一,质点动量矩 (角动量 )定理和动量矩守恒定律
1,质点的动量矩 (对 O点 )
v mrPrL O
其大小
s i ns i n vmrrpL O
(1) 质点的动量矩与质点的动量及 位矢 (取决于固定点的选择 )有关特例,质点作圆周运动 vmrrpL
§ 6.3 动量矩和动量矩守恒定律说明
OL?
O? r
P?S
惯性参照系
O'L?
O?
(2) 质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩例 一质点 m，速度为 v，如图所示,A,B,C 分别为三个参考点,此时 m 相对三个点的距离分别为 d1,d2,d3
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
vmdL A 1? vmdL B 1? 0?CL
md1
d2
d3
A
B C
v?
解
OL?
O? r
P?S
v
mrttL dddd vv?
mtrtmr ddd )d(
0 vv mMFr
t
LM
d
d LtM dd?
12d
2
1
LLtMtt (质点动量矩定理的积分形式 )
(质点动量矩定理的微分形式 )
质点所受合力矩的冲量 矩 等于质点的动量 矩 的增量
2,质点的动量矩定理说明
(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因
(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果
3,质点动量矩守恒定律常矢量，则若 LM 0 ──质点动量矩守恒定律
(2)通常对有心力：
例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律
(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用
1 sin
222
d r r dS
mm
d t d t
s in s indrL m r m rdtv
讨论
S?d
m? r?
r?d?
行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
F?过 O点,M=0,动量矩守恒当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度 v 0发射一求 θ角及着陆滑行的初速度多大？
m
R
MO
0v
0r
v
解 引力场（有心力）
质点的动量矩守恒系统的机械能守恒
Rmsrm vvin00
R
G M mm
r
G M mm 2
0
2
0 2
1
2
1 vv
s i n4s i n 000 vvv Rr 21
2
0
0 2
31 /
R
GM
vvv
21
2
02
31
4
1s i n /
R
GM
v?
例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M,半径为 R 的行星，
质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面二,质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律质点系对参考点 O 的动量矩就是 质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和
i i i i
i i i
L L r m r piiv
1,质点系的动量矩
dtPdrPdtrddtLd iiii )( iiiii fFrPV
0ii PV iiii frFrdtLd
ii fr ii fr
ii Fr
M
外ii Fr
-----合内力矩 =0
-----合外力矩 =
2,质点系的动量矩定理外Mt
L
d
d LtM dd?
外
LLLLtM LLtt
122
1
2
1
dd外微分形式积分形式质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩说明
3,质点系动量矩守恒定律对质点 系 0?外M? 0L? 常矢量?L?
如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动量矩守恒,如 0?zM 常量?ZL
三,刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
1,刚体定轴转动的动量矩刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩都具有相同的方向
i 2iirm?ZJ?
im?
ir? iv
O(所有质元的动量矩之和 )
Z
ZZ JL?
i v iiiZ rL?
2,刚体定轴转动的动量矩定理
tJM z d
d
由转动定律 JJtM z ddd
122
1
2
1
dd JJJtMtt z （动量矩定理 积分形式）
定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量
0?zM 0L 常量?Jω
(1) 变形体绕某轴转动时，若其上各点 (质元 )转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩 tJrm
kk 2
说明
3,刚体定轴转动的动量矩守恒定律对 定轴转动刚体动量矩定理微分形式当 变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒
常量?ωtJ tJ ω tJ ω
如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以 匀角速度转动
))4(121(4 220 lmmllmv
l
0
7
12 v
O 4l?
昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒例解求 昆虫沿杆爬行的 速度 。
t
JM z
z d
d
)121( 22 mrmlJ z
t
rrmm gr
d
d2c o s
tggtr c o s22c o sddv )712c o s (24 lg7 0
0
tl vv?
使杆以匀角速度转动
c o sm grM Z?
代入得转动定律 t
JM z
z d
)(d
其中四,进动动量矩定理
t
LM
d
d
tML dd
M//Ld
当 LM时则 只改变方向,不改变大小 (进动 )L?
gm?
L?d
L?
L dL? M?
高速自旋的物体的轴在空间转动的现象叫进动为什么飞轮的自旋轴不下落而转动呢？
d
b
d= M
d t L
进动角速度 Ω
mgb
J Ω?
以上只是近似讨论,只适用高速自转，即 Ω
d d L M d tLL
1,质点的动量矩 (对 O点 )
v mrPrL O
其大小
s i ns i n vmrrpL O
(1) 质点的动量矩与质点的动量及 位矢 (取决于固定点的选择 )有关特例,质点作圆周运动 vmrrpL
§ 6.3 动量矩和动量矩守恒定律说明
OL?
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P?S
惯性参照系
O'L?
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(2) 质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩例 一质点 m，速度为 v，如图所示,A,B,C 分别为三个参考点,此时 m 相对三个点的距离分别为 d1,d2,d3
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
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(质点动量矩定理的微分形式 )
质点所受合力矩的冲量 矩 等于质点的动量 矩 的增量
2,质点的动量矩定理说明
(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因
(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果
3,质点动量矩守恒定律常矢量，则若 LM 0 ──质点动量矩守恒定律
(2)通常对有心力：
例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律
(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用
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讨论
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行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积
F?过 O点,M=0,动量矩守恒当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度 v 0发射一求 θ角及着陆滑行的初速度多大？
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解 引力场（有心力）
质点的动量矩守恒系统的机械能守恒
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例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M,半径为 R 的行星，
质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面二,质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律质点系对参考点 O 的动量矩就是 质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和
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1,质点系的动量矩
dtPdrPdtrddtLd iiii )( iiiii fFrPV
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-----合内力矩 =0
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2,质点系的动量矩定理外Mt
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dd外微分形式积分形式质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩说明
3,质点系动量矩守恒定律对质点 系 0?外M? 0L? 常矢量?L?
如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动量矩守恒,如 0?zM 常量?ZL
三,刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
1,刚体定轴转动的动量矩刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩都具有相同的方向
i 2iirm?ZJ?
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Z
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2,刚体定轴转动的动量矩定理
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由转动定律 JJtM z ddd
122
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定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量
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(1) 变形体绕某轴转动时，若其上各点 (质元 )转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩 tJrm
kk 2
说明
3,刚体定轴转动的动量矩守恒定律对 定轴转动刚体动量矩定理微分形式当 变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒
常量?ωtJ tJ ω tJ ω
如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以 匀角速度转动
))4(121(4 220 lmmllmv
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7
12 v
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昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒例解求 昆虫沿杆爬行的 速度 。
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使杆以匀角速度转动
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其中四,进动动量矩定理
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当 LM时则 只改变方向,不改变大小 (进动 )L?
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高速自旋的物体的轴在空间转动的现象叫进动为什么飞轮的自旋轴不下落而转动呢？
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进动角速度 Ω
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以上只是近似讨论,只适用高速自转，即 Ω
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