End
一,谐振子
1,受力特点,
线性恢复力 kxF
2,动力学方程
0dd 22
2
xt x?
) c o s ()( tωAtx
动力学方程其中? 为 固有 (圆 )频率 m
kω?
§ 7.2 简谐振动动力学
2
2
dt
xdmmakxF 0
2
2 x
m
k
dt
xd
0?k 0?m 0?mk
由振动系统决定，与初条件无关,固有频率，固有周期
End
0(,,)kl m例：竖直悬挂的弹簧振子
st?
)( xkF st
2
2
)( dt xdmmaxkmg st
02
2
xmkdt xd
m
k
st
g
m
k
st
g
重力 mg,向下弹力与水平摆放时相同
，
0l
st?
F
mg
x
O
st?
mgk st
静止形变,讨论小球的运动解：
思考题：仅用一把直尺如何测量弹簧振子的固有频率？
End
l
m
O
mg
T
tmamgsin
2
2 sin 0
dg
d t l
sin
2
2 0
dg
d t l
l
g
g
lT?
22
较小时，
(,)lm二、单摆
mg T重力,张力,取逆时针为正
2
2s in t
dm g m a m l m l
dt
)c o s ( tm
)s in ( tdtd m
通解：
角速度,
振动角速度 与振动圆频率 的区别
0初角位移 与振动初位相 的区别注意：
角位移 与振动位相 的区别
End
例 物理摆如图所示,设刚体对轴的转 动惯量为 J.
设 t = 0 时摆角向右最大为?0.
求 振动周期和振动方程,
解 JhmM s i ng
0s i ng J hm
s i n,5 时?
0g J hm J hm g hm JT g2
单摆 g
2 lT
振动方程 tω c o s0
End
六,简谐振动的能量 (以水平弹簧振子为例 )
1,动能
2
2
1 vmE
k? )(s i n2
1 22 tkA 2m a x 21 kAE k?
2
4
1d1 kAtE
TE
Tt
t kk
2,势能 2
2
1 kxE
p? )(c o s2
1 22 tkA
3,机械能 2
2
1 kAEEE
pk （简谐振动系统机械能守恒）
0m in?kE
End
例 如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为 l,质量为 m,竖直部分杆长为 2l,质量为 2m,细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。
求 杆作微小摆动时的周期。
解 2g0
lmlkx?
c o s)(
s i ng2c o s
2
g
0 lxxk
lm
l
mM
lx ;si n;1c o s?)g2( 2kllmM
End
θkllmtθJ )g2(dd 222 222 32)2(3131 mllmmlJ ）（
03 g2dd 2
2
ml klmt ml klm3g2
klm
mlT
g2
3π2
) c o s (0 tω
能量的方法 (t 时刻系统的能量 )
)s i n21(g)(2121 202 lmxxkJE
2 g c o sml θ C 0s i ng2c o s
2
g)(
0 lm
lmxxxkJ
0)g2( 2 kllmJ （ 其它步骤同上 ）
End
§ 7.3 简谐振动的合成一,同方向同频率的简谐振动的合成
1,分振动,
2,合振动,
)c o s ()c o s ( 2211 tAtA tAAtAA s i n)s i ns i n( c o s)c o sc o s(
22112211cosA?sinA
) c o s ( s i ns i nc o sc o s tAtAtAx
)c o s (2 12212221 AAAAA 2211
2211
c o sc o s
s i ns i nt a n
AA
AA
)c o s ( 111 tAx
)c o s ( 222 tAx
21 xxx
结论,合振动 x 仍是简谐振动
End
讨论,
(1)若两分振动同相,即? 21=?2k? (k=0,1,2,… )
(2)若两分振动反相,即? 21=?(2k+1)? (k=0,1,2,… )
当 A1=A2 时,A=0
则 A=A1+A2,两分振动相互加强，
则 A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，
旋转矢量法处理谐振动的合成当 A1=A2 时,A=2A1
1?
1 A
2 A
2
A
x2x
1x
21 xxx
O
12
21 xxx
) c o s ( tA
)c o s (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s i ns i nt a n
AA
AA
End
二,同方向不同频率的简谐振动的合成
1,分振动,tωAx c o s 111? tωAx
222 c o s?
tω1 1 A
2 A
tω2?
A
x2x
1x
21 xxx
O
2ω
1ω2,合振动,21 xxx
当 时,
当 时，
合振动振幅的频率为,12
12
2 vvv
结论,合振动 x 不再是简谐振动
21 AAA
21 AAA
π2 )( 12 ktωω
π )12( )( 12 ktωω
A 有最大值
A有最小值
tωω )( 12?
End
tAtAxxx 2121 c o sc o s
当?21 时,?2 -?12 +?1,令其 中,)2c o s (2)( 12 tAtA
)
2c o s (c o s
12 tt
随 t 缓变 随 t 快变
ttAx?c o s)(?
振幅相同 不同频率的简谐振动的合成
tAx 11 c o s
tAx 22 c o s
ttA )2c o s ()2c o s (2 1212
2,合振动,
1,分振动,
结论,合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。
End
x
x2
x1
t
t
t
拍频,单位时间内 合振动振幅强弱变化的次数,即
21
21
()2 / 2 π
2
ω ωv v v
3,拍的现象
O
O
O
21( ) 2 c o s( )2A t A t
End
三,垂直方向同频率简谐振动的合成
1.分振动
2,合运动 )(s i n)c o s (2 12
2
12
21
2
2
2
2
1
2
AyAxAyAx
讨论当=?2-?1=k? (k为整数 )时,
02
21
2
2
2
2
1
2
AyAxAyAx
当=( 2k +1 )?/2 (k为整数 )时,1
2
2
2
2
1
2
AyAx 合成 分解
0
21
AyAx
)c o s ( 11 tAx
)c o s ( 22 tAy
End
= 0 (第一象限 )=?/2
== 3?/2
0
21
AyAx? 12
2
2
2
1
2
AyAx tAx?c o s1
)c o s (2 tAy
(第二象限 )
(第三象限 )
（
第四象限
）
一,谐振子
1,受力特点,
线性恢复力 kxF
2,动力学方程
0dd 22
2
xt x?
) c o s ()( tωAtx
动力学方程其中? 为 固有 (圆 )频率 m
kω?
§ 7.2 简谐振动动力学
2
2
dt
xdmmakxF 0
2
2 x
m
k
dt
xd
0?k 0?m 0?mk
由振动系统决定，与初条件无关,固有频率，固有周期
End
0(,,)kl m例：竖直悬挂的弹簧振子
st?
)( xkF st
2
2
)( dt xdmmaxkmg st
02
2
xmkdt xd
m
k
st
g
m
k
st
g
重力 mg,向下弹力与水平摆放时相同
，
0l
st?
F
mg
x
O
st?
mgk st
静止形变,讨论小球的运动解：
思考题：仅用一把直尺如何测量弹簧振子的固有频率？
End
l
m
O
mg
T
tmamgsin
2
2 sin 0
dg
d t l
sin
2
2 0
dg
d t l
l
g
g
lT?
22
较小时，
(,)lm二、单摆
mg T重力,张力,取逆时针为正
2
2s in t
dm g m a m l m l
dt
)c o s ( tm
)s in ( tdtd m
通解：
角速度,
振动角速度 与振动圆频率 的区别
0初角位移 与振动初位相 的区别注意：
角位移 与振动位相 的区别
End
例 物理摆如图所示,设刚体对轴的转 动惯量为 J.
设 t = 0 时摆角向右最大为?0.
求 振动周期和振动方程,
解 JhmM s i ng
0s i ng J hm
s i n,5 时?
0g J hm J hm g hm JT g2
单摆 g
2 lT
振动方程 tω c o s0
End
六,简谐振动的能量 (以水平弹簧振子为例 )
1,动能
2
2
1 vmE
k? )(s i n2
1 22 tkA 2m a x 21 kAE k?
2
4
1d1 kAtE
TE
Tt
t kk
2,势能 2
2
1 kxE
p? )(c o s2
1 22 tkA
3,机械能 2
2
1 kAEEE
pk （简谐振动系统机械能守恒）
0m in?kE
End
例 如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长为 l,质量为 m,竖直部分杆长为 2l,质量为 2m,细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。
求 杆作微小摆动时的周期。
解 2g0
lmlkx?
c o s)(
s i ng2c o s
2
g
0 lxxk
lm
l
mM
lx ;si n;1c o s?)g2( 2kllmM
End
θkllmtθJ )g2(dd 222 222 32)2(3131 mllmmlJ ）（
03 g2dd 2
2
ml klmt ml klm3g2
klm
mlT
g2
3π2
) c o s (0 tω
能量的方法 (t 时刻系统的能量 )
)s i n21(g)(2121 202 lmxxkJE
2 g c o sml θ C 0s i ng2c o s
2
g)(
0 lm
lmxxxkJ
0)g2( 2 kllmJ （ 其它步骤同上 ）
End
§ 7.3 简谐振动的合成一,同方向同频率的简谐振动的合成
1,分振动,
2,合振动,
)c o s ()c o s ( 2211 tAtA tAAtAA s i n)s i ns i n( c o s)c o sc o s(
22112211cosA?sinA
) c o s ( s i ns i nc o sc o s tAtAtAx
)c o s (2 12212221 AAAAA 2211
2211
c o sc o s
s i ns i nt a n
AA
AA
)c o s ( 111 tAx
)c o s ( 222 tAx
21 xxx
结论,合振动 x 仍是简谐振动
End
讨论,
(1)若两分振动同相,即? 21=?2k? (k=0,1,2,… )
(2)若两分振动反相,即? 21=?(2k+1)? (k=0,1,2,… )
当 A1=A2 时,A=0
则 A=A1+A2,两分振动相互加强，
则 A=|A1-A2|,两分振动相互减弱，
旋转矢量法处理谐振动的合成当 A1=A2 时,A=2A1
1?
1 A
2 A
2
A
x2x
1x
21 xxx
O
12
21 xxx
) c o s ( tA
)c o s (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s i ns i nt a n
AA
AA
End
二,同方向不同频率的简谐振动的合成
1,分振动,tωAx c o s 111? tωAx
222 c o s?
tω1 1 A
2 A
tω2?
A
x2x
1x
21 xxx
O
2ω
1ω2,合振动,21 xxx
当 时,
当 时，
合振动振幅的频率为,12
12
2 vvv
结论,合振动 x 不再是简谐振动
21 AAA
21 AAA
π2 )( 12 ktωω
π )12( )( 12 ktωω
A 有最大值
A有最小值
tωω )( 12?
End
tAtAxxx 2121 c o sc o s
当?21 时,?2 -?12 +?1,令其 中,)2c o s (2)( 12 tAtA
)
2c o s (c o s
12 tt
随 t 缓变 随 t 快变
ttAx?c o s)(?
振幅相同 不同频率的简谐振动的合成
tAx 11 c o s
tAx 22 c o s
ttA )2c o s ()2c o s (2 1212
2,合振动,
1,分振动,
结论,合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。
End
x
x2
x1
t
t
t
拍频,单位时间内 合振动振幅强弱变化的次数,即
21
21
()2 / 2 π
2
ω ωv v v
3,拍的现象
O
O
O
21( ) 2 c o s( )2A t A t
End
三,垂直方向同频率简谐振动的合成
1.分振动
2,合运动 )(s i n)c o s (2 12
2
12
21
2
2
2
2
1
2
AyAxAyAx
讨论当=?2-?1=k? (k为整数 )时,
02
21
2
2
2
2
1
2
AyAxAyAx
当=( 2k +1 )?/2 (k为整数 )时,1
2
2
2
2
1
2
AyAx 合成 分解
0
21
AyAx
)c o s ( 11 tAx
)c o s ( 22 tAy
End
= 0 (第一象限 )=?/2
== 3?/2
0
21
AyAx? 12
2
2
2
1
2
AyAx tAx?c o s1
)c o s (2 tAy
(第二象限 )
(第三象限 )
（
第四象限
）
