§ 6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程一,力矩力改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度
质点获得加速度改变质点的运动状态第 6章 刚体动力学
(1)力对点的力矩
O,
FrM O
(3)力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由 右螺旋法则 确定
FrM Z
(2)力对轴上任意点的力矩，
在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴 的力矩
F?
r?
oM?
r?
F?
//F?
nF?
F?h
F?
A
z
zM F r
x
L
O
M
y
例 已知棒长 L,质量 M,在摩擦系数为? 的桌面转动 (如图 )
解 xL
Mm dd? gmf dd?
根据力矩 xgxL
MM dd
M gLxgxLMM L 21d0
x
dx
r'TTRM i
TT'
例如
T
R'TTRM i
T'
在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算?
求 摩擦力对 y轴的力矩
O ir? iF?i
f?
理论推证
iiii amfF取一质量元
iiii amfF切线方向
iiiiiii ramrfrF对固定轴的力矩?2iirm?
对所有质元 )( 2iiiiii rmrfrF
合内力矩 = 0合外力矩 M 刚体的转动惯量 J
im
二,刚体对定轴的转动定律
JM z?刚体的转动定律
(1) M 正比于?,力矩越大,刚体的?越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
(3) 与牛顿定律比较,amJFM,,
讨论
M1、,
)(t 22dtdIIM
M )(t
2、可以解决两类问题,(1)已知,求
(2)已知 及初条件求,、
是对同一转轴而言的的物理意义转动惯量是刚体转动惯性大小的量度质量是物体平动惯性大小的量度
0?M C 0
Mc? J?
转动惯性大,小，转动惯性大； 小,大，转动惯性小
J
J
三,转动惯量?
2iirmJ定义式 质量不连续分布质量连续分布 mrJ d2
计算转动惯量的三个要素,(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
(1) J 与刚体的总质量有关例如 两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
L
z
O xdx
M 20 20 2 3
1dd MLx
L
MxxxJ LL
木铁 JJ?
(2) J 与质量分布有关例如 圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl
O
RL lRmRJ π2
0
2
0
2 dd?
23π2
0
2 π2π2d mRRmRlR R
m
R
O
m
r
drrrs dπ2d?
sm dd
Rm RmrrR mmrJ 0 2320 2 2d2d
rRmrrrRm d2dπ2π 22
R
O
L
xdx
M
z
2
0
2
3
1d MLxxJ L
L
O xdx
M
22
2
2
12
1d MLxxJ /L
/L
四,平行轴定理及 垂直轴定理
z
L
C
M
z' 2MLJJ z'z
z
(3) J 与转轴的位置有关
1,平行轴定理
'zJ
zJ
L
:刚体绕任意轴的转动惯量
:刚体绕通过质心的轴
:两轴间垂直距离
2121 ML/J z?
2
2
3
1
2 ML
LMJJ
ZZ
例 均匀细棒的转动惯量
2,(薄板 )垂直轴定理
yxz JJJ
z
M L
z?
例如 求对圆盘的一条直径的转动惯量
2
2
1 mRJ
z?
yxz JJJ
yx JJ?
已知
2
4
1 mRJJ
yx yx
z
圆盘
R
C
m
x,y轴在薄板内；
z 轴垂直 薄板且经过两轴交点。
z
x y
F
Or
(1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量 P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速解 (1)?JFr? 2r a d / s 23950
2098,
.
,
J
Fr?
maTmg(2)
JTrra? 两者区别五,转动定律的应用举例
mg
T
例求一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以 F=98 N
的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计,(见图 )
2mrJ
mg r
2
2 r a d / s 821201050
2098,
..
,?
一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求 它由此下摆?角时的? O lm
C
x
解 mxggmxM dd取一质元
Cmxmx dCm gxM?
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
dm
c o s21 m g lM?
l
g
mlm glJ
M
2
c o s33c o s
2
1
2
tωdd
d
d?
mg
θω lg00 d2c o s3d lg s in3?
例
y
圆盘以?0 在桌面上转动,受摩擦力而静止解
rrsm d2 πdd mgrfrM ddd
0
2d
3
RM M m g R
d
dMJ t
22 1 d
3 2 dm g R m R t
d43d 0
00
gRt t gRt43 0?
例求 到圆盘静止所需 时间取一质元由转动定律摩擦力矩
R
d ' ' 'M r g m m g r f r
例 一个刚体系统，如图所示,已知，转动惯量
2
3
1 mlJ?,现有一水平力作用于距轴为 l' 处求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。
解 设轴对棒的作用力为 N yx NN,
JFl?'
由质心运动定理?2
lmmaNF
Fam
cxx
i
ic
02 2lmmamgN cyy
)12 '3('2 llFFJFlmlN x
mgN y?
l'l 32? 0?xN
打击中心质心运动定理与转动定律联用
xN
yN
O
C
mg
'l
F?
质点系由转动定律
质点获得加速度改变质点的运动状态第 6章 刚体动力学
(1)力对点的力矩
O,
FrM O
(3)力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由 右螺旋法则 确定
FrM Z
(2)力对轴上任意点的力矩，
在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴 的力矩
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例 已知棒长 L,质量 M,在摩擦系数为? 的桌面转动 (如图 )
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Mm dd? gmf dd?
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在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算?
求 摩擦力对 y轴的力矩
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理论推证
iiii amfF取一质量元
iiii amfF切线方向
iiiiiii ramrfrF对固定轴的力矩?2iirm?
对所有质元 )( 2iiiiii rmrfrF
合内力矩 = 0合外力矩 M 刚体的转动惯量 J
im
二,刚体对定轴的转动定律
JM z?刚体的转动定律
(1) M 正比于?,力矩越大,刚体的?越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
(3) 与牛顿定律比较,amJFM,,
讨论
M1、,
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M )(t
2、可以解决两类问题,(1)已知,求
(2)已知 及初条件求,、
是对同一转轴而言的的物理意义转动惯量是刚体转动惯性大小的量度质量是物体平动惯性大小的量度
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转动惯性大,小，转动惯性大； 小,大，转动惯性小
J
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三,转动惯量?
2iirmJ定义式 质量不连续分布质量连续分布 mrJ d2
计算转动惯量的三个要素,(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
(1) J 与刚体的总质量有关例如 两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量
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M 20 20 2 3
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(2) J 与质量分布有关例如 圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
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四,平行轴定理及 垂直轴定理
z
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(3) J 与转轴的位置有关
1,平行轴定理
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:刚体绕任意轴的转动惯量
:刚体绕通过质心的轴
:两轴间垂直距离
2121 ML/J z?
2
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1
2 ML
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例 均匀细棒的转动惯量
2,(薄板 )垂直轴定理
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例如 求对圆盘的一条直径的转动惯量
2
2
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2
4
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圆盘
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Or
(1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量 P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速解 (1)?JFr? 2r a d / s 23950
2098,
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例求一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以 F=98 N
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一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求 它由此下摆?角时的? O lm
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重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩
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圆盘以?0 在桌面上转动,受摩擦力而静止解
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例求 到圆盘静止所需 时间取一质元由转动定律摩擦力矩
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例 一个刚体系统，如图所示,已知，转动惯量
2
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1 mlJ?,现有一水平力作用于距轴为 l' 处求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。
解 设轴对棒的作用力为 N yx NN,
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由质心运动定理?2
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打击中心质心运动定理与转动定律联用
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