8-1
《通信原理,第四十五讲
第 8章 数字信号的最佳接收
在数字通信系统中,信道的传输特性和传输过程中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。本章将要讨论的最佳接收，就是研究在噪声干扰中如何有效地检测出信号。
信号统计检测所研究的主要问题可以归纳为三类,
第一类是假设检验问题，它所研究的问题是在噪声中判决有用信号是否出现。
第二类是参数估值问题,它所研究的问题是在噪声干扰的情况下以最小的误差定义对信号的参量作出估计。
第三类是信号滤波,它所研究的问题是在噪声干扰的情况下以最小的误差定义连续地将信号过滤出来。
所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳,最佳标准也称最佳准则。 因此，
最佳接收是一个相对的概念，在某种准则下的最佳系统，在另外一种准则下就不一定是最佳的。在数字通信中，最常采用的最佳准则是输出信噪比最大准则和差错概率最小准则。下面我们分别讨论在这两种准则下的最佳接收问题。
§ 8,1 匹配滤波器
一,匹配滤波器原理
在数字通信系统中，滤波器是重要部件之一，作用有两个方面，第一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；第二是抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。
通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则,
一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小,由此而导出的最佳线性滤波器称为 维纳滤波器 ；
另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大,由此而导出的最佳
8-2
线性滤波器称为 匹配滤波器 。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。
抽样判决以前各部分电路可以用一个线性滤波器来等效,接收过程等效原理图如图 8-1 所示。
判决输出
+
)(ts
)(tn
)(ωH
)(tr )(ty
0
tt =
O
N
S
图 8-1 数字信号接收等效原理图
图中,)(ts 为输入数字信号，信道特性为加性高斯白噪声信道,)(tn 为加性高斯白噪声,)(ωH 为滤波器传输函数。
二,匹配滤波器传输函数
抽样判决器输出数据正确与否,只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，错误判决的概率就越小。当选择滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时,则该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。 下面就来分析当滤波器具有什么样的特性时才能使输出信噪比达到最大。
设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为 )(ωH,滤波器输入信号与噪声的合成波为
)()()( tntstr += (8.1-1)
式中,)(ts 为输入数字信号，其频谱函数为 )(ωS 。 )(tn 为高斯白噪声，其双边功率谱密度为
2
o
n
。滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即
)()()(
00
tntsty += (8.1-2)
式中输出信号的频谱函数为 )(
0
ωS,其对应的时域信号为
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
== ωωω
π
ωω
π
ωω
deHSdeSts
tjtj
)()(
2
1
)(
2
1
)(
00
(8.1-3)
8-3
滤波器输出噪声的平均功率为
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
== ωωω
π
ωω
π
dHPdPN
i
nn
2
0
)()(
2
1
)(
2
1
0
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
== ωω
π
ωω
π
dH
n
dH
n 2
0
2
0
)(
4
)(
22
1
(8.1-4)
在抽样时刻
0
t,线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
==
ωω
π
ωωω
π
ω
dH
n
deSH
N
ts
r
tj
2
0
2
0
2
00
0
)(
4
)()(
2
1
)(
0
(8.1-5)
滤波器输出信噪比
0
r 与输入信号的频谱函数 )(ωS 和滤波器的传输函数
)(ωH 有关。在输入信号给定的情况下，输出信噪比
0
r 只与滤波器的传输函数
)(ωH 有关。使输出信噪比
0
r 达到最大的传输函数 )(ωH 就是我们所要求的最佳滤波器的传输函数。
施瓦兹不等式 为
设复函数 )(ωX 和 )(ωY,则有
∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
≤ ωω
π
ωω
π
ωωω
π
dYdXdYX
22
2
)(
2
1
)(
2
1
)()(
2
1
(8.1-6)
当且仅当
)()(
*
ωω KYX = (8.1-7)
时式 (8.1-6)中等式才能成立。式 (8.1-7)中 K 是不为零常数。
令
)()( ωω HX = (8.1-8)
0
)()(
tj
eSY
ω
ωω = (8.1-9)
可得
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
ωω
π
ωωω
π
ω
dH
n
deSH
r
tj
2
0
2
0
)(
4
)()(
2
1
0
∫
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
≤
ωω
π
ωωωω
π
ω
dH
n
deSdH
tj
2
0
2
2
2
)(
4
)()(
4
1
0
8-4
2
)(
2
1
0
2
n
dS
∫
∞
∞?
=
ωω
π
(8.1-10)
根据帕塞瓦尔定理有
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
== EdttsdS )((
2
1
2
2
ωω
π
(8.1-11)
式中 E 为输入信号的能量。代入式 (8.1-10)有
0
0
2
n
E
r ≤ (8.1-12)
式 (8.1-12)说明，线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为
0
max0
2
n
E
r = (8.1-13)
根据施瓦兹不等式中等号成立的条件 )()(
*
ωω KYX =,则可得不等式 (8.1-10)中等号成立的条件为
0
)()(
* tj
eKSH
ω
ωω
= (8.1-14)
式中,K 是不为零常数，通常可选择为 K =1。该滤波器在给定时刻
0
t 能获得最大输出信噪比
0
2
n
E
。这种滤波器的传输函数除相乘因子
0
tj
Ke
ω?
外与信号频谱的复共轭相一致，所以称该滤波器为 匹配滤波器 。
三,匹配滤波器单位冲激响应
从匹配滤波器传输函数 )(ωH 所满足的条件，可以得到
ωω
π
ωω
π
ωωω
deeKSdeHth
tjtjtj
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
==
0
)(
2
1
)(
2
1
)(
*
∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+
∞
∞?
∞
∞?
=
= ττω
π
ωττ
π
τωωωτ
dsdeKdedes
K
ttjttjj
)(
2
1
)(
2
)()(
*
00
)()()(
00
ttKsdttsK?=+?=
∫
∞
∞?
ττδτ (8.1-15)
即匹配滤波器的单位冲激响应为
)()(
0
ttKsth?= (8.1-16)
8-5
式 (8.1-16)表明，匹配滤波器的单位冲激响应 )(th 是输入信号 )(ts 的镜像函数，
0
t
为输出最大信噪比时刻。
0 0
tt
T
0
t
)(th
)(ts
图 8-2 匹配滤波器单位冲激响应产生原理
对于因果系统，匹配滤波器的单位冲激响应 )(th 应满足
<
≥?
=
0,0
0),(
)(
0
t
tttKs
th (8.1-17)
为了满足式 (8.1-17)的条件必须有
0,0)(
0
<=? ttts (8.1-18)
00
,0,0)( ttttts ><?= 或 (8.1-19)
上式条件说明，对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号 )(ts 必须在它输出最大信噪比的时刻
0
t 之前结束。也就是说，若输入信号在 T 时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器,Tt ≥
0
。对于接收机来说，
0
t 是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取 Tt =
0
。
四,匹配滤波器输出
则匹配滤波器的输出信号为
∫
∞
∞?
=?= τττ dhtsthtsts )()()()()(
0
∫
∞
∞?
= τττ dtKsts )()(
0
(8.1-20)
令 xt =?τ
0
有
)()()()(
000
ttKRdxttxsxsKts?=?+=
∫
∞
∞?
(8.1-21)
8-6
式中,)(tR 为输入信号 )(ts 的自相关函数。上式表明，匹配滤波器的输出波形是输入信号 )(ts 自相关函数的 K 倍。因此，匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，其在
0
t 时刻得到最大输出信噪比
0
max0
2
n
E
r = 。由于输出信噪比与常数 K 无关，所以通常取 1=K 。
《通信原理,第四十五讲
第 8章 数字信号的最佳接收
在数字通信系统中,信道的传输特性和传输过程中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。本章将要讨论的最佳接收，就是研究在噪声干扰中如何有效地检测出信号。
信号统计检测所研究的主要问题可以归纳为三类,
第一类是假设检验问题，它所研究的问题是在噪声中判决有用信号是否出现。
第二类是参数估值问题,它所研究的问题是在噪声干扰的情况下以最小的误差定义对信号的参量作出估计。
第三类是信号滤波,它所研究的问题是在噪声干扰的情况下以最小的误差定义连续地将信号过滤出来。
所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳,最佳标准也称最佳准则。 因此，
最佳接收是一个相对的概念，在某种准则下的最佳系统，在另外一种准则下就不一定是最佳的。在数字通信中，最常采用的最佳准则是输出信噪比最大准则和差错概率最小准则。下面我们分别讨论在这两种准则下的最佳接收问题。
§ 8,1 匹配滤波器
一,匹配滤波器原理
在数字通信系统中，滤波器是重要部件之一，作用有两个方面，第一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；第二是抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。
通常对最佳线性滤波器的设计有两种准则,
一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小,由此而导出的最佳线性滤波器称为 维纳滤波器 ；
另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大,由此而导出的最佳
8-2
线性滤波器称为 匹配滤波器 。在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。
抽样判决以前各部分电路可以用一个线性滤波器来等效,接收过程等效原理图如图 8-1 所示。
判决输出
+
)(ts
)(tn
)(ωH
)(tr )(ty
0
tt =
O
N
S
图 8-1 数字信号接收等效原理图
图中,)(ts 为输入数字信号，信道特性为加性高斯白噪声信道,)(tn 为加性高斯白噪声,)(ωH 为滤波器传输函数。
二,匹配滤波器传输函数
抽样判决器输出数据正确与否,只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，错误判决的概率就越小。当选择滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时,则该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。 下面就来分析当滤波器具有什么样的特性时才能使输出信噪比达到最大。
设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为 )(ωH,滤波器输入信号与噪声的合成波为
)()()( tntstr += (8.1-1)
式中,)(ts 为输入数字信号，其频谱函数为 )(ωS 。 )(tn 为高斯白噪声，其双边功率谱密度为
2
o
n
。滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即
)()()(
00
tntsty += (8.1-2)
式中输出信号的频谱函数为 )(
0
ωS,其对应的时域信号为
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
== ωωω
π
ωω
π
ωω
deHSdeSts
tjtj
)()(
2
1
)(
2
1
)(
00
(8.1-3)
8-3
滤波器输出噪声的平均功率为
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
== ωωω
π
ωω
π
dHPdPN
i
nn
2
0
)()(
2
1
)(
2
1
0
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
== ωω
π
ωω
π
dH
n
dH
n 2
0
2
0
)(
4
)(
22
1
(8.1-4)
在抽样时刻
0
t,线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
==
ωω
π
ωωω
π
ω
dH
n
deSH
N
ts
r
tj
2
0
2
0
2
00
0
)(
4
)()(
2
1
)(
0
(8.1-5)
滤波器输出信噪比
0
r 与输入信号的频谱函数 )(ωS 和滤波器的传输函数
)(ωH 有关。在输入信号给定的情况下，输出信噪比
0
r 只与滤波器的传输函数
)(ωH 有关。使输出信噪比
0
r 达到最大的传输函数 )(ωH 就是我们所要求的最佳滤波器的传输函数。
施瓦兹不等式 为
设复函数 )(ωX 和 )(ωY,则有
∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
≤ ωω
π
ωω
π
ωωω
π
dYdXdYX
22
2
)(
2
1
)(
2
1
)()(
2
1
(8.1-6)
当且仅当
)()(
*
ωω KYX = (8.1-7)
时式 (8.1-6)中等式才能成立。式 (8.1-7)中 K 是不为零常数。
令
)()( ωω HX = (8.1-8)
0
)()(
tj
eSY
ω
ωω = (8.1-9)
可得
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
=
ωω
π
ωωω
π
ω
dH
n
deSH
r
tj
2
0
2
0
)(
4
)()(
2
1
0
∫
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
∞
∞?
≤
ωω
π
ωωωω
π
ω
dH
n
deSdH
tj
2
0
2
2
2
)(
4
)()(
4
1
0
8-4
2
)(
2
1
0
2
n
dS
∫
∞
∞?
=
ωω
π
(8.1-10)
根据帕塞瓦尔定理有
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
== EdttsdS )((
2
1
2
2
ωω
π
(8.1-11)
式中 E 为输入信号的能量。代入式 (8.1-10)有
0
0
2
n
E
r ≤ (8.1-12)
式 (8.1-12)说明，线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为
0
max0
2
n
E
r = (8.1-13)
根据施瓦兹不等式中等号成立的条件 )()(
*
ωω KYX =,则可得不等式 (8.1-10)中等号成立的条件为
0
)()(
* tj
eKSH
ω
ωω
= (8.1-14)
式中,K 是不为零常数，通常可选择为 K =1。该滤波器在给定时刻
0
t 能获得最大输出信噪比
0
2
n
E
。这种滤波器的传输函数除相乘因子
0
tj
Ke
ω?
外与信号频谱的复共轭相一致，所以称该滤波器为 匹配滤波器 。
三,匹配滤波器单位冲激响应
从匹配滤波器传输函数 )(ωH 所满足的条件，可以得到
ωω
π
ωω
π
ωωω
deeKSdeHth
tjtjtj
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
==
0
)(
2
1
)(
2
1
)(
*
∫∫∫∫
∞
∞?
∞
∞?
+
∞
∞?
∞
∞?
=
= ττω
π
ωττ
π
τωωωτ
dsdeKdedes
K
ttjttjj
)(
2
1
)(
2
)()(
*
00
)()()(
00
ttKsdttsK?=+?=
∫
∞
∞?
ττδτ (8.1-15)
即匹配滤波器的单位冲激响应为
)()(
0
ttKsth?= (8.1-16)
8-5
式 (8.1-16)表明，匹配滤波器的单位冲激响应 )(th 是输入信号 )(ts 的镜像函数，
0
t
为输出最大信噪比时刻。
0 0
tt
T
0
t
)(th
)(ts
图 8-2 匹配滤波器单位冲激响应产生原理
对于因果系统，匹配滤波器的单位冲激响应 )(th 应满足
<
≥?
=
0,0
0),(
)(
0
t
tttKs
th (8.1-17)
为了满足式 (8.1-17)的条件必须有
0,0)(
0
<=? ttts (8.1-18)
00
,0,0)( ttttts ><?= 或 (8.1-19)
上式条件说明，对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号 )(ts 必须在它输出最大信噪比的时刻
0
t 之前结束。也就是说，若输入信号在 T 时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器,Tt ≥
0
。对于接收机来说，
0
t 是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取 Tt =
0
。
四,匹配滤波器输出
则匹配滤波器的输出信号为
∫
∞
∞?
=?= τττ dhtsthtsts )()()()()(
0
∫
∞
∞?
= τττ dtKsts )()(
0
(8.1-20)
令 xt =?τ
0
有
)()()()(
000
ttKRdxttxsxsKts?=?+=
∫
∞
∞?
(8.1-21)
8-6
式中,)(tR 为输入信号 )(ts 的自相关函数。上式表明，匹配滤波器的输出波形是输入信号 )(ts 自相关函数的 K 倍。因此，匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，其在
0
t 时刻得到最大输出信噪比
0
max0
2
n
E
r = 。由于输出信噪比与常数 K 无关，所以通常取 1=K 。
