第 7章 机械振动机械振动,物体在一定位置附近所作的来回往复的运动 。
钟摆的运动、弹簧振子广义地说,任何一个物理量随时间的周期性变化都可以叫做振动。
正弦交流电,)c o s ( tUu m
—— 与机械振动本质不同，但许多性质在形式上遵从相同的规律简谐振动：最简单最基本的振动
-----任何复杂的振动都可以有许多简单振动合成。
End
一,简谐振动定义,
特点,(1)等幅振动
(2)周期振动
§ 7.1 简谐振动二,描述 简谐振动 的特征量
1,振幅 A
2,周期 T 和频率 v v = 1/T (Hz)
3,相位 (1) (? t +? ) 是 t 时刻的相位
(2)? 是 t =0 时刻的相位 —— 初相
x是描述位置的物理量,如 y,z 或?等,
) c o s ()( tωAtx
m
m
xO
)()( Ttxtx
End
(3)相位的意义,
) c o s ()( tωAtx )c o s (2 tAa )s i n( tAv
相位已知则振动状态已知,相位每改变 2?振动重复一次,
相位 2?范围内变化,状态不重复,
t
x
O
A
-A
= 2?
相位差 )c o s (
1111 tAx
)c o s ( 2222 tAx
)()( 1122 tt
1221（ 当 时 ）
---振动曲线（位移时间曲线，不是运动轨迹）
切线斜率 Vdtdxk /,速度
End
同相和反相 (同频率振动 )
当 =?2k?
两振动步调相同,称 同相 。
x
to
A1
-A1
A2
- A2
x1
x2 T同相当 =?(2k+1)?
两振动步调相反,称 反相 。
x2
T
x
o
A1
-A1
A2
- A2
x1
t
反相
End
超前和落后
t
x
O
A1
-A1
A2
- A2
x1x
2
若 =? 2-? 1> 0,则 x2 比 x1 早 达到正最大,称 x2
比 x1 超前(或 x1 比 x2 落后 )。
End
速度和加速度
) s i n( tωAωv
)2 c o s (tωAω )c o s ( vv tA
)πc o s (2 tAa )c o s ( aa tA
2?
2?
速度比位移超前加速度比速度超前加速度与位移反相
End
四,旋转矢量法
t +?o x
x
t
t = 0
A?
A?特点,直观方便,
··
)c o s ( tAxA
振幅矢量：
参考圆,
振幅 A,的长度
t=0 时刻 与 x轴正向的夹角
t
A?
A? 绕 O点以角速度 逆时针旋转?
,A?
与 x轴正向的夹角：任意时刻 t,A?
End
t +?o x
x
t
t = 0
A?
A?
va
)s i n( tAv )2c o s ( tA
)c o s (2 tAa
)c o s ( vv tA
)c o s ( aa tA
··
)c o s ()( tAtx
位移,速度和加速度
End
五,由初始条件求振幅和初相位
) c o s ()( tωAtx?c o s0 Ax?
) s i n( tωAωv?s in 0 Aωv
2
2
02
0?
v xA )(tg
0
01
x
v
注意,如何最后确定?,
End
00?x 00?V V 00?x00?V
00?x 00?V00?x 00?V
x
x
x
x
End
t
0x
例：振幅 0.12m，周期 2s,t=0,=0.06m，沿 x轴正向运动
（ 2） t=0.5s,x,V,a
且沿 x轴负向运动到 x=0，
（ 4）物体在平衡位置且沿 x轴负向运动开始计时求初相和运动方程求,（ 1）
（ 3）从 x=-0.06m
)2c os ( tTAx )c o s (12.0t
0x?c o s12.0cos
00?x 00?V 3/53/ 或
解,（ 1） A=0.12m,T=2s
=
t=0,=0.06= 1/2
V，
End
0,1 2 c o s( ) ( )3x t m
)3s in (12.0 tV sm/
)3c o s (12.0 2 ta 2/sm
0,12 c os ( )23x 6cos12.0?
19.06s i n12.0)32s i n (12.0V
（ 2）
，
t=0.5s,= =0.104(m)
sm/
03.16c o s12.0)32c o s (12.0 22a 2/sm
End
6
5
23
2
st 65/
0,1 2 c o s( )2xt
（ 3） （ 4）
End
六,由振动曲线写振动方程（ A，,）
1 t(s)-2-1 x
cmA 2? )c o s (2 tx
c o s210x 2/1c s
00?x 00?V
3/2
3/4 ))(3234c o s (2 cmtx
解：
钟摆的运动、弹簧振子广义地说,任何一个物理量随时间的周期性变化都可以叫做振动。
正弦交流电,)c o s ( tUu m
—— 与机械振动本质不同，但许多性质在形式上遵从相同的规律简谐振动：最简单最基本的振动
-----任何复杂的振动都可以有许多简单振动合成。
End
一,简谐振动定义,
特点,(1)等幅振动
(2)周期振动
§ 7.1 简谐振动二,描述 简谐振动 的特征量
1,振幅 A
2,周期 T 和频率 v v = 1/T (Hz)
3,相位 (1) (? t +? ) 是 t 时刻的相位
(2)? 是 t =0 时刻的相位 —— 初相
x是描述位置的物理量,如 y,z 或?等,
) c o s ()( tωAtx
m
m
xO
)()( Ttxtx
End
(3)相位的意义,
) c o s ()( tωAtx )c o s (2 tAa )s i n( tAv
相位已知则振动状态已知,相位每改变 2?振动重复一次,
相位 2?范围内变化,状态不重复,
t
x
O
A
-A
= 2?
相位差 )c o s (
1111 tAx
)c o s ( 2222 tAx
)()( 1122 tt
1221（ 当 时 ）
---振动曲线（位移时间曲线，不是运动轨迹）
切线斜率 Vdtdxk /,速度
End
同相和反相 (同频率振动 )
当 =?2k?
两振动步调相同,称 同相 。
x
to
A1
-A1
A2
- A2
x1
x2 T同相当 =?(2k+1)?
两振动步调相反,称 反相 。
x2
T
x
o
A1
-A1
A2
- A2
x1
t
反相
End
超前和落后
t
x
O
A1
-A1
A2
- A2
x1x
2
若 =? 2-? 1> 0,则 x2 比 x1 早 达到正最大,称 x2
比 x1 超前(或 x1 比 x2 落后 )。
End
速度和加速度
) s i n( tωAωv
)2 c o s (tωAω )c o s ( vv tA
)πc o s (2 tAa )c o s ( aa tA
2?
2?
速度比位移超前加速度比速度超前加速度与位移反相
End
四,旋转矢量法
t +?o x
x
t
t = 0
A?
A?特点,直观方便,
··
)c o s ( tAxA
振幅矢量：
参考圆,
振幅 A,的长度
t=0 时刻 与 x轴正向的夹角
t
A?
A? 绕 O点以角速度 逆时针旋转?
,A?
与 x轴正向的夹角：任意时刻 t,A?
End
t +?o x
x
t
t = 0
A?
A?
va
)s i n( tAv )2c o s ( tA
)c o s (2 tAa
)c o s ( vv tA
)c o s ( aa tA
··
)c o s ()( tAtx
位移,速度和加速度
End
五,由初始条件求振幅和初相位
) c o s ()( tωAtx?c o s0 Ax?
) s i n( tωAωv?s in 0 Aωv
2
2
02
0?
v xA )(tg
0
01
x
v
注意,如何最后确定?,
End
00?x 00?V V 00?x00?V
00?x 00?V00?x 00?V
x
x
x
x
End
t
0x
例：振幅 0.12m，周期 2s,t=0,=0.06m，沿 x轴正向运动
（ 2） t=0.5s,x,V,a
且沿 x轴负向运动到 x=0，
（ 4）物体在平衡位置且沿 x轴负向运动开始计时求初相和运动方程求,（ 1）
（ 3）从 x=-0.06m
)2c os ( tTAx )c o s (12.0t
0x?c o s12.0cos
00?x 00?V 3/53/ 或
解,（ 1） A=0.12m,T=2s
=
t=0,=0.06= 1/2
V，
End
0,1 2 c o s( ) ( )3x t m
)3s in (12.0 tV sm/
)3c o s (12.0 2 ta 2/sm
0,12 c os ( )23x 6cos12.0?
19.06s i n12.0)32s i n (12.0V
（ 2）
，
t=0.5s,= =0.104(m)
sm/
03.16c o s12.0)32c o s (12.0 22a 2/sm
End
6
5
23
2
st 65/
0,1 2 c o s( )2xt
（ 3） （ 4）
End
六,由振动曲线写振动方程（ A，,）
1 t(s)-2-1 x
cmA 2? )c o s (2 tx
c o s210x 2/1c s
00?x 00?V
3/2
3/4 ))(3234c o s (2 cmtx
解：
