第五章 刚体的定轴转动教学基本要求一 理解 描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系,
二 理解 力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理,
三 理解 角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题,
能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题,
四 理解 刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律习 题 课第五章 刚体的定轴转动习 题 课内容提要刚体力学刚体运动学刚体动力学角 位 移角 速 度角加速度
转动定律角动量定理角动量守恒定律?
转动动能定理第五章 刚体的定轴转动习 题 课一、刚体的运动：
1、刚体：
刚体运动时，体内任意两点所连成的直线，始终与其初始位置平行。
2、刚体的运动：
（ 1）、平动：
内容提要具有质量和形状大小，但形状大小不发生变化的物体。
刚体运动时，刚体上各点都绕同一直线（转轴）作圆周运动。
（ 2）、转动：
**可以看作各质点间距离保持不变的指点系。
刚体的运动 平动 转动第五章 刚体的定轴转动习 题 课
2，角位移,
1、角位置（运动方程）：
二、刚体的定轴转动描述：
rv
2
2
dd
d t d t

rr
d
dt

2
2,
tna r a rr
v
= (t )
= ( t+ t ) ( t )
3，角速度,
4，角加速度,
5，距转轴为 r处角量和线量的关系,
第五章 刚体的定轴转动习 题 课
2
00
1
2tt0
t,22 00()- = 2
C?=5，匀加速转动：
三、力矩：
s inM F r
M F r


大 小,
方 向,,（ 右 手 定 则 ）
M r F
改变刚体运动状态的原因四、转动惯量：
2 2
iiJ m r r d m
刚体转动惯性大小的量度
1，表达式,
2，决定因素,(1)，质量 (2)，质量分布
(3)，转轴位置第五章 刚体的定轴转动习 题 课
3，定理,
(1)，平行轴定理,
(2)，垂直轴定理,
(3)，组合定理,
x y z y x z z x yJ J J J J J J J J，,,
1 2 3,.,iJ J J J J
2dCJ J m d
五、转动定律：
2
1
W M d?

21
2kEJ
MJ
六、力矩的功、转动动能、动能定理：
1，力矩的功,力矩的空间累积效应
2，转动动能,
3，转动动能定理,2 22
2 1 2 1
11
22kkW E E M d J J
1，
第五章 刚体的定轴转动习 题 课
21
2 C
J m g h C
七、机械能守恒定律：
只有保守力矩作功时，刚体的转动动能与势能之和保持恒定。
八,角动量定理：
1，角动量（动量矩）,
L r P r m v(1)，质点,
(2)，刚体,LJ
2，角冲量（冲量矩）,2
1
,,ttM t M dt
第五章 刚体的定轴转动
3，角动量定理,
2
1
21,
t
t
d M d ML L L
d t d t
(1)，质点,
(2)，刚体,2
1
2 2 1 1,
t
t
d M d ML J J
d t d t
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。质点所受的合外力矩冲量矩等于它的角动量的变化量。
刚体对一定轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的变化率。刚体所受的对一定轴的合外力矩冲量矩等于刚体对该轴的角动量的变化量。
习 题 课第五章 刚体的定轴转动
3，角动量守恒定律,
210,,M L L
(1)，质点,
(2)，刚体,
2 2 1 10,,i i i iiM J J外对于一定点，质点所受的合外力矩等于零，
则质点对该点的角动量保持不变。
刚体对一定轴的合外力矩等于零，则刚体对该轴的角动量保持不变。
习 题 课第五章 刚体的定轴转动习 题 课质点运动与刚体定轴转动比较角加速度加 速 度力 矩力转动惯量质 量角 速 度速 度角 位 移位 移角 位 置位置矢量刚体定轴转动质点运动
r?
2
2
d v d ra
d t d t
drdt?v
r
m

2
2
dd
d t d t

d
dt

2J r d m
M r FF
第五章 刚体的定轴转动习 题 课质点运动与刚体定轴转动比较角 动 量守恒定律动 量 守恒 定 律角动量定理动量定理角 冲 量冲 量角 动 量动 量转动定律运动定律刚体定轴转动质点运动
pm? v
2
21t
t
t F d t p p
Ft?
F m a?
0,
i
F
mC
iv
LJ
2
21t
t
t M d t L L
Mt?
MJ
0,M
JC?
第五章 刚体的定轴转动习 题 课质点运动与刚体定轴转动比较机 械 能守恒定律机 械 能守恒定律转 动 动能 定 理动能定理重力势能重力势能转动动能动 能力矩的功力 的 功刚体定轴转动质点运动
212kEm? v
222211122W m mvv
PE m g h?
b
aA F d r
0
kP
WW
E E C


外 非 保 内,
212kEJ
22211122W J J
PCE m g h?
2
1
W M d
0
kP
WW
E E C


外 非 保 内,
第五章 刚体的定轴转动题 4-1
习 题 课
M r F
i i i
ii
M r F
题 4-2
0,i n e xii
ii
M M J
B
刚体转动惯量与刚体质量、质量分布和转轴位置有关
2
mJ r d m
B
题 4-3
t
21c o s
23
lm g m l
3 c o s
2 gl mg
C
题 4-4 0,,M J C J
题 4-5
C
B 0,,M L C 0,,F E C
第五章 刚体的定轴转动
r R
A B
1m
2m
1J
2J
1a
2a
T2F? T1F?　
T2F T1F 　
1mg2mg
题 4-14 已知：
1 2 1 2,,,,,m m J J R r
求：
解：
1 2 1 2,,,TTa a F F
1 T 1 1
T 2 2 2
T 1 T 2 1 2
1
2
()
m g F m a
F m g m a
F R F r J J
aR
ar




12
1 22
1 2 1 2
m R m ra g R
J J m R m r


12
2 22
1 2 1 2
m R m ra g r
J J m R m r


2
1 2 2 2
11 22
1 2 1 2
T
J J m r m R rF m g
J J m R m r


2
1 2 1 1
22
1 2 1 2
T
J J m R m R rF m g
J J m R m r


第五章 刚体的定轴转动习 题 课题 4-20 已知：
求,h,L
,,,m m R
解,
m?
Rm
m
v
碎块抛出时的速度,Rv
碎块竖直上抛的高度,2 2 2
22
Rh
gg
v
圆盘裂开时角动量守恒：
0 mL L L
2
0
1
2L J m R
2mL m R
21()
2L m m R?

第五章 刚体的定轴转动习 题 课题 4-30 已知：
求,(1),ω,(2),A
0 0 0,,,/ 2m r r r
解,0r
0?
m
F
角动量守恒：(1)，
(2)
0LL?
20 0 0 0 0L J m r
2
0
1
4L J m r
04
转动动能定理：
kWE 2
1
2kEJ
2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 3
2 2 2W J J m r
第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
1 一飞轮半径为 0.2 m、转速为 150 r·min-1,因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动,试求,(1)角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数 ;(2)制动开始后 t = 6 s
时飞轮的角速度 ;(3)t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度．
解（ 1）
000,5 π,= 0,= 3 0,0,t ω t ω
0 π
6t

因飞轮作匀减速运动飞轮 30 s 内转过的角度 22 0 75 π
2


转过的圈数 75 π
3 7,52 π 2 πN
第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
（ 2）
1
0 sr a dπ4)66
ππ5( αtωω
（ 3） 2sm52π420,.r ωv
2
t sm1050)6
π(20,.ra?
222
n sm631π)4(20
,.r ωa
0
π0,2,5 π,,= 6,,,,
6 ntr ω t ω aa v
第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
2 一质量为 m、长为 L的均匀细棒,可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动,已知细棒与桌面的摩擦因素为 μ,求棒转动时受到的摩擦力矩的大小．
x
o dxx
如图，距 O点为 x,长为 dx的质元 dm的质量解
xlmm dd?
其所受阻力矩
)d(d mgxM
0
1dd
2
Lmg
M x m g x x m g L
l

第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
3 一转动惯量为 J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0，设它所受阻力矩为 M=-k?(k为常数 )，
求圆盘的角速度从?0变为?0/2 所需的时间．
解
0
0
1
2
0
d dt k t
J
,
JkM
， k
t
J
d
d
k
Jt 2ln?
解得：
t
J
k dd
第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
4 电风扇在开启电源后,经 t1时间达到了额定转速,
此时相应的角速度为?0,当关闭电源后,经过 t2时间风扇停转,已知风扇转子的转动惯量为 J,并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量,求电机的电磁力矩．
)11(
21
0 ttJ ωM
解
f1
f2
0 1 1 2 2
M M J
MJ
ω tt




解得：
第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
5 如图,一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块
A和 B,图中 R和 r,已知滑轮的转动惯量为 J,求 A,B两物体的加速度及滑轮的角加速度,
T
T
TT
B
A
BA
B
A
A
B
mg F ma
F mg ma
F R F r J
ar
aR




r R
A B
Ba
Aa
TA'F TB'F 　
TAF TBF 　
mgmg
TF　
G
解第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
5 如图,一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块
A和 B,图中 R和 r,已知滑轮的转动惯量为 J,求 A,B两物体的加速度及滑轮的角加速度,
解
22
()
()B
m R ra g R
m R r J


22
()
()A
m R ra g r
m R r J


2
22
()
()AT
J m R R rF m g
J m R r


2
22
()
()BT
J m r R rF m g
J m R r


r R
A B
Ba
Aa
TA'F TB'F 　
TAF TBF 　
mgmg
TF　
G
第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
6 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上,滑轮质量为 m,绳下端挂一物体,物体所受重力为 G,滑轮的角加速度为 α 1,若将物体去掉而以与 G相等的力直接向下拉绳子,滑轮的角加速度 α 2将
(A) 不变 (B) 变小
(C) 变大 (D) 无法判断 RR
G G
1? 2?
TF
TF?
G
解
22,G R J G R J
1
1
,
,
T
T
T
G F m a
F R J
F R J



21TGF?
答案：选 （ C）
第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
7 轻绳一端系着质量为 m的质点,另一端穿过光滑水平桌面上的小孔 O用力拉着,质 点原来以等速率 v作半径为 r 的圆周运动,问当拉动绳子向正下方移动到半径为
r/2时,质点的角速度多大？
m
rr/2
F?
v?
O
解 m绕 O转动中,所 受力矩 M=0．
LC?
2211 JJ?
22
2( ) ( )2
rm r m
r
v r/42 v
解得：
第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
L8 如图，一长 L、质量为 m的细棒可绕其一端自由转动，开始时棒处于水平位置，求棒转到与水平线成角度?时的角速度、角加速度,
解 应用转动定律求 α?JM?
c o s2LM m g 2
3
1 mLJ?
3 c o s
2
g
L
第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
L8 如图，一长 L、质量为 m的细棒可绕其一端自由转动，开始时棒处于水平位置，求棒转到与水平线成角度?时的角速度、角加速度,
解 应用动能定理求 ω
21d
2MJ
22
0 )3
1(
2
1dc o s
2
mLmgL
3 sing
L

第四章补充例题第四章 刚体的转动物理学第五版
L8 如图，一长 L、质量为 m的细棒可绕其一端自由转动，开始时棒处于水平位置，求棒转到与水平线成角度?时的角速度、角加速度,
解 应用机械能转换与守恒定律定理求 ω
21s i n
22
Lm g J
3 sing
L

kPE E C