第六章 正交试验设计
? 正交试验设计法是研究与处理多因素实验的
一种科学方法。利用规格化的表格 — 正交表,
科学地挑选试验条件,合理安排实验。
? 正交试验设计法最早由日本质量管量专家田
口玄一提出,称为国际标准型正交试验法。认
为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验
设计法,只能算半个工程师”。
? 我国工业企业特别是化工、纺织、医药、电
子、机械行业,正交试验设计法的应用也取得
相当的成就,中国数学家张里千教授发明了中
国型正交试验设计法 。
第一节 基础知识
一、名词术语
1、试验因素：影响考核指标取值
的量称为试验因素 (因子 )。
一般记为,A,B,C,等
?定量的因素 ?可控因素
?定性的因素 ?不可控因素
2、因素的位级 (水平 )：指试验因素
所处的状态。
3、考核指标：根据试验目的而选定的用来
衡量试验效果的量值 (指标 )。
望大值
望小值
望目值
定量指标 ?单指标
定性指标
颜色的深浅
味道 ?对定性指标可以用加权
的的方法量化为不同等
级。
?多 指标
4、完全因素位级组合：指参与实验的全
部因素与全部位级相互之间的全部组
合次数，即全部的实验次数。
例：有 3个因素 (A,B,C),每个因素有两
个位级 (A1 A2,B1 B2, C1 C2)，则完
全因素位级组合数为,= C21 C21
C21=23=8次
5、部分因素位级组合：
⑴ 单因素转换法
⑵正交试验法
二、正交表
1、正交表的符号：
正交表是运用组合数学理论在正交拉丁名
的基础上构造的一种规格化的表格。
符号,Ln(ji)
其中：
L— 正交表的符号
n— 正交表的行数 (试验次数，试验方案数 )
j— 正交表中的数码 (因素的位级数 )
i— 正交表的 列数 (试验因素的个数 )
N=ji— 全部试验次数 (完全因素位级组合
数 )
2、正交表的结构
L8(27)
L9(34)
L8(41?24)
L18(21?37)
3,正交表的正交性
(1)整齐可比性：每个字码出现的机会
是完全相等的。
(2)均衡分散性：任意两列间横向组合
的数字对搭配是均衡的。
4、应用程序
1 )明确实验目的，确定考核指标。
2 )挑因素，选位级，确定因素位级表。
3 )选择适宜的正交表。
4 )因素位级上正交表，确定试验方案，
并按实验方案进行试验。
5 )试验结果分析。
第二节 无交互作用单一指标的正交
设计与数据分析
一 试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩
二 试验指标：输出力矩 (越大越好 )
三 因子与水平：
A：充磁量 (10-4特 )
A1=900 A2=1100 A3=1300
B：定位高度 (度 )
B1=10 B2=11 B3=12
C,定子线圈匝数 (匝 )
C1=70 C2=80 C3=90
四 选正交表，进行表头设计，列出实验
计划 选 L9(34)
表达设计 A (充磁量 ) B(定位角度 ) C(定子线
圈匝数 )
Y
输出力矩
列号
试验号
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1(900)
1
1
2(1100)
2
2
3(1300)
3
3
1(10)
2(11)
3(12)
1
2
3
1
2
1
1(70)
2(80)
3(90)
2
3
1
3
1
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1
160
215
180
168
236
190
157
205
140
T1
T2
T3
555
594
502
485
656
510
555
523
573
?yi=T=1651
?yi2=310519
ST=7652.2
T1
T2
T3
185
198
167.3
161.7
218.7
170
185
174.3
191
R 30.7 57 16.7
S 1421.6 5686.9 427.6 116.2
五 进行试验，记录试验结果。
六数据分析
(一 ) 急差分析
直观分析,Y=236最大
好的试验条件 A2B2C3
理论分析,RB>RA>RC 因素重要性
B→A → C 最好的条件 A2B2C3
(二 )数据的方差分析 假定试验指标服从
正态分布
⑴平方和分解
用总偏差平方和 ST描述数据的总波动
? n (?yi)2
? ST =?(yi?y)2=yi2?—
? i=1 n
其中,y=?y/n
用 SA表示除随机原因外 (A因子偏差平方
和 )由于 A因子的水平不同所引起的数据
波动的变量,
3 q Ti2 TS
A=?3(Ti-y)2 通式为,S= ? — ?—i=1 i=1 n/q n
∵ A至于第一列,∴ SA=S1
B,C分别至于第二、三列，
∴ SB=S2 SC=S3
第 4列为空白列仅反应误差造成的数
据波动称为误差的偏差平方和。
∴ Se=S4
可以证明,ST=S1+ S2+ S3+ S4
对一般正交表,ST=S1+ S2+ … + Sp
⑵ F比
若 F因 =V因 /Ve>F1????因,? e?则认为在显
著性水平 ?上因子是显著的。
其中：
V因 — 因子的均方和 (偏差平方和与自
由度的比 )
?因 — 因子的自由度 (水平数 (q)?1)
Ve— 误差的均方和
? e— 误差的自由度
方差分析表
来源 平方和 S 自由度 ? 均方和 V F比
因子 A
因子 B
因子 C
误差 e
1421.6
5686.9
427.6
116.2
2
2
2
2
710.8
2843.4
213.8
58.1
12.23
48.94
3.68
T 7652.2 8 F0.90?2,2?=9.0
F0.95?2,2?=19.
0
注,?T=n?1 ?A+?B+ ?c+?e=?T
由于 FA大于 F0.90?2,2?=9.0 F0.95?2,2?=19.0
因此因子 A与 B分别在显著性水平 0.10与 0.05上是显著
的，因子 C不显著。
⑶ 最佳条件的选择 A2B2 因子 C水平可
任意选取
⑷因子的贡献率
当试验指标不服从正态分布时，进行
方差分析的依据就不够充分，此时可
以用率 来衡量因子作用的大小 。
由于 S因 中除了因子的效应外，还包括
误差，从而称 S因 — ?因 。为因子的纯偏
差平方和，称因子的纯偏差平方和与
的比为因子的 贡献率 。
因子与误差的差率
来源 平方和
S
自由度 ? 纯偏差
平方和
贡献率
(%)
因子 A
因子 B
因子 C
误差 e
1421.6
5686.9
427.6
116.2
2
2
2
2
710.8
2843.4
213.8
58.1
17.06
72.80
4.07
6.07
T 7652.2 8
结论：
因子 B最重要，由 B引起的波动占 72.80%
其次是因子 A
因子 C的贡献 率还不及误差的 贡献 率大，所以
因子 C可以认为不重要。
七、试验验证
补：正交表的选择：
1、考察因素的个数
2,一批允许做试验的次数
3、有无重点考察的因素
4、所考察的因子与交互作用自
由度之和 ≤n?1
5、有无交互作用
? 正交试验设计法是研究与处理多因素实验的
一种科学方法。利用规格化的表格 — 正交表,
科学地挑选试验条件,合理安排实验。
? 正交试验设计法最早由日本质量管量专家田
口玄一提出,称为国际标准型正交试验法。认
为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验
设计法,只能算半个工程师”。
? 我国工业企业特别是化工、纺织、医药、电
子、机械行业,正交试验设计法的应用也取得
相当的成就,中国数学家张里千教授发明了中
国型正交试验设计法 。
第一节 基础知识
一、名词术语
1、试验因素：影响考核指标取值
的量称为试验因素 (因子 )。
一般记为,A,B,C,等
?定量的因素 ?可控因素
?定性的因素 ?不可控因素
2、因素的位级 (水平 )：指试验因素
所处的状态。
3、考核指标：根据试验目的而选定的用来
衡量试验效果的量值 (指标 )。
望大值
望小值
望目值
定量指标 ?单指标
定性指标
颜色的深浅
味道 ?对定性指标可以用加权
的的方法量化为不同等
级。
?多 指标
4、完全因素位级组合：指参与实验的全
部因素与全部位级相互之间的全部组
合次数，即全部的实验次数。
例：有 3个因素 (A,B,C),每个因素有两
个位级 (A1 A2,B1 B2, C1 C2)，则完
全因素位级组合数为,= C21 C21
C21=23=8次
5、部分因素位级组合：
⑴ 单因素转换法
⑵正交试验法
二、正交表
1、正交表的符号：
正交表是运用组合数学理论在正交拉丁名
的基础上构造的一种规格化的表格。
符号,Ln(ji)
其中：
L— 正交表的符号
n— 正交表的行数 (试验次数，试验方案数 )
j— 正交表中的数码 (因素的位级数 )
i— 正交表的 列数 (试验因素的个数 )
N=ji— 全部试验次数 (完全因素位级组合
数 )
2、正交表的结构
L8(27)
L9(34)
L8(41?24)
L18(21?37)
3,正交表的正交性
(1)整齐可比性：每个字码出现的机会
是完全相等的。
(2)均衡分散性：任意两列间横向组合
的数字对搭配是均衡的。
4、应用程序
1 )明确实验目的，确定考核指标。
2 )挑因素，选位级，确定因素位级表。
3 )选择适宜的正交表。
4 )因素位级上正交表，确定试验方案，
并按实验方案进行试验。
5 )试验结果分析。
第二节 无交互作用单一指标的正交
设计与数据分析
一 试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩
二 试验指标：输出力矩 (越大越好 )
三 因子与水平：
A：充磁量 (10-4特 )
A1=900 A2=1100 A3=1300
B：定位高度 (度 )
B1=10 B2=11 B3=12
C,定子线圈匝数 (匝 )
C1=70 C2=80 C3=90
四 选正交表，进行表头设计，列出实验
计划 选 L9(34)
表达设计 A (充磁量 ) B(定位角度 ) C(定子线
圈匝数 )
Y
输出力矩
列号
试验号
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1(900)
1
1
2(1100)
2
2
3(1300)
3
3
1(10)
2(11)
3(12)
1
2
3
1
2
1
1(70)
2(80)
3(90)
2
3
1
3
1
2
1
2
3
3
1
2
2
3
1
160
215
180
168
236
190
157
205
140
T1
T2
T3
555
594
502
485
656
510
555
523
573
?yi=T=1651
?yi2=310519
ST=7652.2
T1
T2
T3
185
198
167.3
161.7
218.7
170
185
174.3
191
R 30.7 57 16.7
S 1421.6 5686.9 427.6 116.2
五 进行试验，记录试验结果。
六数据分析
(一 ) 急差分析
直观分析,Y=236最大
好的试验条件 A2B2C3
理论分析,RB>RA>RC 因素重要性
B→A → C 最好的条件 A2B2C3
(二 )数据的方差分析 假定试验指标服从
正态分布
⑴平方和分解
用总偏差平方和 ST描述数据的总波动
? n (?yi)2
? ST =?(yi?y)2=yi2?—
? i=1 n
其中,y=?y/n
用 SA表示除随机原因外 (A因子偏差平方
和 )由于 A因子的水平不同所引起的数据
波动的变量,
3 q Ti2 TS
A=?3(Ti-y)2 通式为,S= ? — ?—i=1 i=1 n/q n
∵ A至于第一列,∴ SA=S1
B,C分别至于第二、三列，
∴ SB=S2 SC=S3
第 4列为空白列仅反应误差造成的数
据波动称为误差的偏差平方和。
∴ Se=S4
可以证明,ST=S1+ S2+ S3+ S4
对一般正交表,ST=S1+ S2+ … + Sp
⑵ F比
若 F因 =V因 /Ve>F1????因,? e?则认为在显
著性水平 ?上因子是显著的。
其中：
V因 — 因子的均方和 (偏差平方和与自
由度的比 )
?因 — 因子的自由度 (水平数 (q)?1)
Ve— 误差的均方和
? e— 误差的自由度
方差分析表
来源 平方和 S 自由度 ? 均方和 V F比
因子 A
因子 B
因子 C
误差 e
1421.6
5686.9
427.6
116.2
2
2
2
2
710.8
2843.4
213.8
58.1
12.23
48.94
3.68
T 7652.2 8 F0.90?2,2?=9.0
F0.95?2,2?=19.
0
注,?T=n?1 ?A+?B+ ?c+?e=?T
由于 FA大于 F0.90?2,2?=9.0 F0.95?2,2?=19.0
因此因子 A与 B分别在显著性水平 0.10与 0.05上是显著
的，因子 C不显著。
⑶ 最佳条件的选择 A2B2 因子 C水平可
任意选取
⑷因子的贡献率
当试验指标不服从正态分布时，进行
方差分析的依据就不够充分，此时可
以用率 来衡量因子作用的大小 。
由于 S因 中除了因子的效应外，还包括
误差，从而称 S因 — ?因 。为因子的纯偏
差平方和，称因子的纯偏差平方和与
的比为因子的 贡献率 。
因子与误差的差率
来源 平方和
S
自由度 ? 纯偏差
平方和
贡献率
(%)
因子 A
因子 B
因子 C
误差 e
1421.6
5686.9
427.6
116.2
2
2
2
2
710.8
2843.4
213.8
58.1
17.06
72.80
4.07
6.07
T 7652.2 8
结论：
因子 B最重要，由 B引起的波动占 72.80%
其次是因子 A
因子 C的贡献 率还不及误差的 贡献 率大，所以
因子 C可以认为不重要。
七、试验验证
补：正交表的选择：
1、考察因素的个数
2,一批允许做试验的次数
3、有无重点考察的因素
4、所考察的因子与交互作用自
由度之和 ≤n?1
5、有无交互作用
