7-1
《通信原理,第四十讲
§ 7,2 二进制数字调制系统的抗噪声性能
分析二进制数字调制系统的抗噪声性能,也就是分析在信道等效加性高斯白噪声的干扰下系统的误码性能，得出误码率与信噪比之间的数学关系。
在二进制数字调制系统抗噪声性能分析中，假设信道特性是恒参信道，在信号的频带范围内其具有理想矩形的传输特性 (可取传输系数为 K)。噪声为等效加性高斯白噪声，其均值为零，方差为
2
σ 。
一,二进制振幅键控 (2ASK)系统的抗噪声性能
a) 同步检测法的系统性能
带通滤波器相乘器低通滤波器抽样判决器定时脉冲输出
t
c
ωcos2
发送端 信道
)(ts
T
)(tn
i
)(ty
i
)(ty
)(tx
e
P
图 7-22 2ASK 信号同步检测法的系统性能分析模型
在一个码元的时间间隔
s
T 内，发送端输出的信号波形 )(ts
T
为
=
”符号发送“，
”符号发送“
00
1),(
)(
tu
ts
T
T
(7.2-1)
其中
<<
=
t
TttA
tu
Sc
T
其它，0
0,cos
)(
ω
(7.2-2)
式中
c
ω 为载波角频率，
s
T 为码元时间间隔。在 ),0(
s
T 时间间隔，接收端带通滤波器输入合成波形 )(ty
i
为
+
=
”符号发送“，
”符号发送“
0)(
1),()(
)(
tn
tntu
ty
i
ii
i
(7.2-3)
7-2
式中
<<
=
t
TttAK
tu
Sc
i
其它，0
0,cos
)(
ω
<<
=
t
Ttta
Sc
其它，0
0,cosω
(7.2-4)
为发送信号经信道传输后的输出。 )(tn
i
为加性高斯白噪声，其均值为零，方差为
2
σ 。
设接收端带通滤波器具有理想矩形传输特性,带通滤波器的输出波形 )(ty 为
+
=
”符号发送“，
”符号发送“
0)(
1),()(
)(
tn
tntu
ty
i
(7.2-5)
)(tn 为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为
2
n
σ,且可表示为
ttnttntn
cscc
ωω sin)(cos)()(?= (7.2-6)
+
=
ttnttn
ttnttnta
ty
cscc
csccc
ωω
ωωω
sin)(cos)(
sin)(cos)(cos
)(
+
=
”符号发送“，
”符号发送“
0sin)(cos)(
1,sin)(cos)]([
ttnttn
ttnttna
cscc
cscc
ωω
ωω
(7.2-7)
与相干载波 t
c
ωcos2 相乘后的波形 )(tz 为
ttytz
c
ωcos)(2)( =
+
=
tttnttn
tttnttna
ccscc
ccscc
ωωω
ωωω
cossin)(2cos)(2
cossin)(2cos)]([2
2
2
+
+++
=
”符号发送“
”符号发送“
0,2sin)(2cos)()(
1,2sin)(2cos)]([)]([
ttnttntn
ttnttnatna
csccc
csccc
ωω
ωω
(7.2-8)
理想低通滤波器的输出波形 )(tx 为
+
=
”符号发送“
”符号发送“
0),(
1),(
)(
tn
tna
tx
c
c
(7.2-9)
式中,a为信号成分,)(tn
c
为低通型高斯噪声，其均值为零，方差为
2
n
σ 。
7-3
设对第 k 个符号的抽样时刻为
s
kT,则 )(tx 在
s
kT 时刻的抽样值 x 为
+
=
+
=
发送“”符号
”符号发送“
,
1,
)(
)(
c
c
sc
sc
n
na
kTn
kTna
x (7.2-10)
式中，
c
n 是均值为零，方差为
2
n
σ 的高斯随机变量。发送“1”符号时的抽样值
c
nax += 的一维概率密度函数 )(
1
xf 为

=
2
2
1
2
)(
exp
2
1
)(
nn
ax
xf
σσπ
(7.2-11)
发送“0”符号时的抽样值
c
nx = 的一维概率密度函数 )(
0
xf 为
=
2
2
0
2
exp
2
1
)(
nn
x
xf
σσπ
(7.2-12)
图 7-23 抽样值 x的一维概率密度函数
假设抽样判决器的判决门限为 b,则抽样值 bx > 时判为“1”符号输出，若抽样值 bx ≤ 时判为“0”符号输出。
若发送的第 k 个符号为“1”,
dx
ax
dxxfbxPP
b
nn
b
∫∫
∞?∞?

==≤=
2
2
1
2
)(
exp
2
1
)()()1/0(
σ
σπ
=
n
ab
erfc
σ22
1
1 (7.2-13)
式中
()
∫
∞
=
x
dyyxerfc )exp(
2
2
π
同理，当发送的第 k 个符号为“0”时,
7-4
dx
x
dxxfbxPP
b
nn
b
∫∫
∞∞
==>=
2
2
0
2
exp
2
1
)()()0/1(
σ
σπ
=
n
b
erfc
σ2
2
1
(7.2-14)
)1/0()0()1/0()1( PPPPP
e
+=
∫∫
∞
∞?
+=
b
b
dxxfPdxxfP )()0()()1(
01
(7.2-15)
式 (7.2-15)表明,当符号的发送概率 )1(P, )0(P 及概率密度函数 )(
1
xf, )(
0
xf
一定时，系统总的误码率
e
P 将与判决门限 b 有关，其几何表示如图 7-24 所示。
图 7-24 同步检测时误码率的几何表示
误码率
e
P 等于图中阴影的面积。当判决门限 b 取 )()1(
1
xfP 与 )()0(
0
xfP 两条曲线相交点
*
b 时，阴影的面积最小。这个门限就称为最佳判决门限。
最佳判决门限也可通过求误码率
e
P 关于判决门限 b 的最小值的方法得到,令
0=
b
P
e
(7.2-16)
可得
0)()0()()1(
*
0
*
1
=? bfPbfP
即
)()0()()1(
*
0
*
1
bfPbfP = (7.2-17)
将式 (7.2-11)和 (7.2-12)代入 (7.2-17)可得
7-5
)1(
)0(
ln
2
2
*
P
P
a
a
b
n
σ
= (7.2-18)
当 )0()1( PP = 时，最佳判决门限
*
b 为
2
*
a
b = (7.2-19)
当发送二进制符号“1”和“0”等概，且判决门限取
2
*
a
b = 时，对 2ASK 信号采用同步检测法进行解调时的误码率
e
P 为
=
42
1 r
erfcP
e
(7.2-20)
式中
2
2
2
n
a
r
σ
= 为信噪比。
当 0>>r,
4
1
r
e
e
r
P
≈
π
(7.2-21)
b) 包络检波法的系统性能
带通滤波器包络检波器抽样判决器定时脉冲输出发送端 信道
)(ts
T
)(tn
i
)(ty
i
)(ty
)(tV
e
P
图 7-25 包络检波法的系统性能分析模型
+
=
)(
)()(
)(
tn
tntu
ty
i
ii
+
=
”符号发送“，
”符号发送“
0sin)(cos)(
1,sin)(cos)]([
ttnttn
ttnttna
cscc
cscc
ωω
ωω
++
+++
=
”符号发送“，
”符号发送“
0)](cos[)()(
1)],(cos[)()]([
)(
0
22
1
22
tttntn
tttntna
ty
csc
csc
ω
ω
(7.2-22)
当发送,1”符号时,
7-6
)()]([)(
22
tntnatV
sc
++= (7.2-23)
当发送,0”符号时,
)()()(
22
tntntV
sc
+= (7.2-24)
在
s
kT 时刻包络检波器输出波形的抽样值为
+
++
=
”符号发送“，
”符号发送“
0
1,][
22
22
sc
sc
nn
nna
V (7.2-25)
发送“1”符号时的抽样值是广义瑞利型随机变量；发送“0”符号时的抽样值是瑞利型随机变量，它们的一维概率密度函数分别为
222
2/)(
2021
)(
n
aV
nn
e
aV
I
V
Vf
σ
σσ
+?
= (7.2-26)
22
2/
2
0
)(
n
V
n
e
V
Vf
σ
σ
= (7.2-27)
式中，
2
n
σ 为窄带高斯噪声 )(tn 的方差。
抽样判决器对抽样值作出判决,若抽样值大于判决门限,即 bV > 时判为,1”
符号输出；若抽样值小于等于判决门限，即 bV ≤ 时判为“0”符号输出。
∫∫
∞
==≤=
b
b
dVVfdVVfbVPP )(1)()()1/0(
1
0
1
∫
∞
+?
=
b
aV
nn
dVe
aV
I
V
n
222
2/)(
2
0
2
1
σ
σσ
(7.2-28)
式 (7.2-28)中的积分值可以用 Marcum Q 函数计算,Q 函数定义为
()
∫
∞
+?
=
β
α
αβα dtettIQ
t 2/)(
0
22
),(
将 Q 函数代入式 (7.2-28)可得
),(1)1/0(
nn
ba
QP
σσ
= (7.2-29)
式中
n
b
σ
可看为归一化门限值，用
0
b 表示,
),2(1)1/0(
0
brQP?= (7.2-30)
7-7
式中，
2
2
2
n
a
r
σ
= 为信噪比。
同理
∫
∞
=>=
b
dVVfbVPP )()()0/1(
0
2/2/2/
2
2
0
2222
bb
b
V
n
eedVe
V
nn

∞
===
∫
σσ
σ
(7.2-31)
若发送“１”符号的概率为 )1(P,发送“０”符号的概率为 )0(P,则系统的总误码率
e
P 为
)0/1()0()1/0()1( PPPPP
e
+=
[]
2/
0
2
0
)0(),2(1)1(
b
ePbrQP
+?= (7.2-32)
在系统输入信噪比一定的情况下，系统误码率将与归一化门限值
0
b 有关。误码率
e
P 的几何表示如图 7-26 所示。当归一化判决门限值
0
b 处于 )()1(
1
VfP 和
)()0(
0
VfP 两条曲线的相交点
*
0
b 时，图中阴影部分的面积最小，即此时系统的总误码率最小。
*
0
b 为最佳归一化判决门限。
图 7-26 误码率
e
P 的几何表示
最佳归一化判决门限
*
0
b 也可通过求极值的方法得到，令
0=
b
P
e
7-8
可得
)()0()()1(
*
0
*
1
bfPbfP = (7.2-33)
当 )0()1( PP = 时有
)()(
*
0
*
1
bfbf = (7.2-34)
此时，最佳判决门限
*
b 为
2
*
a
b = (7.2-36)
最佳归一化判决门限
*
0
b 为
2
*
*
0
r
b
b
n
==
σ
(7.2-37)
在小信噪比( 1<<r )的条件下，式(7.2-35)可近似为
此时，最佳判决门限
*
b 为
2*
2
n
b σ= (7.2-38)
最佳归一化判决门限
*
0
b 为
2
*
*
0
==
n
b
b
σ
(7.2-39)
在实际工作中，系统总是工作在大信噪比的情况下，因此最佳归一化判决门限应取
2
*
0
r
b = 。此时系统的总误码率
e
P 为
4
2
1
44
1
r
e
e
r
erfcP
+
= (7.2-40)
当 ∞→r 式，上式的下界为
4
2
1
r
e
eP
= (7.2-41)
在相同的信噪比条件下，同步检测法的误码性能优于包络检波法的性能；在大信噪比条件下，包络检波法的误码性能将接近同步检测法的性能。另外，包络检波法存在门限效应，同步检测法无门限效应。