授 课 教 案课程名称：工程力学基础 编制日期：7/25/2009
授课日期
第周星期
第 周 星期
第 周 星期
第 周 星期
班 级
位移必须为约束所允许，即满足约束方程；
位移是无限小的位移；
虚位移可以不止一个或一组。
虚位移和无限小的实位移的区别：
二、虚功虚功：作用于质点或质点系上的力在其虚位移上所作的功。
由于虚功不能积分，故虚功只有元功的形式。
§4.5 理想约束理想约束：约束力的虚功之和等于零，即，则称之为理想约束。
光滑固定支承面和滚动铰链支座
光滑固定铰链支座和轴承
构件和轴出现微小转动时——作用点保持不变。
接物体的光滑铰链由于存在作用力与反作用力，即使出现虚位移，由于作用力与反作用力的共同作用，其虚功之和等于零。
重刚杆无重刚杆连接两个物体，由于杠杆的重量不计，故其两端的约束力构成二力共线。
由于杆件为刚杆，A、B两点之间的距离不变，因此这两点的微小位移在连线上的投影应该相等，即
所以，
连接两个物体的不可伸长的柔索
推导方式与4无重刚杆的过程基本相同，此处略。
刚体在固定面上无滑动的滚动
由于所研究的约束为定常约束，在此条件下可将实位移转化为虚位移，故有
§4.6 虚位移原理虚位移原理具有双侧、定常、完整、理想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的必要条件是：该质点系所有主动力在系的任何虚位移上的虚功之和等于零。
必要性证明：
如图所示，设质点系中任一质点作用有主动力合力和约束力合力，有
由于所有约束为理想约束，故有
可得
即主动力虚功之和等于零。
充分性证明：
设质点系不平衡，则至少有一个质点不平衡，设此质点为，有
质点将由静止沿方向进入运动（如上图b所示），获得实位移，将作出正功。
如果质点系还有其他不平衡质点，则有
其中，，，，为一组同时产生的微小实位移。由于系统具有定常约束，因此必有一组大小方向相同的虚位移，，，。于是有
考虑到理想约束，，由此得
虚位移原理的广义坐标形式由于涉及多元微积分，虚位移原理的广义坐标形式不作介绍。
变形体的虚位移原理一个处于平衡的构件，其外力和内力在该任意给定的虚位移上所作的功之和等于零，即
注意：我们在推导时要求质点系具有双侧、定常、完整、理想约束，实际上该定理使用与所有具有双侧、理想约束的质点系，而不管是否完整、或定常。
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位移必须为约束所允许，即满足约束方程；
位移是无限小的位移；
虚位移可以不止一个或一组。
虚位移和无限小的实位移的区别：
二、虚功虚功：作用于质点或质点系上的力在其虚位移上所作的功。
由于虚功不能积分，故虚功只有元功的形式。
§4.5 理想约束理想约束：约束力的虚功之和等于零，即，则称之为理想约束。
光滑固定支承面和滚动铰链支座
光滑固定铰链支座和轴承
构件和轴出现微小转动时——作用点保持不变。
接物体的光滑铰链由于存在作用力与反作用力，即使出现虚位移，由于作用力与反作用力的共同作用，其虚功之和等于零。
重刚杆无重刚杆连接两个物体，由于杠杆的重量不计，故其两端的约束力构成二力共线。
由于杆件为刚杆，A、B两点之间的距离不变，因此这两点的微小位移在连线上的投影应该相等，即
所以，
连接两个物体的不可伸长的柔索
推导方式与4无重刚杆的过程基本相同，此处略。
刚体在固定面上无滑动的滚动
由于所研究的约束为定常约束，在此条件下可将实位移转化为虚位移，故有
§4.6 虚位移原理虚位移原理具有双侧、定常、完整、理想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的必要条件是：该质点系所有主动力在系的任何虚位移上的虚功之和等于零。
必要性证明：
如图所示，设质点系中任一质点作用有主动力合力和约束力合力，有
由于所有约束为理想约束，故有
可得
即主动力虚功之和等于零。
充分性证明：
设质点系不平衡，则至少有一个质点不平衡，设此质点为，有
质点将由静止沿方向进入运动（如上图b所示），获得实位移，将作出正功。
如果质点系还有其他不平衡质点，则有
其中，，，，为一组同时产生的微小实位移。由于系统具有定常约束，因此必有一组大小方向相同的虚位移，，，。于是有
考虑到理想约束，，由此得
虚位移原理的广义坐标形式由于涉及多元微积分，虚位移原理的广义坐标形式不作介绍。
变形体的虚位移原理一个处于平衡的构件，其外力和内力在该任意给定的虚位移上所作的功之和等于零，即
注意：我们在推导时要求质点系具有双侧、定常、完整、理想约束，实际上该定理使用与所有具有双侧、理想约束的质点系，而不管是否完整、或定常。
