《通信原理,第二十六讲
§ 5.6 无码间串扰基带系统的抗噪声性能
本节来讨论在无码间串扰的条件下，噪声对基带信号传输的影响，即计算噪声引起的误码率。
图 5-14 抗噪声性能分析模型
设二进制接收波形为 s(t)，信道噪声 )(tn 通过接收滤波器后的输出噪声为
)(tn
R
，则
x(t)=s(t)+ )(tn
R
若二进制基带信号为双极性，设它在抽样时刻的电平取值为+A 或-A（分别对应与信码“1”或“0” ）,则x(t)在抽样时刻的取值为
+?
+
=
”时，发送“
”时，发送“
0)(
1)(
)(
SR
SR
S
kTnA
kTnA
kTx (5.6-1)
设判决电路的判决门限
d
V,判决规则为
)(
S
kTx 〉
d
V,判为“1”码
)(
S
kTx 〈
d
V,判为“0”码
图(a)是无噪声影响时的信号波形，而图 （b）则是图(a)波形叠加上噪声后的混合波形。 下面我们具体分析由于信道加性噪声引起这种误码的概率,简称误码率。
图 5-15 判决电路的典型输入波形
信道加性噪声 )(tn 通常被假设为均值为0,双边功率谱密度为
0
n /2的平稳高斯白噪声，而接收滤波器又是一个 线性网络，故判决电路输入噪声 )(tn
R
也是均值为0的平稳高斯噪声，且它的功率谱密度 )(ω
n
P 为
)(ω
n
P =
2
0
n
│ )(ω
R
G │
2
方差（噪声平均功率）为
2
n
σ = ωω
π
dG
n
R
2
0
)(
22
1
∫
∞
∞?
(5.6-2)
可见,)(tn
R
是均值为 0、方差为
2
n
σ 的高斯噪声，因此它的瞬时值的统计特性可用下述一维概率密度函数描述
2
2
2
2
1
)(
n
V
n
eVf
σ
σπ
= (5.6-3)
根据式(5.6-1)，故当发送“1”时，A+ )(
SR
kTn 的一维概率密度函数为
]
2
)(
exp[
2
1
)(
2
2
1
n
n
Ax
xf
σ
σπ
= (5.6-4)
而当发送“0”时，-A+ )(
SR
kTn 的一维概率密度函数为
]
2
)(
exp[
2
1
)(
2
2
0
n
n
Ax
xf
σ
σπ
+
= (5.6-5)
与它们相应的曲线分别示于图5-16中。
图 5-16 x(t)的概率密度曲线
这时，在-A到+A之间选择一个适当的电平V
d
作为判决门限，根据判决规则将会出现以下几种情况,
<
>
（判决错误）”码判为“当
（判决正确）”码判为“当
”码对“
0
1
1
d
d
Vx
Vx
>
<
（判决错误）”码判为“当
（判决正确）”码判为“当
”码对“
1
0
0
d
d
Vx
Vx
可见，在二进制基带信号传输过程中，噪声会引起二种误码概率,
(1) 发“1”错判为“0”的概率P(0/1)
∫
∞?
=<=
d
V
d
dxxfVxPP )()()1/0(
1
=
∫
∞?
d
V
n
n
dx
Ax
]
2
)(
exp[
2
1
2
2
σ
σπ
=
2
1
+
2
1
erf( )
2
n
d
AV
σ
(5.6-6)
(2) 发“0”错判为“1”的概率P(1/0)
∫
∞
=>=
d
V
d
dxxfVxPP )()()0/1(
0
=
∫
∞
+
d
V
n
n
dx
Ax
]
2
)(
exp[
2
1
2
2
σ
σπ
=
2
1
-
2
1
erf( )
2
n
d
AV
σ
+
(5.6-7)
基带传输系统总的误码率可表示为
P
e
=P(1)P(0/1) +P(0)P(1/0)
= P(1)
∫
∞?
d
V
dxxf )(
1
+P(0)
∫
∞
d
V
dxxf )(
0
(5.6-8)
误码率与P(1)，P(0) A、V
d
和
2
n
σ 有关，在P(1)、,P(0)、A和
2
n
σ 一定条件下，
可以找到一个使误码率最小的判决门限电平，这个门限电平称为最佳门限电平。
若令
d
e
dV
dP
=0
则可求得最佳门限电平
d
V =
)1(
)0(
ln
2
2
P
P
A
n
σ
(5.6-9)
当P(1)=P(0)=1/2时
d
V =0
这时,基带传输系统总误码率为
P
e
=
2
1
P(0/1)+
2
1
P(1/0)
=
2
1
[1-erf(
n
A
σ2
)]
=
2
1
erfc(
n
A
σ2
) (5.6-10)
在发送概率相等，且在最佳门限电平下，系统的总误码率仅依赖于信号峰值 A
与噪声均方根值
n
σ 的比值,而与采用什么样的信号形式无关。
对于单极性信号,电平取值为+A（对应“1”码）或0（对应“0”码） 。
d
V =
)1(
)0(
ln
2
2
P
P
A
A
n
σ
+ (5.6-11)
当P(1)=P(0)=1/2时
d
V =
2
A
这时
P
e
=
2
1
[1-erf(
n
A
σ22
)]
=
2
1
erfc(
n
A
σ22
) (5.6-12)
式中，A是单极性基带波形的峰值。
在单极性与双极性基带信号的峰值A相等、噪声均方根值
n
σ
也相同时，单极性基带系统的抗噪声性能不如双极性基带系统。此外，在等概条件下，单极性的最佳判决门限电平为A/2,当信道特性发生变化时,故判决门限电平也随之改变，
而不能保持最佳状态,从而导致误码率增大。 而双极性的最佳判决门限电平为0，
与信号幅度无关，因而不随信道特性变化而变，故能保持最佳状态。
§ 5.6 无码间串扰基带系统的抗噪声性能
本节来讨论在无码间串扰的条件下，噪声对基带信号传输的影响，即计算噪声引起的误码率。
图 5-14 抗噪声性能分析模型
设二进制接收波形为 s(t)，信道噪声 )(tn 通过接收滤波器后的输出噪声为
)(tn
R
，则
x(t)=s(t)+ )(tn
R
若二进制基带信号为双极性，设它在抽样时刻的电平取值为+A 或-A（分别对应与信码“1”或“0” ）,则x(t)在抽样时刻的取值为
+?
+
=
”时，发送“
”时，发送“
0)(
1)(
)(
SR
SR
S
kTnA
kTnA
kTx (5.6-1)
设判决电路的判决门限
d
V,判决规则为
)(
S
kTx 〉
d
V,判为“1”码
)(
S
kTx 〈
d
V,判为“0”码
图(a)是无噪声影响时的信号波形，而图 （b）则是图(a)波形叠加上噪声后的混合波形。 下面我们具体分析由于信道加性噪声引起这种误码的概率,简称误码率。
图 5-15 判决电路的典型输入波形
信道加性噪声 )(tn 通常被假设为均值为0,双边功率谱密度为
0
n /2的平稳高斯白噪声，而接收滤波器又是一个 线性网络，故判决电路输入噪声 )(tn
R
也是均值为0的平稳高斯噪声，且它的功率谱密度 )(ω
n
P 为
)(ω
n
P =
2
0
n
│ )(ω
R
G │
2
方差（噪声平均功率）为
2
n
σ = ωω
π
dG
n
R
2
0
)(
22
1
∫
∞
∞?
(5.6-2)
可见,)(tn
R
是均值为 0、方差为
2
n
σ 的高斯噪声，因此它的瞬时值的统计特性可用下述一维概率密度函数描述
2
2
2
2
1
)(
n
V
n
eVf
σ
σπ
= (5.6-3)
根据式(5.6-1)，故当发送“1”时，A+ )(
SR
kTn 的一维概率密度函数为
]
2
)(
exp[
2
1
)(
2
2
1
n
n
Ax
xf
σ
σπ
= (5.6-4)
而当发送“0”时，-A+ )(
SR
kTn 的一维概率密度函数为
]
2
)(
exp[
2
1
)(
2
2
0
n
n
Ax
xf
σ
σπ
+
= (5.6-5)
与它们相应的曲线分别示于图5-16中。
图 5-16 x(t)的概率密度曲线
这时，在-A到+A之间选择一个适当的电平V
d
作为判决门限，根据判决规则将会出现以下几种情况,
<
>
（判决错误）”码判为“当
（判决正确）”码判为“当
”码对“
0
1
1
d
d
Vx
Vx
>
<
（判决错误）”码判为“当
（判决正确）”码判为“当
”码对“
1
0
0
d
d
Vx
Vx
可见，在二进制基带信号传输过程中，噪声会引起二种误码概率,
(1) 发“1”错判为“0”的概率P(0/1)
∫
∞?
=<=
d
V
d
dxxfVxPP )()()1/0(
1
=
∫
∞?
d
V
n
n
dx
Ax
]
2
)(
exp[
2
1
2
2
σ
σπ
=
2
1
+
2
1
erf( )
2
n
d
AV
σ
(5.6-6)
(2) 发“0”错判为“1”的概率P(1/0)
∫
∞
=>=
d
V
d
dxxfVxPP )()()0/1(
0
=
∫
∞
+
d
V
n
n
dx
Ax
]
2
)(
exp[
2
1
2
2
σ
σπ
=
2
1
-
2
1
erf( )
2
n
d
AV
σ
+
(5.6-7)
基带传输系统总的误码率可表示为
P
e
=P(1)P(0/1) +P(0)P(1/0)
= P(1)
∫
∞?
d
V
dxxf )(
1
+P(0)
∫
∞
d
V
dxxf )(
0
(5.6-8)
误码率与P(1)，P(0) A、V
d
和
2
n
σ 有关，在P(1)、,P(0)、A和
2
n
σ 一定条件下，
可以找到一个使误码率最小的判决门限电平，这个门限电平称为最佳门限电平。
若令
d
e
dV
dP
=0
则可求得最佳门限电平
d
V =
)1(
)0(
ln
2
2
P
P
A
n
σ
(5.6-9)
当P(1)=P(0)=1/2时
d
V =0
这时,基带传输系统总误码率为
P
e
=
2
1
P(0/1)+
2
1
P(1/0)
=
2
1
[1-erf(
n
A
σ2
)]
=
2
1
erfc(
n
A
σ2
) (5.6-10)
在发送概率相等，且在最佳门限电平下，系统的总误码率仅依赖于信号峰值 A
与噪声均方根值
n
σ 的比值,而与采用什么样的信号形式无关。
对于单极性信号,电平取值为+A（对应“1”码）或0（对应“0”码） 。
d
V =
)1(
)0(
ln
2
2
P
P
A
A
n
σ
+ (5.6-11)
当P(1)=P(0)=1/2时
d
V =
2
A
这时
P
e
=
2
1
[1-erf(
n
A
σ22
)]
=
2
1
erfc(
n
A
σ22
) (5.6-12)
式中，A是单极性基带波形的峰值。
在单极性与双极性基带信号的峰值A相等、噪声均方根值
n
σ
也相同时，单极性基带系统的抗噪声性能不如双极性基带系统。此外，在等概条件下，单极性的最佳判决门限电平为A/2,当信道特性发生变化时,故判决门限电平也随之改变，
而不能保持最佳状态,从而导致误码率增大。 而双极性的最佳判决门限电平为0，
与信号幅度无关，因而不随信道特性变化而变，故能保持最佳状态。
