第八章 可靠性工程
一、常用的失效分布函数
产品寿命 T的分布主要有指数分布、
正态分布、对数正态分布和威布尔
分布等,对于较复杂的系统在稳定工
作时期的偶然失效时间随机变量一
般服从指数分布,在耗损期则近似于
正态分布,机械零件的疲劳寿命往往
是对数正态分布或威布尔分布。
(一 )指数分布
?(t)=?e??t (t>0)
?— 失效率为常数是指数分布的重要
特征值
1.可靠度和失效分布函数
R(t)=?t ??e??t dt= e??t
F(t)=1? R(t)= 1? e??t
2.平均寿命 t =?0 ?e??t dt= ?
3.寿命方差和寿命标准偏差
?t2= ?0? (t )?e??t dt
= [- e??t ]0?= ?t=
1
??e
??t??= 1
?
1
?1
?2
1
?2
1
?
例：某产品的失效时间服从指数分
布,其平均寿命为 5000h,试求其使
用 125h的可靠度和可靠度为 0.8时
的可靠寿命。
① ∵ R(t)= e??t 又 ∵ t = =5000
∴ ?=1/5000
R(125)= e?125/5000= 0.9753
② ∵ R(t)= e?t/5000=0.8
∴ t=-5000㏑ 0.8=1115.7h
1
?
(二 )正态分布 (略 )
(三 )对数正态分布
产品寿命 T的对数值服从正态分布，即
㏑ T?N(?,?2)
1.?(t)= e?
F(t)= ?0 t?(t)dt=?(z)
= ?0z1/?2?e?z2/2dz 其中 z=(㏑ t? ?) / ?
R(t)=1?F(t)=1??(z)
2.?(t)=
3.t=e?+?2/2
4.v(T)=t2[e?2?1]
(㏑ t??)2
2?21?t?2?
?(z)/?t
1???z?
例,某产品的寿命 T服从对数正
态分布,㏑ T?N(?,?2)。已知,
?=12h ?=0.32h 求此产品工作
105h的可靠度 (105),失效率 ?(105)
及可靠度为 0.95时的可靠寿命
t0.95。
解：
1.z= (㏑ t??)/?=(㏑ 105?12)/0.32=?1.5221
R(105)=1?????.?????=0.9360
????.?????/0.32?105
1 ?????.?????
3,R(t0.95)=1???z?=0.95 ??z?=0.05
查表得,z= ??.64485
㏑ t0.95=12+(??.64485)?0.32=11.47365
∴ t0.95=e11.47365=96148h
2,?(105)= =4.2/106h
(四 )威布尔分布
1,k(t?a)k-1
bk t≥a
式中,k— 形状参数
a— 位置参数：产品的最低寿命
b— 尺度参数 (对图形起放大或缩小作用 )
F(t)=1?e?((t-a)/b)k
R(t)=e?((t-a)/b)k
2,K(t?a)k-1
bk
3.t=a+b?(1+1/k)
4.tR=a+b(?㏑ R)1/K
?(t)= e?((t-a)/b)
k
?(t)=
例,某零件寿命服从 k=4,a=1200h,b=3090
的威布尔分布，试求,此零件工作
2500 h的可靠度 和失效率及可靠度
为 0.99的可靠寿命。
解,R(2500)=e?((2500?1200)/3090)4=0.969
4????????????4-1
30904
=0.0000964/h
t0.90=1200+3090?(?㏑ 0.99)?=2178h
????????
系统的可靠性预测
(一 )系统与系统结构模型分类
纯并联系统
串联系统 工作贮备系统
系统 （并联冗余系统） r/n表决系统
并联系统
理想旁联系统
非工作贮备系统
（旁联系统） 非理想旁联系统
(二 )串联系统可靠度计算
如果有某一单元发生故障,则引起系统失效的
系统。
设系统的失效时间随机变量为 T，组成系统各
单元的失效时间随机变量为 Ti,I=1,2,…,n,系统
可靠度可表示如下：
RS=P{(t1>T)? (t2>T) ?… ? (tn>T)}
∵ t1,t2,…,t n>之间互为独立，故上式可以分
成 RS(t)=P(t1>T)P (t2>T)P (tn>T)
∴ RS(t)=R1(t)R2(t) …R n(t)=?Ri(t)
n
i=1
1 2 n
例：由 4个单元串联组成的系统，单元的可靠度
分别为,RA=0.9 RB =0.8 RC=0.7 RD=0.6,求系统
的可靠度 RS。
RS=0.9?0.8?0.7?0.6=0.3024
若系统各单元的失效时间服从指数分布,则单元
的可靠度为,Ri(t)= e??it RS(t)=?Ri(t) = e?[??i]t
如果系统的失效率为 ?S,则 ?S=??i=?1/mi
mi— 单元 i的平均无故障时间
系统的平均无故障时间 MTBF为：
MTBF=1/ ?1/mi
i=1 i=1
i=1
n
n
nn
i=1
(三 )并联系统的可靠度计算
1.纯并联系统
纯并联系统：所有单元一开始就同时工
作,其中任何一个单元都能支持整个系
统运行的系统。即在系统中只要不是
全部单元失效,系统就可以正常运行。
Fs(t)= P{(t1<T)? (t2<T) ?… ? (tn<T)}
1
2
n
又 ∵ 单元相互独立
∴ FS(t)= P(t1<T)P (t2<T) … P (tn<T)n
=?Fi(t)i=1
=?[1?Ri(t)]
∴ RS(t)= 1?Fs(t)=1? ?[1?Ri(t)]
例,4个单元组成的并联系统，可靠度分别为
RA=0.9 RB =0.8 RC=0.7 RD=0.6,求 RS=?
RS=1??(1?Ri)
=1? (1?0.9)?(1?0.8) ? (1?0.7) ? (1?0.6)
=0.9976
n
i=1 n
i=1
2.k/n表决系统
n为组成系统的单元数,k为要求至少同
时正常工作的单元数。以 2/3表决系统
为例计算可靠度。
保证系统正常运行，有下面 4种情况
? A,B,C均正常工作
? A失效 B,C正常工作
? B失效 A,C正常工作
? C失效 A,B正常工作
A
B
C
RS=RARBRC+FARBRC+FBRARC+FCRA
RB
= RA RBRC(1+FA/ RA +FB/RB+ FC/RC)
若三个单元的可靠度均为 R时，则
RS=R3(1+3F/R)
=R3+3R2F
= R3+3R2(1?R)
=3R 2?2R3
例：有三个可靠度均为 0.9的单元组成
的系统，试比较纯并联及 2/3表决系
统的可靠度。
解：纯并联系统可靠度：
RS=1??(1?Ri) =1?(1?0.9)3
=1?0.13=0.999
2/3表决系统可靠度为：
RS= 3R 2?2R3 =3????2???0.92=0.972
一般公式,n中取 k系统的可靠度可
按二项式分布计算
R(t)=?Pn(i)= ?Cni Ri Fn-i
3
i=1
n
i=ki=k
n
例,2/4表决系统 RA=RB =RC=RD=0.9,
求 RS=?
4 解,R
S= ?C4i 0.9i 0.14-ii=2
= C42 0.92 0.12+ C43 0.930.11+
=C44 0.940.10
=0.9963
二,系统的可靠度分配
可靠性分配数学模型的三个基本阶段：
1、各单元的失效是相互独立的。
2、各单元的失效率为常数。
3、任一单元失效回引起系统的失效，
即系统是由单元串联而成。
在作可靠性分配时，它们必须满足以
下的函数关系：
?(R1,R2,…,R n)≥ RS ①
式中,RS— 系统规定的可靠度指标
Ri— 分配给第 i单元的可靠度
基于以上假设①式可以写成：
R1(t) R2(t)… Rn(t)≥ Rs(t) ②
若失效时间服从指数分布则上式可以写
成,e??1t e??2t … e??nt ≥ e??st
?1+?2+… +?n≤?s
(一 )等同分配法
将系统的可靠度平均地分配给各单元的
方法。
对于串联系统的可靠度为,Rs= ? Ri
按等同分配要求，其分配公式为：
Ri =(Rs)1/n i=1,2,…n
n
i=1
例：由三个单元组成的系统,设各单
元费用相等,问为满足系统的可靠
度为 0.729时，对各个单元应分配
的可靠度为多少?
解, Ri =(RS)1/n =0.7291/3=0.9
即 R1 =R2=R3=0.9
例：由三个单元组成的并联系统,若每
个单元分配的可靠度相等,即 R1
=R2=R3=R,已知系统的可靠度指标
Rs=0.99,试求分配到各个单元的可靠
度。
解,∵ RS=1?(1? R1 )(1? R2 )(1? R3 )
= 1?(1? R)3
∴ R= 1?(1? RS)1/3
= 1?(1? 0.99)1/3=0.7845
∴ R1 =R2=R3=0.7845
(二 )AGREE分配法
美国电子设备可靠性咨询组 1957年提出的
设, Rs— 系统要求的可靠性
ti— 第 i个单元的平均寿命
Ei— 第 i个单元的重要度 (表示单元 i的失效
引起系统失效的概率 )
第 i单元失效引起系统失效的次数
单元 i失效总次数
ti— 第 i单元的工作时间
?i— 分配给 i单元的失效率
ni— 第 i单元的组成件数
N— 系统的总组成件数 N=?ni
ni /N— 单元 i的复杂程度
Ei=
i=1
n
当第个单元的寿命服从指数分布时,且
不考虑其重要程度,则其可靠度为：
Ri = Ri(t) =e?ti/ ti ①
若考虑每个单元重要度 Ei时，这时单
元的可靠度应为：
Ri=1?Ei(1 ?e?ti/ ti ) ② (据重要度 Ei的定
义式得 )
例,由四个单元组成的串联系统,要求在连
续工作 24h时的期间内具有 0.96的可靠
度,试用 AGREE方法作可靠度分配。
单元号
i
组成件数
ni
重要度
Ei
工作时间
ti(h)
1
2
3
4
10
20
90
50
1.0
0.9
1.0
0.85
24
10
24
12
法一 1.计算系统总组成件数
N=?ni=10+20+90+50=170
2.按⑨式计算各单元容许失效率
n1(?㏑ RS) 10?(?㏑ 0.96)
NE1t1 170?1?24
=0.0001(1/h)
20?(?㏑ 0.96)
170?0.9?10
?3=0.0009(1/h)
?4=0.001177(1/h)
?1=
?2= =0.000534(1/h)
=
3.按式 Ri =e??i ti 计算各单元容许可靠
度
R1= e?0.0001?24=0.997600
R2= e?0.000534?10=0.994678
R3= e?0.0009?24=0.978620
R4= e?0.001177?12=0.985974
系统可靠度 = R1 R2 R3 R4 =0.957455
法二按⑩式计算
与法一结果十分相似
一、常用的失效分布函数
产品寿命 T的分布主要有指数分布、
正态分布、对数正态分布和威布尔
分布等,对于较复杂的系统在稳定工
作时期的偶然失效时间随机变量一
般服从指数分布,在耗损期则近似于
正态分布,机械零件的疲劳寿命往往
是对数正态分布或威布尔分布。
(一 )指数分布
?(t)=?e??t (t>0)
?— 失效率为常数是指数分布的重要
特征值
1.可靠度和失效分布函数
R(t)=?t ??e??t dt= e??t
F(t)=1? R(t)= 1? e??t
2.平均寿命 t =?0 ?e??t dt= ?
3.寿命方差和寿命标准偏差
?t2= ?0? (t )?e??t dt
= [- e??t ]0?= ?t=
1
??e
??t??= 1
?
1
?1
?2
1
?2
1
?
例：某产品的失效时间服从指数分
布,其平均寿命为 5000h,试求其使
用 125h的可靠度和可靠度为 0.8时
的可靠寿命。
① ∵ R(t)= e??t 又 ∵ t = =5000
∴ ?=1/5000
R(125)= e?125/5000= 0.9753
② ∵ R(t)= e?t/5000=0.8
∴ t=-5000㏑ 0.8=1115.7h
1
?
(二 )正态分布 (略 )
(三 )对数正态分布
产品寿命 T的对数值服从正态分布，即
㏑ T?N(?,?2)
1.?(t)= e?
F(t)= ?0 t?(t)dt=?(z)
= ?0z1/?2?e?z2/2dz 其中 z=(㏑ t? ?) / ?
R(t)=1?F(t)=1??(z)
2.?(t)=
3.t=e?+?2/2
4.v(T)=t2[e?2?1]
(㏑ t??)2
2?21?t?2?
?(z)/?t
1???z?
例,某产品的寿命 T服从对数正
态分布,㏑ T?N(?,?2)。已知,
?=12h ?=0.32h 求此产品工作
105h的可靠度 (105),失效率 ?(105)
及可靠度为 0.95时的可靠寿命
t0.95。
解：
1.z= (㏑ t??)/?=(㏑ 105?12)/0.32=?1.5221
R(105)=1?????.?????=0.9360
????.?????/0.32?105
1 ?????.?????
3,R(t0.95)=1???z?=0.95 ??z?=0.05
查表得,z= ??.64485
㏑ t0.95=12+(??.64485)?0.32=11.47365
∴ t0.95=e11.47365=96148h
2,?(105)= =4.2/106h
(四 )威布尔分布
1,k(t?a)k-1
bk t≥a
式中,k— 形状参数
a— 位置参数：产品的最低寿命
b— 尺度参数 (对图形起放大或缩小作用 )
F(t)=1?e?((t-a)/b)k
R(t)=e?((t-a)/b)k
2,K(t?a)k-1
bk
3.t=a+b?(1+1/k)
4.tR=a+b(?㏑ R)1/K
?(t)= e?((t-a)/b)
k
?(t)=
例,某零件寿命服从 k=4,a=1200h,b=3090
的威布尔分布，试求,此零件工作
2500 h的可靠度 和失效率及可靠度
为 0.99的可靠寿命。
解,R(2500)=e?((2500?1200)/3090)4=0.969
4????????????4-1
30904
=0.0000964/h
t0.90=1200+3090?(?㏑ 0.99)?=2178h
????????
系统的可靠性预测
(一 )系统与系统结构模型分类
纯并联系统
串联系统 工作贮备系统
系统 （并联冗余系统） r/n表决系统
并联系统
理想旁联系统
非工作贮备系统
（旁联系统） 非理想旁联系统
(二 )串联系统可靠度计算
如果有某一单元发生故障,则引起系统失效的
系统。
设系统的失效时间随机变量为 T，组成系统各
单元的失效时间随机变量为 Ti,I=1,2,…,n,系统
可靠度可表示如下：
RS=P{(t1>T)? (t2>T) ?… ? (tn>T)}
∵ t1,t2,…,t n>之间互为独立，故上式可以分
成 RS(t)=P(t1>T)P (t2>T)P (tn>T)
∴ RS(t)=R1(t)R2(t) …R n(t)=?Ri(t)
n
i=1
1 2 n
例：由 4个单元串联组成的系统，单元的可靠度
分别为,RA=0.9 RB =0.8 RC=0.7 RD=0.6,求系统
的可靠度 RS。
RS=0.9?0.8?0.7?0.6=0.3024
若系统各单元的失效时间服从指数分布,则单元
的可靠度为,Ri(t)= e??it RS(t)=?Ri(t) = e?[??i]t
如果系统的失效率为 ?S,则 ?S=??i=?1/mi
mi— 单元 i的平均无故障时间
系统的平均无故障时间 MTBF为：
MTBF=1/ ?1/mi
i=1 i=1
i=1
n
n
nn
i=1
(三 )并联系统的可靠度计算
1.纯并联系统
纯并联系统：所有单元一开始就同时工
作,其中任何一个单元都能支持整个系
统运行的系统。即在系统中只要不是
全部单元失效,系统就可以正常运行。
Fs(t)= P{(t1<T)? (t2<T) ?… ? (tn<T)}
1
2
n
又 ∵ 单元相互独立
∴ FS(t)= P(t1<T)P (t2<T) … P (tn<T)n
=?Fi(t)i=1
=?[1?Ri(t)]
∴ RS(t)= 1?Fs(t)=1? ?[1?Ri(t)]
例,4个单元组成的并联系统，可靠度分别为
RA=0.9 RB =0.8 RC=0.7 RD=0.6,求 RS=?
RS=1??(1?Ri)
=1? (1?0.9)?(1?0.8) ? (1?0.7) ? (1?0.6)
=0.9976
n
i=1 n
i=1
2.k/n表决系统
n为组成系统的单元数,k为要求至少同
时正常工作的单元数。以 2/3表决系统
为例计算可靠度。
保证系统正常运行，有下面 4种情况
? A,B,C均正常工作
? A失效 B,C正常工作
? B失效 A,C正常工作
? C失效 A,B正常工作
A
B
C
RS=RARBRC+FARBRC+FBRARC+FCRA
RB
= RA RBRC(1+FA/ RA +FB/RB+ FC/RC)
若三个单元的可靠度均为 R时，则
RS=R3(1+3F/R)
=R3+3R2F
= R3+3R2(1?R)
=3R 2?2R3
例：有三个可靠度均为 0.9的单元组成
的系统，试比较纯并联及 2/3表决系
统的可靠度。
解：纯并联系统可靠度：
RS=1??(1?Ri) =1?(1?0.9)3
=1?0.13=0.999
2/3表决系统可靠度为：
RS= 3R 2?2R3 =3????2???0.92=0.972
一般公式,n中取 k系统的可靠度可
按二项式分布计算
R(t)=?Pn(i)= ?Cni Ri Fn-i
3
i=1
n
i=ki=k
n
例,2/4表决系统 RA=RB =RC=RD=0.9,
求 RS=?
4 解,R
S= ?C4i 0.9i 0.14-ii=2
= C42 0.92 0.12+ C43 0.930.11+
=C44 0.940.10
=0.9963
二,系统的可靠度分配
可靠性分配数学模型的三个基本阶段：
1、各单元的失效是相互独立的。
2、各单元的失效率为常数。
3、任一单元失效回引起系统的失效，
即系统是由单元串联而成。
在作可靠性分配时，它们必须满足以
下的函数关系：
?(R1,R2,…,R n)≥ RS ①
式中,RS— 系统规定的可靠度指标
Ri— 分配给第 i单元的可靠度
基于以上假设①式可以写成：
R1(t) R2(t)… Rn(t)≥ Rs(t) ②
若失效时间服从指数分布则上式可以写
成,e??1t e??2t … e??nt ≥ e??st
?1+?2+… +?n≤?s
(一 )等同分配法
将系统的可靠度平均地分配给各单元的
方法。
对于串联系统的可靠度为,Rs= ? Ri
按等同分配要求，其分配公式为：
Ri =(Rs)1/n i=1,2,…n
n
i=1
例：由三个单元组成的系统,设各单
元费用相等,问为满足系统的可靠
度为 0.729时，对各个单元应分配
的可靠度为多少?
解, Ri =(RS)1/n =0.7291/3=0.9
即 R1 =R2=R3=0.9
例：由三个单元组成的并联系统,若每
个单元分配的可靠度相等,即 R1
=R2=R3=R,已知系统的可靠度指标
Rs=0.99,试求分配到各个单元的可靠
度。
解,∵ RS=1?(1? R1 )(1? R2 )(1? R3 )
= 1?(1? R)3
∴ R= 1?(1? RS)1/3
= 1?(1? 0.99)1/3=0.7845
∴ R1 =R2=R3=0.7845
(二 )AGREE分配法
美国电子设备可靠性咨询组 1957年提出的
设, Rs— 系统要求的可靠性
ti— 第 i个单元的平均寿命
Ei— 第 i个单元的重要度 (表示单元 i的失效
引起系统失效的概率 )
第 i单元失效引起系统失效的次数
单元 i失效总次数
ti— 第 i单元的工作时间
?i— 分配给 i单元的失效率
ni— 第 i单元的组成件数
N— 系统的总组成件数 N=?ni
ni /N— 单元 i的复杂程度
Ei=
i=1
n
当第个单元的寿命服从指数分布时,且
不考虑其重要程度,则其可靠度为：
Ri = Ri(t) =e?ti/ ti ①
若考虑每个单元重要度 Ei时，这时单
元的可靠度应为：
Ri=1?Ei(1 ?e?ti/ ti ) ② (据重要度 Ei的定
义式得 )
例,由四个单元组成的串联系统,要求在连
续工作 24h时的期间内具有 0.96的可靠
度,试用 AGREE方法作可靠度分配。
单元号
i
组成件数
ni
重要度
Ei
工作时间
ti(h)
1
2
3
4
10
20
90
50
1.0
0.9
1.0
0.85
24
10
24
12
法一 1.计算系统总组成件数
N=?ni=10+20+90+50=170
2.按⑨式计算各单元容许失效率
n1(?㏑ RS) 10?(?㏑ 0.96)
NE1t1 170?1?24
=0.0001(1/h)
20?(?㏑ 0.96)
170?0.9?10
?3=0.0009(1/h)
?4=0.001177(1/h)
?1=
?2= =0.000534(1/h)
=
3.按式 Ri =e??i ti 计算各单元容许可靠
度
R1= e?0.0001?24=0.997600
R2= e?0.000534?10=0.994678
R3= e?0.0009?24=0.978620
R4= e?0.001177?12=0.985974
系统可靠度 = R1 R2 R3 R4 =0.957455
法二按⑩式计算
与法一结果十分相似
