6-1
《通信原理,第二十九讲
第6章 模拟信号的数字传输
数字通信系统具有许多优点。然而许多信源输出都是模拟信号。
若要利用数字通信系统传输模拟信号，一般需三个步骤,
（1）把模拟信号数字化，即模数转换（A/D） ；
（2）进行数字方式传输；
（3）把数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A） 。
由于 A/D 或 D/A 变换的过程通常由信源编（译）码器实现，所以我们把发端的 A/D 变换称为 信源编码,而收端的 D/A 变换称为 信源译码,如语音信号的数字化叫做 语音编码 。
模拟信号数字化的方法大致可划分为波形编码和参量编码两类。 波形编码 是直接把时域波形变换为数字代码序列，比特率通常在 16kbit/s ~ 64 kbit/s 范围内，接收端重建信号的质量好。 参量编码 是利用信号处理技术，提取语音信号的特征参量，再变换成数字代码，其比特率在 16kbit/s 以下，但接收端重建信号的质量不够好。这里只介绍波形编码。
目前用的最普遍的波形编码方法有脉冲编码调制(PCM)和增量调制（ M? ） 。
本章在介绍抽样定理和脉冲幅度调制的基础上,重点讨论模拟信号数字化的两种方式，即 PCM 和 M? 的原理及性能。
§6.1 抽样定理
抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。 能否由此样值序列重建原信号，是抽样定理要回答的问题。
一,低通抽样定理
一个频带限制在 ),0(
H
f 赫内的时间连续信号 )(tm, 如果以
H
s
f
T
2
1
≤ 秒的间隔对它进行等间隔（均匀）抽样，则 )(tm 将被所得到的抽样值完全确定。
下面从频域角度来证明这个定理。设抽样脉冲序列是一个周期性冲击序列,
6-2
∑
∞
∞=
=
n
sT
nTtt )()( δδ （ 6.1-1）
s
sss
n
s
T
T
fn
T
π
πωωωδ
π
ωδ
2
2),(
2
)( ==?=
∑
∞
∞=
（ 6.1-2）
抽样后的信号可表示为
)()()( ttmtm
Ts
δ= （ 6.1-3）
∑
∞
∞=
=
n
sss
nTtnTmtm )()()( δ （ 6.1-4）
[])(*)(
2
1
)( ωδω
π
ω
Ts
MM = （ 6.1-5）
式中 )(ωM 是低通信号 )(tm 的频谱，其最高角频率为
H
ω 。
=
∑
∞
∞=n
ss
nM
T
M )(*)(
1
)( ωωδωω
由冲击卷积性质，上式可写成
∑
∞
∞=
=
n
ss
nM
T
M )(
1
)( ωωω （ 6.1-6）
抽样后信号的频谱 )(ω
s
M 由无限多个间隔为
s
ω 的 )(ωM 相叠加而成,这意味着抽样后的信号 )(tm
s
包含了信号 )(tm 的全部信息。如果
Hs
ωω 2≥,即
Hs
ff 2≥
也即
H
s
f
T
2
1
≤ （ 6.1-7）
只需收端用一个低通滤波器，就能从 )(ω
s
M 中取出 )(ωM,无失真地恢复原信号。
如果
Hs
ωω 2<,即抽样间隔
H
s
f
T
2
1
>,则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真重建原信号。
H
f
T
2
1
= 是最大允许抽样间隔，它被称为 奈奎斯特间隔,相对应的最低抽样速率
Hs
ff 2= 称为 奈奎斯特速率 。
6-3
图 6-2 抽样过程的时间函数及对应频谱图
图 6-3 混叠现象
我们再从时域角度来证明抽样定理。
频域已证明，将 )(ω
s
M 通过截止频率为
H
ω 的低通滤波器便可得到 )(ωM 。
)()(
2
ωω
ω
H
DM
s
= )(
1
)()(
1
2
ωωωω
ω
M
T
DnM
T
h
n
s
=?
∑
∞
∞=
所以
)]()([)(
2
ωωω
ω
H
DMTM
s
= （ 6.1-8）
6-4
图 6-4 理想抽样与信号恢复
将时域卷积定理用于式（ 6.1-8）,有
)()()()()( tSatmtSatmTtm
HsH
H
s
ωω
π
ω
=
= （ 6.1-9 ）
)]([))()()()()( nTtSanTmtSanTtnTmtm
H
n
H
n
==
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
ωωδ
)(
)(sin
)(
nTt
nTt
nTm
H
H
n
=
∑
∞
∞=
ω
ω
（ 6.1-10）
该式是重建信号的时域表达式，称为 内插公式 。它说明以奈奎斯特速率抽样的带限信号 )(tm 可以由其样值利用内插公式重建。
图 6-5 信号的重建
6-5
二,带通抽样定理
实际中遇到的许多信号是带通型信号
如果采用低通抽样定理的抽样速率
Hs
ff 2≥,对频率限制在
L
f 与
H
f 之间的带通型信号抽样，肯定能满足频谱不混叠的要求，但这样选择
s
f 太高了，它会使 0~
L
f 一大段频谱空隙得不到利用，降低了信道的利用率。
图 6-6 带通信号的抽样频谱（
Hs
ff 2= ）
带通均匀抽样定理,一个带通信号 )(tm,其频率限制在
L
f 与
H
f 之间，带宽为 B =
H
f -
L
f,如果最小抽样速率 mff
Hs
/2=, m 是一个不超过 Bf
H
/ 的最大整数，那么 )(tm 可完全由其抽样值确定。
若
H
f =n B,抽样速率 Bff
Hs
22 == 。图 6-7 画出了
H
f =5 B 时的频谱图，
显然，若
s
f 再减小，即
s
f 〈 2 B 时必然会出现混叠失真。
6-6
图 6-7
H
f =n B 时带通信号的抽样频谱
由此可知：当
H
f =n B 时，能重建原信号 )(tm 的最小抽样频率为
s
f = 2 B （ 6.1-11）
（ 2）最高频率不为带宽的整数倍，即
10,<<+= kkBnBf
H
（ 6.1-12）
此时 Bf
H
=n+k，由定理知,m 是一个不超过 n+k 的最大整数，显然,m=n，所以能恢复出原信号 )(tm 的最小抽样速率为
)1(2
)(22
n
k
B
n
kBnB
m
f
f
H
s
+=
+
== （ 6.1-13）
式中 n是一个不超过 Bf
H
/ 的最大整数； 10 << k 。
根据式（ 6.1-13）和关系
H
f = B +
L
f 画出的曲线如图 6-8 所示。由图可见，
s
f
在 BB 4~2 范围内取值，当
L
f 〉 〉 B 时，
s
f 趋近于 2 B 。
Bf
s
2≈ （ 6.1-13）
由于带通信号一般为窄带信号，容易满足
L
f 〉 〉 B,因此带通信号通常可按
6-7
2 B 速率抽样。
图 6-8
s
f 与
L
f 关系
《通信原理,第二十九讲
第6章 模拟信号的数字传输
数字通信系统具有许多优点。然而许多信源输出都是模拟信号。
若要利用数字通信系统传输模拟信号，一般需三个步骤,
（1）把模拟信号数字化，即模数转换（A/D） ；
（2）进行数字方式传输；
（3）把数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A） 。
由于 A/D 或 D/A 变换的过程通常由信源编（译）码器实现，所以我们把发端的 A/D 变换称为 信源编码,而收端的 D/A 变换称为 信源译码,如语音信号的数字化叫做 语音编码 。
模拟信号数字化的方法大致可划分为波形编码和参量编码两类。 波形编码 是直接把时域波形变换为数字代码序列，比特率通常在 16kbit/s ~ 64 kbit/s 范围内，接收端重建信号的质量好。 参量编码 是利用信号处理技术，提取语音信号的特征参量，再变换成数字代码，其比特率在 16kbit/s 以下，但接收端重建信号的质量不够好。这里只介绍波形编码。
目前用的最普遍的波形编码方法有脉冲编码调制(PCM)和增量调制（ M? ） 。
本章在介绍抽样定理和脉冲幅度调制的基础上,重点讨论模拟信号数字化的两种方式，即 PCM 和 M? 的原理及性能。
§6.1 抽样定理
抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。 能否由此样值序列重建原信号，是抽样定理要回答的问题。
一,低通抽样定理
一个频带限制在 ),0(
H
f 赫内的时间连续信号 )(tm, 如果以
H
s
f
T
2
1
≤ 秒的间隔对它进行等间隔（均匀）抽样，则 )(tm 将被所得到的抽样值完全确定。
下面从频域角度来证明这个定理。设抽样脉冲序列是一个周期性冲击序列,
6-2
∑
∞
∞=
=
n
sT
nTtt )()( δδ （ 6.1-1）
s
sss
n
s
T
T
fn
T
π
πωωωδ
π
ωδ
2
2),(
2
)( ==?=
∑
∞
∞=
（ 6.1-2）
抽样后的信号可表示为
)()()( ttmtm
Ts
δ= （ 6.1-3）
∑
∞
∞=
=
n
sss
nTtnTmtm )()()( δ （ 6.1-4）
[])(*)(
2
1
)( ωδω
π
ω
Ts
MM = （ 6.1-5）
式中 )(ωM 是低通信号 )(tm 的频谱，其最高角频率为
H
ω 。
=
∑
∞
∞=n
ss
nM
T
M )(*)(
1
)( ωωδωω
由冲击卷积性质，上式可写成
∑
∞
∞=
=
n
ss
nM
T
M )(
1
)( ωωω （ 6.1-6）
抽样后信号的频谱 )(ω
s
M 由无限多个间隔为
s
ω 的 )(ωM 相叠加而成,这意味着抽样后的信号 )(tm
s
包含了信号 )(tm 的全部信息。如果
Hs
ωω 2≥,即
Hs
ff 2≥
也即
H
s
f
T
2
1
≤ （ 6.1-7）
只需收端用一个低通滤波器，就能从 )(ω
s
M 中取出 )(ωM,无失真地恢复原信号。
如果
Hs
ωω 2<,即抽样间隔
H
s
f
T
2
1
>,则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真重建原信号。
H
f
T
2
1
= 是最大允许抽样间隔，它被称为 奈奎斯特间隔,相对应的最低抽样速率
Hs
ff 2= 称为 奈奎斯特速率 。
6-3
图 6-2 抽样过程的时间函数及对应频谱图
图 6-3 混叠现象
我们再从时域角度来证明抽样定理。
频域已证明，将 )(ω
s
M 通过截止频率为
H
ω 的低通滤波器便可得到 )(ωM 。
)()(
2
ωω
ω
H
DM
s
= )(
1
)()(
1
2
ωωωω
ω
M
T
DnM
T
h
n
s
=?
∑
∞
∞=
所以
)]()([)(
2
ωωω
ω
H
DMTM
s
= （ 6.1-8）
6-4
图 6-4 理想抽样与信号恢复
将时域卷积定理用于式（ 6.1-8）,有
)()()()()( tSatmtSatmTtm
HsH
H
s
ωω
π
ω
=
= （ 6.1-9 ）
)]([))()()()()( nTtSanTmtSanTtnTmtm
H
n
H
n
==
∑∑
∞
∞=
∞
∞=
ωωδ
)(
)(sin
)(
nTt
nTt
nTm
H
H
n
=
∑
∞
∞=
ω
ω
（ 6.1-10）
该式是重建信号的时域表达式，称为 内插公式 。它说明以奈奎斯特速率抽样的带限信号 )(tm 可以由其样值利用内插公式重建。
图 6-5 信号的重建
6-5
二,带通抽样定理
实际中遇到的许多信号是带通型信号
如果采用低通抽样定理的抽样速率
Hs
ff 2≥,对频率限制在
L
f 与
H
f 之间的带通型信号抽样，肯定能满足频谱不混叠的要求，但这样选择
s
f 太高了，它会使 0~
L
f 一大段频谱空隙得不到利用，降低了信道的利用率。
图 6-6 带通信号的抽样频谱（
Hs
ff 2= ）
带通均匀抽样定理,一个带通信号 )(tm,其频率限制在
L
f 与
H
f 之间，带宽为 B =
H
f -
L
f,如果最小抽样速率 mff
Hs
/2=, m 是一个不超过 Bf
H
/ 的最大整数，那么 )(tm 可完全由其抽样值确定。
若
H
f =n B,抽样速率 Bff
Hs
22 == 。图 6-7 画出了
H
f =5 B 时的频谱图，
显然，若
s
f 再减小，即
s
f 〈 2 B 时必然会出现混叠失真。
6-6
图 6-7
H
f =n B 时带通信号的抽样频谱
由此可知：当
H
f =n B 时，能重建原信号 )(tm 的最小抽样频率为
s
f = 2 B （ 6.1-11）
（ 2）最高频率不为带宽的整数倍，即
10,<<+= kkBnBf
H
（ 6.1-12）
此时 Bf
H
=n+k，由定理知,m 是一个不超过 n+k 的最大整数，显然,m=n，所以能恢复出原信号 )(tm 的最小抽样速率为
)1(2
)(22
n
k
B
n
kBnB
m
f
f
H
s
+=
+
== （ 6.1-13）
式中 n是一个不超过 Bf
H
/ 的最大整数； 10 << k 。
根据式（ 6.1-13）和关系
H
f = B +
L
f 画出的曲线如图 6-8 所示。由图可见，
s
f
在 BB 4~2 范围内取值，当
L
f 〉 〉 B 时，
s
f 趋近于 2 B 。
Bf
s
2≈ （ 6.1-13）
由于带通信号一般为窄带信号，容易满足
L
f 〉 〉 B,因此带通信号通常可按
6-7
2 B 速率抽样。
图 6-8
s
f 与
L
f 关系
