《通信原理,第二十四讲
§ 5．4 基带脉冲传输与码间串扰
在 5.1节 中定性介绍了基带传输系统的工作原理,初步了解码间串扰和噪声是引起误码的因素。 本节将定量分析基带脉冲传输过程,分析模型如图5-8所示。
图 5-8 基带传输系统模型
图中，{
n
a }为发送滤波器的输入符号序列，在二进制的情况下
n
a 取值为0、
1 或-1，+1。假设{
n
a }对应的基带信号 d(t)是间隔为
S
T,强度由
n
a 决定的单位冲击序列，即
∑
∞
∞=
=
n
sn
nTtatd )()( δ （ 5.4-1）
此信号激励发送滤波器 (即信道信号形成器 )时，则发送滤波器的输出信号为
∑
∞
∞=
=?=
n
sTnT
nTtgatgtdts )()()()( （ 5.4-2）
若设信道的传输特性为 )(ωC,接收滤波器的传输特性为 )(ω
R
G,则基带传输系统的总传输特性为
)()()()( ωωωω
RT
GCGH = （ 5.4-4）
其单位冲击响应为
ωω
π
ω
deHth
tj
∫
∞
∞?
= )(
2
1
)( （ 5.4-5）
∑
∞
∞=
+?=+?=
n
RSnR
tnnTthatnthtdty )()()()()()( （ 5.4-6）
式中,)(tn
R
是加性噪声 )(tn 经过接收滤波器后输出的噪声。
如我们要对第 k 个码元
k
a 进行判决,应在
os
tkTt += 时刻上（
0
t 是信道和接收滤波器所造成的延迟）对 )(ty 抽样，由式（ 5.4-6）得
[ ] )()()()(
0000
tkTntTnkhathatkTy
sR
kn
snks
+++?+=+
∑
≠
（ 5.4-7）
式中，第一项 )(
0
tha
k
是第 k 个码元波形的抽样值，它是确定
k
a 的依据；第二项
[]
∑
≠
+?
kn
sn
tTnkha
0
)( 是除第 k 个码元以外的其它码元波形在第 k 个抽样时刻上的总和，它对当前码元
k
a 的判决起着干扰的作用，所以称为码间串扰值；第三项
)(
0
tkTn
sR
+ 是输出噪声在抽样瞬间的值，它是一种随机干扰，也要影响对第 k 个码元的正确判决。
由于码间串扰和随机噪声的存在，对
k
a 取值的判决可能判对也可能判错。
因此，为了使误码率尽可能的小，必须最大限度的减小码间串扰和随机噪声的影响。
§5．5 无码间串扰的基带传输特性
若想消除码间串扰，应有
[]
∑
≠
+?
kn
sn
tTnkha
0
)(=
由于
n
a 是随机的，要想通过各项相互抵消使码间串扰为 0 是不行的，如果相邻码元的前一个码元的波形到达后一个码元抽样判决时刻已经衰减到 0,如图 5-9(a)
所示的波形，就能满足要求。但这样 的波形不易实现，但只要让它在
0
t +
S
T,
0
t +2
S
T 等后面码元抽样判决时刻上正好为 0，就能消除码间串扰，如图 5-9(b)所示。这也是消除码间串扰的基本思想。
(a) (b)
图 5-9
下面，研究如何设计基带传输特性 )(ωH,以形成在抽样时刻上无码间串扰的冲击响应波形 h(t)。
根据上面的分析，假设延迟
0
t =0，无码间串扰的基带系统冲击响应应满足下式
=
=
为其他整数k
k
kTh
s
,0
0,1
)( （ 5.5-1）
说明，无码间串扰的基带系统冲击响应除 t=0 时取值不为零外，其它抽样时刻
t=
s
kT 上的抽样值均为零。
因为
ωω
π
ω
deHth
tj
∫
∞
∞?
= )(
2
1
)(
)(
S
kTh =
∫
∞
∞?
ωω
π
ω
deH
S
kTj
）（
2
1
（5.5-2）
把上式的积分区间用分段积分代替，每段长为
S
T/2π,则上式可写成
)(
S
kTh =
∑
∫
+
i
Ti
Ti
kTj
S
S
S
deH
/)12(
/)22(
)(
2
1
π
π
ω
ωω
π
（5.5-3）
作变量代换,令ω
'
=ω-
S
T
iπ2
,则有
s
T
i
dd
π
ωωωω
2
,+′==′ 。 且当
s
T
i π
ω
)12( ±
= 时,
s
T
π
ω ±=′,于是
)(
S
kTh =
∑
∫
′
′+′
i
T
T
ikjkTj
S
S
S
S
dee
T
i
H
/
/
2
)
2
(
2
1
π
π
πω
ω
π
ω
π
=
∑
∫
′
′+′
i
T
T
kTj
S
S
S
S
de
T
i
H
/
/
)
2
(
2
1
π
π
ω
ω
π
ω
π
（5.5-4）
当上式之和一致收敛时，有
)(
S
kTh = ω
π
ω
π
ω
π
π
de
T
i
H
SS
S
kTj
S
T
T
i
)
2
(
2
1
∫
∑
+ （5.5-5）
由傅里叶级数可知，若F(ω)是周期为
S
T/2π 的频率函数，则
∑
=
n
Tjn
n
S
efF
ω
ω)(
∫
=
S
S
S
T
T
TjnS
n
deF
T
f
/
/
)(
2
π
π
ω
ωω
π
（5.5-6）
将上式与式(5.5-5)对照,)(
S
kTh 就是
∑
+
i SS
T
i
H
T
)
2
(
1 π
ω 的指数型傅里叶级数的系数，因而有
∑∑
=+
ik
kTj
S
sS
S
ekTh
T
i
H
T
ω
π
ω )()
2
(
1
,
S
T
π
ω ≤ (5.5-7)
将无码间串扰时域条件(5.5-1)带入上式，便可得到无码间串扰时，基带传输特性应满足的频域条件
∑
=+
i sS
T
i
H
T
1)
2
(
1 π
ω
S
T
π
ω ≤ (5.5-8)
或着写成
∑
=+
i
S
s
T
T
i
H )
2
(
π
ω
S
T
π
ω ≤ (5.5-9)
该条件称为 奈奎斯特第一准则 。
§ 5．4 基带脉冲传输与码间串扰
在 5.1节 中定性介绍了基带传输系统的工作原理,初步了解码间串扰和噪声是引起误码的因素。 本节将定量分析基带脉冲传输过程,分析模型如图5-8所示。
图 5-8 基带传输系统模型
图中，{
n
a }为发送滤波器的输入符号序列，在二进制的情况下
n
a 取值为0、
1 或-1，+1。假设{
n
a }对应的基带信号 d(t)是间隔为
S
T,强度由
n
a 决定的单位冲击序列，即
∑
∞
∞=
=
n
sn
nTtatd )()( δ （ 5.4-1）
此信号激励发送滤波器 (即信道信号形成器 )时，则发送滤波器的输出信号为
∑
∞
∞=
=?=
n
sTnT
nTtgatgtdts )()()()( （ 5.4-2）
若设信道的传输特性为 )(ωC,接收滤波器的传输特性为 )(ω
R
G,则基带传输系统的总传输特性为
)()()()( ωωωω
RT
GCGH = （ 5.4-4）
其单位冲击响应为
ωω
π
ω
deHth
tj
∫
∞
∞?
= )(
2
1
)( （ 5.4-5）
∑
∞
∞=
+?=+?=
n
RSnR
tnnTthatnthtdty )()()()()()( （ 5.4-6）
式中,)(tn
R
是加性噪声 )(tn 经过接收滤波器后输出的噪声。
如我们要对第 k 个码元
k
a 进行判决,应在
os
tkTt += 时刻上（
0
t 是信道和接收滤波器所造成的延迟）对 )(ty 抽样，由式（ 5.4-6）得
[ ] )()()()(
0000
tkTntTnkhathatkTy
sR
kn
snks
+++?+=+
∑
≠
（ 5.4-7）
式中，第一项 )(
0
tha
k
是第 k 个码元波形的抽样值，它是确定
k
a 的依据；第二项
[]
∑
≠
+?
kn
sn
tTnkha
0
)( 是除第 k 个码元以外的其它码元波形在第 k 个抽样时刻上的总和，它对当前码元
k
a 的判决起着干扰的作用，所以称为码间串扰值；第三项
)(
0
tkTn
sR
+ 是输出噪声在抽样瞬间的值，它是一种随机干扰，也要影响对第 k 个码元的正确判决。
由于码间串扰和随机噪声的存在，对
k
a 取值的判决可能判对也可能判错。
因此，为了使误码率尽可能的小，必须最大限度的减小码间串扰和随机噪声的影响。
§5．5 无码间串扰的基带传输特性
若想消除码间串扰，应有
[]
∑
≠
+?
kn
sn
tTnkha
0
)(=
由于
n
a 是随机的，要想通过各项相互抵消使码间串扰为 0 是不行的，如果相邻码元的前一个码元的波形到达后一个码元抽样判决时刻已经衰减到 0,如图 5-9(a)
所示的波形，就能满足要求。但这样 的波形不易实现，但只要让它在
0
t +
S
T,
0
t +2
S
T 等后面码元抽样判决时刻上正好为 0，就能消除码间串扰，如图 5-9(b)所示。这也是消除码间串扰的基本思想。
(a) (b)
图 5-9
下面，研究如何设计基带传输特性 )(ωH,以形成在抽样时刻上无码间串扰的冲击响应波形 h(t)。
根据上面的分析，假设延迟
0
t =0，无码间串扰的基带系统冲击响应应满足下式
=
=
为其他整数k
k
kTh
s
,0
0,1
)( （ 5.5-1）
说明，无码间串扰的基带系统冲击响应除 t=0 时取值不为零外，其它抽样时刻
t=
s
kT 上的抽样值均为零。
因为
ωω
π
ω
deHth
tj
∫
∞
∞?
= )(
2
1
)(
)(
S
kTh =
∫
∞
∞?
ωω
π
ω
deH
S
kTj
）（
2
1
（5.5-2）
把上式的积分区间用分段积分代替，每段长为
S
T/2π,则上式可写成
)(
S
kTh =
∑
∫
+
i
Ti
Ti
kTj
S
S
S
deH
/)12(
/)22(
)(
2
1
π
π
ω
ωω
π
（5.5-3）
作变量代换,令ω
'
=ω-
S
T
iπ2
,则有
s
T
i
dd
π
ωωωω
2
,+′==′ 。 且当
s
T
i π
ω
)12( ±
= 时,
s
T
π
ω ±=′,于是
)(
S
kTh =
∑
∫
′
′+′
i
T
T
ikjkTj
S
S
S
S
dee
T
i
H
/
/
2
)
2
(
2
1
π
π
πω
ω
π
ω
π
=
∑
∫
′
′+′
i
T
T
kTj
S
S
S
S
de
T
i
H
/
/
)
2
(
2
1
π
π
ω
ω
π
ω
π
（5.5-4）
当上式之和一致收敛时，有
)(
S
kTh = ω
π
ω
π
ω
π
π
de
T
i
H
SS
S
kTj
S
T
T
i
)
2
(
2
1
∫
∑
+ （5.5-5）
由傅里叶级数可知，若F(ω)是周期为
S
T/2π 的频率函数，则
∑
=
n
Tjn
n
S
efF
ω
ω)(
∫
=
S
S
S
T
T
TjnS
n
deF
T
f
/
/
)(
2
π
π
ω
ωω
π
（5.5-6）
将上式与式(5.5-5)对照,)(
S
kTh 就是
∑
+
i SS
T
i
H
T
)
2
(
1 π
ω 的指数型傅里叶级数的系数，因而有
∑∑
=+
ik
kTj
S
sS
S
ekTh
T
i
H
T
ω
π
ω )()
2
(
1
,
S
T
π
ω ≤ (5.5-7)
将无码间串扰时域条件(5.5-1)带入上式，便可得到无码间串扰时，基带传输特性应满足的频域条件
∑
=+
i sS
T
i
H
T
1)
2
(
1 π
ω
S
T
π
ω ≤ (5.5-8)
或着写成
∑
=+
i
S
s
T
T
i
H )
2
(
π
ω
S
T
π
ω ≤ (5.5-9)
该条件称为 奈奎斯特第一准则 。
