刚体力学习题课一、目的要求：在确切理解质心、力矩、转动惯量、角动量等概念的基础上（ 1）能正确运用转动定律，质心定理，角动量定理，角动量守恒定律来解决刚体转动的问题。（ 2）能用功能关系处理问题。
二、复习内容
1、质心、质心运动定理。；
i
ii
c m
rmr ；
iic vmvm camF
分量表示）、、（以上各式也可以用 zyx
dt
dLMJM z
z ；、转动定律?2
3、角动量
vmrL 选取有关。，与参照点—— Om
00 LLdtMtt
iii vmrL质点系：
zz JL?刚体：；定理,0
0
LLdtMtt
dt
LdM
dt
dLM z
z?
的含义。，；，注意 zz LMLM
角动量守恒,0?M?如恒矢?L?
0?zM 00
, zz JJ
（非刚体） 00 zz JJ?
4 W M d
,力 矩 功
2
2
1?JE
k?刚体绕定轴转动动能
cp m g hE?刚体绕定轴转动势能
pk EEE
12 )()(0 zz
t
t z JJdtM
0kk EEMd功能关系
—系统—恒量，则机械能守恒 非保内外 Eww 0
三、讨论题
1、如图两相同滑轮,F=10（千克力）（ 1千克力 =9.8牛）
m=10（ kg），问两滑轮的 吗？21
）—（—答：否。 11?JFR
）—（— 22?JRT
maTmg
mamgT
FT?
R
F?
R
T
mg
am
)(21 FT
2、如图 AB为均匀细杆，放在光滑面上，
当 去掉,AB下落。它下落的方式为：
（ 1） A点不动，（ 2）中心（ C质心）
竖直下落，（ 3） B竖直下落。何者对？
或均不对，为什么？
F?
答,去掉，杆受力,mg,N 均在竖直方向，水平向不受力，所以质心竖直下落,A向左无摩擦滑动。
F?
Av
Cv
N
A
C
mg
F?
B
3、如图，光滑水平面上一小孔，细绳穿过，绳的一端系一小球,另一端手拉绳。先让小球做圆周运动，然后用 拉绳。小球的下列物理量哪个守恒？为什么？
（ 1）动量；（ 2）动能；（ 3）角动量。
m F?
，受力：答,Fm?
动量不守恒?
0 力作用，受力当 AFm
动能不守恒?
。点的力矩对但 0?OMOF?
点角动量守恒对 Om?
2211 vmrvmr?,12 rr? 12 vv
4、如图一细棒，长,用细绳悬挂。质量,此时 A,B两端绳的张力均为 。现将 B端绳剪断。求绳刚断瞬间 A端绳的张力。
l m
mg21
解,B端绳断，
）—（—质心平动 1CmaTmg
）—（—轴的转动绕 22 0?JlmgA?;31 2mlJ C?
laml
lmg
C
2
3
1
2
2
gmTmg 43 mgT 41
A B
CT
mg
）—（— 32?la C?
ga C 43
例：两个质量相同的小孩，在离地面同一高度上各抓住跨过定滑轮绳子的两端，开始两个小孩都静止不动，然后一个小孩用力沿绳子向上爬。另一个抓住绳子不放。若忽略绳、滑轮的质量，绳不可伸长，忽略轴承处的摩擦，问此系统的角动量守恒吗？哪一个小孩先到达滑轮？若两个小孩的质量不等，分别为 和,情况又如何？1m 2m
解：以地面为参照系，以绳和两小孩作为系统，并视小孩为质点。确定通过定滑轮轴心且指向读者的轴为固定轴。设滑轮半径为 R。
gRmgm 11?对轴的力矩
gRmgm 22 对轴的力矩
)(0 2112 mmgRmgRmm外
。系统对轴的角动量守恒?
00?L开始，两小孩不动，
设相对地的速度 。
在任一时刻系统对轴的总角动量为零，即
2211 vmvm 为，为
RvmRvm 2211?
21 mm又
21 vv
故同时到达滑轮。
2v
gm2
1v
gm1
若,则系统对固定轴所受力矩的代数和不为零。21 mm?
gRmgRmM 21
系统对轴的总动量,RvmRvmL 2211
dt
dLM?又
RamRamgRmgRm 221121
gmmamma?
1
1
2
2
1
2
1
若两小孩初速都为零，而 任一时刻 。,即物体轻的小孩先到达滑轮。
。时，当 2121 aamm,21 aa
12 vv? 2121 aamm 时，当注意：
（ 2）在运用角动量定理时，只需分析外力矩，内力矩（本例绳的张力矩）对系统角动量变化不起作用。
（ 3）选择固定轴正方向。
（ 1）质点系的角动量定理在惯性系中适用。若在计算小孩对轴的角动量时，把 当作相对于绳子的速度，这种做法是错误的。
21 vv、
例：一半径为 R的圆形细管，对 轴转动惯量为,以角速 绕 轴转动。起始时在管内最高点 A处有质量为 的小球（可视为质点），受扰动后，小球沿管子下落。求当小球落到 B点时，圆形管转动的角速度及相对于地球的小球速率 。CB vv,
Oz
0?
J
Oz m
解：将管和小球为系统，系统对轴角动量守恒。
Oz
0 zM系统满足
BA LL?系统角动量守恒，
BBA mRJLJL )( 20
2
0mRJ JB
* 小球到 B时速度等于多少？设管壁光滑。以,圆形管、地为系统。
m
00 pER 处系统机械能守恒。以
m z
A
B
R
O
C
m
2222
0 2
1)(
2
1
2
1
BB mvmRJm g RJ
点相对于环的速度。是小球在 Bv B
2
22
02
mRJ
RJgRv
B
)(212121 222220 BBB vRmJm g RJ或：
球相对于地的速度
Rvv BBB球
222|| Rvv BBB 球
0CC?点，对
CmvRmg 2
1)2(
gRvC 2?
轴无贡献。轴，对绕垂直产生的而 zzLvmr B
7、一均匀细杆，质量,长 。一端与轴承连接，可绕轴承转动。当杆与铅直线成,将杆由静止释放。求：杆运动到水平位置瞬间，杆施以支持点 O的作用力。
m l
060
分析：物理过程：杆绕点转动，
支撑点对杆有力作用。
。，静止（杆）,00 0t
解：杆受力：,O点支撑力,过 O点。不影响杆转动，
但 作用于杆上，影响质心的运动。研究对象：杆绕 O轴转动。
mg N?N?
N?
22
2
1s in
21
Jd
lmg
202 2121 JJMd
22
1 3
1
2
1c o s
2 ml
lmg )60(
2
3c o s3 0
11
2
l
g
l
g
1?
mgO
N
x
O
y
待求）—（—质心运动,NamNgm c)1(
杆绕点转动，质心加速度有切向法向分量。
），待定（有向,yx NNNymg?:
的分量提供向心力。出现由—— Naaaa cncnctc
合力定。、由提供，由杆转动到水平位置,mgNaNa yctxcn
cnx maN?
y ctN m g m a
2222 lalra ctcn ；
点转动求得。由杆绕 O?
l
g
2
3)2(
J
MJM 转动定律:
，转到水平位置,2lmgM
cnx maN
yN
mgmgmg 4143
N
3 3 3.031tg
x
y
N
N?方位：
04.18
2
3
1 mlJ?
2
2 lm
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gm mg
4
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mgma ct mgllgm 223
2
3
1
2
ml
l
mg
l
g
2
3
22 yx NN? mgmg 8.0
4
10
6、如图，一质量为 的匀质正方形薄板，边长为,铅直放置。它可绕一固定边自由转动。今有一质量为 速度为的小球垂直板面撞击板边缘。若碰撞为完全弹性碰撞。求：
碰后板和小球的运动。
m
0m
l
0v?
解：以小球、板为系统，系统不受外力矩作用,守恒,产生的力矩垂直板面对 轴无贡献。
LM,0?
gm? z
）—（— 1000?zJvlmlvm
系统受外力，但外力不做功。
系统机械能守恒，此处为动能守恒。
）—（— 2212121 220200?Jvmvm
由（ 1）、（ 2）两式得
02
0
2
0 v
lmJ
Jlmv
2
0
002
lmJ
lvm
0v?
0m
z
待求。?J
J
2l
m
、—代入— vmlllm 23 3131
0
0
0
3
3 v
m
m
m
m
v
l
v
mm
m 0
0
0
3
2?
看出,的方向，即小球是被弹回还是继续运动，由 和 的关系确定。
v 0mm
，当 30 mm?
，当 30 mm?
x
dx
l
x
dmr 2dxlx 2 l dxxl 0 2?
同向。与 0vv
反向。与 0vv
二、复习内容
1、质心、质心运动定理。；
i
ii
c m
rmr ；
iic vmvm camF
分量表示）、、（以上各式也可以用 zyx
dt
dLMJM z
z ；、转动定律?2
3、角动量
vmrL 选取有关。，与参照点—— Om
00 LLdtMtt
iii vmrL质点系：
zz JL?刚体：；定理,0
0
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dt
LdM
dt
dLM z
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的含义。，；，注意 zz LMLM
角动量守恒,0?M?如恒矢?L?
0?zM 00
, zz JJ
（非刚体） 00 zz JJ?
4 W M d
,力 矩 功
2
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k?刚体绕定轴转动动能
cp m g hE?刚体绕定轴转动势能
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12 )()(0 zz
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0kk EEMd功能关系
—系统—恒量，则机械能守恒 非保内外 Eww 0
三、讨论题
1、如图两相同滑轮,F=10（千克力）（ 1千克力 =9.8牛）
m=10（ kg），问两滑轮的 吗？21
）—（—答：否。 11?JFR
）—（— 22?JRT
maTmg
mamgT
FT?
R
F?
R
T
mg
am
)(21 FT
2、如图 AB为均匀细杆，放在光滑面上，
当 去掉,AB下落。它下落的方式为：
（ 1） A点不动，（ 2）中心（ C质心）
竖直下落，（ 3） B竖直下落。何者对？
或均不对，为什么？
F?
答,去掉，杆受力,mg,N 均在竖直方向，水平向不受力，所以质心竖直下落,A向左无摩擦滑动。
F?
Av
Cv
N
A
C
mg
F?
B
3、如图，光滑水平面上一小孔，细绳穿过，绳的一端系一小球,另一端手拉绳。先让小球做圆周运动，然后用 拉绳。小球的下列物理量哪个守恒？为什么？
（ 1）动量；（ 2）动能；（ 3）角动量。
m F?
，受力：答,Fm?
动量不守恒?
0 力作用，受力当 AFm
动能不守恒?
。点的力矩对但 0?OMOF?
点角动量守恒对 Om?
2211 vmrvmr?,12 rr? 12 vv
4、如图一细棒，长,用细绳悬挂。质量,此时 A,B两端绳的张力均为 。现将 B端绳剪断。求绳刚断瞬间 A端绳的张力。
l m
mg21
解,B端绳断，
）—（—质心平动 1CmaTmg
）—（—轴的转动绕 22 0?JlmgA?;31 2mlJ C?
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2
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1
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2
gmTmg 43 mgT 41
A B
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）—（— 32?la C?
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例：两个质量相同的小孩，在离地面同一高度上各抓住跨过定滑轮绳子的两端，开始两个小孩都静止不动，然后一个小孩用力沿绳子向上爬。另一个抓住绳子不放。若忽略绳、滑轮的质量，绳不可伸长，忽略轴承处的摩擦，问此系统的角动量守恒吗？哪一个小孩先到达滑轮？若两个小孩的质量不等，分别为 和,情况又如何？1m 2m
解：以地面为参照系，以绳和两小孩作为系统，并视小孩为质点。确定通过定滑轮轴心且指向读者的轴为固定轴。设滑轮半径为 R。
gRmgm 11?对轴的力矩
gRmgm 22 对轴的力矩
)(0 2112 mmgRmgRmm外
。系统对轴的角动量守恒?
00?L开始，两小孩不动，
设相对地的速度 。
在任一时刻系统对轴的总角动量为零，即
2211 vmvm 为，为
RvmRvm 2211?
21 mm又
21 vv
故同时到达滑轮。
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若,则系统对固定轴所受力矩的代数和不为零。21 mm?
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系统对轴的总动量,RvmRvmL 2211
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1
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若两小孩初速都为零，而 任一时刻 。,即物体轻的小孩先到达滑轮。
。时，当 2121 aamm,21 aa
12 vv? 2121 aamm 时，当注意：
（ 2）在运用角动量定理时，只需分析外力矩，内力矩（本例绳的张力矩）对系统角动量变化不起作用。
（ 3）选择固定轴正方向。
（ 1）质点系的角动量定理在惯性系中适用。若在计算小孩对轴的角动量时，把 当作相对于绳子的速度，这种做法是错误的。
21 vv、
例：一半径为 R的圆形细管，对 轴转动惯量为,以角速 绕 轴转动。起始时在管内最高点 A处有质量为 的小球（可视为质点），受扰动后，小球沿管子下落。求当小球落到 B点时，圆形管转动的角速度及相对于地球的小球速率 。CB vv,
Oz
0?
J
Oz m
解：将管和小球为系统，系统对轴角动量守恒。
Oz
0 zM系统满足
BA LL?系统角动量守恒，
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2
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* 小球到 B时速度等于多少？设管壁光滑。以,圆形管、地为系统。
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球相对于地的速度
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1)2(
gRvC 2?
轴无贡献。轴，对绕垂直产生的而 zzLvmr B
7、一均匀细杆，质量,长 。一端与轴承连接，可绕轴承转动。当杆与铅直线成,将杆由静止释放。求：杆运动到水平位置瞬间，杆施以支持点 O的作用力。
m l
060
分析：物理过程：杆绕点转动，
支撑点对杆有力作用。
。，静止（杆）,00 0t
解：杆受力：,O点支撑力,过 O点。不影响杆转动，
但 作用于杆上，影响质心的运动。研究对象：杆绕 O轴转动。
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杆绕点转动，质心加速度有切向法向分量。
），待定（有向,yx NNNymg?:
的分量提供向心力。出现由—— Naaaa cncnctc
合力定。、由提供，由杆转动到水平位置,mgNaNa yctxcn
cnx maN?
y ctN m g m a
2222 lalra ctcn ；
点转动求得。由杆绕 O?
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3)2(
J
MJM 转动定律:
，转到水平位置,2lmgM
cnx maN
yN
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N
3 3 3.031tg
x
y
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04.18
2
3
1 mlJ?
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mgma ct mgllgm 223
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3
1
2
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4
10
6、如图，一质量为 的匀质正方形薄板，边长为,铅直放置。它可绕一固定边自由转动。今有一质量为 速度为的小球垂直板面撞击板边缘。若碰撞为完全弹性碰撞。求：
碰后板和小球的运动。
m
0m
l
0v?
解：以小球、板为系统，系统不受外力矩作用,守恒,产生的力矩垂直板面对 轴无贡献。
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gm? z
）—（— 1000?zJvlmlvm
系统受外力，但外力不做功。
系统机械能守恒，此处为动能守恒。
）—（— 2212121 220200?Jvmvm
由（ 1）、（ 2）两式得
02
0
2
0 v
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2
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0v?
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同向。与 0vv
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