5-1
《通信原理,第二十八讲
设在基带系统接收滤波器与判决电路之间插入一个具有 2N+1 个抽头的横向滤波器,如图5-21(a)所示。它的输入为x(t)，并设它不附加噪声。
图 5-21 有限长横向 滤波器及其输入、输出单脉冲响应波形
若设有限长横向滤波器的单位冲激响应为e(t)，相应的频率特性为E(ω),
∑
=
=
N
Ni
si
iTtCte )()( δ (5.8-10)
∑
=
=
N
Ni
Tj
i
s
eCE
ω
ω)( (5.8-11)
)()()()(
∑
=
=?=
N
Ni
Si
iTtxCtetxty (5.8-12)
于是，在抽样时刻kT
S
+t
0
有
y(kT
S
+t
0
)=
∑∑
=?=
+?=?+
N
Ni
N
Ni
SiSSi
tTikxCiTtkTxC ])[()(
00
或者简写为
5-2
∑
=
=
N
Ni
ikik
xCy (5.8-13)
上式说明，均衡器在第 K 抽样时刻上得到的样值 y
k
将由
2N+1个
i
C 与
ik
x
乘积之和来确定。
利用有限长的横向滤波器减小码间串扰是可能的，但完全消除是不可能的。
一,均衡效果的衡量
在抽头数有限情况下，均衡器的输出将有剩余失真，为了反映这些失真的大小，一般采用峰值失真准则和均方失真准则作为衡量标准。
峰值失真准则 定义为
k
k
y
y
D
∑
∞
∞=
=
'
0
1
(5.8-14)
式中，符号
∑
∞
∞=k
'
表示
∑
∞
≠
∞=
0k
k
，其中除 k=0 以外的各样值绝对值之和反映了码间串扰的最大值，
0
y 是有用信号样值，所以峰值失真 D 就是码间串扰最大值与有用信号样值之比。显然，对于完全消除码间干扰的均衡器而言，应有D=0；对于码间干扰不为零的场合，希望D有最小值。
均方失真准则 定义为
∑
∞
∞=
=
k
k
y
y
e
2'
2
0
2
1
(5.8-15)
其物理意义与峰值失真准则相似。
按这两个准则来确定均衡器的抽头系数均可使失真最小,获得最佳的均衡效果。
注意：这两种准则都是根据均衡器输出的单脉冲响应来规定的。
下面我们以最小峰值失真准则为基础,指出在该准则意义下时域均衡器的工作原理。
可将未均衡前的输入峰值失真（称为初始失真）表示为
5-3
k
k
x
x
D
∑
∞
∞=
=
'
0
0
1
(5.8-16)
若
k
x 是归一化的，且令
0
x =1，则上式变为
0
D =
k
k
x
∑
∞
∞=
'
(5.8-17)
为方便计，将样值
k
y 也归一化，且令
0
y =1，则根据式 (5.8-13)可得
0
y =
∑
=
=
N
Ni
ii
xC 1 (5.8-18)
或有
00
xC +
ii
N
Ni
xC
=
∑
'
=1
于是
0
C =1-
ii
N
Ni
xC
=
∑
'
(5.8-19)
将上式代入式 (5.8-13),则可得
k
y =
kikiki
N
Ni
xxxxC +?
=
∑
)(
'
(5.8-20)
再将上式代入式 (5.8-14),则有
D=
∑
∞
∞=k
'
│
kikiki
N
Ni
xxxxC +?
=
∑
)(
'
│ (5.8-21)
可见，在输入序列{x
k
}给定的情况下，峰值畸变D是各抽头增益
i
C (除
0
C 外)的函数。 Lucky曾证明,如果初始失真D
0
<1,则D的最小值必然发生在
0
y 前后的
k
y
（ )0,( ≠≤ kNk 都等于零的情况下。这一定理的 数学意义是，所求的各抽头系数{
i
C }应该是
=
≤≤
=
01
10
k
Nk
y
k
(5.8-22)
时的 2N+1 个联立方程的解。由条件 (5.8-22)和式 (5.8-13)可列出抽头系数必须满
5-4
足的这 2N+1 个线性方程，它们是
==
±±±==
∑
∑
=
=
N
Ni
ii
N
Ni
iki
kxC
NkxC
0,1
,,2,1,0 L
(5.8-23)
写成矩阵形式，有
=
+?
0
0
1
0
0
1
0
1
0122
1
210
M
M
M
M
L
MMMM
L
MLMM
L
N
N
N
N
NN
NNN
N
C
C
C
C
C
xxx
xxx
xxx
(5.8-24)
这就是说，在输入序列 {x
k
}给定时，如果按上式方程组调整或设计各抽头系数
i
C,可迫使
0
y 前后各有 N 个取样点上的零值。这种调整叫做“迫零”调整，所设计的均衡器称为“迫零”均衡器。它能保证在 D
0
<1（这个条件等效于在均衡之前有一个睁开的眼图，即码间串扰不足以严重到闭合眼图）时，调整出 C
0
外的 2N 个抽头增益，并迫使
0
y 前后各有 N 个取样点上无码间串扰，此时 D 取最小值，均衡效果达到最佳。
例 5-2 设计 3 个抽头的迫零均衡器，以减小码间串扰。已知
0
2
=
x,x
1?
=0.1,x
0
=1,1.02.0
21
=?= xx,,求 3 个抽头的系数，并计算均衡前后的峰值失真。
解 根据式 (5.8-24)和 2N+1=3，列出矩阵方程为
=
0
1
0
1
0
1
012
101
210
C
C
C
xxx
xxx
xxx
将样值代入上式，可列出方程组
=+?
=++?
=+
02.01.0
11.02.0
01.0
101
101
01
CCC
CCC
CC
5-5
解联立方程可得
2017.0,9606.0,09606.0
101
==?=
CCC
然后通过式(5.8 -13)可算出
02016.0,0557.0,0096.0,0
0,1,0
3223
101
====
===
yyyy
yyy
输入峰值失真为
4.0
0
=D
输出峰值失真为
0869.0=D
均衡后的峰值失真减小4.6倍。
可见，3抽头均衡器可以使
0
y 两侧各有一个零点，但在远离
0
y 的一些抽样点上仍会有码间串扰。这就是说抽头有限时，总不能完全消除码间串扰，但适当增加抽头数可以将码间串扰减小到相当小的程度。
二,均衡器的实现与调整
均衡器按照调整方式，可分为手动均衡器和自动均衡器。自动均衡器又可分为预置式均衡器和自适应均衡器。预置式均衡，是在实际数据传输之前，发送一种预先规定的测试脉冲序列,如频率很低的周期脉冲序列，然后按照“迫零”调整原理，根据测试脉冲得到的样值序列{x
k
}自动或手动调整各抽头系数，直至误差小于某一允许范围。调整好后，再传送数据，在数据传输过程中不再调整。
自适应均衡可在数据传输过程根据某种算法不断调整抽头系数,因而能适应信道的随机变化。
a) 预置式均衡器
5-6
图 5-22 预置式自动均衡器的原理方框图
b) 自适应均衡器
图 5-23 给出了一个按最小均方误差算法调整的 3 抽头自适应均衡器原理框图。
图 5-23 自适应均衡器示例
由于自适应均衡器的各抽头系数可随信道特性的时变而自适应调节,故调整精度高，不需预调时间。在高速数传系统中，普遍采用自适应均衡器来克服码间串扰。
自适应均衡器还有多种实现方案,经 典的自适应均衡器算法有：迫零算法
（ZF）,随机梯度算法（LMS）,递推最小二乘算法（RLS）,卡尔曼算法等。
《通信原理,第二十八讲
设在基带系统接收滤波器与判决电路之间插入一个具有 2N+1 个抽头的横向滤波器,如图5-21(a)所示。它的输入为x(t)，并设它不附加噪声。
图 5-21 有限长横向 滤波器及其输入、输出单脉冲响应波形
若设有限长横向滤波器的单位冲激响应为e(t)，相应的频率特性为E(ω),
∑
=
=
N
Ni
si
iTtCte )()( δ (5.8-10)
∑
=
=
N
Ni
Tj
i
s
eCE
ω
ω)( (5.8-11)
)()()()(
∑
=
=?=
N
Ni
Si
iTtxCtetxty (5.8-12)
于是，在抽样时刻kT
S
+t
0
有
y(kT
S
+t
0
)=
∑∑
=?=
+?=?+
N
Ni
N
Ni
SiSSi
tTikxCiTtkTxC ])[()(
00
或者简写为
5-2
∑
=
=
N
Ni
ikik
xCy (5.8-13)
上式说明，均衡器在第 K 抽样时刻上得到的样值 y
k
将由
2N+1个
i
C 与
ik
x
乘积之和来确定。
利用有限长的横向滤波器减小码间串扰是可能的，但完全消除是不可能的。
一,均衡效果的衡量
在抽头数有限情况下，均衡器的输出将有剩余失真，为了反映这些失真的大小，一般采用峰值失真准则和均方失真准则作为衡量标准。
峰值失真准则 定义为
k
k
y
y
D
∑
∞
∞=
=
'
0
1
(5.8-14)
式中，符号
∑
∞
∞=k
'
表示
∑
∞
≠
∞=
0k
k
，其中除 k=0 以外的各样值绝对值之和反映了码间串扰的最大值，
0
y 是有用信号样值，所以峰值失真 D 就是码间串扰最大值与有用信号样值之比。显然，对于完全消除码间干扰的均衡器而言，应有D=0；对于码间干扰不为零的场合，希望D有最小值。
均方失真准则 定义为
∑
∞
∞=
=
k
k
y
y
e
2'
2
0
2
1
(5.8-15)
其物理意义与峰值失真准则相似。
按这两个准则来确定均衡器的抽头系数均可使失真最小,获得最佳的均衡效果。
注意：这两种准则都是根据均衡器输出的单脉冲响应来规定的。
下面我们以最小峰值失真准则为基础,指出在该准则意义下时域均衡器的工作原理。
可将未均衡前的输入峰值失真（称为初始失真）表示为
5-3
k
k
x
x
D
∑
∞
∞=
=
'
0
0
1
(5.8-16)
若
k
x 是归一化的，且令
0
x =1，则上式变为
0
D =
k
k
x
∑
∞
∞=
'
(5.8-17)
为方便计，将样值
k
y 也归一化，且令
0
y =1，则根据式 (5.8-13)可得
0
y =
∑
=
=
N
Ni
ii
xC 1 (5.8-18)
或有
00
xC +
ii
N
Ni
xC
=
∑
'
=1
于是
0
C =1-
ii
N
Ni
xC
=
∑
'
(5.8-19)
将上式代入式 (5.8-13),则可得
k
y =
kikiki
N
Ni
xxxxC +?
=
∑
)(
'
(5.8-20)
再将上式代入式 (5.8-14),则有
D=
∑
∞
∞=k
'
│
kikiki
N
Ni
xxxxC +?
=
∑
)(
'
│ (5.8-21)
可见，在输入序列{x
k
}给定的情况下，峰值畸变D是各抽头增益
i
C (除
0
C 外)的函数。 Lucky曾证明,如果初始失真D
0
<1,则D的最小值必然发生在
0
y 前后的
k
y
（ )0,( ≠≤ kNk 都等于零的情况下。这一定理的 数学意义是，所求的各抽头系数{
i
C }应该是
=
≤≤
=
01
10
k
Nk
y
k
(5.8-22)
时的 2N+1 个联立方程的解。由条件 (5.8-22)和式 (5.8-13)可列出抽头系数必须满
5-4
足的这 2N+1 个线性方程，它们是
==
±±±==
∑
∑
=
=
N
Ni
ii
N
Ni
iki
kxC
NkxC
0,1
,,2,1,0 L
(5.8-23)
写成矩阵形式，有
=
+?
0
0
1
0
0
1
0
1
0122
1
210
M
M
M
M
L
MMMM
L
MLMM
L
N
N
N
N
NN
NNN
N
C
C
C
C
C
xxx
xxx
xxx
(5.8-24)
这就是说，在输入序列 {x
k
}给定时，如果按上式方程组调整或设计各抽头系数
i
C,可迫使
0
y 前后各有 N 个取样点上的零值。这种调整叫做“迫零”调整，所设计的均衡器称为“迫零”均衡器。它能保证在 D
0
<1（这个条件等效于在均衡之前有一个睁开的眼图，即码间串扰不足以严重到闭合眼图）时，调整出 C
0
外的 2N 个抽头增益，并迫使
0
y 前后各有 N 个取样点上无码间串扰，此时 D 取最小值，均衡效果达到最佳。
例 5-2 设计 3 个抽头的迫零均衡器，以减小码间串扰。已知
0
2
=
x,x
1?
=0.1,x
0
=1,1.02.0
21
=?= xx,,求 3 个抽头的系数，并计算均衡前后的峰值失真。
解 根据式 (5.8-24)和 2N+1=3，列出矩阵方程为
=
0
1
0
1
0
1
012
101
210
C
C
C
xxx
xxx
xxx
将样值代入上式，可列出方程组
=+?
=++?
=+
02.01.0
11.02.0
01.0
101
101
01
CCC
CCC
CC
5-5
解联立方程可得
2017.0,9606.0,09606.0
101
==?=
CCC
然后通过式(5.8 -13)可算出
02016.0,0557.0,0096.0,0
0,1,0
3223
101
====
===
yyyy
yyy
输入峰值失真为
4.0
0
=D
输出峰值失真为
0869.0=D
均衡后的峰值失真减小4.6倍。
可见，3抽头均衡器可以使
0
y 两侧各有一个零点，但在远离
0
y 的一些抽样点上仍会有码间串扰。这就是说抽头有限时，总不能完全消除码间串扰，但适当增加抽头数可以将码间串扰减小到相当小的程度。
二,均衡器的实现与调整
均衡器按照调整方式，可分为手动均衡器和自动均衡器。自动均衡器又可分为预置式均衡器和自适应均衡器。预置式均衡，是在实际数据传输之前，发送一种预先规定的测试脉冲序列,如频率很低的周期脉冲序列，然后按照“迫零”调整原理，根据测试脉冲得到的样值序列{x
k
}自动或手动调整各抽头系数，直至误差小于某一允许范围。调整好后，再传送数据，在数据传输过程中不再调整。
自适应均衡可在数据传输过程根据某种算法不断调整抽头系数,因而能适应信道的随机变化。
a) 预置式均衡器
5-6
图 5-22 预置式自动均衡器的原理方框图
b) 自适应均衡器
图 5-23 给出了一个按最小均方误差算法调整的 3 抽头自适应均衡器原理框图。
图 5-23 自适应均衡器示例
由于自适应均衡器的各抽头系数可随信道特性的时变而自适应调节,故调整精度高，不需预调时间。在高速数传系统中，普遍采用自适应均衡器来克服码间串扰。
自适应均衡器还有多种实现方案,经 典的自适应均衡器算法有：迫零算法
（ZF）,随机梯度算法（LMS）,递推最小二乘算法（RLS）,卡尔曼算法等。
