《通信原理,第二十二讲
一,基带信号的频谱特性
研究基带信号的频谱结构是十分必要的，通过谱分析，我们可以了解信号需要占据的频带宽度，所包含的频谱分量，有无直流分量，有无定时分量等。
设二进制的随机脉冲序列如图5-4 （a） 所示,其中g
1
(t) 表示,0” 码,g
2
(t)
表示“1”码，g
1
(t)和g
2
(t)在实际中可以是任意的脉冲。
图 5-4 随机脉冲序列示意波形
假设g
1
(t)和g
2
(t)出现的概率分别 为P和1-P，且统计独立，则
∑
∞
∞=
=
n
n
tsts )()( (5.2-3)
其中
=
出现以概率），（
出现以概率
)1(
),(
)(
2
1
PnTtg
PnTtg
ts
S
S
n
(5.2-4)
把s(t)分解成稳态波v(t)和交变波u(t)。所谓稳态波，即是随机序列s(t)
的统计平均分量
)()]()1()([)(
21
tvnTtgPnTtPgtv
n
n
n
ss ∑∑
∞
∞=
∞
∞=
=+?= (5.2-5)
其波形如图5-4(b)所示，显然v(t)是一个以
s
T 为周期的周期函数。
交变波u(t)是s(t)与v(t)之差，即
)()()( tvtstu?= (5.2-6)
其中第n个码元为
)()()( tvtstu
nnn
= (5.2-7)
于是
∑
∞
∞=
=
n
n
tutu )()( (5.2-8)
其中 )(tu
n
可根据式(5.2-4) 和(5.2-5)表示为
)(tu
n
=
=
=
)1()],()([
)()1()()(
)],()()[1(
)()1()()(
21
212
21
211
PnTtgnTtgP
nTtgPnTtPgnTtg
PnTtgnTtgP
nTtgPnTtPgnTtg
ss
sss
ss
sss
以概率以概率
或者写成
)]()([)(
21 ssnn
nTtgnTtgatu= (5.2-9)
其中
=
)1(,
,1
PP
PP
a
n
以概率以概率
(5.2-10)
显然，u(t)是随机脉冲序列,图5-4（c）画出了u(t)的一个实现。
1．v(t)的功率谱密度 )( fP
v
由于v(t)是以
S
T 为周期的周期信号，故
∑
∞
∞=
=
m
tfmj
m
S
eCtv
π2
)( (5.2-11)
式中
∫
=
2
2
2
)(
1
s
s
S
T
T
tfmj
s
m
dtetv
T
C
π
(5.2-12)
由于在（-
s
T /2，
s
T /2）范围内,)()1()()(
21
tgPtPgtv?+=,所以
∫
+=
2
2
2
21
)]()1()([
1
s
s
S
T
T
tfmj
s
m
dtetgPtPg
T
C
π
又由于 )()1()(
21
tgPtPg?+ 只存在（-
s
T /2，
s
T /2）范围内，所以
∫
∞
∞?
+= dtetgPtPg
T
C
tfmj
s
m
S
π2
21
)]()1()([
1
)]()1()([
21 sss
mfGPmfPGf?+= (5.2-13)
式中
)(
1 s
mfG = dtetg
tmfj
S
π2
1
)(
∞
∞?
∫
)(
2 s
mfG = dtetg
tmfj
S
π2
2
)(
∞
∞?
∫
s
s
T
f
1
=
再根据周期信号功率谱密度与付氏系数
m
C 的关系式，有
∑
∑
∞
∞=
∞
∞=
+=
=
m
sSSS
m
smv
mffmfGPmfPGf
mffCfP
)()]()1()([
)()(
2
21
2
δ
δ
(5.2-14)
可见稳态波的功率谱 )( fP
v
是冲击强度取决
2
m
C 的离散线谱。
2,u(t)的功率谱密度 )( fP
u
s
T
N
u
TN
fUE
fP
)12(
])([
lim)(
2
+
=
∞→
(5.2-15)
其中 )( fU
T
是 u(t)的截短函数 )(tu
T
的频谱函数；截取时间 T 是（2N+1）个码元的长度，即
T=(2N+1)
s
T (5.2-16)
式中，N为一个足够大的数值，且当T ∞→ 时，意味着N ∞→ 。
由式（5.2-8）
∑
=
=
N
Nn
nT
tutu )()()]()([
21 ssn
N
Nn
nTtgnTtga=
∑
=
(5.2-17)
则
)( fU
T
=
∫
∞
∞?
dtetu
tfj
T
π2
)(
=
∑
∫
=
∞
∞?
N
Nn
tfj
SSn
dtenTtgnTtga
π2
21
)]()([
∑
=
=
N
Nn
Tnfj
n
fGfGea
s
)]()([
21
2π
(5.2-18)
式中
)(
1
fG =
∫
∞
∞?
dtetg
ftj π2
1
)(
)(
2
fG =
∫
∞
∞?
dtetg
ftj π2
2
)(
于是
)()()(
2
fUfUfU
TTT
=
=?=
=
∑∑
)]()()][()([
2121
)(2
fGfGfGfGeaa
N
Nm
N
Nn
Tmnfj
nm
S
π
(5.2-19)
其统计平均为
)]()()][()([)(])([
2121
)(2
2
fGfGfGfGeaaEfUE
N
Nm
N
Nn
Tmnfj
nmT
S
=?=
=
∑∑
π
(5.2-20)
当m=n时
2
nnm
aaa = =
)1(,
)1(
2
2
PP
PP
以概率
，以概率
所以
）（）（）（ PPPPPPaE
n
=?+?= 111][
222
(5.2-21)
当m≠n 时
nm
aa
=
）（），以概率（
）以概率（，
以概率，）（
PPPP
PP
PP
121
1
1
22
22
所以
0)1)(1(2)1()1(][
2222
=+?+?= PPPPPPPPaaE
nm
(5.2-22)
2
21
2
21
2
2
)()()1()12(
)()(][])([
fGfGPPN
fGfGaEfUE
N
Nn
nT
+=
=
∑
= (5.2-23)
根据式(5.2—15)，可求得交变波的功率谱
2
21
2
21
)()()1(
)12(
)()()1()12(
lim)(
fGfGPPf
TN
fGfGPPN
fP
S
s
N
u
=
+
+
=
∞→
(5.2-24)
可见，交变波的的功率谱 )( fP
u
是连续谱，它与 g
1
(t)和 g
2
(t)的频谱以及出现概率P 有关。
3．s(t)=u(t)+v(t)的功率谱密度 )( fP
S
)( fP
S
= )( fP
u
+ )( fP
v
2
21
)()()1( fGfGPPf
S
=
+
∑
∞
∞=
+
m
SSSS
mffmfGPmfPGf )()]()1()([
2
21
δ (5.2-25)
如果写成单边的，则有
2
21
)()()1()( fGfGPPffP
SS
=
+ )()0()1()0(
2
21
2
fGPPGf
s
δ?+
0,)()()1()(2
1
2
21
2
≥++
∑
∞
=
fmffmfGPmfPGf
m
SSSS
δ (5.2-26)
由式(5.2-25)可知，随机脉冲序列的功率谱密度可能包含连续谱 )( fP
u
和离散谱 )( fP
v
。对于连续谱而言，由于 )(
1
fG ≠ )(
2
fG,因而 )(ω
u
P 总是存在的；而离散谱是否存在，取决g
1
(t)和g
2
(t)的波形及其出现的概率P，下面举例说明。
例 5-1 对于单极性波形：若设 g
1
(t)=0，g
2
(t)=g（t）,则随机脉冲序列的双边功率谱密度为
∑
∞
∞=
+?=
m
SSSSS
mffmfGPffGPPffP )()()1()()1()(
22
δ (5.2-27)
等概（P=1/2）时，上式简化为
∑
∞
∞=
+=
m
SSSSS
mffmfGffGffP )()(
4
1
)(
4
1
)(
2
2
2
δ (5.2-28)
（1）若表示“1”码的波形g
2
(t)=g（t）为 不归零 矩形脉冲，即
g(t)=
≤
t
T
t
S
其它,0
2
,1
其频谱函数为
)(]
sin
[)(
SS
S
S
S
fTSaT
fT
fT
TfG π
π
π
==
当 )(,
SS
mfGmff = 的取值情况,0)0()(,0 ≠== SaTmfGm
SS
，因此离散谱中有直流分量；m 为不等于零的整数时,0)()( == πnSaTmfG
SS
，离散谱均为零，
因而无定时信号。
这时,
)( fP
S
= )(
4
1
]
sin
[
4
1
2
f
fT
fT
Tf
S
S
SS
δ
π
π
+
)(
4
1
)(
4
2
ffTSa
T
S
S
δπ += (5.2-29)
随机序列的带宽取决于连续谱，该频谱的第一个零点在
S
ff =,因此单极性不归零信号的带宽为
SS
fB = 。
（2）若 g
2
(t)=g（t）为半占空 归零 矩形脉冲，即脉冲宽度 2/
S
T=τ 时，
其频谱函数为
)
2
(
2
)(
SS
fT
Sa
T
fG
π
=
当 )(,
SS
mfGmff = 的取值情况,0)0()(,0 ≠== SaTmfGm
SS
，因此离散谱中有直流分量；m 为奇数时,0)
2
(
2
)( ≠=
πm
Sa
T
mfG
S
S
，此时有离散谱，因而有定时信号；m 为偶数时,0)
2
(
2
)( ==
πm
Sa
T
mfG
S
S
，此时无离散谱。
这时,
)()
2
(
16
1
)
2
(
16
)(
22
S
m
SS
S
mff
m
Sa
fT
Sa
T
fP?+=
∑
∞
∞=
δ
ππ
(5.2-30)
SS
fB 2= 。
图 5-5 二进制基带信号的功率谱密度
例5-2 对于双极性波形：若设g
1
(t)=-g
2
(t)=g（t）,则
∑
∞
∞=
+?=
m
SSSSS
mffmfGPffGPPffP )()()12()()1(4)(
22
δ (5.2-31)
等概（P=1/2）时，上式变为
2
)()( fGffP
SS
= (5.2-32)
若g（t）为高为1，脉宽等于码元周期的矩形脉冲，那么上式可写成
)()(
2
SSS
fTSaTfP π= (5.2-33)
从以上两例可以看出,
（1）随机序列的带宽取 )(
1
fG 和 )(
2
fG 之中较大带宽的一个作为序列带宽。时间波形的占空比越小，频带越宽。矩形脉冲脉宽 τ,则 τ/1=
S
B 。
（2）单极性基带信号是否存在离散线谱取决于矩形脉冲的占空比，单极性归零信号中有定时分量，单极性不归零信号中无定时分量,0、1 等概的双极性信号没有离散谱。
综上分析，研究随机脉冲序列的功率谱是十分有意义的，一方面我们可以根据连续谱来确定序列的带宽，另一方面根据离散谱，确定能否从脉冲序列中直接提取定时分量。
一,基带信号的频谱特性
研究基带信号的频谱结构是十分必要的，通过谱分析，我们可以了解信号需要占据的频带宽度，所包含的频谱分量，有无直流分量，有无定时分量等。
设二进制的随机脉冲序列如图5-4 （a） 所示,其中g
1
(t) 表示,0” 码,g
2
(t)
表示“1”码，g
1
(t)和g
2
(t)在实际中可以是任意的脉冲。
图 5-4 随机脉冲序列示意波形
假设g
1
(t)和g
2
(t)出现的概率分别 为P和1-P，且统计独立，则
∑
∞
∞=
=
n
n
tsts )()( (5.2-3)
其中
=
出现以概率），（
出现以概率
)1(
),(
)(
2
1
PnTtg
PnTtg
ts
S
S
n
(5.2-4)
把s(t)分解成稳态波v(t)和交变波u(t)。所谓稳态波，即是随机序列s(t)
的统计平均分量
)()]()1()([)(
21
tvnTtgPnTtPgtv
n
n
n
ss ∑∑
∞
∞=
∞
∞=
=+?= (5.2-5)
其波形如图5-4(b)所示，显然v(t)是一个以
s
T 为周期的周期函数。
交变波u(t)是s(t)与v(t)之差，即
)()()( tvtstu?= (5.2-6)
其中第n个码元为
)()()( tvtstu
nnn
= (5.2-7)
于是
∑
∞
∞=
=
n
n
tutu )()( (5.2-8)
其中 )(tu
n
可根据式(5.2-4) 和(5.2-5)表示为
)(tu
n
=
=
=
)1()],()([
)()1()()(
)],()()[1(
)()1()()(
21
212
21
211
PnTtgnTtgP
nTtgPnTtPgnTtg
PnTtgnTtgP
nTtgPnTtPgnTtg
ss
sss
ss
sss
以概率以概率
或者写成
)]()([)(
21 ssnn
nTtgnTtgatu= (5.2-9)
其中
=
)1(,
,1
PP
PP
a
n
以概率以概率
(5.2-10)
显然，u(t)是随机脉冲序列,图5-4（c）画出了u(t)的一个实现。
1．v(t)的功率谱密度 )( fP
v
由于v(t)是以
S
T 为周期的周期信号，故
∑
∞
∞=
=
m
tfmj
m
S
eCtv
π2
)( (5.2-11)
式中
∫
=
2
2
2
)(
1
s
s
S
T
T
tfmj
s
m
dtetv
T
C
π
(5.2-12)
由于在（-
s
T /2，
s
T /2）范围内,)()1()()(
21
tgPtPgtv?+=,所以
∫
+=
2
2
2
21
)]()1()([
1
s
s
S
T
T
tfmj
s
m
dtetgPtPg
T
C
π
又由于 )()1()(
21
tgPtPg?+ 只存在（-
s
T /2，
s
T /2）范围内，所以
∫
∞
∞?
+= dtetgPtPg
T
C
tfmj
s
m
S
π2
21
)]()1()([
1
)]()1()([
21 sss
mfGPmfPGf?+= (5.2-13)
式中
)(
1 s
mfG = dtetg
tmfj
S
π2
1
)(
∞
∞?
∫
)(
2 s
mfG = dtetg
tmfj
S
π2
2
)(
∞
∞?
∫
s
s
T
f
1
=
再根据周期信号功率谱密度与付氏系数
m
C 的关系式，有
∑
∑
∞
∞=
∞
∞=
+=
=
m
sSSS
m
smv
mffmfGPmfPGf
mffCfP
)()]()1()([
)()(
2
21
2
δ
δ
(5.2-14)
可见稳态波的功率谱 )( fP
v
是冲击强度取决
2
m
C 的离散线谱。
2,u(t)的功率谱密度 )( fP
u
s
T
N
u
TN
fUE
fP
)12(
])([
lim)(
2
+
=
∞→
(5.2-15)
其中 )( fU
T
是 u(t)的截短函数 )(tu
T
的频谱函数；截取时间 T 是（2N+1）个码元的长度，即
T=(2N+1)
s
T (5.2-16)
式中，N为一个足够大的数值，且当T ∞→ 时，意味着N ∞→ 。
由式（5.2-8）
∑
=
=
N
Nn
nT
tutu )()()]()([
21 ssn
N
Nn
nTtgnTtga=
∑
=
(5.2-17)
则
)( fU
T
=
∫
∞
∞?
dtetu
tfj
T
π2
)(
=
∑
∫
=
∞
∞?
N
Nn
tfj
SSn
dtenTtgnTtga
π2
21
)]()([
∑
=
=
N
Nn
Tnfj
n
fGfGea
s
)]()([
21
2π
(5.2-18)
式中
)(
1
fG =
∫
∞
∞?
dtetg
ftj π2
1
)(
)(
2
fG =
∫
∞
∞?
dtetg
ftj π2
2
)(
于是
)()()(
2
fUfUfU
TTT
=
=?=
=
∑∑
)]()()][()([
2121
)(2
fGfGfGfGeaa
N
Nm
N
Nn
Tmnfj
nm
S
π
(5.2-19)
其统计平均为
)]()()][()([)(])([
2121
)(2
2
fGfGfGfGeaaEfUE
N
Nm
N
Nn
Tmnfj
nmT
S
=?=
=
∑∑
π
(5.2-20)
当m=n时
2
nnm
aaa = =
)1(,
)1(
2
2
PP
PP
以概率
，以概率
所以
）（）（）（ PPPPPPaE
n
=?+?= 111][
222
(5.2-21)
当m≠n 时
nm
aa
=
）（），以概率（
）以概率（，
以概率，）（
PPPP
PP
PP
121
1
1
22
22
所以
0)1)(1(2)1()1(][
2222
=+?+?= PPPPPPPPaaE
nm
(5.2-22)
2
21
2
21
2
2
)()()1()12(
)()(][])([
fGfGPPN
fGfGaEfUE
N
Nn
nT
+=
=
∑
= (5.2-23)
根据式(5.2—15)，可求得交变波的功率谱
2
21
2
21
)()()1(
)12(
)()()1()12(
lim)(
fGfGPPf
TN
fGfGPPN
fP
S
s
N
u
=
+
+
=
∞→
(5.2-24)
可见，交变波的的功率谱 )( fP
u
是连续谱，它与 g
1
(t)和 g
2
(t)的频谱以及出现概率P 有关。
3．s(t)=u(t)+v(t)的功率谱密度 )( fP
S
)( fP
S
= )( fP
u
+ )( fP
v
2
21
)()()1( fGfGPPf
S
=
+
∑
∞
∞=
+
m
SSSS
mffmfGPmfPGf )()]()1()([
2
21
δ (5.2-25)
如果写成单边的，则有
2
21
)()()1()( fGfGPPffP
SS
=
+ )()0()1()0(
2
21
2
fGPPGf
s
δ?+
0,)()()1()(2
1
2
21
2
≥++
∑
∞
=
fmffmfGPmfPGf
m
SSSS
δ (5.2-26)
由式(5.2-25)可知，随机脉冲序列的功率谱密度可能包含连续谱 )( fP
u
和离散谱 )( fP
v
。对于连续谱而言，由于 )(
1
fG ≠ )(
2
fG,因而 )(ω
u
P 总是存在的；而离散谱是否存在，取决g
1
(t)和g
2
(t)的波形及其出现的概率P，下面举例说明。
例 5-1 对于单极性波形：若设 g
1
(t)=0，g
2
(t)=g（t）,则随机脉冲序列的双边功率谱密度为
∑
∞
∞=
+?=
m
SSSSS
mffmfGPffGPPffP )()()1()()1()(
22
δ (5.2-27)
等概（P=1/2）时，上式简化为
∑
∞
∞=
+=
m
SSSSS
mffmfGffGffP )()(
4
1
)(
4
1
)(
2
2
2
δ (5.2-28)
（1）若表示“1”码的波形g
2
(t)=g（t）为 不归零 矩形脉冲，即
g(t)=
≤
t
T
t
S
其它,0
2
,1
其频谱函数为
)(]
sin
[)(
SS
S
S
S
fTSaT
fT
fT
TfG π
π
π
==
当 )(,
SS
mfGmff = 的取值情况,0)0()(,0 ≠== SaTmfGm
SS
，因此离散谱中有直流分量；m 为不等于零的整数时,0)()( == πnSaTmfG
SS
，离散谱均为零，
因而无定时信号。
这时,
)( fP
S
= )(
4
1
]
sin
[
4
1
2
f
fT
fT
Tf
S
S
SS
δ
π
π
+
)(
4
1
)(
4
2
ffTSa
T
S
S
δπ += (5.2-29)
随机序列的带宽取决于连续谱，该频谱的第一个零点在
S
ff =,因此单极性不归零信号的带宽为
SS
fB = 。
（2）若 g
2
(t)=g（t）为半占空 归零 矩形脉冲，即脉冲宽度 2/
S
T=τ 时，
其频谱函数为
)
2
(
2
)(
SS
fT
Sa
T
fG
π
=
当 )(,
SS
mfGmff = 的取值情况,0)0()(,0 ≠== SaTmfGm
SS
，因此离散谱中有直流分量；m 为奇数时,0)
2
(
2
)( ≠=
πm
Sa
T
mfG
S
S
，此时有离散谱，因而有定时信号；m 为偶数时,0)
2
(
2
)( ==
πm
Sa
T
mfG
S
S
，此时无离散谱。
这时,
)()
2
(
16
1
)
2
(
16
)(
22
S
m
SS
S
mff
m
Sa
fT
Sa
T
fP?+=
∑
∞
∞=
δ
ππ
(5.2-30)
SS
fB 2= 。
图 5-5 二进制基带信号的功率谱密度
例5-2 对于双极性波形：若设g
1
(t)=-g
2
(t)=g（t）,则
∑
∞
∞=
+?=
m
SSSSS
mffmfGPffGPPffP )()()12()()1(4)(
22
δ (5.2-31)
等概（P=1/2）时，上式变为
2
)()( fGffP
SS
= (5.2-32)
若g（t）为高为1，脉宽等于码元周期的矩形脉冲，那么上式可写成
)()(
2
SSS
fTSaTfP π= (5.2-33)
从以上两例可以看出,
（1）随机序列的带宽取 )(
1
fG 和 )(
2
fG 之中较大带宽的一个作为序列带宽。时间波形的占空比越小，频带越宽。矩形脉冲脉宽 τ,则 τ/1=
S
B 。
（2）单极性基带信号是否存在离散线谱取决于矩形脉冲的占空比，单极性归零信号中有定时分量，单极性不归零信号中无定时分量,0、1 等概的双极性信号没有离散谱。
综上分析，研究随机脉冲序列的功率谱是十分有意义的，一方面我们可以根据连续谱来确定序列的带宽，另一方面根据离散谱，确定能否从脉冲序列中直接提取定时分量。
