8-1
《通信原理,第四十六讲
§ 8,2 最小差错概率接收准则
匹配滤波器是以抽样时刻信噪比最大为标准，构造接收机结构。而在数字通信中，人们更关心判决输出的数据正确率。因此，使输出总误码率最小的最小差错概率准则，更适合于作为数字信号接收的准则。为了便于讨论最小差错概率最佳接收机，我们需首先建立数字信号接收的统计模型。
一,数字信号接收的统计模型
数字通信系统的统计模型如图 8-3 所示。图中消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间、及判决空间分别代表消息、发送信号、噪声、接收信号波形及判决结果的所有可能状态的集合。
判决规则
+X S
n
R
消息空间 信号空间噪声空间判决空间观察空间
Y
图 8-3 数字通信系统的统计模型
a) 消息空间统计特性
在数字通信系统中，消息是离散的状态，设消息的状态集合为
{}
m
xxxX,,,
21
L= (8.2-1)
若消息集合中每一状态的发送是统计独立的，第 i个状态
i
x 的出现概率为 )(
i
xP,
则消息 X 的一维概率分布为
)()()(
21
21
m
m
xPxPxP
xxx
L
L
1)(
1
=
∑
=
m
i
i
xP (8.2-2)
8-2
若消息各状态
m
xxx,,,
21
L出现的概率相等，则有
m
xPxPxP
m
1
)()()(
21
====L (8.2-3)
b) 信号空间统计特性
消息是各种物理量,需要将消息变换为相应的电信号 )(ts, 用参数 S 来表示。
设消息
i
x 与信号
i
s ( mi,,2,1L= )相对应。 这样,信号集合 S 也由 m 个状态所组成，
即
{}
m
sssS,,,
21
L= (8.2-4)
并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即
)()(
11
xPsP =
)()(
22
xPsP =
……
)()(
mm
xPsP =
同时也有
1)(
1
=
∑
=
m
i
i
sP (8.2-5)
若消息各状态出现的概率相等，则有
m
sPsPsP
m
1
)()()(
21
====L (8.2-6)
)(
i
sP 是描述信号发送概率的参数，通常称为 先验概率,它是信号统计检测的第一数据。
c) 噪声空间统计特性
信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间 n 是加性高斯噪声。
),,,()(
21 k
nnnfnfL= (8.2-7)
式中，
k
nnn,,,
21
L为噪声 n 在各时刻的可能取值。
若噪声是高斯白噪声，则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，
8-3
同时也是统计独立的；若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的，同时也是统计独立的。其 k 维联合概率密度函数等于其 k 个一维概率密度函数的乘积，即
)()()(),,,(
2121 kk
nfnfnfnnnfLL= (8.2-8)
式中,)(
i
nf 是噪声 n 在
i
t 时刻的取值
i
n 的一维概率密度函数，若
i
n 的均值为零，
方差为
2
n
σ,则其一维概率密度函数为
=
2
2
2
exp
2
1
)(
n
i
n
i
n
nf
σ
σπ
(8.2-9)
噪声 n 的 k 维联合概率密度函数为
()?
=
∑
=
k
i
i
n
k
n
nnf
1
2
2
2
1
exp
2
1
)(
σ
σπ
(8.2-10)
根据帕塞瓦尔定理，当 k 很大时有
∫
∑
=
=
T
k
i
i
n
dttn
n
n
0
2
01
2
2
)(
1
2
1
σ
(8.2-11)
式中，
H
n
f
n
2
0
σ
= 为噪声的单边功率谱密度。代入式 (8.2-10)可得
()?
=
∫
T
k
n
dttn
n
nf
0
2
0
)(
1
exp
2
1
)(
σπ
(8.2-12)
d) 观察空间统计特性
观察空间的观察波形为
sny +=
在观察期间 T 内观察波形为
)()()( tstnty
i
+= ),2,1( miL= (8.2-13)
当出现信号 )(ts
i
时 )(ty 的概率密度函数 )(yf
i
s
可表示为
),2,1(,)]()([
1
exp
)2(
1
)(
0
2
0
midttsty
n
yf
T
i
k
n
s
i
L=
=
∫
σπ
(8.2-14)
)(yf
i
s
称为 似然函数,它是信号统计检测的第二数据。
8-4
根据 )(ty 的统计，按照某种准则，即可对 )(ty 作出判决，判决空间中可能出现的状态
m
rrr,,,
21
L与信号空间中的各状态
m
sss,,,
21
L相对应。
二,最佳接收准则
在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则。由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的干扰，发送信号 )(ts
i
时不一定能判为
i
r
出现。
在二进制数字通信系统中发送信号只有两种状态，假设发送信号 )(
1
ts 和
)(
2
ts 的先验概率分别为 )(
1
sP 和 )(
2
sP, )(
1
ts 和 )(
2
ts 在观察时刻的取值分别为
1
a
和
2
a,出现 )(
1
ts 信号时 )(ty 的概率密度函数 )(
1
yf
s
为
=
∫
T
k
n
s
dtaty
n
yf
0
2
1
0
])([
1
exp
)2(
1
)(
1
σπ
(8.2-15)
同理，出现 )(
2
ts 信号时 )(ty 的概率密度函数 )(
2
yf
s
为
=
∫
T
k
n
s
dtaty
n
yf
0
2
2
0
])([
1
exp
)2(
1
)(
2
σπ
(8.2-16)
)(
1
yf
s
和 )(
2
yf
s
的曲线如图 8-4 所示。
)(
1
yf
s
)(
2
yf
s
y
a?
2
a
1
a
图 8-4 )(
1
yf
s
和 )(
2
yf
s
的曲线图
若在观察时刻得到的观察值为
i
y,可依概率将
i
y 判为
1
r 或
2
r 。在
i
y 附近取一小区间 a?,
i
y 在区间 a? 内属于
1
r 的概率为
∫
=
a
s
dyyfq )(
1
1
(8.2-17)
i
y 在相同区间 a? 内属于
2
r 的概率为
8-5
∫
=
a
s
dyyfq )(
2
2
(8.2-18)
可以看出,
∫
=
a
s
dyyfq )(
1
1
>
∫
=
a
s
dyyfq )(
2
2
即
i
y 属于
1
r 的概率大于
i
y 属于
2
r 的概率。因此，依大概率应将
i
y 判为
1
r 出现。
由于 )(
1
yf
s
和 )(
2
yf
s
的单调性质，图 8-4 所示的判决过程可以简化为图 8-5
所示的判决过程。
)(
1
yf
s
)(
2
yf
s
y
2
a
1
a
r1 r2
0
y′
)(
1
2
sP
s
)(
2
1
sP
s
图 8-5 判决过程示意图
当观察时刻得到的观察值 ),(
0
yy
i
′?∞∈ 时，判为
1
r 出现；若观察时刻得到的观察值 ),(
0
∞′∈ yy
i
时，判为
2
r 出现。
如果发送的是 )(
1
ts,但是观察时刻得到的观察值
i
y 落在 ),(
0
∞′y 区间被判为
2
r 出现，这时将造成错误判决，其错误概率为
∫
∞
′
=
0
11
)()(
2
y
ss
dyyfsP (8.2-19)
同理，如果发送的是 )(
2
ts,但是观察时刻得到的观察值
i
y 落在 ),(
0
y′?∞ 区间被判为
1
r 出现，这时也将造成错误判决，其错误概率为
∫
′
∞?
=
0
22
)()(
1
y
ss
dyyfsP (8.2-20)
)()()()(
1221
21
sPsPsPsPP
sse
+=
∫∫
′
∞?
∞
′
+=
0
2
0
1
)()()()(
21
y
s
y
s
dyyfsPdyyfsP (8.2-21)
由式 (8.2-21)可以看出,系统总的误码率与先验概率,似然函数及划分点
0
y′有关，在先验概率和似然函数一定的情况下，系统总的误码率
e
P 是划分点
0
y′的函
8-6
数。不同的
0
y′将有不同的
e
P,我们希望选择一个划分点
0
y 使误码率
e
P 达到最小。
使误码率
e
P 达到最小的划分点
0
y 称为最佳划分点。
0
y 可以通过求
e
P 的最小值得到。即
0
0
=
′?
y
P
e
(8.2-22)
0)()()()(
0201
21
=+? yfsPyfsP
ss
(8.2-23)
由此可得最佳划分点将满足如下方程
)(
)(
)(
)(
1
2
0
0
2
1
sP
sP
yf
yf
s
s
= (8.2-24)
式中
0
y 即为最佳划分点。
因此，为了达到最小差错概率，可以按以下规则进行判决
<
>
)(,
)(
)(
)(
)(
)(,
)(
)(
)(
)(
22
1
2
11
1
2
2
1
2
1
sr
sP
sP
yf
yf
sr
sP
sP
yf
yf
s
s
s
s
即判为即判为
(8.2-25)
以上判决规则称为 似然比准则 。在加性高斯白噪声条件下，似然比准则和最小差错概率准则是等价的。
当 )(
1
ts 和 )(
2
ts 的发送概率相等时，即 )()(
21
sPsP = 时，则有
<
>
)(),()(
)(),()(
22
11
21
21
sryfyf
sryfyf
ss
ss
即判为即判为
(8.2-26)
上式判决规则称为 最大似然准则,其物理概念是，接收到的波形 y 中，哪个似然函数大就判为哪个信号出现。
以上判决规则可以推广到多进 制数字通信系统中，对于 m 个可能发送的信号，在先验概率相等时的最大似然准则为
jimjmi
syfyf
iss
ji
≠==
>;,,2,1;,,2,1
),()(
LL
判为
(8.2-27)
《通信原理,第四十六讲
§ 8,2 最小差错概率接收准则
匹配滤波器是以抽样时刻信噪比最大为标准，构造接收机结构。而在数字通信中，人们更关心判决输出的数据正确率。因此，使输出总误码率最小的最小差错概率准则，更适合于作为数字信号接收的准则。为了便于讨论最小差错概率最佳接收机，我们需首先建立数字信号接收的统计模型。
一,数字信号接收的统计模型
数字通信系统的统计模型如图 8-3 所示。图中消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间、及判决空间分别代表消息、发送信号、噪声、接收信号波形及判决结果的所有可能状态的集合。
判决规则
+X S
n
R
消息空间 信号空间噪声空间判决空间观察空间
Y
图 8-3 数字通信系统的统计模型
a) 消息空间统计特性
在数字通信系统中，消息是离散的状态，设消息的状态集合为
{}
m
xxxX,,,
21
L= (8.2-1)
若消息集合中每一状态的发送是统计独立的，第 i个状态
i
x 的出现概率为 )(
i
xP,
则消息 X 的一维概率分布为
)()()(
21
21
m
m
xPxPxP
xxx
L
L
1)(
1
=
∑
=
m
i
i
xP (8.2-2)
8-2
若消息各状态
m
xxx,,,
21
L出现的概率相等，则有
m
xPxPxP
m
1
)()()(
21
====L (8.2-3)
b) 信号空间统计特性
消息是各种物理量,需要将消息变换为相应的电信号 )(ts, 用参数 S 来表示。
设消息
i
x 与信号
i
s ( mi,,2,1L= )相对应。 这样,信号集合 S 也由 m 个状态所组成，
即
{}
m
sssS,,,
21
L= (8.2-4)
并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即
)()(
11
xPsP =
)()(
22
xPsP =
……
)()(
mm
xPsP =
同时也有
1)(
1
=
∑
=
m
i
i
sP (8.2-5)
若消息各状态出现的概率相等，则有
m
sPsPsP
m
1
)()()(
21
====L (8.2-6)
)(
i
sP 是描述信号发送概率的参数，通常称为 先验概率,它是信号统计检测的第一数据。
c) 噪声空间统计特性
信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间 n 是加性高斯噪声。
),,,()(
21 k
nnnfnfL= (8.2-7)
式中，
k
nnn,,,
21
L为噪声 n 在各时刻的可能取值。
若噪声是高斯白噪声，则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，
8-3
同时也是统计独立的；若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的，同时也是统计独立的。其 k 维联合概率密度函数等于其 k 个一维概率密度函数的乘积，即
)()()(),,,(
2121 kk
nfnfnfnnnfLL= (8.2-8)
式中,)(
i
nf 是噪声 n 在
i
t 时刻的取值
i
n 的一维概率密度函数，若
i
n 的均值为零，
方差为
2
n
σ,则其一维概率密度函数为
=
2
2
2
exp
2
1
)(
n
i
n
i
n
nf
σ
σπ
(8.2-9)
噪声 n 的 k 维联合概率密度函数为
()?
=
∑
=
k
i
i
n
k
n
nnf
1
2
2
2
1
exp
2
1
)(
σ
σπ
(8.2-10)
根据帕塞瓦尔定理，当 k 很大时有
∫
∑
=
=
T
k
i
i
n
dttn
n
n
0
2
01
2
2
)(
1
2
1
σ
(8.2-11)
式中，
H
n
f
n
2
0
σ
= 为噪声的单边功率谱密度。代入式 (8.2-10)可得
()?
=
∫
T
k
n
dttn
n
nf
0
2
0
)(
1
exp
2
1
)(
σπ
(8.2-12)
d) 观察空间统计特性
观察空间的观察波形为
sny +=
在观察期间 T 内观察波形为
)()()( tstnty
i
+= ),2,1( miL= (8.2-13)
当出现信号 )(ts
i
时 )(ty 的概率密度函数 )(yf
i
s
可表示为
),2,1(,)]()([
1
exp
)2(
1
)(
0
2
0
midttsty
n
yf
T
i
k
n
s
i
L=
=
∫
σπ
(8.2-14)
)(yf
i
s
称为 似然函数,它是信号统计检测的第二数据。
8-4
根据 )(ty 的统计，按照某种准则，即可对 )(ty 作出判决，判决空间中可能出现的状态
m
rrr,,,
21
L与信号空间中的各状态
m
sss,,,
21
L相对应。
二,最佳接收准则
在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则。由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的干扰，发送信号 )(ts
i
时不一定能判为
i
r
出现。
在二进制数字通信系统中发送信号只有两种状态，假设发送信号 )(
1
ts 和
)(
2
ts 的先验概率分别为 )(
1
sP 和 )(
2
sP, )(
1
ts 和 )(
2
ts 在观察时刻的取值分别为
1
a
和
2
a,出现 )(
1
ts 信号时 )(ty 的概率密度函数 )(
1
yf
s
为
=
∫
T
k
n
s
dtaty
n
yf
0
2
1
0
])([
1
exp
)2(
1
)(
1
σπ
(8.2-15)
同理，出现 )(
2
ts 信号时 )(ty 的概率密度函数 )(
2
yf
s
为
=
∫
T
k
n
s
dtaty
n
yf
0
2
2
0
])([
1
exp
)2(
1
)(
2
σπ
(8.2-16)
)(
1
yf
s
和 )(
2
yf
s
的曲线如图 8-4 所示。
)(
1
yf
s
)(
2
yf
s
y
a?
2
a
1
a
图 8-4 )(
1
yf
s
和 )(
2
yf
s
的曲线图
若在观察时刻得到的观察值为
i
y,可依概率将
i
y 判为
1
r 或
2
r 。在
i
y 附近取一小区间 a?,
i
y 在区间 a? 内属于
1
r 的概率为
∫
=
a
s
dyyfq )(
1
1
(8.2-17)
i
y 在相同区间 a? 内属于
2
r 的概率为
8-5
∫
=
a
s
dyyfq )(
2
2
(8.2-18)
可以看出,
∫
=
a
s
dyyfq )(
1
1
>
∫
=
a
s
dyyfq )(
2
2
即
i
y 属于
1
r 的概率大于
i
y 属于
2
r 的概率。因此，依大概率应将
i
y 判为
1
r 出现。
由于 )(
1
yf
s
和 )(
2
yf
s
的单调性质，图 8-4 所示的判决过程可以简化为图 8-5
所示的判决过程。
)(
1
yf
s
)(
2
yf
s
y
2
a
1
a
r1 r2
0
y′
)(
1
2
sP
s
)(
2
1
sP
s
图 8-5 判决过程示意图
当观察时刻得到的观察值 ),(
0
yy
i
′?∞∈ 时，判为
1
r 出现；若观察时刻得到的观察值 ),(
0
∞′∈ yy
i
时，判为
2
r 出现。
如果发送的是 )(
1
ts,但是观察时刻得到的观察值
i
y 落在 ),(
0
∞′y 区间被判为
2
r 出现，这时将造成错误判决，其错误概率为
∫
∞
′
=
0
11
)()(
2
y
ss
dyyfsP (8.2-19)
同理，如果发送的是 )(
2
ts,但是观察时刻得到的观察值
i
y 落在 ),(
0
y′?∞ 区间被判为
1
r 出现，这时也将造成错误判决，其错误概率为
∫
′
∞?
=
0
22
)()(
1
y
ss
dyyfsP (8.2-20)
)()()()(
1221
21
sPsPsPsPP
sse
+=
∫∫
′
∞?
∞
′
+=
0
2
0
1
)()()()(
21
y
s
y
s
dyyfsPdyyfsP (8.2-21)
由式 (8.2-21)可以看出,系统总的误码率与先验概率,似然函数及划分点
0
y′有关，在先验概率和似然函数一定的情况下，系统总的误码率
e
P 是划分点
0
y′的函
8-6
数。不同的
0
y′将有不同的
e
P,我们希望选择一个划分点
0
y 使误码率
e
P 达到最小。
使误码率
e
P 达到最小的划分点
0
y 称为最佳划分点。
0
y 可以通过求
e
P 的最小值得到。即
0
0
=
′?
y
P
e
(8.2-22)
0)()()()(
0201
21
=+? yfsPyfsP
ss
(8.2-23)
由此可得最佳划分点将满足如下方程
)(
)(
)(
)(
1
2
0
0
2
1
sP
sP
yf
yf
s
s
= (8.2-24)
式中
0
y 即为最佳划分点。
因此，为了达到最小差错概率，可以按以下规则进行判决
<
>
)(,
)(
)(
)(
)(
)(,
)(
)(
)(
)(
22
1
2
11
1
2
2
1
2
1
sr
sP
sP
yf
yf
sr
sP
sP
yf
yf
s
s
s
s
即判为即判为
(8.2-25)
以上判决规则称为 似然比准则 。在加性高斯白噪声条件下，似然比准则和最小差错概率准则是等价的。
当 )(
1
ts 和 )(
2
ts 的发送概率相等时，即 )()(
21
sPsP = 时，则有
<
>
)(),()(
)(),()(
22
11
21
21
sryfyf
sryfyf
ss
ss
即判为即判为
(8.2-26)
上式判决规则称为 最大似然准则,其物理概念是，接收到的波形 y 中，哪个似然函数大就判为哪个信号出现。
以上判决规则可以推广到多进 制数字通信系统中，对于 m 个可能发送的信号，在先验概率相等时的最大似然准则为
jimjmi
syfyf
iss
ji
≠==
>;,,2,1;,,2,1
),()(
LL
判为
(8.2-27)
