§ 6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理一,转动动能 z
O ir? iv
im?
设系统包括有 N 个质量元
Ni mmmm,......,,.......,,21
Ni rrrr,....,.....,,21
Ni,......,......,,vvvv 21
,其动能为im?
2
2
1
iiki mE v
22
2
1?
iir? 各质量元速度不同，
但角速度相同
2221?iikik rmEE刚体的总动能 2221 ii rm221?J?
P
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半结论取二,力矩的功
O
r?
F?'r? r?d
d
功的定义
sFA dc o sdd rF
dc o sFr?
drF?
力矩作功的 微分形式对一有限过程
21 dMA 若 M = C )( 12 MA( 积分形式 ）
dM?
力的累积过程 —— 力矩的空间累积效应
.
P
三,转动动能定理 —— 力矩功的效果
)21d( 2?Jdd MA d)ddd( JtJ
对于一有限过程
2121 )21d( 2 JMdA
2
1
2
2 2
1
2
1 JJ
kE
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的 —— 动能定理 (质点系动能定理的区别 )
(2) 力矩的功就是力的功。
(3) 内力矩作功之和为零。
讨论
(1) 合力矩的功等于每个 力矩的功的代数和刚体的机械能 PK EEE
刚体重力势能
Cm ghJE
2
2
1?
iip ghmE
C
ii mg h
m
hmmg
刚体的机械能质心的势能刚体的机械能守恒 C2
1 2
Cm ghJ?
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
ch 0?
PE
C im
ih
例 一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解?c o s2
1 m g lM?
00 dc o s2d mglMA
由动能定理
021 2J 0s in2lm g
l
g s in32?
2
3
1 mlJ?
21)s in3( /
l
g
求 它由此下摆?角时的?
此题也可用机械能守恒定律方便求解
O lm
C
x
mg
图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体 A装在转动架上，转轴 Z上装一半径为 r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。
重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为 t，
例解 01?PE 01?kE
22 222 /J/mE Zk v
)2()( 222 r/Jmr Z v
分析（机械能）：
m g yE P2
求 物体 A对 Z 轴的转动惯量 Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。
)(2 222 ZJmrrm g y v
)(2 1dd2dd 22 ZJmrrttymg vv
atty dddd vv,
)12( 22 hgtmrJ Z 22
2
2
2
1
2
1 t
Jmr
mg rath
Z?
常量
ZJmr
mg ra
2
2
若滑轮质量不可忽略，怎样？
0)2(/)( 222 rJmrm g y Zv机械能守恒
O ir? iv
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设系统包括有 N 个质量元
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但角速度相同
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绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半结论取二,力矩的功
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功的定义
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力矩作功的 微分形式对一有限过程
21 dMA 若 M = C )( 12 MA( 积分形式 ）
dM?
力的累积过程 —— 力矩的空间累积效应
.
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三,转动动能定理 —— 力矩功的效果
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对于一有限过程
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2
1
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绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的 —— 动能定理 (质点系动能定理的区别 )
(2) 力矩的功就是力的功。
(3) 内力矩作功之和为零。
讨论
(1) 合力矩的功等于每个 力矩的功的代数和刚体的机械能 PK EEE
刚体重力势能
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2
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刚体的机械能质心的势能刚体的机械能守恒 C2
1 2
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对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
ch 0?
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C im
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例 一根长为 l,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解?c o s2
1 m g lM?
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由动能定理
021 2J 0s in2lm g
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2
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求 它由此下摆?角时的?
此题也可用机械能守恒定律方便求解
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图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体 A装在转动架上，转轴 Z上装一半径为 r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。
重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为 t，
例解 01?PE 01?kE
22 222 /J/mE Zk v
)2()( 222 r/Jmr Z v
分析（机械能）：
m g yE P2
求 物体 A对 Z 轴的转动惯量 Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。
)(2 222 ZJmrrm g y v
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若滑轮质量不可忽略，怎样？
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