§ 7.3 阻尼振动和受迫振动一,阻尼振动
1,阻尼力 xμf
2,振动的微分方程 (以弹簧振子为例 )
xμkxxm 02 20 xωxnx
阻尼系数,2 n =?/ m
3,阻尼振动的振动方程、表达式和振动曲线
（ 2）过阻尼和临界阻尼
（ 1）小阻尼 ( n2 <?02 )
)c o s ( 220 tnωAex nt
202n
202n
临界阻尼,
过 阻 尼,
在过阻尼和临界阻尼时,无振动,
二,受迫振动 （ 在外来策动力作用下的振动 ）
1,系统受力弹性力阻尼力 x
周期性策动力
tFxμkxxm c o s 0
kx?
2,受迫振动的微分方程
tfxxnx c o s2 20
tFF?c o s0?
其中 m
Ff
mnm
k 0
0 2

F
kxF 1
xμF? 2
3.受迫振动微分方程的 稳态 解为,
) c o s ( tωAx
下面用旋转矢量叠加的方法求稳态的解振幅和初相
(将稳态解代入到振动微分方程中有 ),
tωftωAω
tωAωtωAω
c o s) c o s (
) s i n ( 2) c o s (
2
0
2



令 ( 同时画出 t 时刻对应的矢量图 )：
tωfty c o s)(? [y ( t )]
f )π c o s ()( 21tωAωty?
[y1 ( t )]
2Aω
)2/π c o s ( 2)(2tωnAωty
[y2 ( t )] 2 An?
) c o s ()( 203 tωAωty
[y3 ( t )]
2Aω
因而,)()()()( 321 tytytyty
根据 t 时刻的旋转矢量图，可得稳态时的振幅和初相：
2/12222
0
2 ]4)[( ωnωω
fA
220
2t a n
ωω
n ω

（ 1）位移共振 (振幅取极值 )
讨论
（振幅共振曲线）
共振频率,220 2 nr
共振振幅,22
02 nn
fA
r
结论,受迫振动的振幅 A 及受迫振动与驱动力的相位差?都与起始条件无关。
（ 2）速度共振
(速度振幅?A取极值 )
速度共振时,速度与策动力同相,一周期内策动力总作正功,此时向系统输入的能量最大 。
共振频率,0
共振速度振幅,
n
f
m 2?v （速度共振曲线）
2222
0
2 4)(
n
f
mv
2
πta n