求,(1),此波的振幅,波长、周期和波速；
(2),绳子上各质点的最大振动速度、加速度；
(3),t =1s,1.05s的波形曲线；
(4),x =2.5m处的振动曲线。
2 如图所示为一平面简谐波在 t =0s时刻波形,波速
u=50m/s,求波 动方程,
/xm
/ym
o
0.5
0.5?
50
P
0.5 m
u?
Q P
3如图,一平面简谐波从无限远处向右传播,波速 u=2m/s,波线上一点 P
的振动方程为 yP=2cos(4πt+π/3)m,
点 Q位于 P左端 0.5m处,分别以 P、
Q为坐标原点，写出波动方程,
第十章 波动第十章补充作业物理学 第五版
29
1一横波沿绳子传播,其表达式 y=0.5cos(20πt-3πx)m,
求,(1),此波的振幅,波长、周期和波速；
(2),绳子上各质点的最大振动速度、加速度；
(3),t =1s,1.05s的波形曲线；
(4),x =2.5m处的振动曲线。
解,(1) c o s 2 π ()txyA
T
0,5 c o s 2 π ()0,1 2 / 3txym
0,5 ( ),0,1 ( ),2 / 3 ( )A m T s m2 0 / 3 ( / )u m s
T

(2) d 1 0 s in ( 2 0 π - 3 ) ( / )
d
y t x m s
tv
m a x 1 0 ( / )msv
2
22
2
d 2 0 0 c o s ( 2 0 π - 3 ) ( / )
d
ya t x m s
t
22m a x 2 0 0 ( / )a m s
第十章 波动第十章补充作业物理学 第五版
30
1一横波沿绳子传播,其表达式 y=0.5cos(20πt-3πx)m,
求,(1),此波的振幅,波长、周期和波速；
(2),绳子上各质点的最大振动速度、加速度；
(3),t =1s,1.05s的波形曲线；
(4),x =2.5m处的振动曲线。
解,(3) 1 0,5 c o s ( 2 0 π 3 ) 0,5 c o s 3 ( )tsy x m x m
1,0 5 0,5 c o s ( 2 1 π 3 ) 0,5 c o s 3 ( )tsy x m x m
u?
/xm
/ym
o
0.5
0.5?
1/3 2/3
1ts?
x? 1 / 3 ( )x u t m
1.05ts?
第十章 波动第十章补充作业物理学 第五版
31
1一横波沿绳子传播,其表达式 y=0.5cos(20πt-3πx)m,
求,(1),此波的振幅,波长、周期和波速；
(2),绳子上各质点的最大振动速度、加速度；
(3),t =1s,1.05s的波形曲线；
(4),x =2.5m处的振动曲线。
解,(4)
2,5 0,5 c o s ( 2 0 π t 7,5 ) 0,5 s i n 2 0 ( )xmy m t m
/ts
/ym
o
0.5
0.5?
0.05 0.1
第十章 波动第十章补充作业物理学 第五版
32
2 如图所示为一平面简谐波在 t =0s时刻波形，波速
u=50m/s，求波 动方程。
解：
/xm
/ym
o
0.5
0.5?
50
P
c o s [ 2 π ( ) ]txyA T
由图可知,A=0.5m
λ=100m
P点 ↓,波沿 x轴正向传播
2Tsu
0
0 0
0
0,0x
t x
t
dyy
dt

2
t =0
v?
A
o
y/m
x =0
2

0,5 c o s [ 2 π ( ) ] ( )2 1 0 0 2txym
第十章 波动第十章补充作业物理学 第五版
33
3如图,一平面简谐波从无限远处向右传播,波速 u=2m/s,
波线上一点 P的振动方程为
yP=2cos(4πt+π/3)m,点 Q位于
P左端 0.5m处,分别以 P,Q为坐标原点，写出波动方程,
解 (1) 以点 P为坐标原点建立坐标如图
O x/m
0.5 m
2 m /us?
Q P
2 π / 1 mu T u2 c o s 4 π π / 3 mPyt
π 2 π π2 c o s ( 4 π ) m 2 c o s ( 4 π 2 π )m
33
xy t t x

(2)若以点 Q为坐标原点 (如图 )则点 P的坐标 xP=0.5m,
点 Q振动在时间上超前点 P:⊿ t=⊿ x/u=1/4s,⊿ φ=?
2 c o s 4 π 4 π / 3 mQyt 4 π2 c o s( 4 π 2 π )3y t x m
O x/m
第十章 波动
34
题 10-1
0
0 0
0
( ),,0,0,2x
t x
t
dya y x y
dt



0
0
( ),,0,0,2t
t
dyb y t y
dt


A-A O y
yb
ya
v0
v0
D
题 10-2
0,0 5 c o s 2 π ( ) ( )1 / 3 1 0 0 / 3txym
c o s 2 π ()txyA T
C
题 10-3
x
y u
o
A
A? /4tT?
x
y u
o
A
A? 0t?
00,xtyA
1
3Ts?
D x轴负向传播第十章 波动
35
题 10-4
21
21
12
2 2,rr k
A A A



D
题 10-5 B
S1
S2
r1
r2
2 c o s 2 c o s 2xy A t
1
2
c os 2 ( )
c os 2 ( )
x
y A t
x
y A t






第十章 波动
36
题 10-7 0,2 c o s ( 2,5 π ) ( )y t x m
求,(1),A,u,v,λ (2),vmax,(3),y-x(t=1,2s),y-t(x=1m)
解,(1),
c o s 2 π () xy A t 0,2 c o s 2 ( 1,2 5 ) ( )2
xy t m
0,2,1,2 5,2zA m H m2,5 /u m s
(2),vmax=ωA=1.57m/s2 2,5
(1),
1 0,2 s i n ( )tsy x m 2 0,2 c o s ( )tsy x m
0.2?
/xm
/ym u
o
1ts? 2ts?0.2
21
0.2?
/ts
/ym
o
1xm?
0.2
0.60.2
1 0,2 c o s 2,5 ( )xmy t m
第十章 波动
37
题 10-10
求,(1),x=15m,5m,y,φ (2),x=16m~17m,△ φ
解,(1),
c o s [ 2 π ( ) ]txyA T0,0 2,1 0 0 /,2,T s u m s u T m
已知,T,u,x=0m,t=0s,y=0,v>0
0
0 0
0
0,0,2 x
t x
t
dyy
dt


c o s [ 2 π ( ) ]
0,0 2 2 2
txyA
15 c o s [ 1 0 0 1 5,5 ]xmy A t
5 c o s [ 1 0 0 5,5 ]xmy A t
(2),21
21 2
xx

5.1510
5.520
第十章 波动
38
题 10-20
求,(1),△ φ (2),A
解,(1),
已知,v,λ,PQ=3λ/2,R
(2),
21
21 23
xx

3λ/2
P Q R
12A A A
题 10-30 已知,v1,v2,u,v 求,(1),v 乙 (2),v 甲解,(1),
2
1
1022 zuv Huv
(2),
1
2
1045 zuv Huv
第十章 波动第十章补充例题物理学 第五版
39
在 t=1/v时刻,x1=λ/4,x2=3λ/4两处质点速度之比是
1一平面简谐波的波动方程为 )/(π2c o s xtAy
解
1 2 π si n 2 π ( 1 / )t Ax
v
(A) 1 (B) -1 (C) 3 (D) 1/3
d 2 π s i n 2 π ( / )
d
y A t x
tv
1
2
11
/422
3 / 4
s i n 2 π ( 1 / ) s i n ( π / 2 )
1
s i n 2 π ( 1 / ) s i n ( 3 π / 2 )x
x
x
x?


v
v
第十章 波动第十章补充例题物理学 第五版
40
2 已知波动方程,求波长、周期和波速,
解 法一 (比较系数法 ) )(π2c o s
x
T
tAy
- 1 - 12,5 0,0 1( 5 c m) c o s 2 π [ ( s ) ( c m ) ]
22y t x
s8.0s5.2 2T 2 c m
2 0 0 c m0,0 1 1scm250
Tu
- 1 - 1( 5 c m ) c o s π [ ( 2,5 s ) ( 0,0 1 c m ) ]y t x
解 法二 (由各物理量的定义解之 )
波长 是同一时刻 t,波线上相位差为 2π的两点间的距离,
12π [ 2,5 0,0 1 ] π [ 2,5 0,0 1 ] 2 πt x t x
1 1 2 2π [ 2,5 0,0 1 ] π [ 2,5 0,0 1 ]t x t x
cm20012xx
s8.012 ttT
21
21
250 c m / sxxu tt
21π [ 2,5 0,0 1 ] π [ 2,5 0,0 1 ] 2t x t x
第十章 波动第十章补充例题物理学 第五版
41
3 一平面简谐机械波在弹性介质中传播,下述各结论哪个正确？ 选择（ D ）
(A)介质质元的振动动能增大时,其弹性势能减小，
总机械能守恒,
(B)介质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化,
但两者相位不相同,
(D)介质质元在其平衡位置处弹性势能最大,
(C)介质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但两者数值不同,
2 2 21 s i n [ ( ) ]
2kP
xE E V A t
u
第十章 波动第十章补充例题物理学 第五版
42
4 如图所示,原点 O是波源,振动方向垂直纸面,
波长是 λ,AB为波的反射平面,反射时无半波损失,
O点位于 A点的正上方,AO=h,Ox轴平行于 AB.求 Ox
轴上干涉加强点的坐标 (限于 x≥ 0 )．
O x
h
A B
x P
解 222 ( ) 2
22
x h x k 224 ( ) 2,( 1,2 )
2
h k hxk
k

，
第十章 波动第十章补充例题物理学 第五版
43
5 如图,A,B两点相距 30m,为同一介质 中的两个相干波源,两波源振动的振幅均为 0.1m,频率 均为 100Hz,点
A初位相为零,点 B位相比点 A超前 π,波速为 400m/s,
(1)写出两 波源相向传播的波动方程 ;
(2)A,B连线上因干涉而静止的点的位置,
解 (1)以 A为原点建立坐标如图点 A振动方程为 ty A π200c o s1.0?
向右传播的波动方程为
1 0,1 c o s 2 0 0 π ( ) 0,1 c o s 2 0 0 π 0,5 πxy t m t x mu点 B振动方程为
ππ2 0 0c o s1.0 ty B向左传播的波动方程为
2 300,1 c o s [ 2 0 0 π ( ) ] 0,1 c o s 2 0 0 π 0,5 π 14 πxy t t x mu
A B30cm
xO
P
x
第十章 波动第十章补充例题物理学 第五版
44
5 如图,A,B两点相距 30cm,为同一介质 中的两个相干波源,两波源振动的振幅均为 0.1m,频率 均为 100Hz,点
A初位相为零,点 B位相比点 A超前 π,波速为 400m/s,(1)
写出两 波源相向传播的波动方程 ; (2)A、
B连线上因干涉而静止的点的位置,
A B30cm
xO
P
x
(2)解法 1设 P(坐标 x)为 AB间因干涉而静止的点,则两列波在该点的位相差
1 0,1 c o s 2 0 0 π 0,5 πy t x m
2 0,1 c o s 2 0 0 π 0,5 π 14 πy t x m
21 ( 0,5 π 14 π ) ( 0,5 π ) π 14 π ( 2 1 ) πx x x k
2 1 5,0,1,2,,,x k k,,3,.,,2 7,2 9 ( m )x?
第十章 波动第十章补充例题物理学 第五版
45
5 如图,A,B两点相距 30cm,为同一介质 中的两个相干波源,两波源振动的振幅均为 0.1m,频率 均为 100Hz,点
A初位相为零,点 B位相比点 A超前 π,波速为 400m/s,
(1)写出两 波源相向传播的波动方程 ;
(2)A,B连线上因干涉而静止的点的位置,
A B30cm
xO
P
x
1 0,1 c o s 2 0 0 π 0,5 πy t x m
2 0,1 c o s 2 0 0 π 0,5 π 14 πy t x m
(2)解法 2 应用叠加原理,AB间任意一点的振动,为两列波在该点振动的叠加,
12 0,2 c o s ( 0,5 π 7 π ) c o s ( 2 0 0 π 7 π )y y y x t
0,5 π 7 π ( 2 1 ) π /2xk
干涉静止的位置,
2 1 5,0,1,2,,,x k k,1,3,.,,,2 7,2 9 ( m )x?
c o s ( 0,5 π 7 π )0x
第十章 波动第十章补充例题物理学 第五版
46
,1,2,2l n n
解 弦两端为固定点，是 波节,
千斤码子
l
6 如图二胡弦长 l=0.3m,张力 T=9.4N,密度
ρ=3.8× 10-4kg/m.求弦所发的声音的 基 频和 谐 频,
l
nuu
2
频率基频
1
11,/ 2 6 2 H z
2nT l
1,/2n nnT l
谐频
/uT波速第十章 波动第十章补充例题物理学 第五版
47
7两波在一很长的弦上传播,其波动方程分别为,
1
π0,0 4 c o s ( 4 2 4 )
3y x t m 2
π0,0 4 c o s ( 4 2 4 )
3y x t m求,(1)两波的频率、波长、波速；
(2)两波叠加后的波腹和节点位置；
解 (1)
c o s 2 π () xy A t
4 H z,1,5 m,6 /u m s
3
π4c o sπ8c o s08.0
21
xtyyy(2)
4 π π 3( 2 1 ) ( 2 1 )
3 2 8
x k x k波节
4 π 3π,0,1,.,,
34
x k x k k波腹
4 πc os 0
3
x?
4 πco s 1
3
x?
12 0,0 4 c o s 2 π ( 1 2 )3 / 2
xy t m
第十章 波动第十章补充例题物理学 第五版
48
A
)//(π2c o s2?xTtAy
8 如果入射波是 y1=Acos 2π(t/T+x/λ),在 x=0处反射后形成驻波,反射点为波腹,设反射后波的强度不变,则反射波的方程式为 ______________________,在
x=2λ/3处质点合振动的振幅等于 ______.
2 c os 2 c os 2xtyA
T

1 c o s 2 π ( / / )y A t T x
2 c o s 2 π ( / / )y A t T x
反射点为波腹,反射波无 半波损失
2
3
2 c o s 2
x
xAA